4.2 由平行线截得的比例线段 2026秋浙教版初中数学九年级上册同步讲义

4.2由平行线截得的比例线段内容导航内容导航题型1平行线分线段成比例考点演练考点演练题型1平行线分线段成比例解｜题｜知｜识（1）定理1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．（2）推论1：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．（3）推论2：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．【典例1】已知，如图，在△ABC中，ADDB=AEEC，求证：（1）【变式1】如图，在△ABC中，点D是AB上的一点，过点D作DE∥BC交边AC于点E，过点E作EF∥DC交AD于点F．已知AD＝26cm，AB＝8cm．求：（1）AEAC（2）AFAB【变式2】如图，直线DE交AC、AB于D、F，交CB的延长线于E，且BE：BC＝2：3，AD＝CD，求AF：BF的值．【变式3】如图，F是平行四边形ABCD的边AD上一点，CF交BA的延长线于点E，若AFFD=23，

过关验收过关验收1．如图，直线l1∥l2∥l3，AC＝6，DE＝3，EF＝2，则AB的长为（）A．3 B．125 C．165 2．如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的点，DE∥BC，BE与CD相交于点F，则下列结论一定正确的是（）A．DFFC=AEEC B．ADAB=3．如图，直线a∥b∥c，分别交直线m，n于点A，B，C，D，E，F．若AC：BC＝5：2，EF＝4，则DE的长为（）A．4 B．5 C．6 D．104．如图，A，B均在方格纸的格点上．在方格纸内另取格点C，D，连结CD，交线段AB于点P．若要使点P把线段AB分成1：2的两条线段，则（）A．只有方法1对 B．只有方法2对 C．方法1，2都对 D．方法1，2都错5．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC和DF被l1，l2，l3所截，AB＝8，BC＝12，EF＝9，则DE的长为（）A．5 B．6 C．7 D．86．如图，在△ABC中，点D，E，F分别是边AB，AC，BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD：DB＝3：5，那么CF：BF等于（）A．3：2 B．3：8 C．5：3 D．8：37．如图，直线AD、BC交于点O，AB∥EF∥CD，若BO＝2，OE＝1，EC＝2，则AFFDA．32 B．23 C．358．如图，在一个花架简易图中，AD∥BE∥CF，DE＝20cm，ABAC=2A．50cm B．30cm C．20cm D．无法确定9．如图，点O，F在直线AD上，点O，E在直线BC上，且AB∥EF∥CD，若AO＝4，OF＝2，FD＝4，CE＝3，则BE的值为（）A．3 B．4 C．4.5 D．610．如图，五线谱由等距离的五条平行横线组成，现有一条截线与五线谱交于点A，B，C．若线段AB＝6，则线段BC的长为（）A．12 B．2 C．3 11．已知线段a，b，c，求作线段x，使x=acA． B． C． D．12．已知：如图，△ABC中，点D、E、F分别在边AB、AC和BC上，下列条件能判定DE∥BC的是（）A．DEBC=ADAB B．CEEA=13．如图1是某班级的花架，图2是其侧面示意图，已知AB∥CD∥EF，AC＝36cm，BDDF=3A．48cm B．60cm C．96cm D．120cm14．如图，l1∥l2∥l3，若ADDF=23，A．3 B．10 C．6 D．1215．如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的点A、B、C都在横线上，如果线段AB的长为6，那么AC的长是（）A．8 B．9 C．11 D．1216．已知直线AC、BD相交于点O且AOCO=23，下列式子能判断A．ABCD=23 B．BOBD=17．已知线段a，b，c，求作线段x，使ab＝cx，则下列作图中（AB∥CD）作法正确的是（）A． B． C． D．18．