19.1.1变量与函数第二课时

上一节课，我们初步认识了生活中的变量以及变量之间的依赖关系，并引出了函数的概念。这一节课，我们将在此基础上，进一步深化对函数概念的理解，探讨函数的表示方法，并通过实例来辨析和应用函数关系，力求对“函数”这一重要数学工具形成更清晰、更系统的认知。一、函数概念的深化理解在数学中，函数的定义是描述两个变量之间一种特殊的对应关系。回顾上一节课的内容，我们知道：在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。这里，有几个关键词需要我们再次着重理解：1.“一个变化过程”：函数存在于一个动态的情境中，变量的取值不是孤立的，而是相互影响、相互制约的。2.“两个变量x与y”：通常我们用x表示主动变化的量（自变量），y表示随着x的变化而变化的量（因变量，即函数）。3.“x的每一个确定的值”：这意味着我们要考虑自变量x的取值范围，并非所有实数都一定能作为x的值，它要使代数式有意义或符合实际问题的背景。4.“y都有唯一确定的值与其对应”：这是函数概念的核心！对于x的某个值，无论通过什么方式（公式、表格、图象等），y只能有一个结果。“唯一”和“确定”是必不可少的条件。思考与辨析：如何判断两个变量之间是否存在函数关系？例如，“人的年龄与身高”，年龄是x，身高是y，y是x的函数吗？（引导学生思考：对于一个确定的年龄，一个人只能有一个身高吗？通常情况下是的，但不同的人在同一年龄可能有不同身高。这里要明确，函数关系研究的是“一个”变化过程中两个变量的对应。如果泛指人群，那么对于同一个x（年龄），会有多个y（身高）与之对应，此时就不构成函数关系。但若特指某一个人，那么其年龄与身高的关系在一定阶段内可以视为函数关系。）二、函数的表示方法函数关系是客观存在的，我们需要用恰当的方式将其表示出来，以便于研究和应用。常用的函数表示方法有三种：1.解析法（关系式法）用数学式子（等式）来表示两个变量之间的函数关系，这种表示方法叫做解析法。其中的等式通常称为函数的解析式或关系式。例如：匀速直线运动中，路程s与时间t的关系：s=vt（v为速度，常量）。正方形的面积S与边长a的关系：S=a²。某商品单价为5元，销售额y（元）与销售量x（件）的关系：y=5x。优点：简洁明了，便于进行理论分析、计算和推导。注意点：*解析式中，通常等式右边是关于自变量x的代数式，左边是因变量y。*要明确自变量的取值范围，使解析式有意义且符合实际。例如，在S=a²中，a必须大于0。2.列表法通过列出表格来表示两个变量之间的函数关系，这种方法叫做列表法。表格中，第一行（或列）通常是自变量的取值，第二行（或列）是对应的函数值。例如：某城市一周内的最高气温记录如下表：星期(x)一二三四五六日:-------:---:---:---:---:---:---:---最高气温(y/℃)18202219171619这里，星期x与最高气温y之间的关系就通过列表法表示出来了。优点：直观具体，能直接看出部分自变量对应的函数值，查询方便。不足：往往只能列出部分自变量的值，难以反映函数的全貌和变化趋势。3.图象法用图象（通常是平面直角坐标系中的曲线或直线）来表示两个变量之间的函数关系，这种方法叫做图象法。具体做法是：以自变量x的值为横坐标，对应的函数值y为纵坐标，在坐标平面内描出相应的点(x,y)，然后用平滑的线将这些点连接起来（如果是离散的点则不连接）。例如：我们可以将上述气温数据在坐标系中描点，得到一周最高气温变化的折线图。优点：形象直观，能清晰地反映出函数值随自变量变化的整体趋势、增减性、最值等特征。不足：由图象读取的函数值往往是近似值，不够精确。说明：这三种表示方法各有优缺点，在实际应用中，我们常常根据具体问题的需要选择合适的表示方法，有时也会将多种方法结合起来使用，以达到对函数关系更全面的认识。例如，先用解析法得到函数关系式，再通过列表法计算关键点的坐标，最后用图象法画出函数的大致图象。三、函数概念的应用与辨析理解了函数的概念和表示方法，我们就可以尝试判断一些具体问题中是否存在函数关系，并能用适当的方法表示简单的函数。例题分析：1.问题：汽车在匀速行驶过程中，油箱中的剩余油量Q（升）与行驶时间t（小时）的关系。已知汽车每小时耗油8升，油箱原有油量60升。*这里的自变量是什么？因变量是什么？*Q是t的函数吗？为什么？*尝试用解析法表示Q与t的关系，并指出t的取值范围。*当t=2时，Q的值是多少？它表示什么意义？分析与解答：*自变量是行驶时间t，因变量是剩余油量Q。*Q是t的函数。因为对于t在某个范围内的每一个确定的值（行驶时间），根据耗油量，Q（剩余油量）都有唯一确定的值与之对应。*解析法表示：Q=60-8t。t的取值范围：t≥0，且Q=60-8t≥0，即60-8t≥0→t≤7.5。所以t的取值范围是0≤t≤7.5。*当t=2时，Q=60-8×2=60-16=44。表示汽车行驶2小时后，油箱中还剩余44升油。2.辨析：下列各图中，哪个图中的y是x的函数？（可展示简单的函数与非函数图象，如：直线、抛物线、圆、平行于y轴的直线等）引导：根据函数定义中“对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应”这一核心条件，观察图象。对于一个x值，过该x值作垂直于x轴的直线，若该直线与图象只有一个交点，则y是x的函数；若有两个或多个交点，则y不是x的函数。（强调“垂直于x轴的直线检验法”）四、课时小结与思考通过本节课的学习，我们进一步深化了对函数概念的理解，特别是强调了“对于自变量的每一个确定的值，函数值有唯一确定的值与之对应”这一本质特征。我们还学习了函数的三种基本表示方法——解析法、列表法和图象法，并初步体会了它们各自的特点和应用场景。本课时的重点：*深刻理解函数概念的核心——“唯一确定”的对应关系。*掌握函数的三种表示方法及其特点。*能判断简单问题中的函数关系，并能用解析法表示简单函数，注意自变量的取值范围。学习建议：*在后续学习中，要习惯于从“函数”的角度去审视变量之间的关系。*对于函数的三种表示方法，要能灵活转换和运用，它们是研究函数的基本工具。*思考生活中还有哪些函数关系的例子，尝试用不同的方法表示它们，这将有助于你更好地理解和掌握函数思想。函数是描述