3.6 正多边形 2026秋浙教版初中数学九年级上册同步讲义

3.6正多边形内容导航内容导航题型1正多边形和圆题型2圆的综合_基本型题型3圆的综合_运动型题型4圆的综合_变换型题型5圆的综合_存在型题型6圆的综合_存在型_特殊三角形题型7圆的综合_存在型_特殊四边形题型8圆的综合_最值型题型9圆的综合_创新型考点演练考点演练题型1正多边形和圆解｜题｜知｜识（1）正多边形与圆的关系把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．（2）正多边形的有关概念①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心．②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径．③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．【典例1】如图，这是一枚2025年发行的正十二边形的纪念币，则该正十二边形的中心角为（）A．30° B．40° C．50° D．60°【变式1】将⊙O的圆周12等分，点A、B、C是等分点，如图，∠ADB的度数可能为（）A．30° B．45° C．60° D．65°【变式2】如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，已知⊙O的周长是12π，则该正六边形的边长是（）A．3 B．33 C．6 D．【变式3】如图是圆形干果盘，四条隔板AB，CD，EF，GH长度相等．横纵隔板互相垂直交于隔板的三等分点，测得AB＝30cm，则该干果盘的半径为（）A．103cm B．102cm C．题型2圆的综合_基本型【典例1】如图，AB是⊙O的弦，过点B作直线EF，以O为顶点作∠AOC＝90°，分别交EF，AB于点C，D，若CB＝CD．（1）试判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由．（2）若⊙O的半径为3，tan∠OAD=13，求【变式1】如图1，AB是⊙O的直径，点D为AB下方⊙O上一点，点C为ABD的中点，连结CD，CA，AD．（1）求证：OC平分∠ACD．（2）如图2，延长AC，DB相交于点E．①求证：OC∥BE．②若CE=45，BD＝6，求⊙O【变式2】如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作MN⊥AC垂足为M，交AB的延长线于点N，过点B作BG⊥MN，垂足为G．（1）求证：直线MN是⊙O的切线；（2）求证：BC2＝4AC•BG；（3）若BN＝OB，⊙O的半径为2，求sin∠ANC的值．【变式3】如图1，四边形ABCD内接于⊙O，AC为直径，∠BDC＝45°，AC，BD交于点E，AB＝2，过点O作GH⊥CD，垂足为G，交BD于点H．（1）求∠DHG＝；⊙O的半径为．（2）当DE＝EH时．①求S△EHO：S△ECB的值．②如图2，延长GH交CB的延长线于点Q，求BQ的值．题型3圆的综合_运动型【典例1】如图1，在⊙O中截掉一个圆心角为60°的扇形，优弧COD与直线AB相切于点C，且OC＝8．（1）求点D到直线AB的距离．（2）如图2，优弧COD上存在一动点M，OM从OC出发按顺时针方向转动，转动速度为每秒30°，转动时间为t秒．当点M运动至点D处时，停止转动．过点M作直线l∥OC，直线l与优弧COD交于另一点N．①当直线l与优弧COD相切时，t的值为．②当t＝2时，求阴影部分面积．【变式1】如图所示，在⊙O的内接△AMN中，∠MAN＝90°，AM＝2AN，作AB⊥MN于点P，交⊙O于另一点B，C是AM上的一个动点（不与A，M重合），射线MC交线段BA的延长线于点D，分别连接AC和BC，BC交MN于点E．（1）求证：△CMA∽△CBD．（2）若MN＝10，MC=NC，求（3）在点C运动过程中，当tan∠MDB=34时，求【变式2】问题情境：如图1，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，利用水的冲力旋转，当转过一定角度，原先浸在水里的竹筒将提升到一定高度，从而使水流入木槽．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动，每旋转一周用时120s．问题设置：如图2，把筒车抽象为一个半径为r的⊙O．筒车涉水宽度AB＝3.6m，筒车涉水深度（劣弧AB中点到水面的距离）是0.6m．筒车开始工作时，⊙O上C处的某盛水筒到水面AB的距离是0.9m，经过85s后，该盛水筒旋转到点D处．问题解决：（1）求该筒车半径r．（2）当盛水筒旋转至D处时，求它到水面AB的距离．【变式3】如图1，在△ABC中AB＝AC＝5，BC＝8，点P在射线BC上运动，⊙O是△ABP的外接圆．（1）如图2，当点O在BC上时，求CP的长．（2）如图3，连接BO并延长，分别交AC，AP于点D，E，交⊙O于点F．①当BO⊥AP时，求⊙O的半径．②连接CF，CP的长为多少时，CF最小，并求出CF的最小值．题型4圆的综合_变换型【典例1】如图1，在直角坐标系中，点O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，点B在y轴正半轴上，OA＝6，∠OBA＝30°，以AB为直径作⊙E，AC平分∠BAO交⊙E于点C，点D在⊙E上且在第一象限，连接CD，BD．（1）求AB的长．（2）求证：AC＝BO．（3）当DC＝DB时，求△BCD的面积．（4）如图2，射线CD交OB于点G，交x轴正半轴于点F，连接AD，作点F关于AD的对称点F′，当点F′落在⊙E上时，求OG的长．【变式1】如图，在△ABO中，以点O为圆心，OA为半径的⊙O与边OB相交于点D，将△ABD沿AD翻折，得△ACD，AC与OB交于点E．（1）证明：CD∥OA；（2）当AC⊥OB时，①证明：AB为⊙O的切线；②若OA＝5，tan∠EAD=12，则BD＝【变式2】已知△ABC，AB＝AC＝10，BC＝16，点P是BC边上一点，连接AP．（1）如图（1）沿线段AP将△APC折叠，点C落在点D处，AD交边BC于点E，①求证：△PED∽△AEB；②若△ABE是等腰三角形，求PE的长．（2）如图（2）若∠APB＝60°，△ABP的外接圆交AC于点F，连接BF交AP于点Q，求AQ的长．【变式3】如图1，△ABC内接于⊙O，将△ABC绕着点C旋转得到△DEC，点D在边BC上，点E恰好落在⊙O上．（1）求证：△BDE∽△BEC；（2）试猜想∠ABC与∠ACB有何关系，并说明理由；（3）如图2，若∠ACB＝45°，AC＝2，则四边形ABEC的面积为．题型5圆的综合_存在型【典例1】如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是BC边的中点，点P在线段AD上，过P作PF⊥AE于F，设PA＝x．（1）求证：△PFA∽△ABE；（2）当点P在线段AD上运动时，设PA＝x，是否存在实数x，使得以点P，F，E为顶点的三角形也与△ABE相似？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由；（3）探究：当以D为圆心，DP为半径的⊙D与线段AE只有一个公共点时，请直接写出x满足的条件：．【变式1】如图，一次函数y＝﹣x+1的图象分别交x轴，y轴于A，B两点，C是线段OB上的动点（与O，B不重合），点D在AB上，∠BCD＝∠ACO，过点D作DE⊥AC，交x轴于点E．（1）求证：BDAD（2）当点E在线段OA上，以A为圆心，以AC为半径画圆，交y轴负半轴于点F，设OF＝m，OE＝n，求n关于m的函数表达式．（3）连接CE，是否存在∠ECO＝∠BAC？如果存在，请求出所有满足条件OC的长；如果不存在，请说明理由．【变式2】如图，直角坐标系中，直线y＝kx+b分别交x，y轴于点A（﹣8，0），B（0，6），C（m，0）是射线AO上一动点，⊙P过B，O，C三点，交直线AB于点D（B，D不重合）．（1）求直线AB的函数表达式．（2）若点D在第一象限，且tan∠ODC=53，求点（3）当△ODC为等腰三角形时，求出所有符合条件的m的值．（4）点P，Q关于OD成轴对称，当点Q恰好落在直线AB上时，直接写出此时BQ的长．