河南青桐鸣联考2026-2027学年高三上学期开学学情调研 数学（含答案）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在A.a=b=cB.c<C.a<b<cA.πc.2π由图估计该商场月销售额的方差为A.165B.1556.若函数的最大值为e,则实数α的值为A.0B.1则直线l与这四个圆的公共点个数的最大值为A.5B.6C.78.记集合U={(点随机取一个点，定义随机变量X如下：对任意Ω内的点A(m,n),X(A)=m+2n,则X的数学期望为9.设函数f(x)=x³(lnx-1),,则A.f(x)有且仅有2个零点B.f(x),有且仅有1个极值点D.f(x)在区间(0,1)上单调递减10.已知平面向量a,b满足al=|5=2a·b=0.t∈(0,1),m=(1-tc.m,n的夹角为钝角D.m·n的最大值为211.某厂在直线导轨上等距加工一列安装孔，测距模块与各孔中心共线，各孔均位于模块同侧，并按到模块的距离由小到大编号，且孔数足够多.三点倍率标定时，需依次选择三个孔，使它们到模块的距离构成递增的等比数列.现场配有边长为L、对角线长为D的正方形检具(检具用于检测单个零件，如冲压件，塑料件的型面、轮廓、孔位等).则A.后两个标定孔的中心距大于前两个标定孔的中心距B.第1孔到模块的距离为2L、孔距为L时，可选第1,3,7孔C.第1孔到模块的距离为L+D、孔距为D时，可以完成标定D.若有两个孔到模块的距离分别为L,D,则该孔列无法完成标定三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.14.设A为单位圆上在第一象限内的一点，其纵坐标为a,记单位圆与X轴正半轴的交点为P,将劣弧PA七等分，以从P起(不包括点P)逆时针第六个分点B为一个顶点，作单位圆的内接正十四边形，且该正十四边形存在两个纵坐标相同的顶点.则a的可能取值的个数为,其14个顶点纵坐标的不同值的个数最少为四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为棱BB1的中点.(1)求直线A₁C与D₁E所成角的余弦值；(2)当AB=2时，求异面直线AC与D₁E间的距离.16.(15分)某云计算平台为任务提供两台候选节点，其可用算力分别为A和2A,其中A∈{1,2,4,8},且A取各值的概率与成正比.平台从两台候选节点中等可能地随机选择其中一台，并显示其算力X.17.(15分)(1)求{a}的通项公式.(2)记,设函数f(x)=1+bx+b₂x²+…+b,x18.(17分).将△PBQ绕点B旋转得到△MBN,其中点P,Q旋转(2)证明：旋转过程中，AM²-CN²(3)求旋转过程中，|AM-CN|的最大值与最小值.19.(17分)在平面直角坐标系中，0为坐标原点，A(1,0),上顶点到直线AB的距离相等.,且椭圆的右顶点与(2)若P为E内一点，且0,A,P三点不共线.(i)证明：过点A的椭圆的弦的中点所形成的轨迹与过点P的椭圆的弦的中点所形成的轨迹除0外有且仅有一个公共点，且该点在直线AP上；(ii)若分别过A,B,P的椭圆的弦的中点所形成的轨迹两两相交于0及另一个点，且除0外所得的三个点互不相同且共线，求点P的轨迹方程.1.A【解析】因为b=log9=log₂23²=log₂3=a,c=log₈27=log₂₃3³=log₂3=a,2.B【解析】圆锥的母线长为l=√1²+1²=√2,10+75×0.01×10=50,所以估计该商场月销售额的方差为s²=(35-50)²×0.2+(45-50)²×0.4+(55-50)²×0.2+(65—50)²×0.1+(75-50)²×0.1=145.故选D.当x∈(e¹-,+∞)时，f'(x)<0,f(x)单调递减，可得f(x)在x=e¹-“处取l的方程为x=t(1<t<√2)时，n=6,考虑证明n≥7不合题意.