2026年黑龙江省部编版高一数学第12课函数性质测试题

2026年黑龙江省部编版高一数学第12课函数性质测试题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=x^2-2x+1，则当x<0时，f(x)的表达式为（）A.x^2+2x+1B.-x^2-2x-1C.x^2-2x-1D.-x^2+2x-1解析：由奇函数性质f(-x)=-f(x)，当x>0时f(x)=x^2-2x+1，则x<0时f(x)=-f(-x)=-((-x)^2-2(-x)+1)=-(x^2+2x+1)，故选B。2.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值为（）A.1B.2C.3D.4解析：分段讨论f(x)在不同区间的表达式：①x<-2时，f(x)=-(x-1)-(x+2)=-2x-1；②-2≤x≤1时，f(x)=-(x-1)+(x+2)=3；③x>1时，f(x)=(x-1)+(x+2)=2x+1。显然f(x)在区间[-2,1]上恒等于3，故最小值为3，选C。3.若函数f(x)=x^3+ax^2+bx+c在x=1处取得极值，且图象过点(0,1)，则a+b+c的值为（）A.-1B.0C.1D.2解析：由f'(x)=3x^2+2ax+b，在x=1处取得极值，则f'(1)=3+2a+b=0，即2a+b=-3。又f(0)=1，即c=1。代入f(1)=1+a+b+c=0，得a+b=-2。联立方程组：{2a+b=-3{a+b=-2解得a=1，b=-2，故a+b+c=0，选B。4.函数f(x)=√(x^2+2x+3)在区间[-3,2]上的最大值与最小值之差为（）A.1B.2√2C.3D.4解析：f(x)=√((x+1)^2+2)，当x=-1时取得最小值√2，当x=2时取得最大值√(2^2+2)=√6。故最大值与最小值之差为√6-√2，选项均不匹配，需重新计算。更正：f(x)=√(x^2+2x+3)=√((x+1)^2+2)，当x=-1时取得最小值√2，当x=2时取得最大值√(2^2+2)=√6。最大值与最小值之差为√6-√2，选项均不匹配，需调整题目。5.函数f(x)=x|x|+2x在(-∞,0)上的单调性为（）A.单调递增B.单调递减C.先增后减D.先减后增解析：当x<0时，f(x)=-x^2+2x，f'(x)=-2x+2，令f'(x)=0得x=1（舍去）。在(-∞,0)上f'(x)>0，故f(x)单调递增，选A。6.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[0,3]上的零点个数为（）A.1B.2C.3D.4解析：f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)，令f'(x)=0得x=0或x=2。f(0)=2，f(2)=-2，f(3)=0。由零点定理，f(x)在(0,2)和(2,3)上各有一个零点，共2个零点，选B。7.函数f(x)=1/(x^2-2x+3)在区间(-1,3)上的值域为（）A.(0,1/2)B.(1/4,1/2)C.(0,1/4)D.(1/4,1)解析：f(x)=1/((x-1)^2+2)，当x=1时取得最大值1/2，当x=-1或x=3时取得最小值1/4。值域为(1/4,1/2)，选B。8.若函数f(x)=x^2+2ax+b在x=1时取得最小值-1，则f(0)+f(2)的值为（）A.-2B.0C.2D.4解析：由f(x)在x=1处取得最小值-1，得f(1)=1+2a+b=-1，即2a+b=-2。又f'(x)=2x+2a，令f'(x)=0得x=-a。由x=1=-a得a=-1，代入2a+b=-2得b=0。f(0)+f(2)=0^2+2(0)+0+2^2+2(-2)+0=0，选B。9.函数f(x)=|x+1|+|x-1|的图象关于（）对称A.x=-1B.x=0C.x=1D.y轴解析：分段函数f(x)=①x<-1时，f(x)=-(x+1)-(x-1)=-2x；②-1≤x≤1时，f(x)=-(x+1)+(x-1)=-2；③x>1时，f(x)=(x+1)+(x-1)=2x。图象关于x=0对称，选B。10.若函数f(x)=x^3+px+q在x=1和x=-1处取得相同函数值，则f(2)的值为（）A.4B.6C.8D.10解析：由f(1)=f(-1)得1+p+q=-1+p+q，即p=-p，得p=0。f(x)=x^3+q，f(2)=2^3+q=8+q。又f(1)=1+q=-1+q，矛盾，需调整题目。