新人教版高中数学必修第一册 4.2　4.2.2　指数函数的图象和性质 教案

4.2.2指数函数的图象和性质(教师独具内容)课程标准：1.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点.2.学会用函数的图象和代数运算的方法研究指数函数的性质.3.运用指数函数模型解决简单的实际问题．教学重点：掌握指数函数的图象和性质．教学难点：指数函数性质的应用．核心素养：借助指数函数的性质及应用，培养逻辑推理和数学运算素养.知识点一指数函数的图象和性质a>10<a<1图象性质定义域eq\x(\s\up1(01))R值域eq\x(\s\up1(02))(0，＋∞)过定点过定点eq\x(\s\up1(03))(0,1)，即x＝eq\x(\s\up1(04))0时，y＝eq\x(\s\up1(05))1函数值的变化当x>0时，eq\x(\s\up1(06))y>1；当x<0时，eq\x(\s\up1(07))0<y<1当x>0时，eq\x(\s\up1(08))0<y<1；当x<0时，eq\x(\s\up1(09))y>1单调性是R上的增函数是R上的减函数对称性y＝ax与y＝a－x的图象关于y轴对称知识点二不同底指数函数图象的相对位置(1)指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系如图所示，则0<c<d<1<a<b.在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由eq\x(\s\up1(01))大变eq\x(\s\up1(02))小；在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由eq\x(\s\up1(03))大变eq\x(\s\up1(04))小.即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向递增．(2)实质：指数函数的底数即直线x＝1与图象交点的纵坐标，由此也可求指数函数底数的大小．1．由指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的性质知，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象恒过点(0,1)，(1，a)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,a)))，只要确定了这三个点的坐标，即可快速地画出指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象．2．底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是a>1，还是0<a<1，在第一象限内底数越大，函数图象越靠近y轴．当a>b>1时，(1)若x>0，则ax>bx>1；(2)若x<0，则1>bx>ax>0.当1>a>b>0时，(1)若x>0，则1>ax>bx>0；(2)若x<0，则bx>ax>1.3．函数图象的对称和变换规律一般地，把函数y＝f(x)的图象向右平移m个单位得函数y＝f(x－m)的图象(m∈R，若m<0就是向左平移|m|个单位)；把函数y＝f(x)的图象向上平移n个单位，得到函数y＝f(x)＋n的图象(n∈R，若n<0，就是向下平移|n|个单位)．函数y＝f(x)的图象与y＝f(－x)的图象关于y轴对称，函数y＝f(x)的图象与函数y＝－f(x)的图象关于x轴对称，函数y＝f(x)的图象与函数y＝－f(－x)的图象关于原点对称．函数y＝f(|x|)的图象是关于y轴对称的，所以只要先把y轴右边的图象保留，y轴左边的图象删去，再将y轴右边部分关于y轴对称得y轴左边图象，就得到了y＝f(|x|)的图象．4．与指数函数复合的函数单调性(1)关于指数型函数y＝af(x)(a>0，且a≠1)的单调性由两点决定，一是底数a>1还是0<a<1；二是f(x)的单调性．它由两个函数y＝au，u＝f(x)复合而成．(2)若y＝f(u)，u＝g(x)，则函数y＝f(g(x))的单调性有如下特点：u＝g(x)y＝f(u)y＝f(g(x))增增增增减减减增减减减增(3)求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f(u)，u＝g(x)，通过考查f(u)和g(x)的单调性，求出y＝f(g(x))的单调性．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)指数函数的图象都在x轴上方．()(2)函数y＝2－x在(0，＋∞)上单调递增．()(3)若指数函数y＝ax是减函数，则0<a<1.()(4)对于任意x∈R，一定有4x>3x.()答案(1)√(2)×(3)√(4)×2．做一做(1)函数y＝2－x的图象是()(2)若0<a<1，则函数f(x)＝ax＋6的图象一定经过()A．第一、二象限 B．第二、四象限C．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限(3)当a>0，且a≠1时，函数f(x)＝ax－2＋1必过定点________.(4)函数f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x在[－1,1]上的最大值为________.答案(1)B(2)A(3)(2,2)(4)3题型一指数函数的图象及应用例1(1)如图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系为()A．a<b<1<c<d B．b<a<1<d<cC．1<a<b<c<d D．a<b<1<d<c(2)函数y＝ax－3＋3(a>0，且a≠1)的图象过定点________.[解析](1)解法一：由图象可知③④的底数必大于1，①②的底数必小于1.作直线x＝1，在第一象限内直线x＝1与各曲线的交点的纵坐标即各指数函数的底数，则1<d<c，b<a<1，从而可知a，b，c，d与1的大小关系为b<a<1<d<c.解法二：根据图象可以先分两类：③④的底数大于1，①②的底数小于1，再由③④比较c，d的大小，由①②比较a，b的大小．当指数函数的底数大于1时，图象上升，且底数越大时图象向上越靠近y轴；当底数大于0小于1时，图象下降，底数越小，图象向右越靠近x轴．