2026年重庆市北师大版高二数学选择性必修综合练习题

2026年重庆市北师大版高二数学选择性必修综合练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在北师大版高二数学选择性必修教材中，若函数f(x)=ax^3+bx^2+cx+d在x=1处取得极值，且其导函数f'(x)在x=1时等于0，则下列说法正确的是（）A.f(x)在x=1处必为极值点B.若a≠0，则f(x)在x=1处必为拐点C.f(x)在x=1处的二阶导数f''(1)可能为0D.f(x)在x=1处的切线斜率必为正解析：根据题意，f(x)在x=1处取得极值且f'(1)=0，满足极值点的必要条件。但极值点的判定还需结合二阶导数，若f''(1)≠0，则x=1为极值点；若f''(1)=0，需进一步判断高阶导数。选项A错误，因为极值点的判定需二阶导数验证；选项B错误，拐点与极值点无必然联系；选项C正确，二阶导数为0时可能为拐点；选项D错误，切线斜率由f'(1)决定，但f'(1)=0。故选C。2.北师大版高二数学选择性必修教材中，若向量u=(1,k)与v=(2,-1)垂直，则实数k的值为（）A.-2B.2C.1/2D.-1/2解析：向量垂直的条件是u•v=0，即1×2+k×(-1)=0，解得k=2。故选B。3.在北师大版高二数学选择性必修教材的《概率统计》章节中，某班级有男生30人，女生20人，现随机抽取3人组成小组，则恰好有2名男生和1名女生的概率为（）A.1/3B.1/4C.3/10D.1/2解析：总抽取方式数为C(50,3)，满足条件的抽取方式数为C(30,2)×C(20,1)，概率为[C(30,2)×C(20,1)]/C(50,3)=(435×20)/(19600)=3/10。故选C。4.北师大版高二数学选择性必修教材中，若复数z=1+i满足z^2+az+b=0（a,b∈R），则a+b的值为（）A.0B.1C.-1D.2解析：z=1+i，z^2=2i，代入方程得2i+a(1+i)+b=0，即(a+b)+(a+2)i=0，解得a+b=0，a+2=0，故a=-2，b=2，a+b=0。故选A。5.在北师大版高二数学选择性必修教材的《数列》章节中，等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_3=5，a_7=11，则S_10的值为（）A.60B.80C.100D.120解析：由a_3=a_1+2d=5，a_7=a_1+6d=11，解得a_1=1，d=2，S_10=10a_1+45d=100。故选C。6.北师大版高二数学选择性必修教材中，若函数f(x)=|x-1|+|x+2|在区间[-3,3]上的最小值为m，则m的值为（）A.1B.2C.3D.4解析：f(x)分段为：x≤-2时f(x)=-2x-1；-2<x<1时f(x)=3；x≥1时f(x)=2x+1。在区间[-3,3]上，f(x)的最小值为3。故选B。7.在北师大版高二数学选择性必修教材的《立体几何》章节中，若三棱锥A-BCD的底面BCD为边长为2的正三角形，且AA'⊥平面BCD，AA'=3，则点A到平面BCD的距离为（）A.3B.2√3C.√7D.3√3解析：点A到平面BCD的距离即AA'，由题意AA'=3。故选A。8.北师大版高二数学选择性必修教材中，若函数f(x)=sin(x+π/4)的图像关于直线x=π对称，则满足条件的x的值为（）A.π/4B.3π/4C.5π/4D.7π/4解析：f(x)=sin(x+π/4)图像关于x=π对称，需满足sin(π+x+π/4)=-sin(x+π/4)，解得x+π/4=kπ+π/2，x=kπ+π/4，当k=1时x=5π/4。故选C。9.在北师大版高二数学选择性必修教材的《导数》章节中，若函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[0,3]上的最大值为M，最小值为m，则M-m的值为（）A.1B.2C.3D.4解析：f'(x)=3x^2-6x，令f'(x)=0得x=0或x=2，f(0)=2，f(2)=-2，f(3)=2，故M=2，m=-2，M-m=4。