2026年线性代数解题技巧与习题

2026年线性代数解题技巧与习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在线性代数中，若矩阵A为3×4矩阵，矩阵B为4×3矩阵，则矩阵乘积AB的秩最大可能为多少？A.1B.2C.3D.4解析：矩阵乘积AB的行数等于A的行数3，列数等于B的列数3，因此AB为3×3矩阵。矩阵的秩等于其非零子式的最高阶数，由于A的行数为3，B的列数为3，且A和B的秩均不超过各自维数，根据秩的性质，AB的秩最大为min(秩A，秩B)≤min(3，3)=3。当A和B均为满秩矩阵时，AB的秩可达3。2.已知向量组α₁=(1,2,3)，α₂=(0,1,2)，α₃=(0,0,1)，α₄=(1,1,1)，则该向量组的秩为多少？A.1B.2C.3D.4解析：向量组α₁，α₂，α₃，α₄的秩等于它们构成的矩阵的秩。将这四个向量作为矩阵的列向量，得到矩阵$$\begin{bmatrix}1&0&0&1\\2&1&0&1\\3&2&1&1\end{bmatrix}$$对矩阵进行初等行变换：R₂-R₁→R₂，R₃-R₂→R₃，得$$\begin{bmatrix}1&0&0&1\\1&1&0&0\\1&1&1&0\end{bmatrix}$$R₃-R₂→R₃，得$$\begin{bmatrix}1&0&0&1\\1&1&0&0\\0&0&1&0\end{bmatrix}$$该矩阵的秩为3，因此向量组的秩为3。3.设线性方程组Ax=b的增广矩阵为$$\begin{bmatrix}1&2&3&4\\2&4&6&8\\1&0&1&2\end{bmatrix}$$则该方程组的解的情况为：A.无解B.唯一解C.无穷多解D.不能确定解析：对增广矩阵进行初等行变换：R₂-2R₁→R₂，R₃-R₁→R₃，得$$\begin{bmatrix}1&2&3&4\\0&0&0&0\\0&-2&-2&-2\end{bmatrix}$$R₃/-2→R₃，得$$\begin{bmatrix}1&2&3&4\\0&0&0&0\\0&1&1&1\end{bmatrix}$$R₁-2R₃→R₁，得$$\begin{bmatrix}1&0&1&2\\0&0&0&0\\0&1&1&1\end{bmatrix}$$该矩阵的秩为2，而系数矩阵的秩为1，因此方程组无解。4.已知矩阵A为4×4矩阵，且|A|=8，则矩阵A的伴随矩阵A的行列式|A|等于多少？A.1/8B.8C.32D.2048解析：根据伴随矩阵的性质，|A|=|A|^(n-1)，其中n为矩阵的阶数。对于4×4矩阵A，有|A|=|A|^3=8^3=512。但根据伴随矩阵的另一个性质，|A|=|A|^(n-1)=|A|^3=8^3=512，这与选项不符，可能是题目有误。根据线性代数教材的标准公式，|A|=|A|^(n-1)，对于4×4矩阵，|A|=|A|^3=8^3=512，但选项中没有512，可能是题目印刷错误。根据最新教材，伴随矩阵的行列式应为|A|^(n-1)，对于4×4矩阵，|A|=|A|^3=8^3=512，但选项中没有512，可能是题目印刷错误。5.设向量组α₁=(1,0,1)，α₂=(0,1,1)，α₃=(1,1,α)线性相关，则α的取值为：A.1B.2C.3D.任意实数解析：向量组线性相关的充要条件是它们构成的矩阵的行列式为0。将向量组作为矩阵的列向量，得到矩阵$$\begin{bmatrix}1&0&1\\0&1&1\\1&1&α\end{bmatrix}$$计算行列式：$$\begin{vmatrix}1&0&1\\0&1&1\\1&1&α\end{vmatrix}=1×(1×α-1×1)-0×(0×α-1×1)+1×(0×1-1×1)=α-1-1=α-2$$令行列式等于0，得α-2=0，即α=2。6.已知矩阵A为3×3矩阵，且A的转置矩阵Aᵀ的秩为2，则矩阵A的秩为：A.0B.1C.2D.3解析：根据矩阵的秩与其转置矩阵的秩相等的性质，矩阵A的秩等于其转置矩阵Aᵀ的秩，即秩A=秩Aᵀ=2。7.设线性变换T:R³→R³的矩阵表示为$$\begin{bmatrix}1&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{bmatrix}$$则向量(1,1,1)在T下的像为：A.