【变式3】如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，过点A作⊙O的直径AD，交BC于点H，点F是AH上的一个动点，连结BF并延长交AC于点G，交⊙O于点E，连结CE，CF，已知AD＝5，BC＝4．（1）AH＝，AC＝；（直接写出结果）（2）求证：AC平分∠ECF；（3）当CF⊥BE时，求CE的长；（4）是否存在点F使△CEF是等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的AF的长；若不存在，说明理由．题型6圆的综合_存在型_特殊三角形【典例1】如图，AB是⊙O的直径，AB＝8，点E为弧AC的中点，连结AC，BE交于点D，过点A作AF⊥AB交BE的延长线于点F，AF＝6．（1）求证：AD＝AF；（2）求BD的长；（3）若点P为⊙O上一点，当△AEP为等腰三角形时，直接写出AP的长．【变式1】如图，矩形ABCD中，BC＝8，点F是AB边上一点（不与点B重合），△BCF的外接圆交对角线BD于点E，连结CF交BD于点G．（1）求证：∠ECG＝∠BDC．（2）当AB＝6时，在点F的整个运动过程中，①连结EF，若BF=22时，求CE②当△CGE为等腰三角形时，求所有满足条件的CG的长．直接写出答案CG为．【变式2】以原点为圆心，1cm为半径的圆分别交x、y轴的正半轴于A、B两点，点P的坐标为（2，0）．（1）如图一，动点Q从点B处出发，沿圆周按顺时针方向匀速运动一周，设经过的时间为t秒，当t＝1时，直线PQ恰好与⊙O第一次相切，连接OQ．求此时点Q的运动速度（结果保留）．（2）若点Q按照（1）中的方向和速度继续运动，①当t为何值时，以O、P、Q为顶点的三角形是直角三角形；②在①的条件下，如果直线PQ与⊙O相交，请求出直线PQ被⊙O所截的弦长．题型7圆的综合_存在型_特殊四边形【典例1】已知∠MPN的两边分别与⊙O相切于点A，B，⊙O的半径为r．（1）如图1，点C在点A，B之间的优弧上，∠MPN＝80°，求∠ACB的度数；（2）如图2，点C在圆上运动，当PC最大时，要使四边形APBC为菱形，∠APB的度数应为多少？请说明理由；（3）若PC交⊙O于点D，求第（2）问中对应的阴影部分的周长（用含r的式子表示）．【变式1】已知：以O为圆心的扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C为AB上一动点，射线AC交射线OB于点D，过点D作OD的垂线交射线OC于点E，连接AE．（1）如图1，当四边形AODE为矩形时，求∠ADO的度数；（2）当扇形的半径长为10，且AC＝12时，求线段DE的长；（3）连接BC，试问：在点C运动的过程中，∠BCD的大小是否确定？若是，请求出它的度数；若不是，请说明理由．【变式2】如图，AB为⊙O的直径，点C为AB延长线上一点，动点P从点A出发沿AC方向以lcm/s的速度运动，同时动点Q从点C出发以相同的速度沿CA方向运动，当两点相遇时停止运动，过点P作AB的垂线，分别交⊙O于点M和点N，已知⊙O的半径为lcm，设运动时间为ts．（1）当线段AC＝3cm，t＝1s时，四边形AMQN的形状为；（2）若线段AC＝5cm，①当t为何值时，四边形AMQN为菱形；②当t为何值时，NQ与⊙O相切．题型8圆的综合_最值型【典例1】如图1，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC平分∠BCD，连接BD交AC于点E．（1）求证：△ABC∽△AEB．（2）当AB＝6，AE＝4时，求BC•CD的值．（3）如图2，在（2）的条件下，若AC为直径，点G、F分别在BE、BC上，∠BAG＝∠CAF，且H为GF中点，判断△AHC的面积是否为定值．若不是，求出其最大值，若是，求出其定值．【变式1】如图，AB是⊙O的直径，AB=82，点M为弧AB的中点，正方形OCGD绕点O旋转与△AMB的两边分别交于点E，F（点E，F与点A，B，M均不重合），与⊙O分别交于P，Q（1）求证：△AMB为等腰直角三角形；（2）求证：OE＝OF；（3）连接EF，试探究：在正方形OCGD绕点O旋转的过程中，△EMF的周长是否存在最小值？若存在，求出其最小值；若不存在，请说明理由．【变式2】如图，线段BC为⊙O内一条弦，点A为弦BC上方圆弧上一点，延长BC到D，连接AD交⊙O于点F，过点D作DE⊥AB，交直线AB于点E．（1）如图1，若∠ACF＝20°，AB为直径，求∠ADE的度数．（2）如图2，当DE经过圆心O，求证：CF∥AB．（3）如图3，若⊙O的半径等于2，BD=43，且点C为BD的中点，求DE﹣AC题型9圆的综合_创新型【典例1】我们定义：有一组对角相等的四边形叫做“等对角四边形”．（1）如图1，“等对角四边形”ABCD内接于⊙O，∠A＝60°，则∠B＝．∠C＝°；（2）如图2，“等对角四边形”ABCD内接于⊙O，且CB＝CD，∠ABC＜90°，点E在AD的延长线上，连接AC，BD，CE，∠ACE＝90°，请证明：四边形BCED是“等对角四边形”；（3）如图3，“等对角四边形”ABCD内接于⊙O，且其一个内角为60°，CB＝CD，BC＝2，若∠A+∠B＝150°，请直接写出AB的长．【变式1】【阅读】平面上两点间距离公式是解析几何中重要的公式之一，若P1（x1，y1），P2（x2，y2），则P1P2=(【理解】请用所学知识解决问题：已知⊙O的半径为3．（1）如图1，P（x，y）为圆上任意一点，请求出x，y之间的关系式；（2）如图2，已知Q（a，b），QA为⊙O切线，B（2，﹣1），且QA＝QB，求b与a的函数关系式；【运用】如图3，点P在圆心为C（0，1），半径为1的圆上运动，点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（0，﹣4），请直接写出△PAB面积的最大值．过关验收过关验收1．如图，正六边形ABCDEF的边长为1，将正六边形ABCDEF绕点A旋转得到正六边形AB1C1D1E1F1，连接CB1，DD1．若P，Q分别是CB1，DD1的中点，连接PQ，则旋转过程中PQ的最大值是（）A．1 B．3+12 C．3 2．正三角形的边心距、半径和高的比是（）A．1：2：3 B．1：2：3 C．1：2：3．刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了中国数学发展史上圆周率研究的新纪元．某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正八边形．若⊙O的半径为2，则这个圆内接正八边形的面积为（）A．42 B．82 C．424．如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，则∠ADE＝．5．已知正多边形的一个外角为36°，则此正多边形的边数是．6．已知：如图，四边形ABCD是正方形，O是其中心，以OC为边作一个正六边形，则α的度数是°．7．如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A，B两点，且与BC边交于点E，OD⊥BE，连接AD交BC于点F，若AC＝FC．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若BF＝8，DF=210，求BD（3）若半径为6，∠ADB＝60°，求阴影部分的面积．8．如图1，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是AC上一点，AG，DC的延长线交于点F，作AH⊥DG于点H．（1）求证：∠FGC＝∠AGD；（2）如图2，若GD＝GF，GC平分∠DGF，则S△CGFS△AGH（3）猜想线段DH，HG，CG之间的数量关系，并证明你的结论．9．如图，AB是⊙O的直径，AB＝10，点C，D在⊙O上，连结CD，BD，取CD，BD的中点E，F，连结OE，OF．（1）若CD＝4，求OE的长．（2）若BD∥OC，BD＝6，求CD的长．（3）若∠AOC＝60°，CD＝2k，请用k的代数式表示OF的长．10．在扇形AOB中，半径OA＝6，点P在OA上，连结PB，将△OBP沿PB折叠得到△O′BP．