概率论 课件 龙永红 第1-15讲：导论、集合-一般随机变量的概念

概率论与数理统计ProbabilityandStatistics导论01/教材与配套辅导书概率论与数理统计第四版中国人民大学龙永红主编

高校经济管理学科数学基础面向21世纪课程教材“十二五”普通高等教育本科国家级规划教材高等教育出版社概率论与数理统计中的典型例题分析与习题第三版中国人民大学龙永红主编《概率论与数理统计》第四版的配套辅导书高等教育出版社01/教材与配套辅导书概率论与数理统计(第5版)英文版

ProbabilityandStatistics（FifthEdition)德沃尔（JayL.Devore)著高等教育出版社

课外阅读参考02/阅读参考教材深度拓展学习参考概率论及其在投资、保险、工程中的应用英文版

Probability:TheScienceofUncertaintyWithApplicationstoInvestment,Insurance,andEngineering比恩(MichaelA.Bean)

著机械工业出版社02/阅读参考教材03/推荐读物

培养良好的听课习惯：04/学习建议在课堂上努力跟上教师的进度和思维,积极参与,勤于思考，勇于提出问题，积极回答问题，形成与教师的良性互动,提升课堂学习效率.

培养良好的复习习惯：04/学习建议及时复习每堂课的内容,对重要内容不仅要知其然和知其所以然,要善于从整体出发思考这些内容出现的必然性,前后内容相互联系和逻辑演进，要在复习中深入思考、自主探究、敢于试错，提升提出问题的能力.

培养良好的作业习惯：04/学习建议及时独立完成作业.作业的目的巩固所学内容的,也是深化理解知识内涵，拓宽思维视角，培养独立自主思考的重要途经，及时完成往往能达到事半功倍的效果;作业也是师生进行交流的重要渠道,只有独立完成才能反馈真实信息,否则会误人误己.05/引言—理解两类现象两类现象确定性现象能准确预知其结果的现象不确定性现象不能准确预知其结果的现象伽利略铁球实验：在比萨斜塔上同时抛下两个大小不同的铁球同时落地.一个铁球从已知高度垂直下落到达地面的时间是确定的？还是不确定的？如果是一片羽毛呢？富兰克林说：人的一生只有死亡和税收是不可避免的？毛泽东主席说：人固有一死，或重于泰山，或轻于鸿毛.拉普拉斯说:生活中最重要的问题实际上多半是概率问题，严格来讲，人们甚至可以说几乎所有的知识都是或然的.05/引言—理解两类现象评述1：许多确定性现象往往是在给定理想条件下人们对自然规律的认识，在现实中，理想条件受其他因素干扰而破坏，影响程度及人们对结果精度的要求决定了我们将其视为确定性现象还是随机现象.评述2：一定意义上，现实世界中确定性现象是相对的，不确定性现象是绝对的，这既依赖于我们掌握的所考察的现象的知识、信息，也依赖于我们对结果及其测量的精度要求.评述3：不确定性和变化使得世界丰富多彩，使得我们生活更加趣味盎然，更使得我们满怀热情去探究未知，创造更美好的生活，但另一方面，不确定性也会给我们带来意想不到的损失甚至灾难.06/人类早期对不确定性的直觉客观世界的规律是客观存在，科学的发展是不断认识和发现并准确地表达规律，一种现象在获得科学认识之前，人们往往凭着经验、直觉予以面对.不确定性现象也不例外！赌博是人类最古老的休闲活动，或许在远古时代就考虑过概率的基本思想，至少在经验层面对概率计算有直觉的、模糊的认识.在许多古老文明中都发现骰子，它们非常可能用于占卜或者赌博，不幸的是关于如何玩这些各式各样的赌博游戏，以及是否存在其中的各种可能性的计算，没有文字记录.06/人类早期对不确定性的直觉客观世界的规律是客观存在，科学的发展是不断认识和发现并准确地表达规律，一种现象在获得科学认识之前，人们往往凭着经验、直觉予以面对.不确定性现象也不例外！基于不确定性事件的概率上的考虑用于实际决策，最早的文字记录可上溯到纪元之初的犹太文献，这些文献是关于各种犹太法律的应用.在记录犹太教士关于犹太律法解释方面的所作的讨论的犹太法典中，有关于由已知概率的事件，确定其复合事件概率的加法法则和乘法法则的应用.在与大自然的抗争中，在古代，人们就萌生了保险的思想和原始形态的保险方法.06/人类早期对不确定性的直觉客观世界的规律是客观存在，科学的发展是不断认识和发现并准确地表达规律，一种现象在获得科学认识之前，人们往往凭着经验、直觉予以面对.不确定性现象也不例外！例1（犹太法典中的婚姻契约）：契约规定如果丈夫与妻子离婚或早于妻子去世，他必须支付给妻子的金额.另一方面如果妻子先去世，丈夫可以继承她的全部财产.妻子对这个契约享有的权利可以出售.问题是：这一权利可以出售多少钱？例2（罗马法律）：有关于终身年金的适当定价，继承的权利、海事贷款的讨论，但没有给出数值计算方面的记录.07/概率论的开端不太正经的发端——赌徒的好奇心！

赌徒梅勒（ChevalierdeMéré）向数学家帕斯卡(法)提出了一个令他苦恼很久的问题：

两个赌徒相约赌博，谁先赢满s局就算谁赢，赢者得到全部赌本。现在一个人赢了a局，另一个人赢了b局，其中a<s,b<s,赌博因故终止，问赌本该如何分配才合理？

帕斯卡将这一问题和他的解答寄给了费马(法)，此时的时间是1654年7月29日.

惠更斯（荷）到巴黎时听说了帕斯卡和费马通信的事，企图自己来解决这一问题，结果写成《论赌博中的计算》一书，时间是1657年.07/概率论的开端概率论最早的著作：《论赌博中的计算》——惠更斯Pascal

1623-1662Fermat

1601-1665Huyg(h)ens1629-169508/分赌本问题的思考

历史上曾有人认为上述问题的解是：按照已赢的局数来分赌本，即按照a:b的比例分配，甲得赌本的a/(a+b)，乙得赌本的b/(a+b),你认为合理吗？也有人提出按照还需要赢的局数的反比例：(s-b):(s-a)来分配，你认为合理吗？08/分赌本问题的思考2.假设甲、乙进行一局赌博，假设甲赢的机会是乙的3倍，赢者拿走全部赌本T，问在赌博前，甲乙各自“有望”（期望）得到多少赌本？赌博因故未能进行，赌本该如何分配才是合理的？甲期望得到赌本3T/4,甲期望得到赌本T/43.对甲、乙而言，下列情况，其各自面临的境况是否相同？在先赢满两局者胜的规则中，甲乙比分为1:0时在先赢满三局者胜的规则中，甲乙比分为2:1时在先赢满十局者胜的规则中，甲乙比分为9:8时为赢得全部赌本，甲还需要赢一局，乙需要赢两局08/分赌本问题的思考评述1：决定赌本分配的是剩余的总局数以及规则言明的每个玩家获得全部赌本需要赢的局数，而这种决定关系则基于未来赢得全部赌本之机会（概率）.评述2：因而赌本分配问题中，甲乙各分得赌本的比例由假设的剩余赌博中“甲在乙赢满(s-b)局之前先赢满(s-a)局”的概率:“乙在甲赢满(s-a)局之前先赢满(s-b)局”的概率所确定.09/赌本分配问题求解举例甲赢乙赢第4局第5局甲赢乙赢

设甲乙各自拿本金50个金币参与赌博，约定谁先赢3局可得到所有金币.已知前3局甲赢了2局，

乙赢了1局，但因故赌博终止，问总赌本100个金币应如何分配.