(2,1,1)B.(1,1,1)C.(1,0,1)D.(0,1,1)解析：线性变换T的像等于矩阵乘以该向量，即$$\begin{bmatrix}1&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1×1+0×1+1×1\\0×1+1×1+0×1\\1×1+0×1+0×1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2\\1\\1\end{bmatrix}$$8.已知矩阵A为4×4矩阵，且A的秩为3，则矩阵A的伴随矩阵A的秩为：A.0B.1C.3D.4解析：根据伴随矩阵的性质，若矩阵A的秩为n-1，则伴随矩阵A的秩为1。对于秩为3的4×4矩阵A，其伴随矩阵A的秩为1。9.设线性方程组Ax=b的系数矩阵A为3×3矩阵，且秩(A)=2，增广矩阵的秩为3，则该方程组的解的情况为：A.无解B.唯一解C.无穷多解D.不能确定解析：根据线性方程组解的判定定理，若系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩，则方程组无解。这里秩(A)=2，秩(增广矩阵)=3，因此方程组无解。10.已知向量组α₁=(1,1,1)，α₂=(1,0,1)，α₃=(0,1,1)，α₄=(1,1,0)，则该向量组的秩为：A.1B.2C.3D.4解析：向量组α₁，α₂，α₃，α₄的秩等于它们构成的矩阵的秩。将这四个向量作为矩阵的列向量，得到矩阵$$\begin{bmatrix}1&1&0&1\\1&0&1&1\\1&1&1&0\end{bmatrix}$$对矩阵进行初等行变换：R₂-R₁→R₂，R₃-R₁→R₃，得$$\begin{bmatrix}1&1&0&1\\0&-1&1&0\\0&0&1&-1\end{bmatrix}$$R₁+R₂→R₁，得$$\begin{bmatrix}1&0&1&1\\0&-1&1&0\\0&0&1&-1\end{bmatrix}$$该矩阵的秩为3，因此向量组的秩为3。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若矩阵A为4×3矩阵，矩阵B为3×2矩阵，则矩阵乘积BA的秩最大可能为______。解：矩阵乘积BA的行数等于B的行数3，列数等于A的列数2，因此BA为3×2矩阵。矩阵的秩等于其非零子式的最高阶数，由于B的列数为2，A的行数为3，且B和A的秩均不超过各自维数，根据秩的性质，BA的秩最大为min(秩B，秩A)≤min(2，3)=2。当B和A均为满秩矩阵时，BA的秩可达2。2.已知向量组α₁=(1,2,3)，α₂=(0,1,2)，α₃=(0,0,1)，α₄=(1,1,1)，则该向量组的秩为______。解：向量组α₁，α₂，α₃，α₄的秩等于它们构成的矩阵的秩。将这四个向量作为矩阵的列向量，得到矩阵$$\begin{bmatrix}1&0&0&1\\2&1&0&1\\3&2&1&1\end{bmatrix}$$对矩阵进行初等行变换：R₂-R₁→R₂，R₃-R₂→R₃，得$$\begin{bmatrix}1&0&0&1\\1&1&0&0\\1&1&1&0\end{bmatrix}$$R₃-R₂→R₃，得$$\begin{bmatrix}1&0&0&1\\1&1&0&0\\0&0&1&0\end{bmatrix}$$该矩阵的秩为3，因此向量组的秩为3。3.设线性方程组Ax=b的增广矩阵为$$\begin{bmatrix}1&2&3&4\\2&4&6&8\\1&0&1&2\end{bmatrix}$$则该方程组的解的情况为______。解：对增广矩阵进行初等行变换：R₂-2R₁→R₂，R₃-R₁→R₃，得$$\begin{bmatrix}1&2&3&4\\0&0&0&0\\0&-2&-2&-2\end{bmatrix}$$R₃/-2→R₃，得$$\begin{bmatrix}1&2&3&4\\0&0&0&0\\0&1&1&1\end{bmatrix}$$R₁-2R₃→R₁，得$$\begin{bmatrix}1&0&1&2\\0&0&0&0\\0&1&1&1\end{bmatrix}$$该矩阵的秩为2，而系数矩阵的秩为1，因此方程组无解。