3.1 圆的有关概念 2026秋浙教版初中数学九年级上册同步讲义

3.1圆的有关概念内容导航内容导航题型1圆的认识考点演练考点演练题型1圆的认识解｜题｜知｜识（1）圆的定义定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．（2）与圆有关的概念弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等．连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．（3）圆的基本性质：①轴对称性．②中心对称性．【典例1】线段AB＝10cm，在以AB为直径的圆上，到点A的距离为5cm的点有个．【变式1】求证：直径是圆中最长的弦．【变式2】如图，AB是⊙O的直径，把AB分成几条相等的线段，以每条线段为直径分别画小圆，设AB＝a，那么⊙O的周长L＝πa．（1）计算：①把AB分成两条相等的线段，每个小圆的周长；②把AB分成三条相等的线段，每个小圆的周长L3＝；③把AB分成四条相等的线段，每个小圆的周长L4＝；…④把AB分成n条相等的线段，每个小圆的周长Ln＝；（2）请仿照上面的探索方法和步骤，计算并导出：当把大圆直径平均分成n等分时，以每条线段为直径画小圆，那么每个小圆的面积Sn与大圆的面积S的关系是：Sn＝S．【变式3】如图，AB是半圆O的直径，D是半圆上的一点，∠DOB＝75°，DC交BA的延长线于E，交半圆于点C，且CE＝AO，求∠E的度数．过关验收过关验收1．已知AB是半径为4的圆内的一条弦，则AB的长不可能是（）A．6 B．7 C．8 D．92．下列说法正确的是（）A．过圆心的直线是圆的直径 B．直径是弦，弦是直径 C．半圆是轴对称图形 D．长度相等的两条弧是等弧3．如图，点A、B、C是⊙O上不重合的三点，则下列结论一定正确的是（）A．∠AOB＝∠A+∠B B．∠AOB＝2（∠A+∠B） C．∠AOB＝90°﹣（∠A+∠B） D．∠AOB＝180°﹣2（∠A+∠B）4．下列说法正确的是（）A．弦是直径 B．弧是半圆 C．直径是圆中最长的弦 D．半圆是圆中最长的弧5．已知⊙O的半径是8cm，则⊙O中最长弦长是（）A．6cm B．12cm C．16cm D．20cm6．如图中的数轴可以度量的直径，则圆形图片的直径是（）A．5﹣1 B．5﹣（﹣1） C．﹣5﹣1 D．﹣5﹣（﹣1）7．已知⊙O的半径是2cm，则⊙O中最长的弦长是（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm8．如图，⊙O的直径AB与弦CD的延长线交于点E，若DE＝OB，∠AOC＝84°，则∠E等于（）A．42° B．28° C．21° D．20°9．已知⊙O中最长的弦为6cm，则⊙O的半径为（）cm．A．2 B．3 C．6 D．1210．下列说法中，不正确的是（）A．直径是最长的弦 B．同圆中，所有的半径都相等 C．圆既是轴对称图形又是中心对称图形 D．长度相等的弧是等弧11．已知⊙O的半径是3cm，则⊙O中最长的弦长是（）A．3cm B．6cm C．1.5cm D．3cm12．下列说法：（1）长度相等的弧是等弧，（2）相等的圆心角所对的弧相等，（3）劣弧一定比优弧短，（4）直径是圆中最长的弦．其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个13．如图，OA是⊙O的半径，B为OA上一点（且不与点O、A重合），过点B作OA的垂线交⊙O于点C．以OB、BC为边作矩形OBCD，连结BD．若CD＝6，BC＝8，则AB的长为（）A．6 B．5 C．4 D．214．下列说法正确的是（）A．长度相等的弧叫做等弧 B．半圆不是弧 C．过圆心的线段是直径 D．直径是弦15．如图，在⊙O中，AB为直径，CD⊥AB于点C，四边形CDEF是正方形，连接BD，若CO＝3，OF＝1，则BD＝（）A．35 B．45 C．13 16．下列说法正确的是（）A．直径是圆中最长的弦，有4条 B．长度相等的弧是等弧 C．如果⊙A的周长是⊙B周长的4倍，那么⊙A的面积是⊙B面积的8倍 D．已知⊙O的半径为8，A为平面内的一点，且OA＝8，那么点A在⊙O上17．