上海市崇明区扬子中学2025-2026学年高二（下）学程练习数学试卷（3）(含答案)

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年上海市崇明区扬子中学高二（下）学程练习数学试卷（3）一、单项选择题：本大题共4小题，共18分。1.已知函数f（x）=sinx-2cosx,则的值为（）A. B. C. D.2.曲线=1与曲线=1（k＜9）的（）A.长轴长相等 B.短轴长相等 C.离心率相等 D.焦距相等3.如果函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示，则以下关于y=f（x）判断正确的是（）

A.在区间（2，4）上是严格减函数 B.在区间（1，3）上是严格增函数

C.x=-3是极小值点 D.x=4是极小值点4.点P为抛物线C：y2=4x准线上的点，若存在过P的直线交抛物线C于A、B两点，且|PA|=|AB|，则称点P为“Ω点”，那么下列结论中正确的是（）A.准线上的所有点都不是“Ω点”

B.准线上的所有点都是“Ω点”

C.准线上仅有有限个点是“Ω点”

D.准线上有无穷多个点（不是所有的点）是“Ω点”二、填空题：本题共12小题，共54分。5.直线x-y+1=0的倾斜角

.6.双曲线的离心率为

.7.圆x2+y2+2x-4y=0的圆心坐标是

.8.椭圆的焦距为2，则a=

．9.函数y=ln（2-5x）导数为

.10.已知函数f（x）=2x2+1，则=

.11.函数y=x3在区间[0，2]的平均变化率与在x=x0（0≤x0≤2）处的瞬时变化率相同，则正数x0=

.12.设椭圆

与双曲线

有公共焦点

是两条曲线的一个公共点，则cos∠F1PF2

等于

．13.若函数f（x）=x2-mlnx在（0，1]上为减函数，则实数m的取值范围是

.14.已知函数f（x）=x3+3mx2+nx+m2在x=-1时有极值0，则m+n=

．15.已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为，则椭圆上一点A（x0，y0）处的切线方程为.试运用该性质解决以下问题：椭圆C：，点B为C在第一象限中的任意一点，过点B作C的切线l,l分别与x轴和y轴的正半轴交于M，N两点，则△OMN面积的最小值为

.16.若不等式ex≥ax对任意x≥-1成立，则a的取值范围是

.三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题14分)

已知抛物线Γ：y2=4x.

（1）求抛物线Γ的焦点F的坐标和准线l的方程；

（2）过焦点F且斜率为的直线与抛物线Γ交于两个不同的点A、B，求线段AB的长.18.(本小题14分)

已知点在双曲线上，且双曲线的一条渐近线的方程是.

（1）求双曲线C的方程；

（2）若过点（0，1）且斜率为k的直线l与双曲线C仅有一个交点，求实数k的值.19.(本小题14分)

已知a是实数，函数f（x）=x2（x-a）．

（1）若f′（1）=3，求a的值及曲线y=f（x）在点x=1处的切线方程；

（2）求f（x）在区间[0，2]上的最小值．20.(本小题18分)

设常数m＞0且m≠1，椭圆Γ：+y2=1，点P是Γ上的动点．

（1）若点P的坐标为（2，0），求Γ的焦点坐标；

（2）设m=3，若定点A的坐标为（2，0），求|PA|的最大值与最小值；

（3）设m=，若Γ上的另一动点Q满足OP⊥OQ（O为坐标原点），求证：O到直线PQ的距离是定值．21.(本小题18分)

已知函数f（x）=-2alnx-，g（x）=ax-（2a+1）lnx-，其中a∈R.

（1）若x=2是函数f（x）的驻点，求实数a的值；

（2）当a＞0时，求函数g（x）的单调区间；

（3）若存在x∈[，e2]（e为自然对数的底），使得不等式f（x）≤g（x）成立，求实数a的取值范围.