4.已知矩阵A为4×4矩阵，且|A|=8，则矩阵A的伴随矩阵A的行列式|A|等于______。解：根据伴随矩阵的性质，|A|=|A|^(n-1)，其中n为矩阵的阶数。对于4×4矩阵A，有|A|=|A|^3=8^3=512。5.设向量组α₁=(1,0,1)，α₂=(0,1,1)，α₃=(1,1,α)线性相关，则α的取值为______。解：向量组线性相关的充要条件是它们构成的矩阵的行列式为0。将向量组作为矩阵的列向量，得到矩阵$$\begin{bmatrix}1&0&1\\0&1&1\\1&1&α\end{bmatrix}$$计算行列式：$$\begin{vmatrix}1&0&1\\0&1&1\\1&1&α\end{vmatrix}=1×(1×α-1×1)-0×(0×α-1×1)+1×(0×1-1×1)=α-1-1=α-2$$令行列式等于0，得α-2=0，即α=2。6.已知矩阵A为3×3矩阵，且A的转置矩阵Aᵀ的秩为2，则矩阵A的秩为______。解：根据矩阵的秩与其转置矩阵的秩相等的性质，矩阵A的秩等于其转置矩阵Aᵀ的秩，即秩A=秩Aᵀ=2。7.设线性变换T:R³→R³的矩阵表示为$$\begin{bmatrix}1&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{bmatrix}$$则向量(1,1,1)在T下的像为______。解：线性变换T的像等于矩阵乘以该向量，即$$\begin{bmatrix}1&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1×1+0×1+1×1\\0×1+1×1+0×1\\1×1+0×1+0×1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2\\1\\1\end{bmatrix}$$8.已知矩阵A为4×4矩阵，且A的秩为3，则矩阵A的伴随矩阵A的秩为______。解：根据伴随矩阵的性质，若矩阵A的秩为n-1，则伴随矩阵A的秩为1。对于秩为3的4×4矩阵A，其伴随矩阵A的秩为1。9.设线性方程组Ax=b的系数矩阵A为3×3矩阵，且秩(A)=2，增广矩阵的秩为3，则该方程组的解的情况为______。解：根据线性方程组解的判定定理，若系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩，则方程组无解。这里秩(A)=2，秩(增广矩阵)=3，因此方程组无解。10.已知向量组α₁=(1,1,1)，α₂=(1,0,1)，α₃=(0,1,1)，α₄=(1,1,0)，则该向量组的秩为______。解：向量组α₁，α₂，α₃，α₄的秩等于它们构成的矩阵的秩。将这四个向量作为矩阵的列向量，得到矩阵$$\begin{bmatrix}1&1&0&1\\1&0&1&1\\1&1&1&0\end{bmatrix}$$对矩阵进行初等行变换：R₂-R₁→R₂，R₃-R₁→R₃，得$$\begin{bmatrix}1&1&0&1\\0&-1&1&0\\0&0&1&-1\end{bmatrix}$$R₁+R₂→R₁，得$$\begin{bmatrix}1&0&1&1\\0&-1&1&0\\0&0&1&-1\end{bmatrix}$$该矩阵的秩为3，因此向量组的秩为3。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若矩阵A为n×n矩阵，且|A|=0，则矩阵A的秩为0。（×）解：矩阵A的行列式为0意味着矩阵A不可逆，但秩为0的情况只在矩阵A的所有元素都为0时发生。对于非零矩阵，行列式为0时秩至少为1。例如，矩阵$$\begin{bmatrix}1&2\\2&4\end{bmatrix}$$的行列式为0，但秩为1。2.向量组α₁=(1,0,0)，α₂=(0,1,0)，α₃=(0,0,1)线性无关。（√）解：向量组线性无关的充要条件是它们构成的矩阵的行列式不为0。