已知线段a、b、c，作线段x，使a：b＝x：c，下列每个图的两条虚线都是平行线，则正确的作法是（）A． B． C． D．19．△ABC中，点D、E分别在AB、BC上，则下列条件不能判断DE∥AC的是（）A．ADBD=CEBE B．BDAB=20．已知点D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，下列比例式不一定能推得DE∥BC的是（）A．ADAB=DEBC B．ADAB=21．如图，已知三条直线l1，l2，l3互相平行，直线a和直线b分别与l1，l2，l3交于A，B，C三点以及D，E，F三点，若AB＝2，BC＝3，DE＝2.4，则EF的长为（）A．1.6 B．2.8 C．3.2 D．3.622．如图，在△ABC中，D是AC的中点，点F在BD上，连接AF并延长交BC于点E，若BF：FD＝4：1，BC＝10，则CE的长为．23．如图是一架人字梯及其侧面示意图，已知AB∥CD∥EF，AC＝5cm，CE＝3cm，BD＝4cm，则DF的长为．24．如图，点E、F分别在直线AB、CD上，AC∥EF∥BD，如果AB＝5cm，AE＝2cm，DF＝4cm，那么FC的长为．25．如图，AB∥CD∥EF，它们依次交直线l1、l2于点A、D、F和点B、C、E．如果ADDF=23，BE＝40，那么线段26．五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行横线上标以不同时值的音符及其他记号来记载音乐．如图，A，B，C为直线l与五线谱的横线相交的三个点，则ABBC的值是27．如图，直线l1∥l2∥l3，AB＝4，BC＝3，DF＝14，那么DE＝．28．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E、F分别在边AB、CD上，且EF∥AD，如果AEBE=23，AD＝5，EF＝6，那么29．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝2，BD＝3，AC＝10，则AE的长为．30．如图，l1∥l2∥l3，两条直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和D、E、F，若ABBC=43，则31．如图，AD∥BE∥CF，已知AB＝5，DE＝6，AC＝20，那么EF的长等于．32．如图，已知l1∥l2∥l3，CH＝2，CD＝6，BG＝5，那么AG＝．33．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边BC上，连接AE交BD于点F，S△ADF＝9S△BEF．则BE：CE＝．34．如图，△ABC中，DE∥BC，若ADBD=23，S△BDE＝6，求S△35．如图，直线l1和直线l2分别与直线AD、BE、CF相交于点A、D、B、E、C、F，其中：AD∥BE∥CF，若AB：BC＝2：3，DF＝10，则EF的长为．36．如图，AB∥CD∥EF，如果AC＝2，CE＝5，BD＝9，则DF＝．37．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，BE∥CD交CA延长线于点E．求证：OC2＝OA•OE．38．如图，已知点F是正方形ABCD的边CD上的点，CFDF=13，AF与BD相交于点E，AF的延长线交求AE：EG的值．39．如图，直线l1、l2、l3分别交直线l4于点A、B、C，交直线l5于点D、E、F，且l1∥l2∥l3，已知EF：DF＝5：8，AC＝24．（1）求AB的长；（2）当AD＝4，BE＝1时，求CF的长．答案解析题型1平行线分线段成比例【典例1】已知，如图，在△ABC中，ADDB=AEEC，求证：（1）【答案】见试题解答内容【解答】解：∵ADDB∴DE∥BC，∴（1）ABDB（2）ADAB【变式1】如图，在△ABC中，点D是AB上的一点，过点D作DE∥BC交边AC于点E，过点E作EF∥DC交AD于点F．已知AD＝26cm，AB＝8cm．求：（1）AEAC（2）AFAB【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵DE∥BC，∴AEAC∵AD＝26cm，AB＝8cm，∴AEAC（2）∵EF∥DC，∴AFAD解得AF＝3cm，∴AFAB【变式2】如图，直线DE交AC、AB于D、F，交CB的延长线于E，且BE：BC＝2：3，AD＝CD，求AF：BF的值．