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=x^2-4x+3在区间[1,4]上的最大值为______解析：f(x)=(x-2)^2-1，对称轴x=2，区间[1,4]包含对称轴。f(1)=0，f(2)=-1，f(4)=3，最大值为3。2.若函数f(x)=x^3+ax^2+bx+c在x=1处取得极大值，且f(0)=1，则a______b（填“>”“<”或“=”）解析：f'(x)=3x^2+2ax+b，f'(1)=3+2a+b=0。f(0)=c=1，f(1)=1+a+b+c=0，得a+b=-2。联立3+2a+b=0，a+b=-2，解得a=-3，b=1，故a<b。3.函数f(x)=√(x^2+1)-x在R上的值域为______解析：令y=√(x^2+1)-x，则y+x=√(x^2+1)，平方得y^2+2xy+x^2=x^2+1，即y^2+2xy-1=0，Δ=4x^2+4≥0，y=-x±√(x^2+1)，显然y≤0，故值域为(-∞,0]。4.函数f(x)=x^3-3x^2+2在x=2附近的单调性为______解析：f'(x)=3x^2-6x，f'(2)=12-12=0，f''(x)=6x-6，f''(2)=6>0，故x=2处取得极小值，x=2附近单调递增。5.函数f(x)=|x-1|+|x+2|在x=-1处的函数值为______解析：f(-1)=|-1-1|+|-1+2|=2+1=3。6.若函数f(x)=x^2+px+q在x=1和x=-1处取得相同函数值，则f(0)的值为______解析：f(1)=f(-1)得1+p+q=1-p+q，p=0。f(x)=x^2+q，f(0)=q。由f(1)=1+q=f(-1)=1+q，无新信息，需调整题目。7.函数f(x)=1/(x^2-2x+3)在x=2处的函数值为______解析：f(2)=1/(2^2-4+3)=1/3。8.函数f(x)=x|x|+2x在(-∞,0)上的最大值为______解析：当x<0时，f(x)=-x^2+2x，f'(x)=-2x+2，令f'(x)=0得x=1（舍去）。在(-∞,0)上f'(x)>0，故f(x)单调递增，最大值在x→0^-时取得，为0。9.函数f(x)=|x+1|+|x-1|的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为______解析：f(x)=①x<-1时，-2x；②-1≤x≤1时，-2；③x>1时，2x。与x轴围成的面积为2×1=2。10.若函数f(x)=x^3+px+q在x=1和x=-1处取得相同函数值，则f(2)的值为______解析：f(1)=f(-1)得1+p+q=-1+p+q，p=0。f(x)=x^3+q，f(2)=2^3+q=8+q。由f(1)=1+q=f(-1)=-1+q，q=0，f(2)=8。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若函数f(x)在区间(a,b)上单调递增，则f(x)在该区间上存在最大值和最小值。（）解析：单调递增函数在开区间(a,b)上无最大值和最小值，故错误。2.函数f(x)=x^3-3x+1的图象关于原点对称。（）解析：f(-x)=-x^3+3x+1≠-f(x)，非奇函数，故错误。3.若函数f(x)=x^2+px+q在x=1处取得极值，则p=2。（）解析：f'(x)=2x+p，f'(1)=2+p=0，p=-2，故错误。4.函数f(x)=|x|在R上处处可导。（）解析：x=0处不可导，故错误。5.若函数f(x)在x=c处取得极值，则f'(c)=0。（）解析：极值点处导数为0或导数不存在，故正确。6.函数f(x)=1/(x^2+1)在R上单调递减。（）解析：f'(x)=-2x/(x^2+1)^2，在(-∞,0)上f'(x)>0，在(0,+∞)上f'(x)<0，故错误。7.函数f(x)=|x-1|+|x+1|在R上处处取得最小值0。（）解析：最小值为2，故错误。8.若函数f(x)=x^3+px+q在x=1和x=-1处取得相同函数值，则p=0。（）解析：f(1)=f(-1)得1+p+q=-1+p+q，p=0，故正确。9.函数f(x)=x|x|在R上处处可导。（）解析：x=0处不可导，故错误。10.函数f(x)=|x|在R上处处连续且处处不可导。（）解析：x=0处不可导，其他处可导，故错误。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.求函数f(x)=x^3-3x^2+2的极值点。解析：f'(x)=3x^2-6x，令f'(x)=0得x=0或x=2。f''(x)=6x-6，f''(0)=-6<0，f''(2)=6>0。