注意到圆与直线最多有两个公共点，故当n≥7时，直线必与其中三个圆有两个公共点，且与另外一个圆有至少一个不同的公共点，若存在这样的直,此时b²-4kb+4k²<2(k²+1),b²+4kb+4k²<2(k²+1),两式相加得2b²+4k²<4,即,而b²-4b+4<2(k²+1)<4-b²,解得b∈(0,2),于nm0123450013451235672456789367894895逐列累加后相加，由等差数列性质知和s=3×(4+6+5+7+6+8+7+9+8+9.BD【解析】函数f(x)=x³(Inx-1)的定义域为解得x=e,所以f(x)有且仅有1个零点，故A错误；f'(x)=3x²(lnx-1)+x²=x²(3ln以m·n的最大值为2,故D正确.故选BD.11.ABD【解析】设第n个孔到模块的距离为rn=a+(n-1)d,其中j<k,令p=j-i,q=k—j,若其距离构成递增的等比数列，则(r;+pd)²=r;[r;+(p+q)d],整理得p²d=r;(q一p).因为r;>0,d>0,所以q>p,从而后两个标定孔的中心距qd大于前两个标定孔的中心距pd,A正确；同为有理数.当第1孔到模块的距离为2L,孔距为L时，第1,3,7孔到模块的距离依次为2L,4L,8L,构成递增的等比数列，所以可选第1,3,7孔，B正确；正方形的对角线长D=√2L,当因此该孔列不能选出三个孔完成标定，C错误；若有两个孔到模块的距离分别为L,D,则存在正整数m,使故选ABD.2a+cos2β=2—2sin²a—2sin²β=2—10sin²β∈13.2【解析】因为p>0,所以双曲线的焦点,抛物线y²=2px1>0,所以p=2.14.5,7【解析】设∠POA=θ,则,且.正十四边形相邻两顶点所对的圆心角,其相邻两条对称轴的夹角为.单位圆上两个不同点的纵坐标相同，当且仅当这两个点关于y轴对称，故题设条件等价于y轴为该正十四边形的一条对称轴.因.又(n=1,2,3,4,5)互不相同，故a的可能取值的个数为5.再考察14个顶点的纵坐标，当n为奇数时，顶点的圆心角可写,k∈Z,可取整数k使n+2k=7,故y轴经过两个相对顶点，其余12个顶点关于y轴两两对称，纵坐标共有个不同的值.当n为偶数时，不存在整数k使n+2k=7,故y轴不经过同的两对顶点不可能具有相同的纵坐标，因此此时纵坐标恰有7个不同值.所以14个顶点纵坐标的不同值 个数最少为7. 记直线A₁C与D₁E所成的角为θ,则(2)记n=(x,y,z)为A₁C与D₁E公垂线段的方向向量，即可取n=(3,1,4),记直线A₁C与D₁E间的距离为d,则(4分)(6分)(9分)(10分)(13分)(2分)(3分)(2分)(3分)(4分)(5分)(6分)(7分)(2)X(2)X的所有可能取值为1,2,4,8,16,给定A后，两台候选节点被随机分配的概率均为(9分)(10分)(11分)(12分)(13分)(15分)(4分)(5分)(8分)(10分)(10分)(13分)(15分)所以g(x)在(0,十∞)上单调递减.(13分)(15分)(4分)所以AC=7.(4分)(7分)(8分)(9分)(10分)(13分)所以|AM-CN|的最大值为3,最小值为1.(17分)19.解：(1)由题意得直线AB的方程为x+2y-1=0,椭圆的右顶点(a,0)、上顶点(0,b)到直线AB的距离相等，且a>b>1,,得a=2b.(2分)设椭圆的半焦距为c,则c²=a²—b²=3b²,故(4分)设P(p,q),由O,A,P不共线，得q≠0.设两条中点轨迹的一个公共点为T(x,y),过A的相应弦的两个因为T为弦的中点且两端点均在椭圆上，得x(x₁—x₂)+4y(y₁-y₂)=0.又A,T及弦的两个端点共线，故存在实数s,使1-x=s(x₁-x₂),-y=s(y₁-y₂),从而x(1-x)一①②两式相减，得(p—1)x+4qy=0,代入x²+4y²—x=0,得x{[(p-1)²+4q²]x-4q²}=0.(7分)外至多有一个公共点，又A,P均在椭圆内部，直线AP与椭圆相交所得弦的中点同时属于这两条中点轨迹，且O,A,P不共线，所以该中点不与原点重合.因此，两条中点轨迹除原点外有且仅有一个公共点，且该(ii)记过A,B,P的弦的中点轨迹两两除原点外的公共点分别为C,H,K,其中C为过A,B的弦的中点轨由(2)(i)知，过A,B,P的弦的中点的轨迹方程分别为E₁:x²+4y²—x=0,E₂:x²+4y²-2y=0,E₃:x²+4y²一px-4qy=0.(11分)(13分)又p+2q-1≠0,故p²+4q²-p-2q=0,因此点P的轨迹方程为x²+4y²