高考物理一轮复习讲义 第五章　微点突破2　天体的追及相遇问题　双星与多星模型

天体的追及相遇问题双星与多星模型目标要求1.会分析天体的追及相遇问题。2.掌握双星、多星模型，会解决相关问题。考点一天体的追及相遇问题例1如图所示，当火星、地球和太阳位于同一直线上，且火星与地球的距离达到最近时，称为“火星冲日”。地球、火星绕太阳的运动均可看成匀速圆周运动，已知地球公转半径为R，公转周期为T，连续两次出现“火星冲日”现象的时间间隔为t。下列说法正确的是()A.火星绕日运动的周期为tTB.火星绕日运动的周期为tTC.火星绕日运动的半径为R3D.火星绕日运动的半径为R3答案D解析由几何关系得2πTt-2πT解得T火=tTt-T，A由开普勒第三定律得R3T解得R火=R3(tt-T例2(2025·四川卷·6)某人造地球卫星运行轨道与赤道共面，绕行方向与地球自转方向相同。该卫星持续发射信号，位于赤道的某观测站接收到的信号强度随时间变化的规律如图所示，T为地球自转周期。已知该卫星的运动可视为匀速圆周运动，地球质量为M，引力常量为G。则该卫星轨道半径为()A.3GMT2C.3GMT2答案A解析设卫星转动的周期为T'，根据题意可得，每隔T2卫星转过的圈数比地球自转多1圈，即tT'-tT=1，其中t=T2，可得T'=T3，根据万有引力提供向心力GMmr2=m4π2T'2r，可得r=天体“追及”问题的处理方法1.相距最近：两同心转动的卫星(rA<rB)同向转动时，位于同一直径上且在圆心的同侧时，相距最近。从相距最近到再次相距最近，两卫星的运动关系满足：(ωA-ωB)t=2π或tTA-t2.相距最远：两同心转动的卫星(rA<rB)同向转动时，位于同一直径上且在圆心的异侧时，相距最远。从相距最近到第一次相距最远，两卫星的运动关系满足：(ωA-ωB)t'=π或t'TA-t3.若两同心转动的卫星初始位置不在同一直径上时，找两卫星的运动关系时需注意初始时刻两卫星与地心连线之间的夹角。考点二双星或多星模型1.双星模型(1)绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统。如图所示。(2)特点①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即Gm1m2L2=m1ω12r1，②两星的周期、角速度相同，即T1=T2，ω1=ω2。③两星的轨道半径与它们之间的距离的关系为r1+r2=L。(1)若两星运行的线速度大小分别为v1、v2，加速度大小分别为a1、a2，质量分别为m1、m2，则v、a与轨道半径r、两星质量的关系怎样？答案由v=ωr，m1ω2r1=m2ω2r2，得v1v2=r1r2=m2m1，由a=ω2r及m1ω2r1=m2ω2(2)两星之间的距离L、周期T与总质量(m1+m2)的关系怎样？答案由Gm1m2L2=m14π2T2r1=m24π2T2r2及r1+r2=例3天体观测法是发现潜在黑洞的一种重要方法，我国研究人员通过对双星系统G3425中的红巨星进行天体观测，发现了一个恒星质量级的低质量黑洞。假设一个双星系统中的两颗恒星a、b绕O点做圆周运动，在双星系统外、与双星系统在同一平面上一点A观测双星的运动，得到a、b的中心到O、A连线的距离x与观测时间的关系图像如图所示，引力常量为G，下列说法正确的是()A.a、b的线速度之比为3∶4B.a的角速度大于b的角速度C.a的质量为147D.b的质量为196答案C解析双星系统中，两颗星体的角速度相同，周期相同，B错误。由题图可知，a、b的中心和O、A连线的距离从零到最远所用时间为四分之一个周期，可知该双星系统的周期为2t0，a的中心与O、A连线的最大距离为4x0，b的中心与O、A连线的最大距离为3x0，可得ra∶rb=4∶3，由线速度v=ωr，可知a、b的线速度之比为va∶vb=4∶3，A错误。由题意可知maω2ra=mbω2rb，可得ma∶mb=3∶4，对b由万有引力提供向心力可知mb4π2T2rb=GmambL2，L=ra+rb，解得ma=147π2.多星模型所研究星体所受万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同。