10/概率论的发展简史早期研究——18世纪特点：缓慢、断断续续，问题较具体、理论发展少，方法主要是组合推理，感兴趣的数学家很少.重要成果：1713年，贝努利《猜度术》，贝努利定理，大数定律的最早形式1718年，德莫弗《机会的学说》，德莫弗-拉普拉斯定理的特殊形式，中心极限定理的一部分1764年，贝叶斯去世三年后，其临终前完成的论文发表，主要考虑从观察数据确定概率，现在被称作贝叶斯定理10/概率论的发展简史发展的19世纪特点：沿袭确定概率的方向，系列的统计方法及其基础性概率理论成果产生，分析（微积分）方法普遍使用.重要成果：◆拉普拉斯：1812年,《概率的解析理论》，数学上严格化的初次尝试，提出了概率的古典定义，正态规律的推导◆高斯：奠定了最小二乘法和误差理论的基础，正态分布，亦称高斯分布◆泊松：推广大数定律，引入重要的泊松分布◆切比雪夫：大数定律的创建者之一◆马尔可夫：独立随机变量和，古典极限理论，推广大数定律和中心极限定理11/概率论的现代化迈入现代化的20世纪初19世纪末到20世纪初，以切比雪夫、马尔科夫、李雅普诺夫师徒为代表的彼得堡学派把概率论推到现代化的门槛，后由学派后继者柯尔莫哥洛夫的概率公理化推进数学主流.马尔科夫：随机过程开创者，马尔科夫链1933年，柯尔莫哥洛夫，《概率论的基础》建立了概率论的公理化体系.11/概率论的现代化金融数学的先驱——LouisBachelier

在1900年，索邦大学的学生LouisBachelier提交了其博士论文“ThéoriedelaSpéculation”(投机理论)，指导老师是法国大数学家HenriPoincaré.

论文预见了许多当今金融理论和概率论后续的主要发展.巴舍利耶的文章的三个主要方面：他认为在纯粹投机市场中的股票价格是纯随机(Random)的发展了布朗运动的数学理论计算了几个期权的价格12/概率论的发展阶段总结萌芽时期(1654年之前)主要手段:数据统计，主要涉及保险、赌博、占卜等实际问题古典概率论时期(1654—1812)主要手段：排列组合方法,主要研究离散型随机变量,标志性著作是1657年惠更斯的《论赌博中的计算》近代概率论时期(1812—1933)主要手段：微积分等分析方法,以研究连续型随机变量为主;

标志性著作是1812年拉普拉斯的《分析概率论》现代概率论时期(1933年之后)主要手段：以集合论和测度论成果为基础，建立概率论的公理化体系;标志性著作是1933年拉柯尔莫戈洛夫的《概率论的基础》概率论萌芽古典概率论惠更斯《论赌博中的计算》1657近代概率论拉普拉斯《分析概率论》1812现代概率论柯尔莫戈洛夫《概率论基础》193316541812193313/概率论与数理统计的关系(1)数理统计：从样本的特征推断总体的特征总体样本概率论数理统计概率论：从总体的特征导出样本的特征假设我们认为“90年代出生的人有生二胎意愿的占60%”，那么我们可能会问：随机调查100位90年代出生的人，至少有70人有生二胎意愿的可能性有多大？或者问：我们预期100人的样本中预期有多少人有生二胎的意愿？概率论问题假设我们调查获得100位90年代出生的人的样本，其中有65人有生二胎意愿，那么我们可能会问：这一样本信息能否提供潜在证据支持我们做出“90年代出生的人中有超过50%的人有有生二胎的意愿？统计推断问题

概率论、数理统计均为研究不确定性现象（也称随机现象）的学科，它们沿着“逆向而行”的方向揭示包含在不确定性现象中的统计规律，相互对照、相互支持

构成不确定性科学的整体.13/概率论与数理统计的关系(1)数理统计：从样本的特征推断总体的特征概率论：从总体的特征导出样本的特征

概率论、数理统计均为研究不确定性现象（也称随机现象）的学科，它们沿着“逆向而行”的方向揭示包含在不确定性现象中的统计规律，相互对照、相互支持

构成不确定性科学的整体.概率论研究随机现象一般规律，为随机性规律的定量描述提供逻辑体系和规则。数理统计研究如何收集、处理数据，并从实际数据出发针对不确定性对象做出合理判断。提供理论支撑提供分析框架概率论数理统计提供实际判断提出理论需求总体样本概率论数理统计

跟整个数学学科一样，尽管许多学者处于学科内在的兴趣进行纯粹的概率论研究，不断完善和推动概率论学科的发展，但概率论的诞生和许多持续不断的重要发展来自于数学以外的实际问题的动机.

事实上费马那个时期以来，概率论的发展受到赌博、人口统计、保险、遗传学、量子物理等等领域研究的极大影响.

另一方面，概率论自身无论对经济学还是工程都具有深刻的影响，或许可以说，在过去200年的世界历史中，概率论扮演着重要角色.例如：

海事保险使得海运托运人免除对海难导致破产的担心，从而促进了商业海运业大规模发展，进而奠定了19世纪英国的经济和政治的优势地位，也促进了国际贸易的发展.14/概率论的应用

如今，概率论已广泛应用于工程、金融、医学、气象、管理等领域.例如：

工程应用：概率论用于对测量及其变化的不确定性的量化，用于描述和分析系统的寿命（可靠性）并帮助工程师设计成本有效的且可靠的系统，生产过程中的质量控制，分析和设计含有多服务窗口和多顾客的等待服务系统的排队论.

精算科学：主要分析未来不确定性事件所产生的财务后果.特别是分析大的不可预见的损失对财务产生的负面影响，设计缓冲这些损失造成的有害影响.