、【答案】见试题解答内容【解答】解：过点D作DG∥AB交BC于点G，∵AD＝CD，∴DG=12AB，BG＝∵BE：BC＝2：3，∴BE：BG＝2：1.5＝4：3，∴EBEG∴BFAB∴AF：BF＝10：4＝5：2．【变式3】如图，F是平行四边形ABCD的边AD上一点，CF交BA的延长线于点E，若AFFD=23，【答案】见试题解答内容【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD∴AE又∵AFFD=2∴AE∴AE=8

过关验收过关验收1．如图，直线l1∥l2∥l3，AC＝6，DE＝3，EF＝2，则AB的长为（）A．3 B．125 C．165 【答案】D【解答】解：∵l1∥l2∥l3∴ABBC即ABAC−AB∴AB6−AB解得：AB=故选：D．2．如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的点，DE∥BC，BE与CD相交于点F，则下列结论一定正确的是（）A．DFFC=AEEC B．ADAB=【答案】B【解答】解：∵DE∥BC，∴DFFC=DE∴DFFC=AE∵DE∥BC，∴ADAB=AE∵DE∥BC，∴ADAB=DE∵DE∥BC，∴DFFC=EF故选：B．3．如图，直线a∥b∥c，分别交直线m，n于点A，B，C，D，E，F．若AC：BC＝5：2，EF＝4，则DE的长为（）A．4 B．5 C．6 D．10【答案】C【解答】解：∵a∥b∥c，AC：BC＝5：2，∴ABBC∵AB：BC＝3：2，∴DEEF∴DE4∴DE＝6．故选：C．4．如图，A，B均在方格纸的格点上．在方格纸内另取格点C，D，连结CD，交线段AB于点P．若要使点P把线段AB分成1：2的两条线段，则（）A．只有方法1对 B．只有方法2对 C．方法1，2都对 D．方法1，2都错【答案】C【解答】解：方法1，∵AC∥BD，BD＝2AC，∴APBP∴点P把线段AB分成1：2的两条线段；方法2，如图，连接BC，AD，∵BC∥AD，AD＝2BC，∴BPAP∴点P把线段AB分成1：2的两条线段；∴方法1，2都对．故选：C．5．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC和DF被l1，l2，l3所截，AB＝8，BC＝12，EF＝9，则DE的长为（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【解答】解：∵l1∥l2∥l3，∴ABBC∵AB＝8，BC＝12，EF＝9，∴812解得：DE＝6，故选：B．6．如图，在△ABC中，点D，E，F分别是边AB，AC，BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD：DB＝3：5，那么CF：BF等于（）A．3：2 B．3：8 C．5：3 D．8：3【答案】C【解答】解：∵DE∥BC，EF∥AB，AD：DB＝3：5，∴ADDB∴CFBF故选：C．7．如图，直线AD、BC交于点O，AB∥EF∥CD，若BO＝2，OE＝1，EC＝2，则AFFDA．32 B．23 C．35【答案】A【解答】解：∵BO＝2，OE＝1，∴BE＝BO+OE＝2+1＝3，∵AB∥EF∥CD，∴AFFD故选：A．8．如图，在一个花架简易图中，AD∥BE∥CF，DE＝20cm，ABAC=2A．50cm B．30cm C．20cm D．无法确定【答案】A【解答】解：∵AD∥BE∥CF，∴DEDF=AB解得：DF＝50，故选：A．9．如图，点O，F在直线AD上，点O，E在直线BC上，且AB∥EF∥CD，若AO＝4，OF＝2，FD＝4，CE＝3，则BE的值为（）A．3 B．4 C．4.5 D．6【答案】C【解答】解：∵AB∥EF∥CD，∴AFFD∵AO＝4，OF＝2，FD＝4，∴64∴BE＝4.5．故选：C．10．如图，五线谱由等距离的五条平行横线组成，现有一条截线与五线谱交于点A，B，C．若线段AB＝6，则线段BC的长为（）A．12 B．2 C．3 【答案】C【解答】解：如图，过点A作AD⊥过点C的横线于D，交过点B的横线于E，∵BE∥CD，∴BCAB=DE解得：BC＝3，故选：C．11．