（1）如图1，若∠O＝75°，且BO′与AB所在的圆相切于点B．①求∠APO′的度数．②求AP的长．（2）如图2，BO′与AB相交于点D，若点D为AB的中点，且PD∥OB，求AB的长．11．如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝a°，点D，E分别在AB，BC上，线段DE绕点D顺时针旋转得到DF，其中旋转角∠EDF＝（180﹣2a）°，此时点F恰好落在AC上，过点D，E，F的圆交BC于点G，连结GF．（1）若a＝35，求∠BGF的度数．（2）求证：BE＝GF．（3）如图2，过点F作FH∥AB交BC于点H，写出CH与BE的数量关系并证明你的结论．12．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G为劣弧AD上一动点，AG与CD的延长线交于点F，连接AC、AD、CG、DG．（1）求证：∠AGC＝∠DGF；（2）若AB＝10，CD＝8．①若DF＝5，求CG的长；②若DF=x，S△ACGS△CDG=y（3）在（2）的条件下即AB＝10，CD＝8，DF＝x，求AG•DG的最大值．13．如图1，△ABC内接于⊙O，∠BAC和∠ABC的平分线交于点E，射线AE交⊙O于点D，交BC于点F，连接BD．（1）若∠C＝80°，求∠DBE的度数．（2）若AE＝5，EF＝3，求BD的长．（3）如图2，连接OE，若⊙O的半径为6，弦BC＝63，设OE＝x，AE＝y，求DE的长，并直接写出y与x之间的函数关系式和y的最大值．14．如图1，AB是圆O的直径，弦CD⊥AB于E，且E在OA上，连结BD，将BD绕B逆时针旋转90°，使得D至F，交圆O于G，连结DF，交AO于M，交圆O于N．15．如图1，四边形ABCD内接于⊙O，BD为直径，AD上存在点E，满足AE=CD，连结BE并延长交CD的延长线于点F，BE与AD交于点（1）若∠DBC＝α，请用含α的代数式表示∠AGB；（2）如图2，连结CE，CE＝BG．求证：EF＝DG；（3）如图3，在（2）的条件下，连结CG，AD＝2，求CG的最小值．答案解析题型1正多边形和圆【典例1】如图，这是一枚2025年发行的正十二边形的纪念币，则该正十二边形的中心角为（）A．30° B．40° C．50° D．60°【答案】A【解答】解：该正十二边形的中心角为360°12故选：A．【变式1】将⊙O的圆周12等分，点A、B、C是等分点，如图，∠ADB的度数可能为（）A．30° B．45° C．60° D．65°【答案】D【解答】解：将⊙O的圆周12等分，则每一等分的度数为30°，∵点A、B、C是等分点，∴∠ACB=1又∠ADB是△ADB的一个外角，∴∠ADB＞∠ACB，即∠ADB＞60°，所以，满足条件的是选项D，故选：D．【变式2】如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，已知⊙O的周长是12π，则该正六边形的边长是（）A．3 B．33 C．6 D．【答案】C【解答】解：如图所示：连接OB，OC，∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，∴∠COB=360°∵OB＝OC，∴△OCB是等边三角形，∴BC＝OB＝OC，∵⊙O的周长是12π，∴2πr＝12π，∴r=12π∴OB＝OC＝6，∴BC＝6，故选：C．【变式3】如图是圆形干果盘，四条隔板AB，CD，EF，GH长度相等．横纵隔板互相垂直交于隔板的三等分点，测得AB＝30cm，则该干果盘的半径为（）A．103cm B．102cm C．【答案】C【解答】解：如图，连接OA，过点O作OP⊥AB于点P，则AP＝PB=12AB＝15由题意可知：OP＝5cm，由勾股定理得：OA=AP2+OP故选：C．题型2圆的综合_基本型【典例1】如图，AB是⊙O的弦，过点B作直线EF，以O为顶点作∠AOC＝90°，分别交EF，AB于点C，D，若CB＝CD．（1）试判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由．（2）若⊙O的半径为3，tan∠OAD=13，求【答案】（1）直线EF与⊙O相切，∵OA＝OB，∴∠A＝∠OBA，∵CB＝CD，∴∠CBD＝∠CDB，∵∠ADO＝∠CDB，∴∠CBD＝∠ADO，∵∠AOC＝90°，∴∠A+∠ADO＝90°，∴∠OBD+∠CBD＝90°，∴∠CBO＝90°，∴OB⊥EF，∵OB是⊙O的直径，∴直线EF与⊙O相切；（2）4．【解答】解：（1）直线EF与⊙O相切，理由：∵OA＝OB，∴∠A＝∠OBA，∵CB＝CD，∴∠CBD＝∠CDB，∵∠ADO＝∠CDB，∴∠CBD＝∠ADO，∵∠AOC＝90°，∴∠A+∠ADO＝90°，∴∠OBD+∠CBD＝90°，∴∠CBO＝90°，∴OB⊥EF，∵OB是⊙O的直径，∴直线EF与⊙O相切；（2）∵∠AOC＝90°，tan∠OAD=1∴ODOA∵⊙O的半径为3，∴OA＝3，∴OD＝1，设CB＝CD＝x，∴OC＝x+1，∵∠OBC＝90°，∴CB2+OB2＝OC2，∴x2+32＝（x+1）2，∴x＝4，∴BC＝4．【变式1】如图1，AB是⊙O的直径，点D为AB下方⊙O上一点，点C为ABD的中点，连结CD，CA，AD．（1）求证：OC平分∠ACD．（2）如图2，延长AC，DB相交于点E．①求证：OC∥BE．②若CE=45，BD＝6，求⊙O【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：∵点C为ABD的中点，∴AC=∴AC＝DC，OC⊥AD，∴OC平分∠ACD．（2）①证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴BE⊥AD，∵OC⊥AD，BE⊥AD，∴OC∥BE．②解：如图2，连结BC，则∠ACB＝90°，∵OC＝OA，∴∠OAC＝∠OCA，∵OC∥BE，∴∠OCA＝∠E，∴∠OAC＝∠E，∴EB＝AB，∵BC⊥AE，∴CA＝CE＝45，∴AE＝2CE＝85，设⊙O的半径为r，则EB＝AB＝2r，∵BD＝6，∴DE＝BD+EB＝6+2r，∵AB2﹣BD2＝AE2﹣DE2＝AD2，∴（2r）2﹣62＝（85）2﹣（6+2r）2，整理得r2+3r﹣40＝0，解得r1＝5，r2＝﹣8（不符合题意，舍去），∴⊙O的半径长为5．【变式2】如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作MN⊥AC垂足为M，交AB的延长线于点N，过点B作BG⊥MN，垂足为G．（1）求证：直线MN是⊙O的切线；（2）求证：BC2＝4AC•BG；（3）若BN＝OB，⊙O的半径为2，求sin∠ANC的值．【答案】（1）证明：如图，连接AD，OD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，即AD⊥BC，∵AB＝AC，∴∠BAD＝∠CAD，BD＝CD，∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠BAD，∴∠ODA＝∠CAD，∴OD∥AM，∵MN⊥AM，∴OD⊥MN，∴直线MN是⊙O的切线；（2）证明：由（1）知，∠ADC＝90°，BD＝CD，∴∠ADC＝∠DMC＝90°，∵∠ACD＝∠DCM，∴△CMD∽△CDA，∴CDAC∴CD2＝AC•CM，∴BD2＝AC•CM，在△BGD和△MCD中，∠BGD=∠CMD=90°∠BDG=∠CDM∴△BGD≌△CDM（AAS），∴BG＝CM，∴BD2＝AC•BG；（3）217【解答】（1）证明：如图，连接AD，OD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，即AD⊥BC，∵AB＝AC，∴∠BAD＝∠CAD，BD＝CD，∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠BAD，∴∠ODA＝∠CAD，∴OD∥AM，∵MN⊥AM，∴OD⊥MN，∴直线MN是⊙O的切线；（2）证明：由（1）知，∠ADC＝90°，BD＝CD，∴∠ADC＝∠DMC＝90°，∵∠ACD＝∠DCM，∴△CMD∽△CDA，∴CDAC∴CD2＝AC•CM，∴BD2＝AC•CM，在△BGD和△MCD中，∠BGD=∠CMD=90°∠BDG=∠CDM∴△BGD≌△CDM（AAS），∴BG＝CM，∴BD2＝AC•BG；（3）解：如图，连接OD，OC，由（1）∠ODN＝90°，∵OD＝OB＝BN＝2，∴cos∠DON=OD∴∠DON＝60°，∵AB＝AC，∴△ABC是等边三角形，∵OA＝OB，∴CO⊥AB，OC＝AC•sin60°＝23，∴CN=OC2∴sin∠ANC=OC【变式3】如图1，四边形ABCD内接于⊙O，AC为直径，∠BDC＝45°，AC，BD交于点E，AB＝2，过点O作GH⊥CD，垂足为G，交BD于点H．