涉及求极限的典型题目及答案

涉及求极限的典型题目及答案考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。请将正确选项前的字母填在题后的括号内。）1.极限`lim(x→1)[(x^2-1)/(x-1)]`的值为（）。A.-1B.1C.2D.不存在2.下列极限计算正确的是（）。A.`lim(x→0)(sin(2x)/x)=2`B.`lim(x→0)(sin(x)/x)=1/2`C.`lim(x→∞)(1/x^2)=0`D.`lim(x→0)(1/x)=1`3.极限`lim(x→0)[x^2*sin(1/x)]`的值为（）。A.1B.-1C.0D.不存在4.若`lim(x→a)(f(x)-3)/(x-a)=5`，则`lim(x→a)f(x)`等于（）。A.5B.a+5C.a-5D.35.极限`lim(x→0)[ln(1+2x)-2x]/(x^2)`的值为（）。A.-2B.2C.-4D.4二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分。请将答案填在题中横线上。）6.极限`lim(x→∞)(3x^2-2x+1)/(x^2+4x-5)`的值为_______。7.若`lim(x→2)(x^2-4)/(x-2)=A`，则A=_______。8.极限`lim(x→0)[sqrt(1+x)-1]/x`的值为_______。9.`lim(x→0)(e^x-1-x)`的值为_______。10.若`f(x)`在`x=0`处连续，且`lim(x→0)f(x)=2`，则`lim(x→0)[f(x)+f(-x)]`的值为_______。三、解答题（本大题共5小题，共60分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）11.（本小题满分10分）求极限`lim(x→0)[sin(3x)/tan(2x)]`。12.（本小题满分10分）求极限`lim(x→∞)[x-ln(x^2+1)]/x`。13.（本小题满分12分）求极限`lim(x→0)[1-cos(x)]/(x*sin(x))`。14.（本小题满分12分）求极限`lim(x→0+)[sqrt(x)-x]/(x-x^2)`。15.（本小题满分12分）已知`lim(x→1)[(3-f(x))/(x-1)]=2`，求`lim(x→1)f(x)`，并判断函数`f(x)`在`x=1`处是否连续。试卷答案1.C解析思路：原式=`lim(x→1)[(x-1)(x+1)/(x-1)]`=`lim(x→1)(x+1)`=1+1=2。2.A解析思路：使用重要极限`lim(x→0)(sinx/x)=1`，原式=`lim(x→0)[2*(sin(2x)/(2x))]`=2*1=2。3.C解析思路：`-1≤sin(1/x)≤1`，所以`-x^2≤x^2*sin(1/x)≤x^2`。当`x→0`时，`-x^2`和`x^2`的极限都是0。由夹逼定理得原式极限为0。4.D解析思路：设`g(x)=f(x)-3`，则`lim(x→a)(g(x)/(x-a))=5`。由导数定义知`g'(a)=5`。又`g(a)=f(a)-3`。因为`g'(a)`存在，所以`g(x)`在`x=a`处连续，即`lim(x→a)g(x)=g(a)`。所以`lim(x→a)[f(x)-3]=f(a)-3`。因此`lim(x→a)f(x)=lim(x→a)[g(x)+3]=lim(x→a)g(x)+3=g(a)+3=f(a)-3+3=f(a)`。但题目给出的是`(f(x)-3)/(x-a)`的极限，因此`f(a)=3`。5.A解析思路：使用等价无穷小`ln(1+u)~u`当`u→0`，这里`u=2x`，当`x→0`时`u→0`。原式=`lim(x→0)[(2x)/(x^2)]`=`lim(x→0)(2/x)`=-2。此处需注意`ln(1+2x)`在`x→0`时为`0`型，`2x`为`0`型，但`(2x)/x^2=2/x`在`x→0`时趋于无穷，需重新审视。更准确的方法是洛必达法则：原式=`lim(x→0)[d/dx(ln(1+2x)-2x)/d/dx(x^2)]`=`lim(x→0)[(2/(1+2x))-1]/(2x)`=`lim(x→0)[2-(1+2x)]/[2x(1+2x)]`=`lim(x→0)[-2x]/[2x(1+2x)]`=`lim(x→0)[-1/(1+2x)]`=-1。原解析有误，正确答案应为A.-1。6.3解析思路：分子分母同除以最高次项`x^2`，原式=`lim(x→∞)(3-2/x+1/x^2)/(1+4/x-5/x^2)`=(3-0+0)/(1+0-0)=3。7.4解析思路：原式=`lim(x→2)[(x-2)(x+2)/(x-2)]`=`lim(x→2)(x+2)`=2+2=4。8.1/2解析思路：使用等价无穷小`sqrt(1+u)-1~u/2`当`u→0`，这里`u=x`，当`x→0`时`u→0`。原式=`lim(x→0)[(x)/(2*x)]`=`lim(x→0)(1/2)`=1/2。9.0解析思路：使用等价无穷小`e^u-1~u`当`u→0`，这里`u=x`，当`x→0`时`u→0`。原式=`lim(x→0)[x]`=0。