江苏省连云港市东海高级中学2025-2026学年高二（下）第一次质检数学试卷(含简略答案)

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年江苏省连云港市东海高级中学高二（下）第一次质检数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.若直线l方向向量为（2，1，m），平面α的法向量为，且l⊥α，则m为（）A.1 B.2 C.4 D.2.中国灯笼又统称为灯彩，主要有宫灯、纱灯、吊灯等种类.现有4名学生，每人从宫灯、纱灯、吊灯中选购1种，则不同的选购方式有（）A.34种 B.43种 C.3×2×1种 D.4×3×2种3.若展开式的常数项为60，则常数a的值为（）A.2 B.4 C.6 D.84.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=2AA1=4，∠BAA1=∠DAA1=60°，∠BAD=90°，M是B1D1的中点，则AM的长为（）A. B. C. D.5.由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字且1，3不相邻的六位数的个数是（）A.36 B.72 C.600 D.4806.若，则a2=（）A.22 B.19 C.-20 D.-197.从集合M={1，2，3，4，5，6，7，8，9}中分别取2个不同的数作为对数的底数与真数，一共可得到（）个不同的对数值A.72 B.59 C.56 D.538.已知f（x）=（1+x）m+（1+2x）n（m∈N*，n∈N*），f（x）的展开式中含x2的项的系数为15，则f（x）的展开式中含x的项的系数是（）A.6或7 B.6 C.8或9 D.9二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.对于m，n∈N*关于下列排列组合数，结论正确的是（）A.C=C B.C=C+C

C.A=CA D.A=（m+1）A10.已知的展开式的各项系数之和为1024，则展开式中（）A.奇数项的二项式系数和为256 B.第6项的系数最大

C.存在常数项 D.有理项共有6项11.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，Q是棱DD1上的动点，则下列说法正确的是（）

​​​​​​​

​​​​​​​A.存在点Q，使得C1Q∥A1C

B.存在点Q，使得C1Q⊥A1C

C.对于任意点Q，Q到A1C的距离的取值范围为

D.对于任意点Q，△A1CQ都是钝角三角形三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，则恰有一个空盒的放法共有

种（用数字作答）．13.已知正四面体ABCD的每条棱长都等于1，点E，F分别是BC，AD的中点，则•的值为

.14.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB=4，AD=3.沿AC把△ACD折起，使二面角D1-AC-B为直二面角，则二面角D1-BC-A的余弦值为

.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知向量，.

（1）若，求实数k；

（2）若向量与所成角为锐角，求实数k的范围.16.(本小题15分)

3名男生与4名女生，按照下列不同的要求，求不同的方案的方法总数，按要求列出式子，再计算结果，用数字作答.

（1）从中选出2名男生和2名女生排成一列；

（2）全体站成一排，男生互不相邻；

（3）全体站成一排，甲不站排头，也不站排尾；

（4）全体站成一排，甲、乙必须站在一起；17.(本小题15分)

如图，△ABC和△DBC所在平面垂直，且AB=BC=BD，∠CBA=∠DBC=120°.求：

（1）直线AD与直线BC所成角的大小；

（2）直线AD与平面BCD所成角的大小；

（3）平面ABD和平面BDC的夹角的余弦值.18.(本小题17分)

设，求：

（1）a0+a2+a4+a6；

（2）a1+a3+a5+a7；

（3）|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|+|a6|+|a7|.19.(本小题17分)

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC=1，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.

（1）求证：PB⊥平面EFD；

（2）若平面PBC与平面PBD的夹角的正弦值为，

（i）求AD长；

（ii）求直线PC与平面DEF所成角的正弦值.

​​​​​​​

1.【答案】C

2.【答案】A

3.【答案】B

4.【答案】A

5.【答案】D

6.【答案】C

7.【答案】D

8.【答案】C

9.【答案】ABC

10.【答案】BCD

11.【答案】BC

12.【答案】144

13.【答案】-2

14.【答案】

15.【答案】解：（1），，

∵，∴，解得；

（2）由（1）知，，，

∵向量与所成角为锐角，

∴=1-k+2+4k＞0，解得k＞-1，

又当时，，可得实数k的范围为{k|k＞-1且k≠}．

16.【答案】432．

1440．

3600．

1440．

17.【答案】解：（1）过A作AO⊥BC于点O，连DO，

由△ABC和△DBC所在平面垂直，且平面ABC∩平面DBC=BC，可得AO⊥平面BDC，

由AB=BC=BD，∠CBA=∠DBC=120°，可得AC=DC，∠ACB=∠DCB，

又CO=CO，得△AOC≌△DOC，则OD⊥OC．

以点O为原点，分别以OD，OC，OA所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，

设AB=1，则O（0，0，0），D（，0，0），B（0，，0），C（0，，0），A（0，0，），

=（，0，-），，

∵=（，0，-）•（0，1，0）=0，

∴AD与BC所成角等于90°；

（2）由（1）可知=（0，0，1）为平面BCD的一个法向量，

设直线AD与平面BCD所成角的大小为θ，

则sinθ=|cos＜，＞|=|-|=|-|=，∴θ=45°，

即直线AD与平面BCD所成角的大小=45°；

（3）设平面ABD的法向量为=（x,y,z），

则，取z=1，得=（1，，1），

=（0，0，1）为平面BCD的法向量．

设二面角A-BD-C大小为θ，则

|cosθ|==，

∴平面ABD和平面BDC的夹角的余弦值为．

18.【答案】解：（1）因为，

所以取x=1，得到，①

取x=-1，得到，②

①+②，得；

（2）根据（1）知：；

（3）（3x-1）7展开式的通项为：，

故当r为偶数时，对应系数为正；当r为奇数时，对应系数为负，

故|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|+|a6|+|a7|=（a1+a3+a5+a7）-（a0+a2+a4+a6）

=8256-（-8128）=16384．

19.【答案】解：（1）证明：在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，故AD⊥DC，

侧棱PD⊥底面ABCD，而AD，DC底面ABCD，故侧棱PD⊥AD，侧棱PD⊥CD，

PD=DC=1，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F，

以D为原点，以DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图，

设AD=a,则．

∵，

∴，∴PB⊥DE．

∵EF⊥PB，且EF∩DE=E，EF，DE⊂平面EFD．

∴由线面垂直的判定定理得PB⊥平面EFD．

（2）（i）设平面PBC的法向量为，又，

∴，令y=1，得，

设平面PBD的法向量，

∴，令x1=1，得，

设平面PBC与平面PBD