金融工程：这是一个较新并快速发展的学科，主要聚焦于金融市场的风险分析以及管理这些风险的产品与技术的设计.14/概率论的应用15/概率的经验基础——统计规律性概率论把具有统计规律的不确定现象称为随机现象，并以此为研究对象。随机现象不确定性现象无法准确其结果抛掷一枚，将出现正面还是反面？确定明天是否会下雨？某只股票明天收盘价会是多少？某新型号手机今年的销量是多少？许多不确定性现象大量重复出现时其结果表现出量的规律性不确定性统计规律性抛掷一枚均匀硬币很多次，出现正面和反面次数大致相同；天气预报显示明天降水概率为30%。

历史上研究随机现象的规律性的最著名的试验是抛硬币试验，大量重复抛掷时，发现出现正面和反面的次数大致相当，即出现正面的次数占抛掷的总次数的比例（即频率）与出现反面次数占抛掷的总次数比例均大致为0.5。试验者德摩根(DeMorgan)

2048

10610.5181蒲丰(Buffon)

404020480.5069皮尔森（PearsonK)

1200060190.5016皮尔森（PearsonK)

24000120120.500515/概率的经验基础——统计规律性频率的稳定性体现了概率的客观存在，是一个特定随机现象的特定事件的内在属性。对于特定的随机现象，一个特定事件的概率是一个固定值，不因随机试验而改变。频率是概率在随机试验中的外在表现，是对概率的实际测量，大量重复试验得到的频率近似于概率，频率是概率的估计。每做一组试验，频率会变，即估计会变，概率却永远不变。

概率的频率解释也称为客观解释16/概率的频率解释16/概率的频率解释

考虑抛掷一枚硬币，在没有任何抛掷这枚硬币的历史数据情况下，只能作出正面朝上的概率在0到1之间这一结论。

如果被告知已进行1000次抛掷中观察到有550次正面朝上，对正面朝上的概率做出一个估计：55%，但这只是一个估计，真实的概率还是不知道的。

假如进一步被告知，另外做的1000次抛掷中观察到510次正面朝上，重新将概率估计为53%（2000次抛掷中共出现1060次正面朝上），同样，真实的概率仍然是未知的。释例17/概率的贝叶斯解释主要观点与概率的频率解释相反，将概率视为对个人信念的度量，这一观点被称作概率的贝叶斯解释或主观解释。即使基于同一组试验数据，对于同一个事件，不同的人可能会设定不同的概率概率会随时间变化而变化，以反映新的信息以及个人意见的变化。17/概率的贝叶斯解释

在不知晓抛掷给定的硬币的任何历史数据情况下，贝叶斯主义者可能感觉硬币正反两面是对称的，于是他的信念：出现正面的概率为50%.

如果被告知已进行的1000次抛掷中观察到有550次出现正面，会认为出现正面的概率接近55%，原先对概率的信念是不正确的。

假如进一步被告知，另外再做的1000次抛掷中观察到510次出现正面，那么会认为出现正面的概率接近53%，而不是原先认为的接近55%.

抛掷硬币出现正面的概率不是固有的常数，而是随时间变化的量以反映试验提供的信息和由此产生的新的看法。释例18/贝叶斯解释还是频率解释？

持主客观两种不同观点的概率学家之间一直存在争论，而且不同时间阶段，两种观点分别在学术界占据主导地位。

随着概率论面向日益广泛的实践应用，两种观点各自表现出不同优势和局限。

如今一个普遍的认识是，针对不同的实际问题的不同特征，往往需要采用不同的概率解释，而且经常需要联合使用贝叶斯方法和频率方法。19/概率模型构成的三要素

概率论通过概率模型来对随机试验结果的可能性进行量化和推断。作为随机现象的数学描述，概率模型需要遵循一个一般性框架，并具有自身的一般性逻辑体系。19/概率模型构成的三要素

20/概率论严密体系构建的必要性频率稳定值为“概率”提供了客观和经验基础，仅仅依靠频率方法量化不确定性依赖于频率稳定值这一模糊的概念，存在严重的逻辑缺陷。可见，频率稳定值本身不能体现“概率”的抽象本质，不能作为概率的数学定义。

许多随机现象进行重复试验所面临的困难，许多复杂（复合）的事件的概率需要从简单事件的概率推导确定

尽管在许多应用中，我们基于频率得到概率的直观理解就足够了，但我们还是希望让自己确信我们所做的一切是建立在牢固的学科基础之上，我们的结论是符合逻辑的。20/严密体系构建的途径——公理化数学上构建逻辑演绎体系的根本出发点在于对现实世界对象及其相互关系和关系的演化的抽象。数学的抽象首先是概念的抽象，通过严密的逻辑演绎体系建立起的概念之间的严密逻辑联系形成对现实规律的本质的认识古典概型作为一个等可能概率模型，可视为概率论公理化的第一次努力，一代代数学家都为推进和实现概率论的全面公理化，以适应一切类型试验，而不懈奋斗，直到1933年，苏联数学家柯尔莫哥洛夫才完全建立起概率论的公理化体系。20/概率公理化的早期努力——古典概型早期的概率学家便将注意力集中在一类特殊的试验：只有有限个可能结果，并且假设所有可能结果有相同的可能性（即相同的概率）。如今称为古典概型。起源于机会游戏（赌博）相关问题的研究，由法国数学家拉普拉斯(Laplace)在总结早期人们基于组合推理所研究的概率问题提出的。虽然古典概型的假设过于理想化，但对于早期概率学家研究机会游戏的相关问题而言，这种假设却是合理的。古典概型虽然局限于简单而特殊的随机现象，但其思想光芒照耀着概率论后续发展之路。它开启了研究不确定性的逻辑方法，使概率学家把注意力从零散的具体问题的研究转向集中发展概率的逻辑体系。因而可视为概率论公理化的第一次努力。第2章样本空间、随机事件与概率中国人民大学龙永红Content目录第2讲

样本空间与事件1第3讲随机事件的概率23第4讲计数原理与典型计数问题4第5讲古典概型计算典型问题第2讲样本空间与事件集合的有关概念样本空间

事件事件域—事件的公理化/01集合的有关概念一、集合集合：数学上把某些研究对象放在一起形成的整体称为集合.

一、集合

二、集合的关系与运算包含（子集），相等，真包含（真子集），互补，不交两个集合之间的关系两个集合之间的运算并，交，差，补任意多个集合之间的运算

二、集合的关系与运算一组集合，如果其中任何两个集合都不交，称这组集合两辆不交，或称这组集合不交，或称组集合为不交集组。不交集组集合的分割

二、集合运算的性质

二、集合运算的性质

三、集合的笛卡尔乘积

两个集合笛卡尔乘积

三、集合的笛卡尔乘积

三、集合的笛卡尔乘积

四、笛卡尔乘积集的子集1-1-111YX110XY013-3XY01YX

图2-2二维实数集

笛卡尔乘积集合的子集不一定能够表示为笛卡尔乘积的形式

五、集类

五、集类

/02样本空间一、样本空间的概念

样本空间

样本点一、样本空间的概念

有限样本空间：只含有有限多个试验结果（样本点）的样本空间。无限样本空间：含有无限多个试验结果（样本点）的样本空间。可数样本空间：含有可数无限多个试验结果（样本点）的样本空间。不可数样本空间：含有不可数无限多个试验结果（样本点）的样本空间。离散样本空间：有限样本空间和可数样本空间统称离散样本空间。连续样本空间：样本空间是一个连续的集合（区间或区域）二、多维样本空间