常见的多星模型及其规律：常见的三星模型①Gm2(2R)②Gm2L2×cos30°常见的四星模型①Gm2L2×cos45°×2+②Gm2L2×cos30°×2+例4(2024·重庆卷·7)在万有引力作用下，太空中的某三个天体可以做相对位置不变的圆周运动，假设a、b两个天体的质量均为M，相距为2r，其连线的中点为O，另一天体(图中未画出)质量为m(m≪M)，若c处于a、b连线的垂直平分线上某特殊位置，a、b、c可视为绕O点做角速度相同的匀速圆周运动，且相对位置不变，忽略其他天体的影响，引力常量是G，则()A.c的线速度大小为a的3倍B.c的向心加速度大小为b的一半C.c在一个周期内的路程为2πrD.c的角速度大小为GM答案A解析a、b、c三个天体角速度相同，由于m≪M，则对a天体有GMM(2r)2=Mω2r，解得ω=GM4r3，故D错误；设c与a、b的连线与a、b连线中垂线的夹角为α，对c天体有2GMm(rsinα)2cosα=mω2rtanα，解得α=30°，则c的轨道半径为rc=rtan30°=3r，由v=ωr可知c的线速度大小为a的3倍，故A正确；由a=ω2r可知c的向心加速度大小是b的31.如图所示，同一轨道平面上有两颗绕地球做匀速圆周运动的卫星P和Q，其中卫星P是地球同步卫星，卫星Q的周期是地球自转周期的一半，已知地球表面的重力加速度为g，地球的半径为R，自转周期为T，引力常量为G。则()A.卫星P和Q的轨道半径之比为2∶1B.卫星Q一定始终在赤道上方C.地球的质量为M=GD.P和Q从相距最近到相距最远经历的最短时间为12答案D解析万有引力提供向心力，有GMmr2=m得r=3GMT24π2，P、Q的周期之比为2∶1，可得轨道半径之比为地球同步轨道与赤道平面可以有夹角，当夹角为零时，该同步轨道又称为地球静止轨道，所以地球同步卫星不一定在赤道平面内，卫星P、Q所在轨道平面不一定是赤道平面，故B错误。不考虑地球自转的影响，对地球表面的物体有GMm1R2=m1g，可得地球的质量为M=设P、Q从相距最近到最远至少经过Δt，有ωQΔt-ωPΔt=π即2π12TΔt-2πTΔt=π，解得Δt=2.太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动。当地球恰好运行到某地外行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，称为“行星冲日”。已知地球及各地外行星绕太阳运动的轨道半径如表所示。根据表中信息，可以判断()地球火星木星土星天王星海王星轨道半径R/AU1.01.55.29.51930A.火星相邻两次冲日的时间间隔大于两年B.某些地外行星一年中可能会出现两次冲日现象C.天王星相邻两次冲日的时间间隔约为土星的一半D.地外行星中，海王星相邻两次冲日的时间间隔最长答案A解析根据开普勒第三定律有R行3T行2=R地3T地2，解得行星的公转周期为T行=T地R行3R地3，根据表格中数据计算出火星、木星、土星、天王星、海王星的周期分别为T火=1.53年≈1.84年，T木=5.23年≈11.86年，T土=9.53年≈29.28年，T天=193年≈82.82年，T海=303年≈164.32年，设相邻两次冲日的时间间隔为t，则有2πT地t-2πT行t=2π，解得t=T行T地T行-T地，计算出火星、木星、土星、天王星、海王星相邻两次冲日的时间间隔分别为t火≈2.19年，t木≈1.09年，t土≈1.04年，t天≈1.01年，t海≈13.(多选)(2024·浙江宁波市期中)太空中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可以忽略其他星体对它们的引力作用。已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式(如图所示)：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行。设这三颗星的质量均为M，并设两种系统的运动周期相同，引力常量为G，则()A.直线三星系统中甲星和丙星的线速度相同B.直线三星系统的运动周期T=4πRRC.三角形三星系统中星体间的距