由所有到已知点O的距离大于或等于1，并且小于或等于2的点组成的图形的面积为（）A．π B．2π C．3π D．4π18．如图，从A地到B地有两条路可走，一条路是大半圆，另一条路是4个小半圆．有一天，一只猫和一只老鼠同时从A地到B地．老鼠见猫沿着大半圆行走，它不敢与猫同行（怕被猫吃掉），就沿着4个小半圆行走．假设猫和老鼠行走的速度相同，那么下列结论正确的是（）A．猫先到达B地 B．老鼠先到达B地 C．猫和老鼠同时到达B地 D．无法确定19．如图，在⊙O中，AB是直径，AC是弦，连接OC，若∠ACO＝25°，则∠BOC的度数是（）A．40° B．50° C．55° D．60°20．⊙O中，直径AB＝a，弦CD＝b，则a与b大小为（）A．a＞b B．a≥b C．a＜b D．a≤b21．下列说法正确的有（）①圆中的线段是弦；②直径是圆中最长的弦；③经过圆心的线段是直径；④半径相等的两个圆是等圆；⑤长度相等的两条弧是等弧；⑥弧是半圆，半圆是弧．A．2个 B．3个 C．4个 D．5个22．自行车车轮要做成圆形，实际上是根据圆的特征（）A．圆是轴对称图形 B．直径是圆中最长的弦 C．圆上各点到圆心的距离相等 D．圆是中心对称图形23．下列说法①直径是弦②半圆是弧③弦是直径④弧是半圆，其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个24．如图，四边形PAOB是扇形OMN的内接矩形，顶点P在MN上，且不与M、N重合，当P点在MN上移动时，矩形PAOB的形状，大小随之变化，则AB的长度（）A．不变 B．变小 C．变大 D．不能确定25．把地球和篮球的半径都增加一米，那么地球和篮球的大圆的周长也都增加了，谁增加得多一些呢（）A．地球多 B．篮球多 C．一样多 D．不能确定26．如图，⊙O的半径为1，分别以⊙O的直径AB上的两个四等分点O1，O2为圆心，12A．π B．12π C．14π 27．下列说法正确的个数是（）①垂直于弦的直线平分弦；②平分弦的直线垂直于弦；③圆的对称轴是直径；④圆的对称轴有无数条；⑤在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么这两条弦所对的优弧和劣弧分别相等．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个28．如图，⊙O的半径为4cm，∠AOB＝60°，则弦AB的长为cm．⊙O外一点P到圆周上一点的最长距离为8cm，最短距离为2cm，则⊙O的直径长为cm．30．一个圆内最长的弦长是12cm，则此圆的半径是cm．31．已知⊙O的半径为2cm，则⊙O最长的弦为cm．32．下列说法中正确的有（填序号）．①直径是圆中最大的弦；②长度相等的两条弧一定是等弧；③半径相等的两个圆是等圆；④面积相等的两个圆是等圆．33．已知⊙O中最长的弦为12厘米，则此圆半径为厘米．34．已知⊙O的直径为6cm，且点P在⊙O上，则线段PO＝．35．如图，AB是半径为2的⊙O的弦，点C是⊙O上的一个动点．若点M，N分别是AB，BC中点，则MN长的最大值是．36．如图，点B，E在半圆O上，四边形OABC，四边形ODEF均为矩形．若AB＝3，BC＝4，则DF的长为．答案解析题型1圆的认识【典例1】线段AB＝10cm，在以AB为直径的圆上，到点A的距离为5cm的点有个．【答案】2【解答】解：如图所示：到点A的距离为5cm的点有2个．故答案为：2．【变式1】求证：直径是圆中最长的弦．【答案】见试题解答内容【解答】证明：如图，，∵OA、OC、OB、OD是圆的半径，∴OA＝OB＝OC＝OD．∵AB是圆的直径，∴AB＝OA+OB＝OC+OD．∵OC、OD、CD是三角形的三边，∴OC+OD＞CD．即AB＞CD．【变式2】如图，AB是⊙O的直径，把AB分成几条相等的线段，以每条线段为直径分别画小圆，设AB＝a，那么⊙O的周长L＝πa．（1）计算：①把AB分成两条相等的线段，每个小圆的周长；②把AB分成三条相等的线段，每个小圆的周长L3＝；③把AB分成四条相等的线段，每个小圆的周长L4＝；…④把AB分成n条相等的线段，每个小圆的周长Ln＝；（2）请仿照上面的探索方法和步骤，计算并导出：当把大圆直径平均分成n等分时，以每条线段为直径画小圆，那么每个小圆的面积Sn与大圆的面积S的关系是：Sn＝S．