在一个相对复杂的随机模型中，一个试验往往由多个子试验组合而成，样本空间则由多维空间来描述。

比如：抛掷两次硬币；抛掷10次硬币；抛掷两枚骰子；抛掷一枚硬币和一枚骰子；考察一个家庭三个孩子的性别。三、样本空间选择

在一个具体的试验中，根据实际问题需要，可以选择不同的样本空间。

三、样本空间选择

三、样本空间选择

前面的例子表明：我们可以根据我们的关注点对一个样本空间中的结果重新“定义”，把一些结果合并为一个结果，从而得到一个新的样本空间。

但需要注意：这种合并必须满足样本空间的两个基本要求:不同结果之间相互排斥。这是因为随机试验过程只能产生唯一结果。也就是说，我们不能把原有结果重复合并到不同新结果中。试验结果不能遗漏。对于我们确定的任何样本空间，不管试验过程发生什么情况，必须保证总能得到样本空间里的一个结果。

上述两个要求，在简单情况容易把握，但在复杂的试验中，我们如果不加小心，则容易发生违背两个要求的情况。/03事件

一、事件的含义

二、事件的表示事件可以通过陈述相应的特征来表示，称为事件的描述性表示，如上例。另一方面，我们用样本空间表示试验所有可能结果的集合，那么一个事件便由所有具有相应特征的那些可能结果所刻画，它是样本空间的一个子集。用样本空间的子集来表示事件称为事件的集合表示。

二、事件的表示

例1掷两个骰子可能的点数

样本空间：基本事件：

事件举例：思考：该试验一共有多少个事件?三、随机事件的关系和运算1.事件的包含2.事件的相等

AΩBΩA=B

事件由集合表示，事件的关系和运算与集合的关系和运算相对应，集合关系和运算的性质、法则也完全对应到事件的关系和运算之中，但学习中应该从事件本身的内涵来理解事件的关系和运算，并从事件角度出发表述其关系和运算。

A发生必然导致B发生，B发生也必然导致A发生三、随机事件的关系和运算3.事件的和4.事件的积

A

ΩBΩAB“事件A与B至少有一个发生”“事件A与B都发生”5.事件的差

ΩAB易见：

A

–

B

=A

–

AB.三、随机事件的关系和运算6.对立事件

7.互斥事件

A

ΩAΩB例2某人向指定目标射击三枪,令Ai=“第i枪击中”,i=1,2,3,请用上述三个事件分别表示下列事件：三、随机事件的关系和运算(1)只有第一枪击中(2)至少有一枪击中(3)至少有两枪击中(4)至多有两枪击中解:

三、随机事件的关系和运算练习一个电路如下图所示:这一事件可表示为______________令Ai=“第i个开关闭合”,i=1,2,3,4,则“电路a至b导通”a2b13

4练习

在这学期的概率统计考试中,令A=优秀=[90,100],B=良好=[80,90),C=中等=[70,80),

D=及格=[60,70),P=通过=[60,100],F=未通过=[0,60).三、随机事件的关系和运算找出具有包含关系的事件对找出互斥的事件对找出对立的事件对找出全部的完备事件组练习

袋中装有3个白球2个黑球,从袋中不放回地取球,令A=“取球直到剩下的球的颜色全相同为止,剩下的全是黑球”，B=“第5次取到黑球”,讨论:随机事件A与B的关系三、随机事件的关系和运算练习

设A,B,C为三个随机事件,用A,B,C的运算关系表示下列各事件.(1)A,B,C不多于一个发生.(2)A,B,C不多于两个发生.(3)A,B,C至少有两个发生；

三、随机事件的关系和运算/04事件域—事件的公理化定义

对于一个给定的样本空间，一个事件是样本空间的一个子集。那么是不是任何子集都作为事件呢？一、事件域的引入

二、事件域公理

三、事件域的其他性质

四、伯努利事件域

五、离散样本空间事件域

博雷尔事件域除了由半直线集类生成，也可以等价地有其他集类生成。

第2章样本空间、随机事件与概率中国人民大学龙永红Content目录第2讲

样本空间与事件1第3讲随机事件的概率23第4讲计数原理与典型计数问题4第5讲古典概型计算典型问题第3讲随机事件的概率概率公理与概率的性质古典概型与几何概型概率的加法公式概率的连续性/01概率公理及概率的性质一、概率的公理化定义

无论概率的频率解释还是主观解释，也无论具体情况如何确定概率，为了保障事件概率之间具有逻辑一致性，即所确定的概率之间不矛盾，要求作为确定概率的集函数要满足一些共同的要求，这些要求归结以下几条公理，概率满足的其他一般性质，可以由这几条公理导出。一、概率的公理化定义

二、频率与质量的概率抽象属性

【例2.8】（概率与质量）概率与质量在概念的形式化层面具有共同性：如果把某物体整体看成一个样本空间，物体的每一个点视为样本空间中的元素（即样本点）；把整个物体的质量归一化为一个单位，即样本空间（全空间）总质量视为1，满足归一化公理；显然，质量满足非负性和可加性。因而总质量归一化后，质量满足概率公理。反过来，我们也可将概率视为质量。事实上，在后续的讨论中，我们将看到，概率的许多概念和方法借鉴了物理中的质量的相关概念和方法。三、概率的性质/02古典概型与几何概型一、离散概率模型

概率公理为实际概率构造提出了基本要求，在实际中则需要由具体问题的特点出发来构造概率。我们首先讨论一类结构相对简单的概率模型——离散模型，即样本空间为有限或可数集的情形。一、离散概率模型

二、古典概型

古典概型是一个特殊的离散概率模型，它针对有限个可能结果情形，假设了每一个可能结果的概率相等，因而也称之为离散等可能模型或离散均匀模型，相应的概率分布列，称为离散均匀概率分布列（简称离散均匀分布）。二、古典概型

三、连续概率模型

当样本空间是连续的集合时，我们称相应的概率模型为连续模型。对于连续模型，不像离散模型那样通过确定每一个基本事件的概率就可以确定事件域中任意事件的概率。

一个直接的困难在于，概率的可加性公理只限于有限和可数个事件的并的概率，而一个连续样本空间的那些连续子集是不可数集，不可能由可数个基本事件构成，因而，仅仅由基本事件的概率无法在概率公理框架下确定不可数子集的概率。

如何确定连续样本空间中的概率使其符合概率公理框架？是连续模型的关键问题。如何解决这一问题，这里讨论一类特殊情形——几何概型，一般情况需要进一步的知识，留待后续章节讨论。三、几何概型几何概型是一类特殊的连续模型——连续等可能模型（也称连续均匀模型），其中每个可能结果出现可能性相同.