（1）求∠DHG＝；⊙O的半径为．（2）当DE＝EH时．①求S△EHO：S△ECB的值．②如图2，延长GH交CB的延长线于点Q，求BQ的值．【答案】（1）45°，2；（2）①15②BQ的值为1．【解答】解：（1）∵GH⊥CD，∴∠HGD＝90°，又∠BDC＝45°，∴∠DHG＝90°﹣45°＝45°；∵AC为直径，∴∠ABC＝90°，∠BAC＝∠BDC＝45°，∠ACB＝90°﹣∠BAC＝45°，∴AB＝BC＝2，∴AC=A⊙O的半径为AC2故答案为：45°；2．（2）①连接CH，∵GH⊥CD，且GH经过圆心O，∴DG＝CG，又DE＝EH，∴点O为△CDH的重心，∴S△EHO∴S△EHO∴S△EHO＝S△COH，又∵S△COH＝2S△EHO，∵∠DGH＝∠CGH＝90°，GH＝GH，DG＝CG，∴△DGH≌△CGH（SAS），则∠GCH＝∠BDC＝45°，又∠ACB＝45°，则∠OCG＝∠BCH＝45°﹣∠OCH，∴∠BHC＝∠BDC+∠GCH＝45°+45°＝90°，∴∠OGC＝∠BHC，则△OGC∽△BHC，∴S△BHC∴S△ECB＝S△BHC+S△COH+S△EHO＝2S△OGC+2S△EHO+S△EHO＝5S△EHO，∴S△EHO②∵点O为△CDH的重心，∴OC＝2OE，作OM⊥CH，垂足为M，连接BM，∵OM⊥CH，∠CHD＝90°，∴OM∥EH，∴HMCM由①知，S△BHC∴S△BHC由OM∥EH得，△COM∽△CEH，∴OMEH∴BHEH=OMEH，得结合OM∥EH可知，四边形BMOH为平行四边形，∴BM∥OH，即BM∥QH，∴BQBC∵BC＝2，∴BQ＝1．题型3圆的综合_运动型【典例1】如图1，在⊙O中截掉一个圆心角为60°的扇形，优弧COD与直线AB相切于点C，且OC＝8．（1）求点D到直线AB的距离．（2）如图2，优弧COD上存在一动点M，OM从OC出发按顺时针方向转动，转动速度为每秒30°，转动时间为t秒．当点M运动至点D处时，停止转动．过点M作直线l∥OC，直线l与优弧COD交于另一点N．①当直线l与优弧COD相切时，t的值为．②当t＝2时，求阴影部分面积．【答案】（1）4；（2）①3秒或9秒；②当t＝2时，阴影部分面积为323【解答】解：（1）过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥OC于点F，如图，∵优弧COD与直线AB相切于点C，∴OC⊥AB，∵DE⊥AB，DF⊥OC，∴四边形DECF为矩形，∴DE＝FC．∵∠DOF＝60°，OD＝OC＝8，DF⊥OC，∴OF＝OD•cos60°＝8×1∴FC＝OC﹣OF＝4，∴DE＝4，∴点D到直线AB的距离为4；（2）①当直线l与优弧COD相切于点M时，点M在直线OC的左侧，连接OM，如图，∴OM⊥l，由（1）知：OC⊥AB，∵l∥OC，∴l⊥AB，∴四边形OMEC为矩形，∴∠COM＝90°，∵OM从OC出发按顺时针方向转动，转动速度为每秒30°，∴t＝3．点M在直线OC的右侧，连接OM，如图，∴OM⊥l，由（1）知：OC⊥AB，∵l∥OC，∴l⊥AB，∴四边形OMEC为矩形，∴∠COM＝90°，∴OM的旋转角度为270°．∵OM从OC出发按顺时针方向转动，转动速度为每秒30°，∴t＝9．综上，当直线l与优弧COD相切时，t的值为3秒或9秒．故答案为：3秒或9秒；②当t＝2时，∠COM＝60°，连接ON，过点O作OF⊥MN于点F，如图，由题意得：OM＝OC＝8，由（1）知：OC⊥AB，∵l∥OC，∴l⊥AB，∵OF⊥MN，∵四边形OFEC为矩形，∴∠FOC＝90°，∴∠FOM＝∠FOC﹣∠COM＝30°，∴MF=12OM＝4，OF=32∵OM＝ON，OF⊥MN，∴MF＝NF＝4，∠NOF＝∠MOF＝30°，∴∠MON＝60°，MN＝2MF＝8，∴阴影部分面积＝扇形OMN的面积﹣△OMN的面积=60π×=32答：当t＝2时，阴影部分面积为323【变式1】如图所示，在⊙O的内接△AMN中，∠MAN＝90°，AM＝2AN，作AB⊥MN于点P，交⊙O于另一点B，C是AM上的一个动点（不与A，M重合），射线MC交线段BA的延长线于点D，分别连接AC和BC，BC交MN于点E．（1）求证：△CMA∽△CBD．（2）若MN＝10，MC=NC，求（3）在点C运动过程中，当tan∠MDB=34时，求【答案】（1）证明见解答过程；（2）BC＝310；（3）MENE【解答】（1）证明：连接BM，如图：∵四边形ABMC是⊙O的内接四边形，∴∠DCA＝∠ABM，∵∠MAN＝90°，∴MN为⊙O的直径，∵AB⊥MN，∴AM=∴∠ABM＝∠BAM，∴∠DCA＝∠BAM，∵BM=∴∠BAM＝∠BCM，∴∠DCA＝∠BCM，∴∠DCB＝∠ACM，∵AC=∴∠DBC＝∠AMC，∴△CMA∽△CBD；（2）解：连接OC，如图：由AM＝2AN，设AN＝x，则AM＝2x，∵MN为直径，∴∠NAM＝90°，∴x2+（2x）2＝102，解得x＝25，∴AN＝25，AM＝45，∵AB⊥MN，∴2S△AMN＝AN•AM＝MN•AP，∴AP＝BP=AN⋅AM∴PM=A∵MC=∴OC⊥MN，∵OC＝OM，∴∠CMO＝45°，∴△PDM是等腰直角三角形，CM=2OM＝52∴PD＝PM＝8，∴BD＝PD+BP＝12，由（1）知△CMA∽△CBD，∴BCCM=BD∴BC＝310；（3）解：连接CN交AM于K，连接KE，如图：∵MN是⊙O直径，∴∠MCN＝90°＝∠DPM，∴∠CNM＝90°﹣∠CMP＝∠D，∵tan∠MDB=3∴tan∠CNM=3∵AB⊥MN，∴AN=∴∠KCE＝∠KME，∴C、K、E、M四点共圆，∵∠NCM＝90°，∴∠KEM＝90°＝∠KEN，而tan∠CNM=3∴KENE设KE＝3m，则NE＝4m，∵tan∠KME=KE∴EM＝6m，∴MENE方法2：过C作CH⊥MN于H，连接CN，如图：由（1）知△CMA∽△CBD，∴∠BDC＝∠MAC，即∠MDB＝∠MAC＝∠MNC，∴tan∠MNC=34，即设CM＝3k，则CN＝4k，MN＝5k，由CM•CN＝MN•CH可得CH=CM⋅CNMN由勾股定理可得MH=95k，NH=∵AM＝2AN，MN＝5k，∴AN=5k，AM＝25k∴AP=AM⋅ANMN=2k∴NP=AN∴PH＝MN﹣NP﹣MH=115∵PB∥CH，∴PBCH=PE解得PE＝k，∴EH=115k﹣k=∴NE＝PE+NP＝2k，ME＝MH+EH=95k+65∴MENE【变式2】问题情境：如图1，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，利用水的冲力旋转，当转过一定角度，原先浸在水里的竹筒将提升到一定高度，从而使水流入木槽．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动，每旋转一周用时120s．问题设置：如图2，把筒车抽象为一个半径为r的⊙O．筒车涉水宽度AB＝3.6m，筒车涉水深度（劣弧AB中点到水面的距离）是0.6m．筒车开始工作时，⊙O上C处的某盛水筒到水面AB的距离是0.9m，经过85s后，该盛水筒旋转到点D处．问题解决：（1）求该筒车半径r．（2）当盛水筒旋转至D处时，求它到水面AB的距离．【答案】（1）该筒车半径r为3m；（2）24−15210【解答】解：（1）连接OA、OB，过点O作OE⊥AB，垂足为E，与劣弧AB交于点F，如图1，设半径为rm，即OA＝rm，由题意得EF＝0.6m，∴OE＝（r﹣0.6）m，由根据垂径定理可得AE=12AB＝1.8在Rt△OAE中，OA2＝AE2+OE2，即r2＝（1.8）2+（r﹣0.6）2，解得r＝3m，答：该筒车半径r为3m．