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）根据L＝πd，①把AB分成两条相等的线段，每个小圆的周长L2=12πa②把AB分成三条相等的线段，每个小圆的周长L3=13πa③把AB分成四条相等的线段，每个小圆的周长L4=14πa④把AB分成n条相等的线段，每个小圆的周长Ln=1nπa（2）以a为直径的圆的面积为S1=π(a2把AB分成两条相等的线段，每个小圆的面积S2=π(a4)2把AB分成三条相等的线段，每个小圆的面积S3=π(a6)2把AB分成四条相等的线段，每个小圆的面积S4=π(a8)2把AB分成n条相等的线段，每个小圆的面积Sn=1n2【变式3】如图，AB是半圆O的直径，D是半圆上的一点，∠DOB＝75°，DC交BA的延长线于E，交半圆于点C，且CE＝AO，求∠E的度数．【答案】见试题解答内容【解答】解：连接OC，如图，∵CE＝AO，而OA＝OC，∴OC＝EC，∴∠E＝∠1，∴∠2＝∠E+∠1＝2∠E，∵OC＝OD，∴∠D＝∠2＝2∠E，∵∠BOD＝∠E+∠D，∴∠E+2∠E＝75°，∴∠E＝25°．过关验收过关验收1．已知AB是半径为4的圆内的一条弦，则AB的长不可能是（）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】D【解答】解：由题意知，该圆的直径为8，因为圆中最长的弦为直径，所以AB≤8．观察选项，只有选项D符合题意．故选：D．2．下列说法正确的是（）A．过圆心的直线是圆的直径 B．直径是弦，弦是直径 C．半圆是轴对称图形 D．长度相等的两条弧是等弧【答案】C【解答】解：A．过圆心的弦是圆的直径，所以A选项不符合题意；B．直径是弦，过圆心的弦是直径，所以B选项不符合题意；C．半圆是轴对称图形，所以C选项符合题意；D．在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，所以D选项不符合题意；故选：C．3．如图，点A、B、C是⊙O上不重合的三点，则下列结论一定正确的是（）A．∠AOB＝∠A+∠B B．∠AOB＝2（∠A+∠B） C．∠AOB＝90°﹣（∠A+∠B） D．∠AOB＝180°﹣2（∠A+∠B）【答案】B【解答】解：连接CO并延长交⊙O于D，如图所示：∵OA＝OB＝OC，∴∠A＝∠OCA，∠B＝∠OAB，∴∠AOD＝∠A+∠OCA＝2∠A，∠BOD＝∠B+∠OAB＝2∠B，∴∠AOD+∠BOD＝2（∠A+∠B），即∠AOB＝2（∠A+∠B）．故选：B．4．下列说法正确的是（）A．弦是直径 B．弧是半圆 C．直径是圆中最长的弦 D．半圆是圆中最长的弧【答案】C【解答】解：A、直径是弦，但弦不一定是直径，故错误，不符合题意；B、半圆是弧，但弧不一定是半圆，故错误，不符合题意；C、直径是圆中最长的弦，正确，符合题意；D、半圆是小于优弧而大于劣弧的弧，故错误，不符合题意，故选：C．5．已知⊙O的半径是8cm，则⊙O中最长弦长是（）A．6cm B．12cm C．16cm D．20cm【答案】C【解答】解：∵⊙O的半径是8cm，∴⊙O中最长弦长是16cm．故选：C．6．如图中的数轴可以度量的直径，则圆形图片的直径是（）A．5﹣1 B．5﹣（﹣1） C．﹣5﹣1 D．﹣5﹣（﹣1）【答案】B【解答】解：图片的直径是5﹣（﹣1）＝6，故选：B．7．已知⊙O的半径是2cm，则⊙O中最长的弦长是（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm【答案】D【解答】解：∵⊙O的半径是2cm，∴⊙O中最长的弦长直径＝2×2＝4（cm）．故选：D．8．如图，⊙O的直径AB与弦CD的延长线交于点E，若DE＝OB，∠AOC＝84°，则∠E等于（）A．42° B．28° C．21° D．20°【答案】B【解答】解：连接OD，如图，∵OB＝DE，OB＝OD，∴DO＝DE，∴∠E＝∠DOE，∵∠1＝∠DOE+∠E，∴∠1＝2∠E，而OC＝OD，∴∠C＝∠1，∴∠C＝2∠E，∴∠AOC＝∠C+∠E＝3∠E，∴∠E=13∠AOC故选：B．9．已知⊙O中最长的弦为6cm，则⊙O的半径为（）cm．A．2 B．3 C．6 D．