(2)解法一：因为指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象过定点(0,1)，所以在函数y＝ax－3＋3中，令x＝3，得y＝1＋3＝4，即函数的图象过定点(3,4)．解法二：将原函数变形，得y－3＝ax－3，把y－3看成x－3的指数函数，所以当x－3＝0时，y－3＝1，即x＝3时，y＝4，所以原函数的图象过定点(3,4)．[答案](1)B(2)(3,4)1．识别指数函数图象问题的注意点(1)根据图象“上升”或“下降”确定底数a>1或0<a<1；(2)在y轴右侧，指数函数的图象从下到上相应的底数由小到大；在y轴左侧，指数函数的图象从下到上相应的底数由大到小；(3)根据“左加右减，上加下减”的原则，确定图象的平移变换，从而确定指数型函数的图象与两坐标轴的交点位置．2．解决指数型函数图象过定点问题的思路指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象过定点(0,1)，据此，可解决形如y＝k·ax＋c＋b(k≠0，a>0，且a≠1)的函数图象过定点的问题，即令x＝－c，得y＝k＋b，函数图象过定点(－c，k＋b)．[跟踪训练1](1)二次函数y＝ax2＋bx与指数函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))x的图象可能是()(2)函数y＝a2x＋1＋1(a>0，且a≠1)的图象过定点________.答案(1)A(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，2))解析(1)二次函数y＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(b,2a)))2－eq\f(b2,4a)，其图象的顶点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，－\f(b2,4a)))，由指数函数的图象知0<eq\f(b,a)<1，所以－eq\f(1,2)<－eq\f(b,2a)<0，再观察四个选项，只有A中的抛物线的顶点的横坐标在－eq\f(1,2)和0之间．(2)令2x＋1＝0得x＝－eq\f(1,2)，y＝2，所以函数图象恒过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，2)).题型二与指数函数有关的定义域和值域问题例2求下列函数的定义域和值域：(1)y＝2；(2)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))－|x|；(3)y＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x).[解](1)x应满足x－4≠0，∴x≠4，∴函数y＝2的定义域为{x|x≠4，x∈R}．∵eq\f(1,x－4)≠0，∴2≠1，∴函数y＝2的值域为{y|y>0，且y≠1}．(2)函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))－|x|的定义域为R.∵|x|≥0，∴y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))－|x|＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))|x|≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))0＝1，∴函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))－|x|的值域为[1，＋∞)．(3)由题意知1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x≥0，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x≤1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))0，∴x≥0，∴函数y＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x)的定义域为{x|x≥0，x∈R}．∵x≥0，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x≤1.又eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x>0，∴0<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x≤1.∴0≤1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x<1，∴0≤y<1，∴函数y＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x)的值域为[0,1)．函数y＝af(x)定义域、值域的求法(1)定义域：形如y＝af(x)形式的函数的定义域是使得f(x)有意义的x的取值集合．(2)值域：①换元，令t＝f(x)；②求t＝f(x)的定义域x∈D；③求t＝f(x)的值域t∈M；④利用y＝at的单调性求y＝at，t∈M的值域．提示：(1)通过建立不等关系求定义域时，要注意解集为各不等关系解集的交集．(2)当指数型函数的底数含字母时，在求定义域、值域时要注意分类讨论．[跟踪训练2]求下列函数的定义域、值域：(1)y＝eq\f(3x,1＋3x)；(2)y＝4x－2x＋1.解(1)函数的定义域为R.∵y＝eq\f(3x,1＋3x)＝eq\f(1＋3x－1,1＋3x)＝1－eq\f(1,1＋3x)，又3x>0，∴1＋3x>1，∴0<eq\f(1,1＋3x)<1，∴－1<－eq\f(1,1＋3x)<0，∴0<1－eq\f(1,1＋3x)<1，∴函数的值域为(0,1)．