（2）过点D作DG⊥OE，过点C作CH⊥OE，如图2，∵筒车上的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动，每旋转一周用时120s，∴每秒旋转360°÷120＝3°，由于经过85s后该盛水筒旋转到点D处，∴∠COD＝85×3°＝255°，∵⊙O上C处的某盛水筒到水面AB的距离是0.9m，∴HE＝0.9m，∴OH＝r﹣EF﹣HE＝3﹣0.9﹣0.6＝1.5（m），∴sin∠OCH=OH∴∠OCH＝30°，∴∠COH＝90°﹣30°＝60°，∴∠DOE＝360°﹣255°﹣60°＝45°，∵∠DOE＝90°，∴△OGD为等腰直角三角形，∴OG＝DG，在Rt△OGD中，OG2+DG2＝OD2，∴OG＝DG=3∴GE＝OE﹣OG＝（3﹣0.6−322）=答：它到水面AB的距离为24−15210【变式3】如图1，在△ABC中AB＝AC＝5，BC＝8，点P在射线BC上运动，⊙O是△ABP的外接圆．（1）如图2，当点O在BC上时，求CP的长．（2）如图3，连接BO并延长，分别交AC，AP于点D，E，交⊙O于点F．①当BO⊥AP时，求⊙O的半径．②连接CF，CP的长为多少时，CF最小，并求出CF的最小值．【答案】（1）74（2）①5106；②CP的长为74时，CF最小，CF【解答】5106解：（1）过点A作AG⊥BC于点G，则∠∵AB＝AC＝5，BC＝8，∴BG=CG=1∴AG=A当点O在BC上时，∠BAP＝90°，∴cos∠ABP=AB∴5BP∴BP=25∴CP=BC−BP=7（2）①过点A作AG⊥BC于点G，连接OA，设半径为r，OE＝x，则∠AGC＝90°，∵BO⊥AP于点E，∴AE＝PE，∴BP＝AB＝5，由（1）知，AG＝3，BG＝4，∴PG＝BP﹣BG＝1，∴AP=A∴AE=1∵OA∴r2−x∴r2﹣x2＝（102）2=52，r+∴r﹣x=解得r=5②如图4中，过点A作AG⊥BC于点G，连接PF，∵BF是直径，∴∠BPF＝90°，∴CF≥CP，∴当点O在BC上时，BP为直径，BP最大，CP最小，此时CF＝CP就最小，由（1）知，CP=7故CF的最小值为74题型4圆的综合_变换型【典例1】如图1，在直角坐标系中，点O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，点B在y轴正半轴上，OA＝6，∠OBA＝30°，以AB为直径作⊙E，AC平分∠BAO交⊙E于点C，点D在⊙E上且在第一象限，连接CD，BD．（1）求AB的长．（2）求证：AC＝BO．（3）当DC＝DB时，求△BCD的面积．（4）如图2，射线CD交OB于点G，交x轴正半轴于点F，连接AD，作点F关于AD的对称点F′，当点F′落在⊙E上时，求OG的长．【答案】（1）12；（2）在直角三角形AOB中，∠AOB＝90°，∠OBA＝30°，∴∠BAO＝60°，又∵AC平分∠BAO，∴∠BAC＝∠OAC＝30°＝∠OBA，又∵AB是直径，∴∠BCA＝∠AOB＝90°，在△ABC和△BAO中，∠BCA=∠AOB∠BAC=∠ABO∴△ABC≌△BAO（AAS），∴AC＝BO；（3）18+93（4）63【解答】（1）解：在直角三角形AOB中，∠AOB＝90°，∠OBA＝30°，OA＝6，∴AB＝2OA＝12；（2）证明：在直角三角形AOB中，∠AOB＝90°，∠OBA＝30°，∴∠BAO＝60°，又∵AC平分∠BAO，∴∠BAC＝∠OAC＝30°＝∠OBA，又∵AB是直径，∴∠BCA＝∠AOB＝90°，在△ABC和△BAO中，∠BCA=∠AOB∠BAC=∠ABO∴△ABC≌△BAO（AAS），∴AC＝BO；（3）解：∵△ABC≌△BAO，∴BC＝AO＝6，∠ABC＝∠BAO＝60°如图1，连接EC，连接DE并延长交BC于点H，则BE＝CE，∴△BCE是等边三角形，∴BC＝CE＝BE＝DE＝6，又∵BE＝EC，BD＝DC，∴点D、点E在BC的垂直平分线上，∴DE垂直平分BC，∴CH＝3，HE=C∴DH=HE+DE=33∴S△DCB（4）解：由折叠可得∠AF′D＝∠AFD，又∵点F′落在⊙E上，∴∠ACD＝∠AF′D，∴∠ACD＝∠AFD，∴AC=AF=OB=A∴OF=6+63如图2，过点C作CM⊥x轴于点M，则CM=12AC=3∴FM=FA+AM=63又∵OG∥CM，∴△FGO∽△FCM，∴OGCM=FO解得：OG=63【变式1】如图，在△ABO中，以点O为圆心，OA为半径的⊙O与边OB相交于点D，将△ABD沿AD翻折，得△ACD，AC与OB交于点E．（1）证明：CD∥OA；（2）当AC⊥OB时，①证明：AB为⊙O的切线；②若OA＝5，tan∠EAD=12，则BD＝【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②103【解答】（1）证明：∵△ABD沿AD翻折，得△ACD，∴∠CAD＝∠BAD，∠C＝∠B，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵∠OAC＝∠OAD﹣∠CAD，∠B＝∠ODA﹣∠BAD，∴∠OAC＝∠B，∴∠OAC＝∠C，∴CD∥OA；（2）①证明：∵AC⊥OB，∴∠OEA＝90°，∴∠O+∠OAC＝90°，∵∠OAC＝∠B，∴∠O+∠B＝90°，∴∠OAB＝90°，∴AB⊥OA，∵OA为⊙O的半径，∴AB为⊙O的切线；②解：∵AC⊥OB，∴∠AED+∠CED＝90°，∵tan∠EAD=1∴AE＝2DE，∴设DE＝x，则AE＝2x，∴OE=5解得：x＝2或x＝0（不合题意，舍去），∴DE＝2，OE＝3，∵CD∥OA，∴△CDE∽△AOE，∴CDAO∴CD=10∵将△ABD沿AD翻折，得△ACD，∴BD=CD=10故答案为：103【变式2】已知△ABC，AB＝AC＝10，BC＝16，点P是BC边上一点，连接AP．（1）如图（1）沿线段AP将△APC折叠，点C落在点D处，AD交边BC于点E，①求证：△PED∽△AEB；②若△ABE是等腰三角形，求PE的长．（2）如图（2）若∠APB＝60°，△ABP的外接圆交AC于点F，连接BF交AP于点Q，求AQ的长．【答案】（1）①证明见解答；②当AB＝BE时，PE=210−4；当AE＝BE时，（2）63−8【解答】（1）①证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵△APO与△APC关于AP轴对称，∴∠D＝∠C＝∠B，又∵∠AEB＝∠DEP，∴△PED∽△AEB；②解：当AB＝BE时，设PE＝x，则DE＝DP＝PC＝6﹣x，AE＝4+x，由①得ABDP∴10x＝（6﹣x）x，即x2+8x﹣24＝0，解得x=210−4或当AE＝BE时，PC＝PD＝6，AE＝10﹣x，由①得ABDP∴10x＝6（10﹣x），解得x=15综上，当AB＝BE时，PE=210−4；当AE＝BE时，（2）解：如图，作∠BPG＝60°交圆于点G，过A作AH⊥BC于H，连接BG、PC、AG，∵AP=∴∠ABP＝∠AGP，∵AB＝AC＝10，∴∠ABP＝∠C，∴∠AGP＝∠C，∵∠APC＝180°﹣∠APB＝120°，∠APG＝∠APB+∠BPG＝120°，∴∠APC＝∠APG，又∵AP＝AP，∴△AGP≌△ACP（AAS），∴∠PAC＝∠PAG，PG＝PC，∵PF=∴∠PBF＝∠PAC，∴∠PBF＝∠PAG，∵PG=∴∠PBG＝∠PAG，∴∠PBG＝∠PBF，又∵∠APB＝∠BPG，且BP＝BP，∴△BPG≌△BPQ（ASA），∴PQ＝PG＝PC，∵AB＝AC＝10，BC＝16，AH⊥BC，∴BH=HC=1∴AH=A∵∠APH＝60°，∴∠PAH＝30°，∴tan∠APH=tan60°=AH即3=∴PH=23∴AP=2HP=43∴PQ=PG=PC=BC−BH−HP=8−23∴AQ=AP−PQ=43【变式3】如图1，△ABC内接于⊙O，将△ABC绕着点C旋转得到△DEC，点D在边BC上，点E恰好落在⊙O上．（1）求证：△BDE∽△BEC；（2）试猜想∠ABC与∠ACB有何关系，并说明理由；（3）如图2，若∠ACB＝45°，AC＝2，则四边形ABEC的面积为．