如何理解连续等可能模型？如何由等可能性确定概率模型的基本要素？我们从一个特殊的例子入手。

三、几何概型问题：在几何概型中，每个点被取到的可能性相同，意味着：每个点被取到的概率为0，为什么？每个点被取到的概率为0是否完整刻画了等可能性？为什么？如何合理刻画等可能性？类比于物体质量分布，同样的问题是如何刻画质量分布均匀呢？

设想有一根棍棒，于是将其质量视为分布在一个线段上，任取其中一段，若质量分布是均匀的，意味着这一段物体质量与位置无关，只与其长度成正比，进一步，假设棍棒总长度视为1个长度单位，总质量视为一个质量单位，那么每一段的质量就等于长度，这就是质量分布均匀的本质特征。

图2-5概率和质量的均匀分布三、几何概型

三、几何概型

三、几何概型

/03概率的加法公式一、加法公式二、概率的进一步性质/03概率的连续性一、单调集列的极限

概率的连续性是指概率作为一个集函数关于集合变量的极限的连续性，也即概率函数运算与集合变量的极限运算的交换性质。我们首先需要引入集合列的极限的概念，这里只讨论单调集列这一特殊情形。一般集合列的极限问题，将在后续概率的极限理论中展开讨论。根据事件域的可数运算封闭性，事件列的极限还是事件，这一事件称为事件列的极限事件。二、集函数的上连续与下连续概念三、概率的连续性概率测度作为特殊的集函数具有下连续性和上连续性，我们称之为概率的连续性。

四、从有限可加性到可数可加性由概率可数可加性公理可导出了概率的有限可加性，但反之，有限可加性不能导出可数可加性。

从连续性的定义和概率连续性的证明来看，连续性似乎涉及的正是从有限可加过渡到可数可加性的关键。

下列定理正式地明确了可数可加性与有限可加性和连续性之间的关系。四、从有限可加性到可数可加性

第2章样本空间、随机事件与概率中国人民大学龙永红Content目录第2讲

样本空间与事件1第3讲随机事件的概率23第4讲计数原理与典型计数问题4第5讲古典概型计算典型问题第4讲计数原理与典型计数问题计数原理排列问题

组合问题分割问题/01计数原理一、应用计数的典型情况

二、加法原理

当给定几个互不相交的表示可能选择的集合时，如果需要计算所有可能选择的总数，显然只要将每个集合中包含的选择数求和即可。这一原理称为加法原理。用集合的语言来表述，即：不交集合的并集中元素个数等于各集合的元素个数之和。二、乘法原理

二、乘法原理三、乘法原理

/02排列问题

事实上，例2.14中的车牌号数和例2.15中的集合的子集个数都是重复排列数。/03组合问题

二、二项式系数

三、组合恒等式

/04分割问题一、分割与有序分割

二、分割数与有序分割数

三、有序分割（多项组合）

三、有序分割（多项组合）

三、有序分割（多项组合）

三、有序分割（多项组合）

第2章样本空间、随机事件与概率中国人民大学龙永红Content目录第2讲

样本空间与事件1第3讲随机事件的概率23第4讲计数原理与典型计数问题4第5讲古典概型计算典型问题第4讲古典概型计算典型问题超几何概率二项概率

分组问题生日问题抽签问题匹配问题应用计数法计算古典概率要点

利用计数法，我们可以避免列举全部试验结果和事件中包含的试验结果，事实上，在一些复杂的古典概型问题中，列举全部试验结果是繁琐而复杂的，有时甚至是不可能完成的任务。由于根据实际情况对试验的结果可以有不同的看法，从而选择不同的样本空间，不同的样本空间选择会导致不同的古典概率计算。但是，无论如何选择，我们始终牢记于心的是样本空间的设定必须满足古典概型的假设条件。具体而言，需要保证两个要求：一是每一个可能结果具有等可能性，二是所考虑的事件必须是设定的样本空间的子集。比如，在考虑选择排列还是组合来计数时，需要把事件和样本空间统一考虑，以满足上述两个要求。/01超几何概率超几何概率

/02抽签问题抽签问题

抽签问题

抽签问题

/03二项概率二项概率

/04分组问题分组问题

/05生日问题生日问题

生日问题

生日问题

/05匹配问题匹配问题

匹配问题

第三章条件概率与序贯概率模型CHAPTER1RANDOMEVENTSANDPROBABILITIES中国人民大学龙永红Content目录第6讲

条件概率1第7讲独立性23第8讲序贯概率模型

第6讲条件概率条件概率的定义乘法公式全概率公式贝叶斯公式/01条件概率的定义一、条件概率的引入

唯物辩证法认为事物是普遍联系的，世界上一切事物都不是孤立存在的，而是和周围其他事物相互联系着的，整个世界就是一个普遍联系着的有机整体。不同学科都是从不同角度研究不同领域中事物相互联系的规律。

概率论认为，由于事物之间的相互联系，一个事件的发生会包含另外一个事件是否发生的信息，利用这种信息，可以改进事件发生的概率的推断。概率论引入条件概率的概念来描述这一改进的概率。下面的概率问题都是求条件概率的问题：在掷骰子的试验中，如果已知掷出的点数是偶数，那么点数为6的概率有多大？在一批产品中随机抽取一件，发现是甲厂生产的，那么它是次品的概率有多大？天气预报今日某地将出现雷暴天气，那么该地起飞的某航班发生延误的概率有多大？在体检中，发现某人甲胎蛋白含量超标，那么他患肝癌的概率有多大？一、条件概率的引入直观描述

当已知随机现象的某些信息或已知某事件已经发生的时候,我们往往会改变对一个事件的概率的推断.

一、条件概率的引入引例一批产品中甲厂生产的占60%,乙厂生产的占40%,又知甲厂产品的次品率为10%.乙厂产品的次品率为5%，从这批产品中随机抽取一件,

求下列概率：（1）该产品是甲厂生产的概率；（2）该产品是乙厂生产的概率；（3）如果已知该产品是甲厂生产的，它是次品的概率；（4）如果已知该产品是乙厂生产的，它是次品的概率；（5）该产品是次品的概率；（6）如果已知该产品是次品，它是甲厂生产的概率；（7）如果已知该产品是次品，它是乙厂生产的概率；二、古典概型与几何概型中的条件概率1.古典概型

2.几何概型ΩAB

三、条件概率的数学定义

数学定义含义:条件概率P(B|A)度量的是AB相对于事件A发生的相对可能性.则在事件A发生下事件B发生的条件概率定义为ΩAB

例1从一个装有3个黑球7个白球的袋中不放回地取两次球,(1)已知第一次是黑球,求第二次也是黑球的概率;(2)已知第二次是黑球,求第一次也是黑球的概率;(3)已知取出的两球中有一个是黑球,求另一个也是黑球的概率.四、条件概率的计算

例2一副扑克牌,去掉大小王,一共52张牌.任取两张,计算条件概率：四、条件概率的计算(1)P(两A|有A);(2)P(两A|有红桃A).解:两有两有两且有有两且有一红桃有红桃两有红桃两且有一红桃有红桃例3