12【答案】B【解答】解：由题意得，⊙O的直径为6cm，∴⊙O的半径为3cm．故选：B．10．下列说法中，不正确的是（）A．直径是最长的弦 B．同圆中，所有的半径都相等 C．圆既是轴对称图形又是中心对称图形 D．长度相等的弧是等弧【答案】D【解答】解：A、直径是最长的弦，说法正确；B、同圆中，所有的半径都相等，说法正确；C、圆既是轴对称图形又是中心对称图形，说法正确；D、长度相等的弧是等弧，说法错误；故选：D．11．已知⊙O的半径是3cm，则⊙O中最长的弦长是（）A．3cm B．6cm C．1.5cm D．3cm【答案】B【解答】解：∵圆的直径为圆中最长的弦，∴⊙O中最长的弦长为2×3＝6（cm）．故选：B．12．下列说法：（1）长度相等的弧是等弧，（2）相等的圆心角所对的弧相等，（3）劣弧一定比优弧短，（4）直径是圆中最长的弦．其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【解答】解：（1）长度相等的弧不一定是等弧，弧的度数必须相同，故错误；（2）同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等，故错误；（3）同圆或等圆中劣弧一定比优弧短，故错误；（4）直径是圆中最长的弦，正确，正确的只有1个，故选：A．13．如图，OA是⊙O的半径，B为OA上一点（且不与点O、A重合），过点B作OA的垂线交⊙O于点C．以OB、BC为边作矩形OBCD，连结BD．若CD＝6，BC＝8，则AB的长为（）A．6 B．5 C．4 D．2【答案】C【解答】解：如图，连接OC．∵四边形OBCD是矩形，∴∠OBC＝90°，OB＝CD＝6，∴OC＝OA=B∴AB＝OA﹣OB＝4，故选：C．14．下列说法正确的是（）A．长度相等的弧叫做等弧 B．半圆不是弧 C．过圆心的线段是直径 D．直径是弦【答案】D【解答】解：A、长度相等的弧不一定是等弧，故错误，不符合题意；B、半圆是弧，故错误，不符合题意；C、过圆心的弦是直径，故错误，不符合题意；D、直径是弦，正确，符合题意，故选：D．15．如图，在⊙O中，AB为直径，CD⊥AB于点C，四边形CDEF是正方形，连接BD，若CO＝3，OF＝1，则BD＝（）A．35 B．45 C．13 【答案】B【解答】解：连接DO.∵CO＝3，OF＝1，∴CF＝4，∵四边形CDEF是正方形，∴∠DCO＝90°，CD＝CF＝4，∴OD=C∴OB＝OD＝5，∴CB＝CO+OB＝8，∴BD=CD2故选：B．16．下列说法正确的是（）A．直径是圆中最长的弦，有4条 B．长度相等的弧是等弧 C．如果⊙A的周长是⊙B周长的4倍，那么⊙A的面积是⊙B面积的8倍 D．已知⊙O的半径为8，A为平面内的一点，且OA＝8，那么点A在⊙O上【答案】D【解答】解：A、直径是圆中最长的弦，有无数条，故该选项不符合题意；B、在同圆或等圆中长度相等的弧是等弧，故该选项不符合题意；C、如果⊙A的周长是⊙B周长的4倍，那么⊙A的面积是⊙B面积的16倍，故该选项不符合题意；D、已知⊙O的半径为8，A为平面内的一点，且OA＝8，那么点A在⊙O上，故该选项符合题意．故选：D．17．由所有到已知点O的距离大于或等于1，并且小于或等于2的点组成的图形的面积为（）A．π B．2π C．3π D．4π【答案】C【解答】解：由所有到已知点O的距离大于或等于1，并且小于或等于2的点组成的图形的面积为以2为半径的圆与以1为半径的圆组成的圆环的面积，即π×22﹣π×12＝3π，故选：C．18．如图，从A地到B地有两条路可走，一条路是大半圆，另一条路是4个小半圆．有一天，一只猫和一只老鼠同时从A地到B地．老鼠见猫沿着大半圆行走，它不敢与猫同行（怕被猫吃掉），就沿着4个小半圆行走．假设猫和老鼠行走的速度相同，那么下列结论正确的是（）A．猫先到达B地 B．老鼠先到达B地 C．猫和老鼠同时到达B地 D．无法确定【答案】C【解答】解：以AB为直径的半圆的长是：12π•AB设四个小半圆的直径分别是a，b，c，d，则a+b+c+d＝AB．则老鼠行走的路径长是：12πa+12πb+12πc+12πd=12π（a+b故猫和老鼠行走的路径长相同．故选：C．19．如图，在⊙O中，AB是直径，AC是弦，连接OC，若∠ACO＝25°，则∠BOC的度数是（）A．40° B．50° C．