【答案】（1）见解析；（2）2∠ABC+3∠ACB＝180°，理由见解析；（3）6+42【解答】（1）证明：∵四边形ABEC是⊙O的内接四边形，∴∠BAC+∠BCE＝180°，由旋转的性质可得：∠BAC＝∠EDC，∵∠BDE+∠EDC＝180°，∴∠BDE＝∠BEC，∵∠DBE＝∠EBC，∴△BDE∽△BEC；（2）解：2∠ABC+3∠ACB＝180°；理由如下：∵将△ABC绕着点C旋转得到△DEC，点D在边BC上，点E恰好落在⊙O上，∴∠DCE＝∠ACB，AB＝DE，∴AB=∴AB＝BE，∴BE＝DE，∴∠EBD＝∠EDB，由（1）可得：△BDE∽△BEC，∴∠BED＝∠BCE＝∠ACB，∵∠EDB是△DCE的外角，∴∠EDB＝∠DEC+∠DCE＝∠ABC+∠ACB，∴∠EBD＝∠EDB＝∠ABC+∠ACB，∵∠BED+∠EBD+∠EDB＝180°，∴∠ACB+∠ABC+∠ACB+∠ABC+∠ACB＝180°，∴2∠ABC+3∠ACB＝180°；（3）解：如图，过点A作AF⊥AC交BC于点F，连接AE，∵将△ABC绕着点C旋转得到△DEC，点D在边BC上，点E恰好落在⊙O上，∴∠ACB＝∠DCE＝45°，CD＝AC＝2，CE＝BC，∴∠ACB+∠DCE＝∠ACE＝90°，∴AE是⊙O的直径，∴∠ABE＝90°，由（2）可得：AB＝BE，∴△ABE是等腰直角三角形，∴AB=BE=2∴S△ABE∵AF⊥AC，∴∠CAF＝90°，∵∠ACB＝45°，AC＝2，∴△CAF为等腰直角三角形，∴AF＝AC＝2，CF=2AC=22由（2）可得：2∠ABC+3∠ACB＝180°，∴∠ABC＝22.5°，∵∠AFC是△ABF的外角，∴∠BAF＝∠ABC＝22.5°，∴BF＝AF＝2，∴BC=BF+CF=2+22∴CE=BC=2+22∴S△ACE∵∠ACE＝90°，∴AE∴S△ABE∴S四边形ABEC∴四边形ABEC的面积为6+42故答案为：6+42题型5圆的综合_存在型【典例1】如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是BC边的中点，点P在线段AD上，过P作PF⊥AE于F，设PA＝x．（1）求证：△PFA∽△ABE；（2）当点P在线段AD上运动时，设PA＝x，是否存在实数x，使得以点P，F，E为顶点的三角形也与△ABE相似？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由；（3）探究：当以D为圆心，DP为半径的⊙D与线段AE只有一个公共点时，请直接写出x满足的条件：．【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：∵矩形ABCD，∴∠ABE＝90°，AD∥BC，∴∠PAF＝∠AEB，又∵PF⊥AE，∴∠PFA＝90°＝∠ABE，∴△PFA∽△ABE．…（4分）（2）解：分二种情况：①若△EFP∽△ABE，如图1，则∠PEF＝∠EAB，∴PE∥AB，∴四边形ABEP为矩形，∴PA＝EB＝3，即x＝3．…（6分）②若△PFE∽△ABE，则∠PEF＝∠AEB，∵AD∥BC∴∠PAF＝∠AEB，∴∠PEF＝∠PAF．∴PE＝PA．∵PF⊥AE，∴点F为AE的中点，Rt△ABE中，AB＝4，BE＝3，∴AE＝5，∴EF=12AE∵△PFE∽△ABE，∴PEAE∴x5∴PE=256，即x∴满足条件的x的值为3或256（3）如图3，当⊙D与AE相切时，设切点为G，连接DG，∵AP＝x，∴PD＝DG＝6﹣x，∵∠DAG＝∠AEB，∠AGD＝∠B＝90°，∴△AGD∽△EBA，∴ADAE∴65x=6当⊙D过点E时，如图4，⊙D与线段有两个公共点，连接DE，此时PD＝DE＝5，∴AP＝x＝6﹣5＝1，∴当以D为圆心，DP为半径的⊙D与线段AE只有一个公共点时，x满足的条件：x=65或0≤故答案为：x=65或0≤【变式1】如图，一次函数y＝﹣x+1的图象分别交x轴，y轴于A，B两点，C是线段OB上的动点（与O，B不重合），点D在AB上，∠BCD＝∠ACO，过点D作DE⊥AC，交x轴于点E．（1）求证：BDAD（2）当点E在线段OA上，以A为圆心，以AC为半径画圆，交y轴负半轴于点F，设OF＝m，OE＝n，求n关于m的函数表达式．（3）连接CE，是否存在∠ECO＝∠BAC？如果存在，请求出所有满足条件OC的长；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）见解答；（2）n＝1﹣2m；（3）存在，OC的长为2−1或3【解答】解：（1）由题意知OA＝OB＝1，∴∠ABO＝∠BAO＝45°．∵DE⊥AC，∴∠AED+∠EAC＝90°．∵∠ACO+∠EAC＝90°，∴∠AED＝∠ACO＝∠BCD，∴△BCD∽△AED，∴BDAD（2）如图，连接AF，由题意可知AF＝AC，∴∠AFC＝∠ACF＝∠BCD，∴AF∥DC，∴BDAD∵BDAD∴AE＝CF．又∵AO⊥CF，∴OF＝CO＝m，即AE＝CF＝2m，∴n+2m＝1，∴n＝1﹣2m；（3）存在，理由：如图，过点C作CH⊥AB于H，则有CH＝BH＝BCcos45°=22（1﹣由（1）可知AB=2，即AH＝AB﹣BH=22∴tan∠BAC=CH∵∠ECO＝∠BAC，∴OEOC=tan∠ECO＝tan∠BAC即nm当点E在线段OA上时，n＝1﹣2m，∴1−2mm∴解得m＝﹣1+2∴OC=2当点E在x轴负半轴时，同理可得n＝2m﹣1，∴2m−1m解得m=±3∴OC=3综上所述，OC的长为2−1或3【变式2】如图，直角坐标系中，直线y＝kx+b分别交x，y轴于点A（﹣8，0），B（0，6），C（m，0）是射线AO上一动点，⊙P过B，O，C三点，交直线AB于点D（B，D不重合）．（1）求直线AB的函数表达式．（2）若点D在第一象限，且tan∠ODC=53，求点（3）当△ODC为等腰三角形时，求出所有符合条件的m的值．（4）点P，Q关于OD成轴对称，当点Q恰好落在直线AB上时，直接写出此时BQ的长．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b，代入点A、B，−8k+b=0b=6解得k=∴y=34（2）如图1所示，连接BC，作DE⊥OC于点E，∵∠OBC＝∠ODC，tan∠ODC=5∴OCOB∴OC＝10，AC＝18，∴AD＝AC•cos∠DAC＝18×4DE＝AD•sin∠DAC=72令y=21625，216解得x=88∴D（8825，216（3）①如图2所示，当DC＝OC时，∵BC＝BC，∠BDC＝∠BOC，∴△BDC≌△BOC（HL）∴BD＝BO＝6，设点D的坐标为（n，34n∴BD=(n−0解得n=−24∴D（−245，∵C（m，0），∴DC=(m+24解得m＝﹣3．②如图3所示，当OD＝DC时，过点D作DE⊥OC于点E，设点D的坐标为（a，34a+6），则m＝2a∴DE=34a+6，EC＝a，AE＝8+∵△ADE∽△DEC，∴DEEC=解得a=72∴m=144③如图4所示，当DC＝OC时，∵OC＝m，∴CD＝m，∴AD=CDtan∠BAO=m∴AC=53∴8+m=53解得m＝12．④如图5所示，当OD＝OC时，OC＝OD＝m，∴AC＝8+m，∴AD＝AC×cos∠BAO=45（8+则AH＝AD×cos∠BAO=1625（8+∴OH＝AH﹣8=1625m∵DH＝AD×sin∠BAO=1225（8+∴（1625m−7225）2+（9625+12解得m＝8．综上所述：m的值为﹣3或1447（4）如图6所示，连接OQ，∵PD＝DQ，PO＝OQ，PD＝OP，∴DQ＝DP＝PO＝OQ，∴四边形DQOP为菱形，∴DQ∥PO，∴∠BOP＝∠PBO＝∠ABO，∵BP=12BO÷cos∠∴OQ＝5，设点Q的坐标为（c，34c则OQ=c∴c=−44∴Q（−4425，∴BQ=(−【变式3】如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，过点A作⊙O的直径AD，交BC于点H，点F是AH上的一个动点，连结BF并延长交AC于点G，交⊙O于点E，连结CE，CF，已知AD＝5，BC＝4．（1）AH＝，AC＝；（直接写出结果）（2）求证：AC平分∠ECF；（3）当CF⊥BE时，求CE的长；（4）是否存在点F使△CEF是等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的AF的长；若不存在，说明理由．