故选D。10.北师大版高二数学选择性必修教材中，若圆(x-1)^2+(y+2)^2=4与直线y=kx+1相交于两点，则实数k的取值范围是（）A.(-∞,-1)∪(1,+∞)B.(-1,1)C.(-∞,-2)∪(2,+∞)D.(-2,2)解析：圆心(1,-2)，半径r=2，直线y=kx+1代入圆方程得(x-1)^2+(kx+3)^2=4，整理得(k^2+1)x^2+(6k-2)x+6=0，判别式Δ=(6k-2)^2-24(k^2+1)>0，解得k∈(-∞,-1)∪(1,+∞)。故选A。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若复数z=2-3i的模为|z|，则|z|^2的值为________。参考答案：13解析：|z|^2=(2)^2+(-3)^2=13。2.在北师大版高二数学选择性必修教材的《数列》章节中，若等比数列{a_n}的首项a_1=1，公比q=2，则a_5的值为________。参考答案：32解析：a_5=1×2^4=16。3.北师大版高二数学选择性必修教材中，若向量u=(3,-1)与v=(k,2)的夹角为60°，则实数k的值为________。参考答案：√7解析：cos60°=(3k-2)/√(9+1)√(k^2+4)，解得k=√7。参考答案：3/10解析：P=C(30,2)/C(50,2)=3/10。4.北师大版高二数学选择性必修教材中，若函数f(x)=x^2-4x+3的图像开口向上，则其顶点坐标为________。参考答案：(2,-1)解析：顶点坐标为(-b/2a,-Δ/4a)=(2,-1)。5.在北师大版高二数学选择性必修教材的《立体几何》章节中，若正方体的棱长为2，则其体积V的值为________。参考答案：8解析：V=2^3=8。6.北师大版高二数学选择性必修教材中，若函数f(x)=sin(2x+π/3)的周期为π，则实数k的值为________。参考答案：1解析：周期T=2π/|ω|=π，ω=2k=2，k=1。7.在北师大版高二数学选择性必修教材的《导数》章节中，若函数f(x)=x^3-3x^2+2在x=1处的切线斜率为________。参考答案：0解析：f'(x)=3x^2-6x，f'(1)=0。8.北师大版高二数学选择性必修教材中，若圆(x-1)^2+(y-2)^2=4的圆心到直线3x-4y+5=0的距离为d，则d的值为________。参考答案：3解析：d=|3×1-4×2+5|/√(3^2+4^2)=3。9.在北师大版高二数学选择性必修教材的《概率统计》章节中，若事件A的概率P(A)=0.6，事件B的概率P(B)=0.4，且A与B互斥，则P(A∪B)的值为________。参考答案：1解析：P(A∪B)=P(A)+P(B)=1。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.北师大版高二数学选择性必修教材中，若函数f(x)=x^3-3x在x=0处取得极值，则该极值为极大值。参考答案：错误解析：f'(x)=3x^2-3，f'(0)=0，但f''(0)=0，需进一步判断高阶导数，不能直接判定为极大值。2.在北师大版高二数学选择性必修教材的《立体几何》章节中，若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其顶点在底面上的射影为底面三角形的内心。参考答案：错误解析：顶点在底面上的射影为底面三角形的垂心，而非内心。3.北师大版高二数学选择性必修教材中，若复数z=a+bi（a,b∈R）的模为|z|，则|z|^2=a^2+b^2。参考答案：正确解析：由复数模的定义|z|=√(a^2+b^2)，|z|^2=a^2+b^2。4.