一个班中有60%的学生喜欢物理，70%的学生喜欢数学，40%的学生既喜欢物理又喜欢数学，现从班上随机选取一位学生。（1）已知该生喜欢数学，那么他喜欢物理的概率有多大？（2）已知该生喜欢物理，那么他喜欢数学的概率有多大？四、条件概率的计算

这两个概率的含义是，喜欢数学的学生中约有57%喜欢物理，喜欢物理的学生约有66.7%喜欢数学。可见条件概率能够把事件的概率联系（也称统计联系）表达更为清晰。五、条件概率满足概率公理

(1)非负性：

0≤P(

A

|

B)

(2)规范性：

P(Ω

|B)＝1(3)可加性：对两两互斥的事件列A1,A2,…,有六、条件概率的其他概率性质求差公式特别的,求和公式特别的,当A1,A2互斥时，例4七、条件概率性质的应用解析:设

则/02乘法公式一、两个事件交的概率乘法公式乘法公式Ω

条件概率的定义本身给出了由有关的无条件概率计算条件概率的公式。但在有些问题中，特别是针对具有序贯特征的试验建立的概率模型，根据试验的条件容易确定条件概率，反过来，我们可以由条件概率来确定序贯发生的事件（交事件）的无条件概率，

例5练习假设国航飞机准点起飞的概率为90%,而在准点起飞的条件下,准点到达的概率为90%,求国航飞机准点起飞且准点到达的概率.一、两个事件交的概率乘法公式A=“国航飞机准点起飞”B=“国航飞机准点到达”P(AB)=P(A)P(B|A)=90%×90%=0.81练习一批产品中甲厂生产的占60%,又知甲厂产品的次品率为10%.从这批产品中随机抽取一件,

则该件产品是甲厂次品的概率为_______.一、两个事件交的概率乘法公式解:记A="甲厂产品",B="次品",则已知:而所求的概率为注意:区分条件概率P(A|B)与乘积的概率P(AB).二、多个事件交的概率乘法公式

对任意三个事件A,B,C,若P(ABC)>0,则有一般乘法公式注：上述公式中各事件的顺序可以任意交换，实际中选取什么顺序，取决于我们知道或方便得到哪些条件概率

例6

从一个装有3个黑球7个白球的袋中不放回地取球,求下列事件的概率:(1)第三次才取到黑球;

(2)前三次取到黑球.二、多个事件交的概率乘法公式思路:先引入简单事件,再用简单事件的概率求目标事件的概率.分析:记Ai="第i次取到黑球",i=1,2,3.则例6

从一个装有3个黑球7个白球的袋中不放回地取球,求下列事件的概率:(1)第三次才取到黑球;

(2)前三次取到黑球.二、多个事件交的概率乘法公式解:记Ai="第i次取到黑球",i=1,2,3.则(1)所求概率为(2)所求概率为三、乘法公式的应用

分组问题.现有4位数学学院学生和12位经济学院学生，随机分成四个组去开展乡村调查，每组4人。求每组分到一位数学学院学生的概率。例7

三、乘法公式的应用

分组问题.现有4位数学学院学生和12位经济学院学生，随机分成四个组去开展乡村调查，每组4人。求每组分到一位数学学院学生的概率。例7/03全概公式一、全概公式的引入引例1抽签公平性从装有3个黑球7个白球的袋中不放回地取球,求第2次取到黑球的概率.分析：记B=

"

第2次是黑球",思路一：引入古典概型Ω，将B表为子集直接求概率P(B)思路二：将第二次取球的事件根据第一次取球的不同结果分解为不同情况,再综合得到第二次取球的事件的概率。

引例2

（混装良品率）A国进口商进口一批某型号的手机，原产地I占45%，原产地V占35%，原产地为C占比20%，已知产自I的手机良品率为80%，产自V的手机良品率为90%，产自C的手机良品率为98%，现从这批手机任意抽取一件进行质量检测，求它是良品的概率。一、全概公式的引入算术解法C原产地占比良品率良品占总品比例I45%80%V35%90%C20%98%合计100%87.1%引例2

（混装良品率）A国进口商进口一批某型号的手机，原产地I占45%，原产地V占35%，原产地为C占比20%，已知产自I的手机良品率为80%，产自V的手机良品率为90%，产自C的手机良品率为98%，现从这批手机任意抽取一件进行质量检测，求它是良品的概率。一、全概公式的引入

概率视角与解法

二、全概公式定理1：对任意两个事件A和B,若0<P(A)<1,则有

情况描述条件概率权数：情况发生的概率情况1情况2例2【赌徒输光问题】

甲乙赌博,赌本一共N元,甲的赌本为i元,乙的赌本为N-i元,0≤

i

≤N.毎次赌博,甲以概率p贏1元,以概率q=1-p输1元,各局相互独立.假设当其中一方输光时赌博停止,求甲最終贏得全部赌本的概率.二、全概公式

A=“第1局甲赢”.

例2【赌徒输光问题】二、全概公式

三、全概公式一般形式

三、全概公式一般形式定理2：

所以,利用求和公式,有

四、全概公式的结构

例3设华为手机玻璃盖板由星星科技、蓝思和比亚迪三家供货,分别占比50%、20%和30%,各家的次品率分别为2%、4%和3%.

现把各家供货混合,随机抽一块盖板,求其为次品的概率.五、全概率公式应用举例例3五、全概公式应用举例2%4%3%50%20%30%解:令B=“抽中为次品”,A1=“抽中星星产品”,

A2=

“抽中蓝思产品”,A3=“抽中比亚迪产品”.例3五、全概率公式应用举例2%4%3%50%20%30%解:令B=“抽中为次品”,A1=“抽中星星产品”,

A2=

“抽中蓝思产品”,A3=“抽中比亚迪产品”.五、全概公式应用举例练习甲拿20万和乙拿10万用一枚均匀骰子赌单双:如果开出是单,甲赢10万;

如果是双,乙赢10万.赌局一直进行,直到有一方输光.请问甲最终获胜的概率有多大?分析:令B="甲最终获胜",A="第一局甲赢",五、全概公式应用举例练习甲拿20万和乙拿10万用一枚均匀骰子赌单双:如果开出是单,甲赢10万;

如果是双,乙赢10万.赌局一直进行,直到有一方输光.请问甲最终获胜的概率有多大?解:

令A=“第一局甲赢”,B=“甲最终获胜”,则从上式可解得,综上,甲最终获胜的概率为五、全概公式应用举例练习假设有位老师想估算某位学生《概率统计》考试及格的概率.根据他多年的教学经验,