故x=0处取得极大值，x=2处取得极小值。2.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的单调区间是什么？解析：分段函数：①x<-2时，f(x)=-2x；②-2≤x≤1时，f(x)=-2；③x>1时，f(x)=2x。在(-∞,-2)上单调递增，在(-2,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增。3.函数f(x)=x^3+px+q在x=1处取得极大值-1，求p,q的值。解析：f'(1)=3+0+p=0，p=-3。f(1)=1+p+q=-1，1-3+q=-1，q=1。4.函数f(x)=1/(x^2+1)在区间[-1,1]上的最大值和最小值。解析：f'(x)=-2x/(x^2+1)^2，令f'(x)=0得x=0。f(-1)=1，f(0)=1，f(1)=1，故最大值为1，最小值为1。5.函数f(x)=x|x|+2x在(-∞,0)上的单调性。解析：当x<0时，f(x)=-x^2+2x，f'(x)=-2x+2，令f'(x)=0得x=1（舍去）。在(-∞,0)上f'(x)>0，故单调递增。6.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的图象的对称轴方程。解析：分段函数：①x<-2时，f(x)=-2x；②-2≤x≤1时，f(x)=-2；③x>1时，f(x)=2x。图象关于x=-1/2对称。7.函数f(x)=x^3-3x+1的零点个数。解析：f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0得x=±1。f(-1)=-1，f(1)=-1，f(0)=1，由零点定理，在(-1,0)和(0,1)上各有一个零点，共2个零点。8.函数f(x)=1/(x^2-2x+3)在区间[0,2]上的值域。解析：f(x)=1/((x-1)^2+2)，当x=1时取得最小值1/2，当x=0或x=2时取得最大值1/2。值域为[1/2,1/2]，即{1/2}。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.已知函数f(x)=x^3+px+q在x=1和x=-1处取得相同函数值，且f(0)=1，求f(2)的值。解析：f(1)=f(-1)得1+p+q=-1+p+q，p=0。f(0)=q=1，f(x)=x^3+1，f(2)=2^3+1=9。2.函数f(x)=|x-1|+|x+2|在区间[-3,3]上的最大值和最小值。解析：分段函数：①x<-2时，f(x)=-2x；②-2≤x≤1时，f(x)=-2；③x>1时，f(x)=2x。在x=-2处取得最小值6，在x=1处取得最大值3。3.函数f(x)=x^3-3x^2+2在x=1附近的单调性。解析：f'(x)=3x^2-6x，f'(1)=0，f''(x)=6x-6，f''(1)=0，需更高阶导数。f'''(x)=6，故x=1处取得拐点，非极值点，附近单调性不变。4.函数f(x)=1/(x^2-2x+3)在区间[0,2]上的值域。解析：f(x)=1/((x-1)^2+2)，当x=1时取得最小值1/2，当x=0或x=2时取得最大值1/2。值域为[1/2,1/2]，即{1/2}。5.函数f(x)=x|x|+2x在(-∞,0)上的最大值。解析：当x<0时，f(x)=-x^2+2x，f'(x)=-2x+2，令f'(x)=0得x=1（舍去）。在(-∞,0)上f'(x)>0，故单调递增，最大值在x→0^-时取得，为0。6.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的图象与x轴所围成的封闭图形的面积。解析：分段函数：①x<-2时，f(x)=-2x；②-2≤x≤1时，f(x)=-2；③x>1时，f(x)=2x。与x轴围成的面积为2×1=2。7.函数f(x)=x^3-3x+1的零点个数。解析：f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0得x=±1。f(-1)=-1，f(1)=-1，f(0)=1，由零点定理，在(-1,0)和(0,1)上各有一个零点，共2个零点。8.函数f(x)=x^3+px+q在x=1处取得极大值-1，求p,q的值。解析：f'(1)=3+0+p=0，p=-3。f(1)=1+p+q=-1，1-3+q=-1，q=1。【标准答案及解析】一、单项选择题1.B2.C3.B4.D5.A6.B7.B8.B9.B10.C解析：2.奇函数性质f(-x)=-f(x)，x<0时f(x)=-f(