在北师大版高二数学选择性必修教材的《概率统计》章节中，若事件A的概率P(A)=0.7，事件B的概率P(B)=0.3，且A与B独立，则P(A∩B)的值为0.21。参考答案：正确解析：P(A∩B)=P(A)P(B)=0.7×0.3=0.21。5.北师大版高二数学选择性必修教材中，若函数f(x)=sin(x+π/6)的图像关于原点对称，则该函数为奇函数。参考答案：错误解析：f(x)=sin(x+π/6)既非奇函数也非偶函数。6.在北师大版高二数学选择性必修教材的《数列》章节中，若等差数列{a_n}的前n项和为S_n，则S_n是关于n的二次函数。参考答案：错误解析：当公差不为0时，S_n=n(a_1+a_n)/2是关于n的一次函数。7.北师大版高二数学选择性必修教材中，若圆(x-1)^2+(y-2)^2=4与直线y=x+1相交，则交点坐标为(1,2)。参考答案：错误解析：联立方程无解，两图形不相交。8.在北师大版高二数学选择性必修教材的《导数》章节中，若函数f(x)在x=c处取得极值，则f'(c)=0。参考答案：正确解析：极值点的必要条件是导数为0。9.北师大版高二数学选择性必修教材中，若向量u=(1,2)与v=(3,6)共线，则存在实数k使得v=ku。参考答案：正确解析：v=3u，k=3。10.在北师大版高二数学选择性必修教材的《概率统计》章节中，若样本容量为n的简单随机抽样中，每个个体被抽到的概率相等。参考答案：正确解析：简单随机抽样的定义保证每个个体被抽到的概率相等。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.北师大版高二数学选择性必修教材中，若函数f(x)=x^3-3x^2+2，求f(x)的单调递增区间。参考答案：(-∞,0)∪(2,+∞)解析：f'(x)=3x^2-6x，令f'(x)>0得x∈(-∞,0)∪(2,+∞)。2.在北师大版高二数学选择性必修教材的《立体几何》章节中，若正方体的棱长为3，求其表面积S。参考答案：54解析：S=6×3^2=54。3.北师大版高二数学选择性必修教材中，若复数z=1+i，求z^2的值。参考答案：2i解析：z^2=(1+i)^2=1+2i-1=2i。4.在北师大版高二数学选择性必修教材的《概率统计》章节中，若某班级有男生30人，女生20人，现随机抽取3人，求至少有1名男生的概率。参考答案：19/38解析：P=1-P(全是女生)=1-C(20,3)/C(50,3)=19/38。5.北师大版高二数学选择性必修教材中，若函数f(x)=sin(2x+π/3)，求其最小正周期T。参考答案：π解析：T=2π/|ω|=2π/2=π。6.在北师大版高二数学选择性必修教材的《导数》章节中，若函数f(x)=x^2-4x+3，求f(x)在x=2处的切线方程。参考答案：y=-2x+5解析：f'(2)=-4，f(2)=-1，切线方程为y-(-1)=-4(x-2)，即y=-4x+7。7.北师大版高二数学选择性必修教材中，若向量u=(2,1)与v=(1,k)垂直，求k的值。参考答案：-2解析：u•v=2+k=0，k=-2。8.在北师大版高二数学选择性必修教材的《数列》章节中，若等比数列{a_n}的首项a_1=2，公比q=3，求a_6的值。参考答案：486解析：a_6=2×3^5=486。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.北师大版高二数学选择性必修教材中，某工厂生产某种产品，其成本函数为C(x)=100+2x（x为产量），收入函数为R(x)=10x-x^2，求该工厂的盈亏平衡点。参考答案：x=10解析：盈亏平衡点满足C(x)=R(x)，即100+2x=10x-x^2，解得x=10。2.在北师大版高二数学选择性必修教材的《立体几何》章节中，若三棱锥A-BCD的底面BCD为边长为3的正三角形，且AA'⊥平面BCD，AA'=2，求三棱锥A-BCD的体积V。参考答案：3√3/2解析：V=1/3×底面积×高=1/3×(√3/4×3^2)×2=3√3/2。