【答案】（1）4，25；（2）证明见解答过程；（3）522；（4）存在，AF的长是2.5或3或【解答】（1）解：连接OB，当CE＝CF时，∵AB＝AC，AD为⊙O的直径，∴AD⊥BC，BH＝CH=12∵AD＝5，BC＝4，∴OB=52，∴OH=O∴AH＝OA+OH＝4，∴AC=A故答案为：4，25；（2）证明：∵AD是△ABC的外接圆⊙O的直径，AB＝AC，∴AD⊥BC，∴AD是BC的中垂线，∴BF＝CF，∴∠FBC＝∠FCB，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠ABF＝∠ACF，∵∠ABF＝∠ACE，∴∠ACF＝∠ACE，∴AC平分∠ECF；（3）解：如图：∵CF⊥BE，BF＝CF，∴△BCF是等腰直角三角形，∴∠CBE＝45°，∴CE=90°∴CE=2（4）解：存在点F使△CEF是等腰三角形，AF的长是2.5或3或5﹣根号5．理由如下：当EF＝CF时，如图：∵CF＝BF，∴CF＝EF＝BF，∴△BCE是直角三角形，∴点O与点F重合，∴AF＝2.5；当CE＝CF时，如图：∵AC平分∠ECF，CE＝CF＝BF，∴∠FEC＝∠EFC＝2∠FBH，∵∠FEC＝∠BAC＝2∠CAH，∴∠FBH＝∠CAH，又∵∠BHF＝∠CHA＝90°，∴△BFH∽△ACH，∴FH：CH＝BH：AH，∴FH：2＝2：4，∴FH＝1，∴AF＝AH﹣FH＝3；当CE＝EF时，过点F作FP⊥AB于点P，如图：∵∠EFC＝∠ECF，∠EFC＝2∠EBC，∠ECF＝2∠ACE＝2∠ABE，∴∠EBC＝∠ABE，∴BE平分∠ABC，∴FP＝FH，∵∠APF＝∠AHB＝90°，∠PAF＝∠HAB，∴△AFP∽△ABH，∴AF：FP＝AB：BH，∴AF：FH＝AB：BH，∴AF：(4−AF)=25∴AF=5−5综上所述，存在，AF的长是2.5或3或5−5题型6圆的综合_存在型_特殊三角形【典例1】如图，AB是⊙O的直径，AB＝8，点E为弧AC的中点，连结AC，BE交于点D，过点A作AF⊥AB交BE的延长线于点F，AF＝6．（1）求证：AD＝AF；（2）求BD的长；（3）若点P为⊙O上一点，当△AEP为等腰三角形时，直接写出AP的长．【答案】（1）证明：连接OE，如图，∵AB是⊙O的直径，点E为弧AC的中点，∴OE⊥AC，∴∠OEB+∠ADF＝90°．∵AF⊥AB，∴∠AFD+∠B＝90°，∵OE＝OB，∵∠OEB＝∠B，∴∠AFD＝∠ADF，∴AF＝AD；（2）2.8；（3）AP的长为4.8或7.68或12105或【解答】（1）证明：连接OE，如图，∵AB是⊙O的直径，点E为弧AC的中点，∴OE⊥AC，∴∠OEB+∠ADF＝90°．∵AF⊥AB，∴∠AFD+∠B＝90°，∵OE＝OB，∵∠OEB＝∠B，∴∠AFD＝∠ADF，∴AF＝AD；（2）解：连接AE，如图，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∴AE⊥DF，由（1）知：AF＝AD，∴EF＝DE=12∵AF⊥AB，AB＝8，AF＝6，∴BF=A∵S△ABF∴8×6＝10AE，∴AE＝4.8，∴EF=A∴DF＝2EF＝7.2，∴BD＝BF﹣DF＝2.8；（3）解：当AE＝AP时，如图，由（2）知：AE＝4.8，∴AP＝AE＝4.8；当AE＝EP时，则AE=∵AE=∴点C与点P重合，连接OE，OE与AP交于点G，如图，则OG⊥AP，∴AG＝GP=12∵AB＝8，∴OA＝OE＝4，设OG＝x，则EG＝4﹣x，∵AG2＝AE2﹣EG2＝OA2﹣OG2，∴4.82﹣（4﹣x）2＝42﹣x2，∴x＝1.12，∴OG＝1.12，∴AG=O∴AP＝2AG＝7.68；当PA＝PE时，则PA=PE，作出直径PH，连接EP，AH，设PH与AE交于点则PH垂直平分AE，∴AK=12∵PH为直径，∴∠HAP＝90°，∵AK⊥PH，∴△AKH∽△PKA，∴AKKH设HK＝a，则PK＝8﹣a，∴2.4a∴a＝0.8或7.2，∴HK＝0.8或7.2，∴PK＝7.2或0.8．∴AP=AK2综上，当△AEP为等腰三角形时，AP的长为4.8或7.68或12105或【变式1】如图，矩形ABCD中，BC＝8，点F是AB边上一点（不与点B重合），△BCF的外接圆交对角线BD于点E，连结CF交BD于点G．（1）求证：∠ECG＝∠BDC．（2）当AB＝6时，在点F的整个运动过程中，①连结EF，若BF=22时，求CE②当△CGE为等腰三角形时，求所有满足条件的CG的长．直接写出答案CG为．【答案】（1）证明见解析；（2）①185②5或6或125【解答】（1）证明：∵AB∥CD．∴∠ABD＝∠BDC，∵∠ABD＝∠ECG，∴∠ECG＝∠BDC．（2）解：①∵AB＝CD＝6，AD＝BC＝8，∴BD=A如图1，连接EF，则∠CEF＝∠BCD＝90°，∵∠EFC＝∠CBD．∴sin∠EFC＝sin∠CBD，∴CECF∴CF=BC2∴CE=18②分三种情况：Ⅰ、当EG＝CG时，∠GEC＝∠GCE＝∠ABD＝∠BDC．∴E与D重合，CG＝DG，∴G为BD的中点，∴CG=12Ⅱ、当GE＝CE时，∴∠EGC＝∠ECG＝∠ABD＝∠GDC，∴CG＝CD＝6．Ⅲ、如图2，当CG＝CE时，∴∠GEC＝∠EGC＝∠BFC＝∠GCD，∴CD＝DG＝6，∴BG＝BF＝4，∴FC=BF2∵BF∥CD，∴△FBG∽△CDG，∴FGCG∴45∴CG=12综上所述，CG的长为5或6或125故答案为：5或6或125【变式2】以原点为圆心，1cm为半径的圆分别交x、y轴的正半轴于A、B两点，点P的坐标为（2，0）．（1）如图一，动点Q从点B处出发，沿圆周按顺时针方向匀速运动一周，设经过的时间为t秒，当t＝1时，直线PQ恰好与⊙O第一次相切，连接OQ．求此时点Q的运动速度（结果保留）．（2）若点Q按照（1）中的方向和速度继续运动，①当t为何值时，以O、P、Q为顶点的三角形是直角三角形；②在①的条件下，如果直线PQ与⊙O相交，请求出直线PQ被⊙O所截的弦长．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）如图1，连接OQ，则OQ⊥PQ．∵OQ＝OA＝1，OP＝2，∴∠QPO＝30°，∵∠PQO＝90°，∴∠QOP＝60°，∴∠BOQ＝30°，∴弧BQ的长是30π×1180=∵运动时间t＝1，∴点Q的运动速度为16π（2）①分为四种情况：a、由（1）可知，当t＝1时，△OPQ为直角三角形；b、如备用图2，当点Q1关于x轴对称时，△OPQ1为直角三角形，此时∠BOQ1＝150°，弧BQ1=56π，则c、当点Q2（0，﹣1）或Q3（0，1）时，∠POQ2＝∠POQ3＝90°，此时t＝6或t＝12．即当t＝1，t＝5，t＝6或t＝12时，△OPQ为直角三角形；②如备用图3，当t＝6或t＝12时，直线PQ与⊙O相交，设交点为N，作OM⊥PQ，根据等面积法可知：PQ•OM＝OQ•OP，PQ=OP2+OPM=O弦长PN＝2PM=255题型7圆的综合_存在型_特殊四边形【典例1】已知∠MPN的两边分别与⊙O相切于点A，B，⊙O的半径为r．（1）如图1，点C在点A，B之间的优弧上，∠MPN＝80°，求∠ACB的度数；（2）如图2，点C在圆上运动，当PC最大时，要使四边形APBC为菱形，∠APB的度数应为多少？请说明理由；（3）若PC交⊙O于点D，求第（2）问中对应的阴影部分的周长（用含r的式子表示）．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）如图1，连接OA，OB，∵PA，PB为⊙O的切线，∴∠PAO＝∠PBO＝90°，∵∠APB+∠PAO+∠PBO+∠AOB＝360°，∴∠APB+∠AOB＝180°，∵∠APB＝80°，∴∠AOB＝100°，∴∠ACB＝50°；（2）如图2，当∠APB＝60°时，四边形APBC是菱形，连接OA，OB，由（1）可知，∠AOB+∠APB＝180°，∵∠APB＝60°，∴∠AOB＝120°，∴∠ACB＝60°＝∠APB，∵点C运动到PC距离最大，∴PC经过圆心，∵PA，PB为⊙O的切线，∴PA＝PB，∠APC＝∠BPC＝30°，又∵PC＝PC，∴△APC≌△BPC（SAS），∴∠ACP＝∠BCP＝30°，AC＝BC，∴∠APC＝∠ACP＝30°，∴AP＝AC，∴AP＝AC＝PB＝BC，∴四边形APBC是菱形；（3）∵⊙O的半径为r，∴OA＝r，OP＝2r，∴AP=3r，PD＝r∵∠AOP＝90°﹣∠APO＝60°，∴AD的长度=60°π⋅r∴阴影部分的周长=3r+r+π3r＝（3+1【变式1】已知：以O为圆心的扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C为AB上一动点，射线AC交射线OB于点D，过点D作OD的垂线交射线OC于点E，连接AE．