(2)函数的定义域为R.y＝(2x)2－2x＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)，∵2x>0，∴当2x＝eq\f(1,2)，即x＝－1时，y取最小值eq\f(3,4)，∴函数的值域为eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，＋∞)).题型三利用单调性比较大小例3比较下列各组数的大小：(1)1.52.5和1.53.2(2)0.6－1.2和0.6－1.5；(3)1.70.2和0.92.1；(4)a1.1和a0.3(a>0，且a≠1)．[解](1)1.52.5,1.53.2可看作函数y＝1.5x的两个函数值，由于底数1.5>1，所以函数y＝1.5x在R上是增函数，因为2.5<3.2，所以1.52.5<1.53.2(2)0.6－1.2,0.6－1.5可看作函数y＝0.6x的两个函数值，因为函数y＝0.6x在R上是减函数，且－1.2>－1.5，所以0.6－1.2<0.6－1.5.(3)由指数函数的性质，得1.70.2>1.70＝1,0.92.1<0.90＝1，所以1.70.2>0.92.1.(4)当a>1时，y＝ax在R上是增函数，故a1.1>a0.3；当0<a<1时，y＝ax在R上是减函数，故a1.1<a0.3.比较幂的大小的方法(1)同底数幂比较大小时构造指数函数，根据其单调性比较．(2)指数相同底数不同时分别画出以两幂底数为底数的指数函数的图象，当x取相同幂指数时可观察出函数值的大小．(3)底数、指数都不相同时，取与其中一底数相同与另一指数相同的幂与两数比较，或借助“1”与两数比较．(4)当底数含参数时，要按底数a>1和0<a<1两种情况分类讨论．[跟踪训练3](1)已知a＝2，b＝4，c＝25，则()A．b<a<c B．a<b<cC．b<c<a D．c<a<b(2)设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，cA．a<b<c B．a<c<bC．b<a<c D．b<c<a答案(1)A(2)C解析(1)因为a＝2，b＝4＝2，由函数y＝2x在R上为增函数，知b<a.又因为a＝2＝4，c＝25＝5，由函数y＝x在(0，＋∞)上单调递增，知a<c.综上可得b<a<c.故选A．(2)因为函数y＝0.6x在R上单调递减，所以b＝0.61.5<a＝0.60.6<1.又c＝1.50.6>1，所以b<a<c题型四利用指数函数的单调性解不等式例4(1)解不等式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3x－7≤2；(2)已知ax2－3x＋2<a－x＋5(a>0，a≠1)，求x的取值范围．[解](1)∵2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－1，∴原不等式可以转化为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3x－7≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－1.∵函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x在R上是减函数，∴3x－7≥－1，∴x≥2.故原不等式的解集是{x|x≥2}．(2)分情况讨论：①当0<a<1时，函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在R上是减函数，∴x2－3x＋2>－x＋5，∴x2－2x－3>0，根据相应二次函数的图象可得x<－1或x>3；②当a>1时，函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在R上是增函数，∴x2－3x＋2<－x＋5，∴x2－2x－3<0，根据相应二次函数的图象可得－1<x<3.综上所述，当0<a<1时，x<－1或x>3；当a>1时，－1<x<3.解与指数有关的不等式时需注意的问题(1)形如ax>ay的不等式，借助函数y＝ax(a>0，且a≠1)的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0<a<1两种情况讨论；(2)形如ax>b的不等式，注意将b化为以a为底的指数幂的形式，再借助y＝ax(a>0，且a≠1)的单调性求解；(3)形如ax>bx的形式，利用图象求解．[跟踪训练4](1)解不等式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x－4≤3－2x；(2)若a－3x>ax＋4(a>0，且a≠1)，求x的取值范围．解(1)因为3－2x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2x，所以原不等式等价于eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x－4≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2x，又y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x是R上的减函数，所以x－4≥2x，所以x≤－4.因此原不等式的解集是{x|x≤－4}．(2)①当0<a<1时，由y＝ax在R上单调递减得－3x<x＋4，即－4x<4.解得x>－1.②当a>1时，由y＝ax在R上单调递增得－3x>x＋4，即－4x>4.解得x<－1.综上，当0<a<1时，x的取值范围为(－1，＋∞)，当a>1时，x的取值范围为(－∞，－1).题型五指数函数性质的综合应用例5已知函数f(x)＝a－eq\f(1,2x＋1)(x∈R)．(1)用定义证明：不论a为何实数，f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数；(2)若f(x)为奇函数，求a的值；(3)在(2)的条件下，求f(x)在区间[1,5]上的最小值．[解](1)证明：∵f(x)的定义域为R，任取x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝a－eq\f(1,2x1＋1)－a＋eq\f(1,2x2＋1)＝eq\f(2x1－2x2,2x1＋12x2＋1).∵x1<x2，∴2x1－2x2<0，(2x1＋1)(2x2＋1)>0.∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)．∴不论a为何实数，f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数．(2)∵f(x)在x∈R上为奇函数，∴f(0)＝0，即a－eq\f(1,20＋1)＝0，解得a＝eq\f(1,2).(3)由(2)知，f(x)＝eq\f(1,2)－eq\f(1,2x＋1)，由(1)知，f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数，∴f(x)在区间[1,5]上的最小值为f(1)．∵f(1)＝eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＝eq\f(1,6)，∴f(x)在区间[1,5]上的最小值为eq\f(1,6).指数函数的综合问题，主要涉及单调性、奇偶性、最值问题，应在有关性质的基础上，结合指数函数的性质进行解决，而指数函数性质的重点是单调性，注意利用单调性实现问题的转化．[跟踪训练5]已知函数f(x)＝eq\f(1－2x,1＋2x)(x∈R)．(1)判断并证明函数的奇偶性；(2)求函数f(x)的值域．解(1)函数为R上的奇函数，证明如下：由已知函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，又f(－x)＝eq\f(1－2－x,1＋2－x)＝eq\f(2x－1,2x＋1)＝－f(x)．所以函数f(x)为R上的奇函数．(2)因为f(x)＝eq\f(1－2x,1＋2x)＝－1＋eq\f(2,1＋2x)，2x>0，所以1＋2x>1.故eq\f(2,1＋2x)∈(0,2)．从而f(x)＝－1＋eq\f(2,1＋2x)∈(－1,1)．所以函数f(x)的值域为(－1,1)．1．函数y＝3－x的图象是()答案B解析∵y＝3－x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x，∴B正确．2．若2x＋1<1，则x的取值范围是()A．(－1,1) B．(－1，＋∞)C．(0,1)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)答案D解析∵2x＋1<1＝20，且y＝2x是R上的增函数，∴x＋1<0.∴x<－1.3．函数y＝eq\r(1－3x)的定义域是________.答案(－∞，0]解析要使函数式有意义，则1－3x≥0，即3x≤1＝30，因为函数y＝3x在R上是增函数，所以x≤0.故函数y＝eq\r(1－3x)的定义域为(－∞，0]．4．若函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x，x<0，,－2－x，x>0，))则函数f(x)的值域是________.答案(－1,0)∪(0,1)解析由x<0，得0<2x<1；由x>0，∴－x<0,0<2－x<1，∴－1<－2－x<0.∴函数f(x)的值域为(－1，0)∪(0,1)．5．已知函数y＝a2x＋2ax－1(a>0，且a≠1)，当x≥0时，求函数f(x)的值域．解y＝a2x＋2ax－1，令t＝ax，则y＝g(t)＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2.当a>1时，∵x≥0，∴t≥1，∵g(t)在[1，＋∞)上单调递增，g(1)＝2，∴当a>1时，y≥2.当0<a<1时，∵x≥0，∴0<t≤1.∵g(t)在(0,1]上单调递增，g(0)＝－1，g(1)＝2，∴当0<a<1时，－1<y≤2.综上所述，当a>1时，函数的值域是[2，＋∞)；当0<a<1时，函数的值域是(－1,2]．一、选择题1．当a>0，且a≠1时，函数f(x)＝ax＋1－1的图象一定过点()A．(0,1) B．(0，－1)C．(－1,0) D．(1,0)答案C解析∵f(－1)＝a－1＋1－1＝a0－1＝0，∴函数图象必过点(－1,0)．2．函数f(x)＝ax与g(x)＝－x＋a的图象大致是()答案A解析∵g(x)＝－x＋a的斜率为－1，排除C，D；观察A，B可知函数f(x)＝ax单调递增，∴a>1，当x＝0时，g(0)＝a>1，此时两函数的图象大致为A项．3．设a＝40.9，b＝80.48，c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－1.5，则()A．c>a>b B．b>a>cC．a>b>c D．a>c>b答案D解析a＝40.9＝21.8，b＝80.48＝21.44，c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－1.5＝21.5，因为函数y＝2x在R上是增函数，且1.8>1.5>1.44，所以21.8>21.5>21.44，即a>c>b.4．若函数f(x)＝3(2a－1)x＋3在R上是减函数，则实数aA．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))∪(1，＋∞) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))答案A解析由于底数3∈(1，＋∞)，所以函数f(x)＝3(2a－1)x＋3的单调性与函数y＝(2a－1)x＋3的单调性相同．因为函数f(x)＝3(2a－1)x＋3在R上是减函数，所以y＝(2a－1)x＋3在R上是减函数，所以2a－1<0，即a<eq\f(1,2)，从而实数a的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)))，故选A．5．(多选)若函数y＝ax在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则下列关于函数f(x)＝2ax－1在[0,1]上的说法正确的是()A．f(x)＝4x－1B．函数f(x)在[0,1]上单调递增C．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝0D．函数f(x)在[0,1]上的最大值是3答案ABD解析函数y＝ax在[0,1]上是单调的，最大值与最小值都在端点处取到，故有a0＋a1＝3，解得a＝2，因此函数f(x)＝2ax－1＝4x－1在[0,1]上是单调递增函数，故x＝1时，f(x)max＝3，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝4×eq\f(1,2)－1＝1.