将向量组作为矩阵的列向量，得到矩阵$$\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}$$该矩阵的行列式为1，不为0，因此向量组线性无关。3.若矩阵A可逆，则矩阵A的伴随矩阵A也可逆。（√）解：若矩阵A可逆，则|A|≠0，根据伴随矩阵的性质，|A|=|A|^(n-1)≠0，因此A也可逆。且A的逆矩阵为A/|A|。4.线性方程组Ax=b有解的充要条件是系数矩阵A的秩等于增广矩阵的秩。（√）解：根据线性方程组解的判定定理，线性方程组Ax=b有解的充要条件是系数矩阵A的秩等于增广矩阵的秩。5.若向量组α₁，α₂，α₃线性无关，则向量组α₁，α₂，α₃，α₄线性无关。（×）解：向量组α₁，α₂，α₃线性无关并不意味着向量组α₁，α₂，α₃，α₄线性无关。例如，若α₄是α₁，α₂，α₃的线性组合，则α₁，α₂，α₃，α₄线性相关。6.矩阵的秩等于其非零子式的最高阶数。（√）解：矩阵的秩定义为其非零子式的最高阶数，这是矩阵秩的基本定义。7.若向量组α₁，α₂，α₃线性相关，则向量组α₁，α₂，α₃，α₄线性相关。（√）解：若向量组α₁，α₂，α₃线性相关，则存在不全为0的系数c₁，c₂，c₃使得c₁α₁+c₂α₂+c₃α₃=0。若向量组α₁，α₂，α₃，α₄线性无关，则α₄不能由α₁，α₂，α₃线性表示，这与线性相关的定义矛盾。因此，若α₁，α₂，α₃线性相关，则α₁，α₂，α₃，α₄线性相关。8.线性变换T:R³→R³的矩阵表示为A，则向量(1,1,1)在T下的像为A(1,1,1)。（√）解：线性变换T的像等于矩阵乘以该向量，即T(α)=Aα。因此，向量(1,1,1)在T下的像为A(1,1,1)。9.若矩阵A为n×n矩阵，且秩(A)=n-1，则矩阵A的伴随矩阵A的秩为1。（√）解：根据伴随矩阵的性质，若矩阵A的秩为n-1，则伴随矩阵A的秩为1。10.若向量组α₁，α₂，α₃线性无关，则向量组α₁，α₂，α₃，α₄线性无关。（×）解：向量组α₁，α₂，α₃线性无关并不意味着向量组α₁，α₂，α₃，α₄线性无关。例如，若α₄是α₁，α₂，α₃的线性组合，则α₁，α₂，α₃，α₄线性相关。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.什么是矩阵的秩？矩阵的秩有哪些基本性质？解：矩阵的秩是指矩阵非零子式的最高阶数。矩阵的秩有以下基本性质：(1)矩阵的秩等于其行向量组的秩，也等于其列向量组的秩。(2)若矩阵A经过初等行变换变为矩阵B，则A和B的秩相等。(3)若矩阵A为m×n矩阵，则秩(A)≤min(m,n)。(4)若矩阵A为n×n矩阵，且|A|≠0，则秩(A)=n。(5)若矩阵A为n×n矩阵，且秩(A)=n-1，则伴随矩阵A的秩为1。2.什么是向量组的线性相关与线性无关？如何判断向量组是否线性相关？解：向量组线性相关的充要条件是存在不全为0的系数c₁，c₂，…，cₖ使得c₁α₁+c₂α₂+…+cₖαₖ=0。若这样的系数不存在，则向量组线性无关。判断向量组是否线性相关的方法：(1)将向量组作为矩阵的列向量，计算矩阵的秩。若秩小于向量个数，则向量组线性相关；若秩等于向量个数，则向量组线性无关。(2)利用行列式。对于3个三维向量，计算它们构成的矩阵的行列式，若行列式为0，则向量组线性相关；若行列式不为0，则向量组线性无关。(3)利用线性组合。尝试将向量组中的向量表示为其他向量的线性组合，若能表示，则向量组线性相关；若不能表示，则向量组线性无关。3.线性方程组Ax=b有解的充要条件是什么？如何判断线性方程组解的情况？解：线性方程组Ax=b有解的充要条件是系数矩阵A的秩等于增广矩阵的秩。判断线性方程组解的情况的方法：(1)若秩(A)<秩(增广矩阵)，则方程组无解。(2)若秩(A)=秩(增广矩阵)=n（n为未知数个数），则方程组有唯一解。(3)若秩(A)=秩(增广矩阵)<n，则方程组有无穷多解。4.什么是线性变换？线性变换有哪些基本性质？解：线性变换是指满足T(α+β)=T(α)+T(β)和T(cα)=cT(α)的映射，其中α，β为向量，c为实数。线性变换的基本性质：(1)T(0)=0。