山东省济南市西城实验中学2025-2026学年高一（下）阶段性学情质量监测数学试卷(含简略答案)

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年山东省济南市西城实验中学高一（下）阶段性学情质量监测数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.=（）A.-i B.-2i C.i D.2i2.已知是不共线的向量，且，则（）A.A，B，D三点共线 B.A，B，C三点共线 C.B，C，D三点共线 D.A，C，D三点共线3.已知向量，为单位向量，，则，的夹角为（）A.30° B.45° C.60° D.120°4.某广场内设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的，如图所示，若被截正方体的棱长是40cm,则石凳的表面积为（）A.

B.

C.

D.

5.已知△ABC的外接圆圆心为O，且，，则向量在向量上的投影向量为（）A. B. C. D.6.某数学兴趣小组成员为测量某建筑的高度OP，选定在同一水平面上的A，B，C三处（OP垂直于平面OAC），如图.已知在A，B，C处测得该建筑顶部P的仰角分别为30°，45°，60°，B是AC的中点，米，则该建筑的高度OP为（）A.米

B.米

C.米

D.米7.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a,b,c,已知c=4，，则a+b范围为（）A. B. C.（4，8] D.8.给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为60°，点C在以O为圆心的圆弧AB上运动.若.其中x,y∈R，则2x+3y的最大值是（）A. B. C. D.二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.下列结论正确的有（）A.侧棱垂直于底面的棱柱一定是直棱柱

B.等底面积、等高的两个柱体，体积相等

C.有两个面是平行的相似多边形，其余各面都是梯形的几何体是棱台

D.用斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图时，菱形的直观图还是菱形10.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,下列说法正确的是（）A.△ABC的内心为I，那么

B.若，则点O是△ABC的外心

C.已知，若△ABP面积为8，则△ABC的面积为16

D.O为△ABC的垂心，且，则11.在复平面内，已知正三角形ABC的顶点A，B对应的复数为2+i,3+2i,则顶点C对应的复数可能是（）A.+i B.+i

C.+i D.+i三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若，且△ABC有两解，则b的取值范围是

.13.某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，BC⊥DG，垂足为C，tan∠ODC=，BH∥DG，EF=12cm，DE=2cm，A到直线DE和EF的距离均为7cm，圆孔半径为1cm，则图中阴影部分的面积为

cm2．

​​​​​​​14.如图，在△ABC内有一点P满足∠PAB=∠PBC=∠PCA=α，称P为△ABC的布洛卡点，α为布洛卡角，若AB=AC，sin，则sinC=

，tanα=

.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

当实数m为何值时，复数z=+（m2-2m）i为

（1）实数？

（2）虚数？

（3）纯虚数？16.(本小题15分)

已知两个单位向量与的夹角为，设.

（1）求最小值；

（2）若与的夹角为钝角，求t的取值范围.17.(本小题15分)

在△ABC中，已知AB=2，AC=5，∠BAC=60°，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P.

（1）求AP长；

（2）求∠MPN的余弦值.18.(本小题17分)

在△ABC中，内角A，B，C对应边分别为a,b,c,△ABC的面积为S，且.

（1）求角B的大小；

（2）设点D是线段AC上靠近A的三等分点，BD=2，求△ABC的面积的最大值.

（3）设点M是三角形内一点，且，过点M作直线l分别交BA，BC（或延长线）于点P，Q，求的最大值.19.(本小题17分)

已知△ABC内角A，B，C所对的边分别是a,b,c,且sin2A+sin2B=2+cos2C.

（1）证明：；

（2）求的最值；

（3）若c=6，，求△ABC的面积S的取值范围.

1.【答案】C

2.【答案】D

3.【答案】C

4.【答案】C

5.【答案】B

6.【答案】D

7.【答案】C

8.【答案】B

9.【答案】AB

10.【答案】ABD

11.【答案】CD

12.【答案】

13.【答案】

14.【答案】

15.【答案】解：（1）z为实数，则虚部m2-2m=0，

可得，

解得m=2，

∴m=2时，z为实数．

（2）z为虚数，则虚部m2-2m≠0，且m≠0，

解得m≠2且m≠0．

当m≠2且m≠0时，z为虚数．

（3）z为纯虚数，则，

解得m=-3，

∴当m=-3时，z为纯虚数．

16.【答案】解：（1）由题可得，

∴

==，

当且仅当时，取等号，

∴的最小值为．

（2）由题，可得，

若与共线，设，

即，

又向量与不共线，∴，解得，t=-4．

当t=-4时，与共线反向；

若与的夹角为钝角，则，且t≠-4，

解得且t≠-4，

∴t的取值范围是．

17.【答案】解：（1）由余弦定理得：，

故．

AM，BN是中线，交点P是△ABC的重心，重心分中线比为AP：PM=2：1，BP：PN=2：1，延长AM到点D，使MD=AM，连接BD：

因为M是BC中点，BM=MC，∠AMC=∠DMB，AM=DM，

所以△AMC≅△DMB，得BD=AC=5，且∠ABD=180°-∠BAC=120°．

在△ABD中由余弦定理：

，

故，又AD=2AM，所以．

由重心性质，得：．

（2）如图所示，N是AC中点，所以，在△ABN中，

已知，由余弦定理得：

故．

故，

又M，N分别是BC，AC中点，可得．

在△MPN中，由余弦定理：，

又，，

所以．

18.【答案】解：（1）在△ABC中，由余弦定理、三角形面积公式及，

得，那么，而B∈（0，π），

因此．

（2）由点D是线段AC上靠近A的三等分点，得，则，

所以，那么，

当且仅当a=2c时取等号，因此（ac）max=6，

因