1.【答案】D

2.【答案】D

3.【答案】B

4.【答案】B

5.【答案】

6.【答案】

7.【答案】（-1，2）

8.【答案】2

9.【答案】

10.【答案】8

11.【答案】

12.【答案】

13.【答案】[2，+∞）

14.【答案】11

15.【答案】2

16.【答案】[-，0]∪[，e]

17.【答案】（1）解：由y2=4x,可得2p=4，即p=2．

则抛物线的焦点坐标为F（1，0），准线l的方程为x=-1．

（2）解：过焦点F且斜率为的直线与抛物线Γ交于两个不同的点A、B，

设A（x1，y1），B（x2，y2），则直线l的方程为．

联立直线与抛物线方程

消去y,整理得x2-18x+1=0，

则x1+x2=18，

又因|AF|=x1+1，|BF|=x2+1，

故弦长|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+2=18+2=20．

18.【答案】解：（1）由条件可知，，且，

解得：，b2=1，

所以双曲线方程为3x2-y2=1；

（2）设直线l的方程为y=kx+1，

联立，消去y,可得（3-k2）x2-2kx-2=0，

当3-k2≠0时，由Δ=4k2+8（3-k2）=0，得；

当3-k2=0，即时，此时直线l与双曲线C的渐近线平行，满足条件，

综上可知，或．

19.【答案】解：（1）根据题意，f（x）=x2（x-a），则f'（x）=3x2-2ax，

因为f′（1）=3-2a=3，所以a=0．

当a=0时，f（1）=1，f'（1）=3，

所以曲线y=f（x）在点x=1处的切线方程为3x-y-2=0．

（2）由（1）可知，f'（x）=3x2-2ax．

令f'（x）=0，解得x1=0，x2=．

当≤0，即a≤0，f（x）在[0，2]上单调递增，从而fmin=f（0）=0．

当≥2，即a≥3，f（x）在[0，2]上单调递减，从而fmin=f（2）=8-4a．

当0＜＜2，即0＜a＜3，f（x）在[0，]上单调递减，在[，2]上单调递增，

从而fmin=f（）=-．

综上所述，fmin=．

20.【答案】（1）解：椭圆Γ：+y2=1，点P（2，0）是椭圆上的点，所以m=2，

则，

所以Γ的焦点坐标为；

（2）解：设P（x，y），其中-3≤x≤3，且A（2，0），

则，即，

所以=，

因为-3≤x≤3，

所以当x=-3时，|PA|2取得最大值为25，

当x=时，|PA|2取得最小值为，

所以|PA|的最大值为5，最小值为；

（3）证明：当m=时，椭圆的方程为4x2+y2=1，

设P（x1，y1），Q（x2，y2），

当直线PQ的斜率存在时，设其方程为y=kx+t，

联立方程组，

​​​​​​​可得（4+k2）x2+2ktx+t2-1=0，

所以，

则Δ=（2kt）2-4（t2-1）（4+k2）＞0，

因为OP⊥OQ，

所以，

即x1x2+（kx1+t）(kx2+t）=0，

即，

所以，

化简可得1+k2=5t2，满足Δ＞0，

故点O到直线PQ的距离d==为定值；

当直线PQ的斜率不存在时，因为OP⊥OQ，

则直线PQ的方程为x=，

所以点O到直线PQ的距离d=为定值．

综上所述，O到直线PQ的距离是定值．

21.【答案】解（1）若x=2是函数f（x）的驻点，则

f′（2）=0，可得-2a×+=0，即得．

（2）函数g（x）的定义域为（0，+∞），

g′（x）=a-+==．

当a＞0时，令g′（x）=0，可得x=＞0或x=2．

①当=2，即a=时，对任意的x＞0，g′（x）≥0，

此时，函数g

（x）的单调递增区间为（0，+∞）．

②当0＜＜2，即a＞时，

令g′（x）＞0，得0＜x＜或x＞2；

令g′（x）＜0，得＜x＜2．

此时，函数g（x）

的单调递增区间为（0，）和（2，+∞），单调递减区间为（，2）．

③当＞2，即0＜a＜时，令g′（x）＞0，得0＜x＜2或x＞；令g′（x）＜0，得2＜x＜．

此时，函数g

（x）的单调递增区间为（0，2）和（，+∞），单调递减区间为（2，）．

综上所述：a=时，函数g

（x）的单调递增区间为（0，+∞）．

a＞时，函数g（x）

的单调递增区间为（0，）和（2，+∞），单调递减区间为（，2）．

0＜a＜时，函数g

（x）的单调递增区间为（0，2）和（，+∞），单调递减区间为（2，）．

（3）由f（x）≤g

（x），可得ax-ln

x≥0，即a≥，其中x∈[，e2]．

令h（x）=，x∈[，e2]，若存在x∈[，e2]

，使得不等式f（x）≤g

（x）成立，则a≥h（x）min，

x∈[，e2]，h′