已知线段a，b，c，求作线段x，使x=acA． B． C． D．【答案】D【解答】解：A、根据平行线的性质得ba=xcB、根据平行线的性质得ba=xcC、根据平行线的性质得ba=xcD、根据平行线的性质得ba=cx故选：D．12．已知：如图，△ABC中，点D、E、F分别在边AB、AC和BC上，下列条件能判定DE∥BC的是（）A．DEBC=ADAB B．CEEA=【答案】C【解答】解：A、DEBC=ADAB，不能判断B、CEEA=CFFB，可以判断EF∥AB，不能判断C、ADAE=ABAC，即ADABD、BDDA=BFFC，可以判断DF∥AC，不能判断故选：C．13．如图1是某班级的花架，图2是其侧面示意图，已知AB∥CD∥EF，AC＝36cm，BDDF=3A．48cm B．60cm C．96cm D．120cm【答案】C【解答】解：∵AB∥CD∥EF，∴ACCE=BD解得：CE＝60，则AE＝AC+CE＝36+60＝96（cm），故选：C．14．如图，l1∥l2∥l3，若ADDF=23，A．3 B．10 C．6 D．12【答案】B【解答】解：∵l1∥l2∥l3，∴ADDF∵ADDF=2∴23解得CE＝6，∴BE＝BC+CE＝4+6＝10．故选：B．15．如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的点A、B、C都在横线上，如果线段AB的长为6，那么AC的长是（）A．8 B．9 C．11 D．12【答案】B【解答】解：如图，过点A作AF⊥CF于点F，交过点B的平行线于点E，交点A所在直线的下方平行线于点D，∵五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，∴设AD＝DE＝EF＝h，∴ABAC解得AC＝9．故选：B．16．已知直线AC、BD相交于点O且AOCO=23，下列式子能判断A．ABCD=23 B．BOBD=【答案】D【解答】解：∵∠AOB＝∠COD，∴当AOCO=OBOD=∴∠OAB＝∠OCD，∴AB∥CD，当BODO=2故选：D．17．已知线段a，b，c，求作线段x，使ab＝cx，则下列作图中（AB∥CD）作法正确的是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：选项A中，由AB∥CD可得：ac=bx，即有选项B中，由AB∥CD可得：ab=cx，即有选项C中，由AB∥CD可得：ax=bc，即有选项D中，∵AB∥CD，∴ac∴ab＝cx，故选项D符合题意．故选：D．18．已知线段a、b、c，作线段x，使a：b＝x：c，下列每个图的两条虚线都是平行线，则正确的作法是（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：A、由平行线分线段成比例定理可知：a：b＝x：c，故本选项作法正确，符合题意；B、由平行线分线段成比例定理可知：a：b＝c：x，故本选项作法不正确，不符合题意；C、由平行线分线段成比例定理可知：a：x＝c：b，故本选项作法不正确，不符合题意；D、由平行线分线段成比例定理可知：a：b＝x：c，故本选项作法不正确，不符合题意；故选：A．19．△ABC中，点D、E分别在AB、BC上，则下列条件不能判断DE∥AC的是（）A．ADBD=CEBE B．BDAB=【答案】C【解答】解：A、ADBD=CEBE，能判断B、BDAB=BEBC，能判断C、BEBC=DEAC，不能判断D、ADEC=ABBC，能判断故选：C．20．已知点D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，下列比例式不一定能推得DE∥BC的是（）A．ADAB=DEBC B．ADAB=【答案】A【解答】解：A、ADAB=DEBC时，不一定能推得B、ADAB=AEAC，一定能推得C、ABBD=ACCE，一定能推得D、ABBD=AECE，一定能推得故选：A．21．如图，已知三条直线l1，l2，l3互相平行，直线a和直线b分别与l1，l2，l3交于A，B，C三点以及D，E，F三点，若AB＝2，BC＝3，DE＝2.4，则EF的长为（）A．1.6 B．2.8 C．3.2 D．3.6【答案】D【解答】解：∵l1∥l2∥l3，∴ABBC=DE解得：EF＝3.6，故选：D．22．