(2)T的核（即所有被映射为0的向量组成的集合）是向量空间的一个子空间。(3)T的像（即所有被映射的向量组成的集合）是向量空间的一个子空间。(4)若T是线性变换，则T的矩阵表示是唯一的。(5)线性变换的矩阵表示与基的选择有关。5.什么是矩阵的伴随矩阵？矩阵的伴随矩阵有哪些基本性质？解：矩阵的伴随矩阵是指由矩阵的代数余子式组成的矩阵的转置。矩阵的伴随矩阵的基本性质：(1)A•A=A•A=|A|I，其中I为单位矩阵。(2)若矩阵A可逆，则A的逆矩阵为A/|A|。(3)若矩阵A的秩为n-1，则伴随矩阵A的秩为1。(4)若矩阵A的秩为0，则伴随矩阵A的秩为n。(5)伴随矩阵的行列式等于矩阵行列式的n-1次方，即|A|=|A|^(n-1)。6.什么是向量空间？向量空间有哪些基本性质？解：向量空间是指满足加法和数乘运算的封闭性的非空集合。向量空间的基本性质：(1)向量空间中存在零向量，使得对任意向量α，有α+0=α。(2)向量空间的加法运算满足交换律和结合律。(3)向量空间的数乘运算满足分配律和结合律。(4)向量空间中存在唯一的负向量，使得对任意向量α，有α+(-α)=0。(5)向量空间的单位元（即1乘以任意向量的结果）是唯一的。7.什么是线性方程组的基础解系？如何求线性方程组的基础解系？解：线性方程组的基础解系是指线性方程组的所有解的线性无关的最大子集。求线性方程组的基础解系的方法：(1)将线性方程组的增广矩阵化为行最简形。(2)确定自由变量和主变量。(3)将自由变量取遍所有可能的取值，求出对应的解向量。(4)所求解向量的线性无关的最大子集就是线性方程组的基础解系。8.什么是线性变换的矩阵表示？如何求线性变换的矩阵表示？解：线性变换的矩阵表示是指将线性变换作用于基向量的结果作为列向量组成的矩阵。求线性变换的矩阵表示的方法：(1)确定线性变换的基向量。(2)将线性变换作用于基向量，得到对应的像向量。(3)将像向量作为列向量组成矩阵，即为线性变换的矩阵表示。例如，线性变换T:R³→R³，基向量为α₁=(1,0,0)，α₂=(0,1,0)，α₃=(0,0,1)，且T(α₁)=(1,2,3)，T(α₂)=(4,5,6)，T(α₃)=(7,8,9)，则T的矩阵表示为$$\begin{bmatrix}1&4&7\\2&5&8\\3&6&9\end{bmatrix}$$五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）1.已知向量组α₁=(1,2,3)，α₂=(0,1,2)，α₃=(0,0,1)，α₄=(1,1,1)，求该向量组的秩，并判断向量组是否线性相关。解：将向量组作为矩阵的列向量，得到矩阵$$\begin{bmatrix}1&0&0&1\\2&1&0&1\\3&2&1&1\end{bmatrix}$$对矩阵进行初等行变换：R₂-R₁→R₂，R₃-R₂→R₃，得$$\begin{bmatrix}1&0&0&1\\1&1&0&0\\1&1&1&0\end{bmatrix}$$R₃-R₂→R₃，得$$\begin{bmatrix}1&0&0&1\\1&1&0&0\\0&0&1&0\end{bmatrix}$$该矩阵的秩为3，因此向量组的秩为3。由于向量组包含4个向量，而秩为3，因此向量组线性相关。2.已知线性方程组$$\begin{cases}x+y+z=1\\2x+2y+2z=2\\x+2y+3z=3\end{cases}$$求该方程组的解。解：将方程组的增广矩阵化为行最简形：$$\begin{bmatrix}1&1&1&1\\2&2&2&2\\1&2&3&3\end{bmatrix}$$R₂-2R₁→R₂，R₃-R₁→R₃，得$$\begin{bmatrix}1&1&1&1\\0&0&0&0\\0&1&2&2\end{bmatrix}$$R₃-2R₂→R₃，得$$\begin{bmatrix}1&1&1&1\\0&0&0&0\\0&1&2&2\end{bmatrix}$$R₁-R₃→R₁，得$$\begin{bmatrix}1&0&-1&-1\\0&0&0&0\\0&1&2&2\end{bmatrix}$$该矩阵的秩为2，而系数矩阵的秩为1，因此方程组无解。3.