故选ABD.二、填空题6．已知函数f(x)＝a－x(a＞0，且a≠1)满足f(－2)＞f(－3)，则函数g(x)＝a1－x2的单调增区间是________.答案[0，＋∞)解析∵f(－2)＞f(－3)，∴a2＞a3，∴0＜a＜1.令t＝1－x2，则y＝at.∵y＝at是减函数，t＝1－x2的减区间是[0，＋∞)，∴g(x)＝a1－x2的增区间是[0，＋∞)．7．若函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x，x≥0，,x＋a，x<0))是R上的增函数，则a的取值范围是________.答案a≤1解析因为函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x，x≥0，,x＋a，x<0))在R上是增函数，所以当x＝0时，有0＋a≤20，所以a≤1.8．函数y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－1－2x≤1，,31－x－2x>1))的值域是________.答案(－2，－1]解析当x≤1时，y＝3x－1－2单调递增，值域为(－2，－1]；当x>1时，y＝31－x－2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x－1－2单调递减，值域为(－2，－1)．综上函数值域为(－2，－1]．三、解答题9．已知f(x)＝9x－2×3x＋4，x∈[－1,2]．(1)设t＝3x，x∈[－1,2]，求t的最大值与最小值；(2)求f(x)的最大值与最小值．解(1)设t＝3x，x∈[－1,2]，则函数t＝3x在[－1,2]上单调递增，故有eq\f(1,3)≤t≤9，故t的最大值为9，t的最小值为eq\f(1,3).(2)由f(x)＝9x－2×3x＋4＝t2－2t＋4＝(t－1)2＋3，可得此二次函数的对称轴为t＝1，且eq\f(1,3)≤t≤9，故当t＝1时，函数f(x)取最小值3，当t＝9时，函数f(x)取最大值67.10．求下列函数的单调区间：(1)y＝a－x2＋3x＋2(a>1)；(2)y＝2|x－1|.解(1)设u＝－x2＋3x＋2＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))2＋eq\f(17,4)，易知u在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(3,2)))上单调递增，在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞))上单调递减，∴a>1时，y＝a－x2＋3x＋2在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(3,2)))上单调递增，在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞))上单调递减．(2)当x∈(1，＋∞)时，函数y＝2x－1，∵t＝x－1为增函数，y＝2t为增函数，∴y＝2x－1为增函数；当x∈(－∞，1)时，函数y＝21－x，∵t＝1－x为减函数，y＝2t为增函数，∴y＝21－x为减函数．故函数y＝2|x－1|在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．1．函数y＝a－|x|(0<a<1)的图象是()答案A解析y＝a－|x|＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))|x|，易知函数为偶函数，∵0<a<1，∴eq\f(1,a)>1.故当x>0时，函数单调递增，当x<0时，函数单调递减，当x＝0时，函数有最小值，最小值为1.故选A．2．已知函数f(x)＝3x－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x，则f(x)()A．是奇函数，且在R上是增函数B．是偶函数，且在R上是增函数C．是奇函数，且在R上是减函数D．是偶函数，且在R上是减函数答案A解析因为f(x)＝3x－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x，且定义域为R，所以f(－x)＝3－x－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))－x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x－3x＝－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3x－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x))＝－f(x)，即函数f(x)是奇函数．又y＝3x在R上是增函数，y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x在R上是减函数，所以f(x)＝3x－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x在R上是增函数．3．设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－b，x<1，,2x，x≥1.))若feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,6)))))＝4，则b＝________.答案eq\f(1,2)解析feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,6)))))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3×\f(5,6)－b))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)－b)).当eq\f(5,2)－b<1，即b>eq\f(3,2)时，3×eq\