3.北师大版高二数学选择性必修教材中，若函数f(x)=|x-1|+|x+2|，求f(x)在区间[-3,3]上的最大值和最小值。参考答案：最大值5，最小值2解析：f(x)分段为：x≤-2时f(x)=-2x-1；-2<x<1时f(x)=3；x≥1时f(x)=2x+1，最大值为f(-3)=5，最小值为f(0)=2。4.在北师大版高二数学选择性必修教材的《概率统计》章节中，某班级有50名学生，其中男生30人，女生20人，现随机抽取2人，求两人性别相同的概率。参考答案：7/25解析：P=C(30,2)/C(50,2)+C(20,2)/C(50,2)=3/10+1/5=7/25。5.北师大版高二数学选择性必修教材中，若函数f(x)=x^3-3x^2+2，求f(x)在区间[0,3]上的最大值和最小值。参考答案：最大值2，最小值-2解析：f(0)=2，f(1)=0，f(2)=-2，f(3)=2，最大值为2，最小值为-2。6.在北师大版高二数学选择性必修教材的《导数》章节中，若函数f(x)=x^3-3x^2+2，求f(x)的极值点。参考答案：x=0为极大值点，x=2为极小值点解析：f'(x)=3x^2-6x，令f'(x)=0得x=0或x=2，f''(0)=-6<0为极大值点，f''(2)=6>0为极小值点。7.北师大版高二数学选择性必修教材中，若圆(x-1)^2+(y-2)^2=4与直线y=kx+1相交，求实数k的取值范围。参考答案：k∈(-∞,-1)∪(1,+∞)解析：联立方程得(x-1)^2+(kx+1-2)^2=4，判别式Δ=(k^2+1)^2-4(k^2+1)>0，解得k∈(-∞,-1)∪(1,+∞)。【标准答案及解析】一、单项选择题1.C2.B3.C4.A5.C6.B7.A8.C9.D10.A二、填空题1.1312.3213.√714.3/1015.(2,-1)16.817.118.019.320.1三、判断题1.×22.×23.√24.√25.×26.×27.×28.√29.√30.√四、简答题1.(-∞,0)∪(2,+∞)2.543.2i4.19/385.π6.y=-2x+57.k=-28.486五、应用题1.x=102.3√3/23.最大值5，最小值24.7/255.最大值2，最小值-26.x=0为极大值点，x=2为极小值点7.k∈(-∞,-1)∪(1,+∞)【解析】一、单项选择题1.C：极值点的判定需结合二阶导数，f''(1)=0时需进一步判断。2.B：向量垂直的条件是u•v=0，解得k=2。3.C：组合数计算，P=C(30,2)/C(50,2)=3/10。4.A：复数模的平方|z|^2=a^2+b^2=13。5.C：等差数列求和公式，S_10=10a_1+45d=100。6.B：分段函数求最值，最小值为3。7.A：点到平面的距离即垂直距离，AA'=3。8.C：三角函数图像对称性，x=5π/4满足条件。9.D：导数求最值，M=2，m=-2，M-m=4。10.A：直线与圆相交的判别式Δ>0，解得k∈(-∞,-1)∪(1,+∞)。二、填空题1.13：|z|^2=2^2+(-3)^2=13。2.32：等比数列通项公式a_n=a_1q^(n-1)，a_5=32。3.√7：向量垂直条件u•v=0，解得k=√7。4.3/10：组合数计算，P=C(30,2)/C(50,2)=3/10。5.(2,-1)：二次函数顶点公式(-b/2a,-Δ/4a)。6.8：正方体体积公式V=a^3=8。7.1：周期公式T=2π/|ω|，ω=2k=2。8.0：导数求切线斜率，f'(1)=0。9.3：点到直线距离公式，d=|Ax0+By0+C|/√(A^2+B^2)。10.1：互斥事件概率加法公式，P(A∪B)=P(A)+P(B)=1。三、判断题1.×：极值点的判定需结合二阶导数，f''(0)=0需进一步判断。2.×：三棱锥顶点在底面的射影为垂心，非内心。3.√：复数模的平方|z|^2=a^2+b^2。