（1）如图1，当四边形AODE为矩形时，求∠ADO的度数；（2）当扇形的半径长为10，且AC＝12时，求线段DE的长；（3）连接BC，试问：在点C运动的过程中，∠BCD的大小是否确定？若是，请求出它的度数；若不是，请说明理由．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）如图1中，∵四边形AODE是矩形，∴AD＝EO，AC＝CD，OC＝CE，∠AOD＝90°，∴AC＝OC，又∵OA＝OC，∴AC＝OC＝OA，∴△AOC是等边三角形，∴∠OAD＝60°，∴∠ADO＝90°﹣∠OAD＝30°．（2）如图2中，作OH⊥AD于H．∵OA＝OC，OH⊥AC，∴AH＝HC＝6，∵∠OAH＝∠OAD，∠AHO＝∠AOD，∴△AOH∽△ADO，∴OAAD=AH解得AD=50∴CD＝AD﹣AC=503−∵DE⊥OD，∴∠EDO＝90°，∴∠AOD+∠EDO＝180°，∴DE∥OA，∴DEOA∴DE10∴DE=35（3）如图3中，结论：∠BCD的值是确定的．∠BCD＝45°．理由：连接AB、BC．∵∠BCD＝∠BAC+∠ABC，又∵∠BAC=12∠BOC，∠ABC=1∴∠BCD=12∠BOC+12∠AOC=12（∠【变式2】如图，AB为⊙O的直径，点C为AB延长线上一点，动点P从点A出发沿AC方向以lcm/s的速度运动，同时动点Q从点C出发以相同的速度沿CA方向运动，当两点相遇时停止运动，过点P作AB的垂线，分别交⊙O于点M和点N，已知⊙O的半径为lcm，设运动时间为ts．（1）当线段AC＝3cm，t＝1s时，四边形AMQN的形状为；（2）若线段AC＝5cm，①当t为何值时，四边形AMQN为菱形；②当t为何值时，NQ与⊙O相切．【答案】（1）正方形；（2）①t=5②t=3【解答】解：（1）如图1，当t＝1时，AP＝AO＝1，CQ＝1，∴点P在点O处，∴AQ＝MN＝2，∵AO＝OQ，OM＝ON，∴四边形AMQN是平行四边形，∴四边形AMQN是矩形，∵MN⊥AQ，∴矩形ANQN是正方形，故答案为：正方形；（2）①如图2，当AP＝PQ＝CQ时，即3t＝5，∴t=53时，四边形∵OP⊥MN，∴PM＝PN，∵AP＝PQ，∴四边形AMQN是平行四边形，∵MN⊥AQ，∴▱AMQN是菱形；②如图3，连接OQN，∵NQ是⊙O的切线，∴ON⊥QN，∴∠ONQ＝90°，∵NN⊥AC，∴∠OPN＝90°，∴∠AON＝∠ONQ，∵∠NOP＝∠QON，∴△PON∽△NOQ，∴ONOQ∵ON＝1，OP＝t﹣1，OQ＝5﹣2t，∴15−2t∴t1＝2（舍去），t2=3∴t=3题型8圆的综合_最值型【典例1】如图1，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC平分∠BCD，连接BD交AC于点E．（1）求证：△ABC∽△AEB．（2）当AB＝6，AE＝4时，求BC•CD的值．（3）如图2，在（2）的条件下，若AC为直径，点G、F分别在BE、BC上，∠BAG＝∠CAF，且H为GF中点，判断△AHC的面积是否为定值．若不是，求出其最大值，若是，求出其定值．【答案】（1）∵AC平分∠BCD，∴∠ACD＝∠ACB，∵∠ACD＝∠ABE，∴∠ACB＝∠ABE，∵∠CAB＝∠BAE，∴△ABC∽△AEB；（2）45；（3）△AHC的面积为定值，定值为95【解答】（1）证明：∵AC平分∠BCD，∴∠ACD＝∠ACB，∵∠ACD＝∠ABE，∴∠ACB＝∠ABE，∵∠CAB＝∠BAE，∴△ABC∽△AEB；（2）解：由（1）知：△ABC∽△AEB，且AB＝6，AE＝4，∴ABAE∴64解得：AC＝9，∴CE＝AC﹣AE＝9﹣4＝5，∵∠DAC＝∠EBC，∠ACD＝∠BCE，∴△ACD∽△BCE，∴CDCE∴BC•CD＝AC•CE＝9×5＝45；（3）解：AHC的面积为定值；理由如下：如图2，AC平分∠BCD，作FM⊥AC交AC于点M，作HN⊥AC交AC于点N，连接GM，BM，∴∠ACD＝∠ACB，∴AD=∵AC为直径，∴AC⊥BD，∠ABC＝90°，在Rt△ABE中，由勾股定理得：BE=A∵FM⊥AC，HN⊥AC，∴BD∥FM，BD∥HN，∵∠BAG＝∠CAF，∠ABG＝∠ACD＝∠ACF，∴△ABG∽△ACF，∴BGCF∵∠FMC＝∠ABC＝90°，∠FCM＝∠ACB，∴△FCM∽△ACB，∴FMAB∴FMCF∴BGCF∴BG＝FM，∴四边形BFMG是平行四边形，∴BH＝HM，∵BE∥HN，∴△MHN∽△MBE，∴HNBE∴HN=1∴S△AHC故△AHC的面积为定值，定值为95【变式1】如图，AB是⊙O的直径，AB=82，点M为弧AB的中点，正方形OCGD绕点O旋转与△AMB的两边分别交于点E，F（点E，F与点A，B，M均不重合），与⊙O分别交于P，Q（1）求证：△AMB为等腰直角三角形；（2）求证：OE＝OF；（3）连接EF，试探究：在正方形OCGD绕点O旋转的过程中，△EMF的周长是否存在最小值？若存在，求出其最小值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠AMB＝90°，∵点M是弧AB的中点，∴AM=∴MA＝MB，∴△AMB为等腰直角三角形；（2）证明：如图，连接OM．由（1）得∠ABM＝∠BAM＝45°，∠OMA＝∠OMB＝45°，∴OM⊥AB，MB=2∴∠MOE+∠BOE＝90°．∵∠COD＝90°，∴∠MOE+∠MOF＝90°，∴∠BOE＝∠MOF．在△OBE和△OMF中，∠BOE=∠MOFOB=OM∴△OBE≌△OMF（ASA），∴OE＝OF；（3）△EFM的周长的最小值为42【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠AMB＝90°，∵点M是弧AB的中点，∴AM=∴MA＝MB，∴△AMB为等腰直角三角形；（2）证明：如图，连接OM．由（1）得∠ABM＝∠BAM＝45°，∠OMA＝∠OMB＝45°，∴OM⊥AB，MB=2∴∠MOE+∠BOE＝90°．∵∠COD＝90°，∴∠MOE+∠MOF＝90°，∴∠BOE＝∠MOF．在△OBE和△OMF中，∠BOE=∠MOFOB=OM∴△OBE≌△OMF（ASA），∴OE＝OF；（3）解：△EFM的周长存在最小值为42+∵OE＝OF，∴△OEF为等腰直角三角形，∴EF=2∵△OBE≌△OMF，∴BE＝MF，∴△EFM的周长＝EF+MF+ME＝EF+BE+ME＝EF+MB=2OE当OE⊥BM时，OE最小，此时OE=12∴△EFM的周长的最小值为42【变式2】如图，线段BC为⊙O内一条弦，点A为弦BC上方圆弧上一点，延长BC到D，连接AD交⊙O于点F，过点D作DE⊥AB，交直线AB于点E．（1）如图1，若∠ACF＝20°，AB为直径，求∠ADE的度数．（2）如图2，当DE经过圆心O，求证：CF∥AB．（3）如图3，若⊙O的半径等于2，BD=43，且点C为BD的中点，求DE﹣AC【答案】（1）20°；（2）∵DE⊥AB，且DE经过圆心O，∴AE＝BE，即DE为AB的中垂线∴AD＝BD，∴∠DAB＝∠DBA，∵四边形ABCF内接于⊙O，∴∠AFC+∠ABC＝180°，∴∠AFC+∠DAB＝180°，∴CF∥AB；（3）43【解答】（1）解：∵∠ACF＝20°，AB为直径，∴∠ACB＝90°，∴∠BCF＝∠ACF+∠ACB＝20°+90°＝110°，∵四边形ABCF内接于⊙O，∴∠BAF＝180°﹣∠BCF＝180°﹣110°＝70°，∵DE⊥AB，∴∠AED＝90°，∴∠ADE＝90°﹣70°＝20°；（2）证明：∵DE⊥AB，且DE经过圆心O，∴AE＝BE，即DE为AB的中垂线∴AD＝BD，∴∠DAB＝∠DBA，∵四边形ABCF内接于⊙O，∴∠AFC+∠ABC＝180°，∴∠AFC+∠DAB＝180°，∴CF∥AB；（3）解：∵点C为BD的中点，BD=43∴BC=CD=1如图3，过点O作ON⊥BC交BCBC于点M，交⊙O于点N，∴BM=CM=3∵OC＝ON