他知道学习认真者考试及格的概率为97%,

而不认真者考试及格的概率为30%.同时,他觉得这位学生学习认真的概率为70%.请问这位老师能确定这位学生考试及格的概率吗？解:令A="学习认真",

B="考试及格",则已知的是而所求的概率为/04贝叶斯公式一、一个简单例子中的直觉

二、直觉的形式化

三、贝叶斯公式：问题与结构

例1六、贝叶斯2%4%3%50%20%30%解:令B=“抽中为次品”,A1=“抽中星星产品”,

A2=

“抽中蓝思产品”,A3=“抽中比亚迪产品”.已知抽取的是次品,问此次品最可能来自哪家？四、贝叶斯公式与因果推理

8.5/贝叶斯推断举例

例2五、贝叶斯推断举例（假阳性之谜）一种检测方法用于对某种罕见病的检查，如果受检者患有该病，其检测结果为阳性的概率为0.95（称为患者检出率，也称检测敏感性）；如果受检者未患这种疾病，其检测结果为阴性的概率为0.94（称为非患者检出率，也称检测特异性），从而，未患该病的受检者被检测为阳性的概率为0.06（称为假阳性）。现在假设某一人群中患有这种病的概率为0.001，并在这个人群中随机抽取一个人进行检测，检测结果为阳性，那么这个人真的患有这种病的概率有多大？例3

五、贝叶斯推断举例

例3在现实生活中，如何对待检测结果是一个大的问题。典型地，存在以下几个误解：（1）公众往往把类似于本例中的患者检出率0.95当作检测为阳性的人患有这种病的概率。（2）人们也通常把本例中检测的假阳性概率0.06当作检测为阳性者的假阳性概率。（3）实际中常有把检测为阳性者中实际患病的比率作为检测水平和检测能力的衡量。问题：本例中十分精确的检验方法为什么没有产生高的检验结果可信度（检验为阳性者实际患病的概率很低，本例为1.56%）呢？在现实中如何提高医学检测结果的可信度呢？结果显示，尽管这一检测方法已十分精确，然而，一个经检测为阳性的人仍然不太可能患有这种疾病（检测阳性者患有该疾病的概率仅为1.56%）。六、贝叶斯信息推理

例4

（取球问题与信息推理）

六、贝叶斯信息推理

例4（取球问题与信息推理）

六、贝叶斯信息推理

例4（取球问题与信息推理）

简要总结:全概率公式与贝叶斯公式1.有相同的前提条件:事件列A1,A2,···,An构成一个样本空间的分割,即2.有相同的已知信息:3.有不同的问题提法:全概率公式贝叶斯公式拓展例5一起夜间交通事故，事故后肇事车辆逃逸。经取证确认肇事车辆是一辆出租车，有目击证人作证说肇事车辆是红色出租车。在与出事当夜相同的环境下测试了目击者的可信度,并得出结论,在80%的时间里,

目击者能正确识别两种颜色,20%的时间里不能.你能据此确定肇事车辆是红色的概率吗？如不能还需要哪些信息？比如，本市出租的颜色都是蓝色和红色，比例分别为85%和15%。85%15%夜间一车撞人逃逸据专家现场分析,夜间正确识别车颜色的概率为80%.拓展例5解:设A={红色肇事},B={蓝色肇事},C={目击者说是红色},

则有P(C|A)=0.8,P(C|B)=0.2,P(A)=0.15.由贝叶斯公式得:拓展例6

A、B和C被关在一个监狱里,他们中有一个被处死另外两个被释放,也就是说每个人有1/3的概率被处死.监狱的看守是唯一知道这三人中谁会判死刑,哪两位会获释的人.现在A给他母亲写了一封信,想要B和C中能获释的把信带给他母亲.当A问看守他应当把信交给B还是C时,这位看守是一个富有同情心的人,感到他正面临两难境地：

如果他把某位将要获释的人告诉A,那么,他认为A就会有1/2的概率被判死刑,因为或者A,或者余下的那人一定被处死.如果他隐瞒这信息,A的被处死的概率仍是1/3.

现问看守的担心是否正确?因为A已经知道B和C两人中一定有一人会获释,他被处死的概率怎么可能会因他知不知道这个人是谁所影响?拓展例6答案是：A被处死的概率不变,而这位看守的担心是错误的.即使把将会获释的人告诉A,A被处死的概率仍然是1/3,但是,另外一个人被处死的概率变为2/3.怎么可能会这样呢?我们先给出一个直接的解法（列举法），看下表：拓展例6拓展例6

如果看守告诉A说B将会获释,那么就只可能出现(1a)和(3):或者A会被处死,或者C会被处死.(3)的概率是(1a)的两倍,因此,A获释的概率两倍于被处死的概率.他有2/3的概率获释,有1/3的概率被处死.即被处死的概率没变,但是由于B被释放,C被处死的概率便加倍了.同样如果看守告诉A说C将会获释会得到类似的结果,即A被处死的概率不变仍然是1/3,但是B被处死的概率加倍为2/3.拓展例6A表示A被处死,B表示B被处死,C表示C被处死,表示看守告诉A,B将被释放,表示看守告诉A,C将被释放,我们已知拓展例6同样我们可以得到也就是说看守告诉A的信息并没有改变他被处死的概率.思考：有更简单的方法吗？拓展例6【蒙提霍尔问题】类似我们再看一例(蒙提霍尔问题):假设你在进行一个游戏节目,给三扇门供你选择:一扇门后是一辆轿车,另外两扇门后是空的.你挑选一扇门,比方说1号门,而知道其余两扇门后是什么的主持人打开另一扇门,比方说3号门,那里是空的.然后他问你,“你想挑选2号门吗？”改变选择对你有利吗？答案是：你应当改变.事实上和监狱看守一样,你选择一扇门,其后为一辆轿车的概率是1/3,这扇门其后是轿车的概率不因你看到另外一扇门后是空的而改变,仍然是1/3,而如果你在一扇门已被排除之后改变选择,你获得轿车的机会是2/3.第三章条件概率与序贯概率模型中国人民大学龙永红Content目录第6讲

条件概率1第7讲独立性23第8讲序贯概率模型

第7讲独立性两个事件的独立性多个事件的独立性条件独立性可靠性/01两个事件的独立性事件之间往往存在着相互联系在概率论中关注的是事件之间的统计联系，即统计规律上的联系统计联系是指一个事件的发生与否包含了另一事件的某些信息，从而影响对后者发生的概率估计统计联系本质上是信息上的联系，区别于机理上的联系统计联系用条件概率来度量

一、独立性的引入回顾条件概率的几个要点一、独立性的引入

有时候额外的信息（知识）并不影响概率估计引例及其启示引例

二、两个事件的独立性的定义一个更好的定义独立性的定义

设A

与B

是任意两个随机事件,如果它们满足下述等式那么称A

与B

相互独立,简称独立.

好在哪？更美！——形式上的对称美，反映相互性的内涵美更方便！——更容易验证和应用更完整！——包含了零概率事件例1将一枚均匀骰子连抛两次,考虑下列事件

A="第一次出现的点数为4",B="第二次出现的点数为3",

C=“两次点数之和为7”,

D="两次点数之和为6”判断(1)A与C是否独立?

(2)A与D是否独立?