55° D．60°【答案】B【解答】解：∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO＝25°，∴∠BOC＝∠A+∠ACO＝25°+25°＝50°．故选：B．20．⊙O中，直径AB＝a，弦CD＝b，则a与b大小为（）A．a＞b B．a≥b C．a＜b D．a≤b【答案】B【解答】解：直径是圆中最长的弦，因而有a≥b．故选：B．21．下列说法正确的有（）①圆中的线段是弦；②直径是圆中最长的弦；③经过圆心的线段是直径；④半径相等的两个圆是等圆；⑤长度相等的两条弧是等弧；⑥弧是半圆，半圆是弧．A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】A【解答】解：①圆中的线段是弦，错误，不符合题意；②直径是圆中最长的弦，正确，符合题意；③经过圆心的线段是直径，错误，不符合题意；④半径相等的两个圆是等圆，正确，符合题意；⑤长度相等的两条弧是等弧，错误，不符合题意；⑥弧不一定是半圆，但半圆是弧，故原命题错误，不符合题意，正确的有2个，故选：A．22．自行车车轮要做成圆形，实际上是根据圆的特征（）A．圆是轴对称图形 B．直径是圆中最长的弦 C．圆上各点到圆心的距离相等 D．圆是中心对称图形【答案】C【解答】解：车轮做成圆形是为了在行进过程中保持和地面的高度不变，是利用了圆上各点到圆心的距离相等，故选：C．23．下列说法①直径是弦②半圆是弧③弦是直径④弧是半圆，其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【解答】解：①直径是弦，直径是圆内最长的弦，是真命题．②半圆是弧，半圆就是一条弧，是真命题．③弦是直径，只有过圆心的弦才是直径，是假命题．④弧是半圆，只有180°的弧才是半圆，是假命题．故选：B．24．如图，四边形PAOB是扇形OMN的内接矩形，顶点P在MN上，且不与M、N重合，当P点在MN上移动时，矩形PAOB的形状，大小随之变化，则AB的长度（）A．不变 B．变小 C．变大 D．不能确定【答案】A【解答】解：∵四边形PAOB是扇形OMN的内接矩形，∴AB＝OP＝半径，当P点在MN上移动时，半径一定，所以AB长度不变，故选：A．25．把地球和篮球的半径都增加一米，那么地球和篮球的大圆的周长也都增加了，谁增加得多一些呢（）A．地球多 B．篮球多 C．一样多 D．不能确定【答案】C【解答】解：根据圆的周长公式为：2πr，假设地球的半径为R，篮球的半径为r，地球和篮球的半径都增加一米，那么地球和篮球的大圆的周长将变为：2π（R+1）和2π（r+1），即：2π（R+1）＝2πR+2π，2π（r+1）＝2πr+2π，∴周长都增加了：2π．故选：C．26．如图，⊙O的半径为1，分别以⊙O的直径AB上的两个四等分点O1，O2为圆心，12A．π B．12π C．14π 【答案】B【解答】解：π×12×＝π×1×=12答：图中阴影部分的面积为12π故选：B．27．下列说法正确的个数是（）①垂直于弦的直线平分弦；②平分弦的直线垂直于弦；③圆的对称轴是直径；④圆的对称轴有无数条；⑤在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么这两条弦所对的优弧和劣弧分别相等．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【解答】解：①垂直于弦的直径平分弦；故错误；②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦；故错误；③圆的对称轴是直径所在的直线；故错误；④圆的对称轴有无数条；故正确；⑤在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么这两条弦所对的优弧和劣弧分别相等．故正确；故选：B．28．如图，⊙O的半径为4cm，∠AOB＝60°，则弦AB的长为cm．【答案】4【解答】解：∵OA＝OB，而∠AOB＝60°，∴△OAB为等边三角形，∴AB＝OA＝4cm．故答案为4．⊙O外一点P到圆周上一点的最长距离为8cm，最短距离为2cm，则⊙O的直径长为cm．【答案】6．【解答】本题考查了圆的直径，半径，熟练掌握直径是圆的