10.4解析思路：由`f(x)`在`x=0`处连续且`lim(x→0)f(x)=2`，得`f(0)=2`。所以`lim(x→0)[f(x)+f(-x)]=lim(x→0)f(x)+lim(x→0)f(-x)=2+2=4`。11.解析思路：原式=`lim(x→0)[sin(3x)/(3x)*(3x)/(tan(2x))]`=`lim(x→0)[sin(3x)/(3x)]*[3x/(tan(2x))]`。由`lim(x→0)(sinu/u)=1`(u→0)和`lim(x→0)(u/tanv)=1`(v→0)，且当`x→0`时`3x→0`和`2x→0`。原式=1*`lim(x→0)[(3x)/(tan(2x))]`=`lim(x→0)[(3x)/(2x)*(2x)/(tan(2x))]`=`(3/2)*lim(x→0)[2x/(tan(2x))]`=`(3/2)*1`=3/2。12.解析思路：原式=`lim(x→∞)[x/x-ln(x^2+1)/x]`=`lim(x→∞)[1-(ln(x^2+1)/x)]`。考虑`lim(x→∞)(ln(x^2+1)/x)`，令`t=1/x`，则`x→∞`时`t→0+`。原式=`lim(t→0+)(ln(1+t^2)/t)`=`lim(t→0+)(ln(1+t^2)/t^2)*t`。由`ln(1+u)~u`(u→0)，`lim(t→0+)(ln(1+t^2)/t^2)=1`。所以原式=`lim(t→0+)t`=0。因此`lim(x→∞)[x-ln(x^2+1)/x]=1-0=1`。13.解析思路：方法一：使用等价无穷小`1-cosu~(u^2)/2`和`sinu~u`(u→0)。原式=`lim(x→0)[(u^2)/2*1/u]`=`lim(x→0)[u/2]`=`lim(x→0)[x/2]`=0。此处`u=x`。方法二：洛必达法则。原式=`lim(x→0)[d/dx(1-cosx)/d/dx(x*sinx)]`=`lim(x→0)[sinx/(sinx+x*cosx)]`。再次使用洛必达法则。原式=`lim(x→0)[cosx/(cosx+cosx-x*sinx)]`=`lim(x→0)[cosx/(2cosx-xsinx)]`=`lim(x→0)[1/(2-x*tanx)]`=1/(2-0)=1/2。此处需注意洛必达法则使用前提，第二次洛必达法则应用后极限存在且为有限值，因此原极限值为1/2。题目中`x*sinx`在`x→0`时趋于0，`2cosx`趋于2，极限存在。修正方法二结论，原极限值为1/2。14.解析思路：原式=`lim(x→0+)[(sqrt(x)-x)/(x(1-x))]`。分子分母同除以`sqrt(x)`，原式=`lim(x→0+)[(1-sqrt(x))/(sqrt(x)*(1-x))]`。令`t=sqrt(x)`，则`x=t^2`，当`x→0+`时`t→0+`。原式=`lim(t→0+)[(1-t)/(t*(1-t^2))]`=`lim(t→0+)[1/(t*(1+t^2))]`=`lim(t→0+)[1/(t+t^3)]`=`lim(t→0+)[1/t]`/`lim(t→0+)[1/(1+t^2)]`=`lim(x→0+)[1/sqrt(x)]`/(1+0)=`lim(x→0+)[1/sqrt(x)]`。此极限趋于无穷大，因此原极限不存在。或者，考虑`sqrt(x)-x=sqrt(x)*(1-sqrt(x))`，原式=`lim(x→0+)[sqrt(x)*(1-sqrt(x))/(x(1-x))]`=`lim(x→0+)[sqrt(x)*(1-sqrt(x))/(x*(1-x))]`=`lim(x→0+)[sqrt(x)*(1-sqrt(x))/(x*(1-x))]`=`lim(x→0+)[sqrt(x)*(1-sqrt(x))/(x*(1-x))]`。此处化简错误。正确化简为：原式=`lim(x→0+)[(sqrt(x)-x)/(x-x^2)]`=`lim(x→0+)[(sqrt(x)-x)/x*(1/(1-x))]`。分子`sqrt(x)-x=sqrt(x)*(1-sqrt(x))=sqrt(x)*(-(x-1)/(sqrt(x)+1))=-x/(sqrt(x)+1)+1/(sqrt(x)+1)`。当`x→0+`时，`-x/(sqrt(x)+1)`趋于0，`1/(sqrt(x)+1)`趋于1。所以分子趋于1。分母`x(1-x)`趋于0。因此原极限`lim(x→0+)[1/(1-x)]`趋于无穷大，即极限不存在。修正：更直接的方法是`sqrt(x)-x=sqrt(x)*(1-sqrt(x))=sqrt(x)*(-(x-1)/(sqrt(x)+1))`。原式=`lim(x→0+)[sqrt(x)*(-(x-1)/(sqrt(x)+1))/(x*(1-x))]`=`lim(x→0+)[sqrt(x)*(-(x-1)/(sqrt(x)+1))/(x*(1-x))]`。此化简仍复杂。考虑`1/sqrt(x)`在`x→0+`趋于无穷大，`1/(1-x)`趋于1。原式=`lim(x→0+)[1/sqrt(x)*(1-1/sqrt(x))/(1-x)]`。当`x→0+`，`1/sqrt(x)`趋于无穷大，`1-1/sqrt(x)`趋于负无穷大。因此原极限趋于无穷大。结论：极限不存在。15.解析思路：设`g(x)=