如图，在△ABC中，D是AC的中点，点F在BD上，连接AF并延长交BC于点E，若BF：FD＝4：1，BC＝10，则CE的长为．【答案】10【解答】解：过点D作DH∥AE交BC于H，∴CHHE=CD∵D是AC的中点，BF：FD＝4：1，BC＝10，∴CD＝DA，BF＝4FD，∴CHHE=CD∴CH＝HE，BE＝4EH，∴BE＝2CE，∴10＝BC＝BE+CE＝2CE+CE，∴CE=10即CE的长为103故选：10323．如图是一架人字梯及其侧面示意图，已知AB∥CD∥EF，AC＝5cm，CE＝3cm，BD＝4cm，则DF的长为．【答案】125【解答】解：∵AB∥CD∥EF，∴ACCE∵AC＝5cm，CE＝3cm，BD＝4cm，∴53∴DF=125故答案为：125cm24．如图，点E、F分别在直线AB、CD上，AC∥EF∥BD，如果AB＝5cm，AE＝2cm，DF＝4cm，那么FC的长为．【答案】83【解答】解：∵AB＝5cm，AE＝2cm，∴BE＝AB﹣AE＝5﹣2＝3（cm），∵点E、F分别在直线AB、CD上，AC∥EF∥BD，∴FCDF∴FC=2故答案为：8325．如图，AB∥CD∥EF，它们依次交直线l1、l2于点A、D、F和点B、C、E．如果ADDF=23，BE＝40，那么线段BC的长是【答案】16．【解答】解：AB∥CD∥EF，它们依次交直线l1、l2于点A、D、F和点B、C、E．∴BCCE∴CE=3∵BC+CE＝BE＝40，∴32解得BC＝16，故答案为：16．26．五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行横线上标以不同时值的音符及其他记号来记载音乐．如图，A，B，C为直线l与五线谱的横线相交的三个点，则ABBC的值是【答案】2．【解答】解：过点A作AD⊥a于D，交b于E，∵a∥b，∴ABBC故答案为：2．27．如图，直线l1∥l2∥l3，AB＝4，BC＝3，DF＝14，那么DE＝【答案】8【解答】解：∵l1∥l2∥l3，∴ABBC∴43解得DE＝8，故答案为8．28．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E、F分别在边AB、CD上，且EF∥AD，如果AEBE=23，AD＝5，EF＝6，那么【答案】152【解答】解：作AQ∥CD交EF于点P，交BC于点Q，∵AD∥BC，EF∥AD，∴四边形AQCD和四边形APFD都是平行四边形，EF∥BC，∴PF＝AD＝5，CQ＝AD＝5，∵EF＝6，∴EP＝EF﹣PF＝1，∵AEBE∴AEAB∵EP∥BQ，∴△AEP∽△ABQ，∴EPBQ∴BQ=52EP=5∴BC＝BQ+CQ=52+故答案为：15229．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝2，BD＝3，AC＝10，则AE的长为．【答案】4．【解答】解：∵DE∥BC，∴ADAB∵AD＝2，BD＝3，AC＝10，∴22+3解得：AE＝4，故答案为：4．30．如图，l1∥l2∥l3，两条直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和D、E、F，若ABBC=43，则【答案】47【解答】解：∵l1//l2//l3，∴DEEF∴DEDF故答案为：4731．如图，AD∥BE∥CF，已知AB＝5，DE＝6，AC＝20，那么EF的长等于．【答案】18．【解答】解：如图：∵AD∥BE∥CF，∴ABAC∴520解得DF＝24，∴EF＝DF﹣DE＝18，故答案为：18．32．如图，已知l1∥l2∥l3，CH＝2，CD＝6，BG＝5，那么AG＝．【答案】2.5．【解答】解：∵l1∥l2∥l3，∴AGAB=CH解得：AG＝2.5，故答案为：2.5．33．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边BC上，连接AE交BD于点F，S△ADF＝9S△BEF．则BE：CE＝【答案】12【解答】解：∵平行四边形ABCD，∴AD∥BC，AD＝BC，∴△ADF∽△EBF，∴S△ADF∵S△ADF＝9S△BEF，∴S△ADF∴AD＝BC＝3BE，∴CE＝BC﹣BE＝2BE，∴BE：CE=BE：2BE=1故答案为：1234．如图，△ABC中，DE∥BC，若ADBD=2