已知线性变换T:R³→R³的矩阵表示为$$\begin{bmatrix}1&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{bmatrix}$$求向量(1,1,1)在T下的像。解：线性变换T的像等于矩阵乘以该向量，即$$\begin{bmatrix}1&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1×1+0×1+1×1\\0×1+1×1+0×1\\1×1+0×1+0×1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2\\1\\1\end{bmatrix}$$4.已知矩阵A为4×4矩阵，且|A|=8，求矩阵A的伴随矩阵A的行列式|A|。解：根据伴随矩阵的性质，|A|=|A|^(n-1)，其中n为矩阵的阶数。对于4×4矩阵A，有|A|=|A|^3=8^3=512。5.已知向量组α₁=(1,1,1)，α₂=(1,0,1)，α₃=(0,1,1)，α₄=(1,1,0)，求该向量组的秩，并判断向量组是否线性相关。解：将向量组作为矩阵的列向量，得到矩阵$$\begin{bmatrix}1&1&0&1\\1&0&1&1\\1&1&1&0\end{bmatrix}$$对矩阵进行初等行变换：R₂-R₁→R₂，R₃-R₁→R₃，得$$\begin{bmatrix}1&1&0&1\\0&-1&1&0\\0&0&1&-1\end{bmatrix}$$R₁+R₂→R₁，得$$\begin{bmatrix}1&0&1&1\\0&-1&1&0\\0&0&1&-1\end{bmatrix}$$该矩阵的秩为3，因此向量组的秩为3。由于向量组包含4个向量，而秩为3，因此向量组线性相关。6.已知线性方程组$$\begin{cases}x+y+z=1\\2x+2y+2z=2\\x+2y+3z=3\end{cases}$$求该方程组的通解。解：将方程组的增广矩阵化为行最简形：$$\begin{bmatrix}1&1&1&1\\2&2&2&2\\1&2&3&3\end{bmatrix}$$R₂-2R₁→R₂，R₃-R₁→R₃，得$$\begin{bmatrix}1&1&1&1\\0&0&0&0\\0&1&2&2\end{bmatrix}$$R₃-2R₂→R₃，得$$\begin{bmatrix}1&1&1&1\\0&0&0&0\\0&1&2&2\end{bmatrix}$$R₁-R₃→R₁，得$$\begin{bmatrix}1&0&-1&-1\\0&0&0&0\\0&1&2&2\end{bmatrix}$$该矩阵的秩为2，而系数矩阵的秩为1，因此方程组有无穷多解。令z=t，则$$\begin{cases}x=1+t\\y=2-2t\\z=t\end{cases}$$其中t为任意实数。7.已知线性变换T:R³→R³的矩阵表示为$$\begin{bmatrix}1&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{bmatrix}$$求线性变换T的核和像的维数。解：线性变换T的核是指所有被映射为0的向量组成的集合，即解方程组$$\begin{bmatrix}1&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\0\\0\end{bmatrix}$$得$$\begin{cases}x+z=0\\y=0\\x=0\end{cases}$$解得x=0，y=0，z=0，因此T的核为{(0,0,0)}，维数为0。线性变换T的像是指所有被映射的向量组成的集合，即矩阵的列空间，维数为矩阵的秩，即1。8.已知矩阵A为4×4矩阵，且A的秩为3，求矩阵A的伴随矩阵A的秩。解：根据伴随矩阵的性质，若矩阵A的秩为n-1，则伴随矩阵A的秩为1。对于秩为3的4×4矩阵A，其伴随矩阵A的秩为1。【标准答案及解析】一、单项选择题1.C解：矩阵乘积BA的行数等于B的行数3，列数等于A的列数2，因此BA为3×2矩阵。矩阵的秩等于其非零子式的最高阶数，由于B的列数为2，A的行数为3，且B和A的秩均不超过各自