(3)C与D是否独立?解:由题意得:所以A与C独立所以A与D不独立所以C与D不独立二、两个事件的独立性的定义例2从一副不含大小王的扑克牌中任取一张，记

A=“抽到A”,

B="抽到的牌是红桃".问事件A,B是否独立?解:由题意得:可见：所以，A与B独立.二、两个事件的独立性的定义二、两个事件的独立性的定义在古典概型和几何概型中，独立性等价于比例不变性，比如：

练习考虑有3个小孩的家庭,小孩的性别一共有8种情形：

bbb,bbg,bgb,gbb,bgg,gbg,ggb,ggg.考察事件A=“有男有女”,

B=“至多一个女孩”,判断A,B是否独立.思考：若只有2个小孩,A,B是否独立？二、两个事件的独立性的定义三、独立的性质例4一辆机场交通车载有25名乘客途经9个站,假设每位乘客在这九站中任意一站下车是等可能的,且交通车只在有人下车时才停.令

A=“第i站停车”,

B="第j站停车”.判断A与B是否相互独立,并说明理由.解:A与B不独立,理由如下：三、独立的性质思路:根据性质,

A与B独立

和

独立显然,

,即

和

不独立,所以A和B也不独立./02多个事件的独立性一、多个事件的独立性引入问题设A,B,C

是三个随机事件,如何定义三个事件的相互独立性？例如,若已知A与C独立,

B与C独立,

能否推出AB与C独立？进一步，还假设A与B也独立呢？引例将一枚均匀骰子连抛两次,考虑下列事件

A

="第一次出现的点数为4",

B

="第二次出现的点数为3",

C

="两次点数之和为7".前面讨论已知A,B都与C独立,问题是AB与C是否独立?二、多个事件的独立性三个事件的独立性对于三个事件A,B,

C,若下列四个等式全成立则称它们相互独立,简称独立.若只有前三个等式成立,则称它们两两独立.多个事件的独立性

二、多个事件的独立性

二、多个事件的独立性

三、事件列的独立性事件列的独立性其中k

=2,3,···,

则称事件列A1,A2,···相互独立,简称独立.

四、独立的性质性质1若有限或可列个事件相互独立,则将其中的任意部分事件替换为各自的对立事件,形成的新事件列仍相互独立例如若A,B,

C相互独立,则下列各组事件也相互独立

性质2例5甲、乙、丙三人各射一次靶,设他们相互不影响且各自中靶的概率分别为0.5

,

0.6和0.8,求三人中有人中靶的概率.解：令A,B,C分别表示甲、乙和丙中靶,则由题可知A,B,C相互独立且而所求概率为四、独立的性质例【学以致用：彩票中奖】假设某彩票每周开奖一次,每次提供百万分之一的中奖机会,假设你每周买一张并坚持买了十年之久,请问十年中你中过奖的概率有多大?(每年按52周计算)解：A=“第i周中奖”,

i=1,2,···,520.则由题可知,

A1,

A2,···

,

A520独立而所求概率为五、独立的性质/03条件独立一、条件独立的定义

前面曾经指出，给定某一事件的条件下，所有事件的条件概率形成了满足概率公理的一个新的概率测度。我们自然可以讨论这个新的概率测度（条件概率测度）下的独立性。二、条件独立的等价描述

三、相互独立与条件独立的关系

三、相互独立与条件独立的关系

下面的例子说明条件独立也不意味着无条件独立三、相互独立与条件独立的关系

/04可靠性一、可靠性与可靠性理论

在工程领域，一个元件能正常工作的概率称为元件的可靠性，由若干元件组成一个系统，系统正常工作的概率称为该系统的可靠性。

近代以来，由于电子技术的发展，元件与系统可靠性成为工程领域非常重要的研究和实践课题，其已发展成为工程和应用概率的一门交叉学科——可靠性理论。一个复杂系统往往可以分解为一些子系统，子系统由若干元件或更小的子系统以串联或者并联的方式连接而成。在多个元件构成的复杂系统中，通常假定各个元件的表现相互独立，这将极大地简化系统可靠性的计算和分析。二、串联系统的可靠性三、并联系统的可靠性四、附加通路系统的可靠性

图3-6附加通路系统五、并联系统的可靠性

图3-7附加元件系统

第三章条件概率与序贯概率模型中国人民大学龙永红Content目录第6讲

条件概率1第7讲独立性23第8讲序贯概率模型

第8讲序贯概率模型序贯试验序贯试验的样本空间与事件域序贯试验的概率试验的独立性/01序贯试验一、序贯试验

如果我们考察的一个试验可以视为多个小试验按照特定次序组合而成的复合试验，这样的试验称为序贯试验，刻画序贯试验的概率模型称为序贯概率模型。

在前面的讨论的某些概率计算问题中，比如计数法的乘法原理和概率的乘法公式，我们实际上使用了一种序贯的思考方式：

先考虑一个事件发生，然后考虑在这个事件发生的情况下另一事件发生，依次进行。其中我们并不必关心实际试验本身是否真的以序贯方式进行的，而是根据思考和解决问题的方便选择特定的序贯次序（或步骤）来考虑。

当然，在实际中也有许多试验本身就是以序贯方式进行，比如，抛掷硬币2次，或先抛一次硬币再抛一次骰子，又或者连续5天观察某只股票收盘价格等等一、序贯试验表示

序贯试验的样本空间有两种等价的刻画方式，一种是乘积空间的方式，一种是序贯树的方式。乘积空间表示二、序贯试验表示序贯树表示我们也可以把试验结果用图3-8（b）中的序贯树来表示，它的优点是能够清晰地显示试验的序贯特征。试验的每一个结果可以用一个末端的树叶来表示，或等价地用与一个树叶相关联的从树根到该树叶的路径来表示。序贯树的每一个节点代表一个事件，这个事件是由该节点出发的所有树叶构成的事件。

尽管序贯树在许多具体问题中为我们带来方便，但在一般的理论讨论中，我们要回避具体试验的特殊树形结构，因而我们一般基于样本空间的乘积空间描述来讨论一般的序贯概率模型。/02序贯试验的样本空间与事件域一、序贯试验的样本空间与事件

一、序贯试验的样本空间与事件

一、序贯试验的样本空间与事件

一、序贯试验的样本空间与事件

二、序贯试验的事件域

/03序贯试验的概率一、序贯试验概率测度满足的必要条件

二、序贯试验的概率决定

二、序贯试验的概率决定

/04试验的独立性一、试验的独立性的定义

一、试验的独立性的定义

一、试验的独立性的定义

二、试验的独立性与乘积概率测度

二、试验的独立性与乘积概率测度

三、独立重复试验

/05独立重复伯努利试验与二项概率

二、二项概率与二项分布

二、二项概率与二项分布

二、二项概率与二项分布

二、二项概率与二项分布

二、可数重伯努利试验与几何分布

二、可数重伯努利试验与几何分布

第四章离散随机变量中国人民大学龙永红C