3.2.1单调性与最大(小)值-单调性(第1课时)

人教A版2019必修第一册3.2.1单调性与最大（小)值—单调性（第1课时)第三章函数的概念与性质德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯，对人类的记忆牢固程度进行了有关研究.他经过测试，得到了以下一些数据:时间间隔t刚记忆完毕20分钟后60分钟后8～9小时后1天后2天后6天后一个月后记忆量y(百分比)10058.244.235.833.727.825.421.1以上数据表明，记忆量y是时间间隔t的函数.艾宾浩斯根据这些数据描绘出了著名的"艾宾浩斯遗忘曲线”，如图.新课引入【探究1】(1)当时间间隔t逐渐增大，你能看出对应的函数值y有什么变化趋势？

通过这个试验，你打算以后如何对待刚学过的知识？(2)"艾宾浩斯遗忘曲线”从左至右是逐渐下降的，对此，我们如何

用数学观点进行解释？【提示】(1)随着时间间隔t逐渐增大，函数值y逐渐变小，这个试验告诉我们，

在以后的学习中，我们应及时复习刚学习过的知识.(2)"艾宾浩斯遗忘曲线”是减函数曲线.观察下面各个函数的图象，说说图象有什么特点或变化规律?它们分别反映了函数的哪些性质?图象从左到右保持递增图象从左到右有增有减单调性二次函数f(x)=x2的单调性x≤0时,y随x的增大而减小x≥0时,y随x的增大而增大f(x)在(-∞,0]上单调递减f(x)在[0,+∞)上单调递增新课讲解:单调性的定义

单调递增单调递减定义一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I⊆D，∀x1，x2∈I,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),则称函数f(x)在区间I上单调递增,

区间I为f(x)的单调递增区间.图示∀x1,x2∈I,当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),则称函数f(x)在区间I上单调递减,

区间I为f(x)的单调递减区间.注:①当函数在其定义域上单调递增(减)时，则称f(x)是增(减)函数.②若f(x)在区间I上单调递增(减),则称f(x)在区间I具有严格的单调性.常数函数不具有严格的单调性.解：1.判断函数单调性的方法——定义法用定义证明函数的单调性的步骤:1.取数:任取x1，x2∈D，且x1<x2;2.作差:f(x1)－f(x2);3.变形:通常是因式分解和配方;4.定号:判断差f(x1)－f(x2)的正负;5.结论:指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性.归纳总结1.判断函数单调性的方法——图象法1.已知四个函数的图像如图所示，其中在定义域内具有单调性的函数是(

@26@

).B解析.根据函数单调性的定义可知选项B所表示的函数在定义域内为增函数.1.判断函数单调性的方法——图象法2.如图所示的是定义在区间[-5,5]上的函数y=f(x)的图像，则下列关于函数f(x)的说法错误的是(

@26@

).解析.若一个函数出现两个或两个以上的单调性相同的区间，不能用“”连接.C练一练Ca>0

2.根据定义证明:函数<m>y=x+_x001A_1_x001B_x_x001B_</m>在<m>_x001A_1,+∞_x001B_</m>上单调递增.[解析]任取_x001A_x_x001B_1_x001B_，_x001A_x_x001B_2_x001B_∈_x001A_1,+∞_x001B_，且_x001A_x_x001B_1_x001B_<_x001A_x_x001B_2_x001B_，则_x001A_𝑦_x001B_1_x001B_−_x001A_𝑦_x001B_2_x001B_=(_x001A_𝑥_x001B_1_x001B_+_x001A_1_x001B__x001A_𝑥_x001B_1_x001B__x001B_)-(_x001A_𝑥_x001B_2_x001B_+_x001A_1_x001B__x001A_𝑥_x001B_2_x001B__x001B_)=(_x001A_𝑥_x001B_1_x001B_−_x001A_𝑥_x001B_2_x001B_)+(_x001A_1_x001B__x001A_𝑥_x001B_1_x001B__x001B_−_x001A_1_x001B__x001A_𝑥_x001B_2_x001B__x001B_)=(_x001A_𝑥_x001B_1_x001B_−_x001A_𝑥_x001B_2_x001B_)+_x001A__x001A_𝑥_x001B_2_x001B_−_x001A_𝑥_x001B_1_x001B__x001B__x001A_𝑥_x001B_1_x001B__x001A_𝑥_x001B_2_x001B__x001B_=_x001A__x001A_𝑥_x001B_1_x001B_−_x001A_𝑥_x001B_2_x001B__x001B__x001A_𝑥_x001B_1_x001B__x001A_𝑥_x001B_2_x001B__x001B_(_x001A_𝑥_x001B_1_x001B__x001A_𝑥_x001B_2_x001B_-1).由_x001A_x_x001B_1_x001B_，_x001A_x_x001B_2_x001B_∈_x001A_1,+∞_x001B_，得

，_x001A_x_x001B_1_x001B_>1，_x001A_x_x001B_2_x001B_>1，所以_x001A_𝑥_x001B_1_x001B__x001A_𝑥_x001B_2_x001B_>1,_x001A_𝑥_x001B_1_x001B__x001A_𝑥_x001B_2_x001B_−1>0又由_x001A_x_x001B_1_x001B_<_x001A_x_x001B_2_x001B_,得_x001A_x_x001B_1_x001B_−_x001A_x_x001B_2_x001B_<0于是_x001A__x001A_x_x001B_1_x001B_−_x001A_x_x001B_2_x001B__x001B__x001A_𝑥_x001B_1_x001B__x001A_𝑥_x001B_2_x001B__x001B_(_x001A_𝑥_x001B_1_x001B__x001A_𝑥_x001B_2_x001B_−1)<0，即_x001A_𝑦_x001B_1_x001B_<_x001A_𝑦_x001B_2_x001B_.所以函数y=x+_x001A_1_x001B_x_x001B_在_x001A_1,+∞_x001B_上单调递增.（1)函数单调区间的两种求法

①图象法，即先画出图象，根据图象求单调区间．

②定义法，即先求出定义域，再利用定义法进行判断求解．（2)函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，单调区间是定义域的子集；当函数出现两个以上单调区间时，单调区间之间可用“，”分开，可以用“和”来表示，不能用“<m>∪</m>”；在单调区间<m>D</m>上函数要么是增函数，要么是减函数，不能二者兼有。

归纳总结

例2.物理学中的玻意耳定律告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压强p将增大,试用函数单调性证明之.分析：按题意就是证明函数在区间上是减函数.2.函数单调性的应用证明:根据单调性的定义，设V1，V2是定义域(0，+∞)上的任意两个实数，且V1<V2，则由V1,V2∈(0,+∞)且V1<V2,得V1V2>0,V2-V1>0又k>0,于是所以，函数是减函数.也就是说，当体积V减少时，压强p将增大.取值定号作差变形结论请根据下图描述某装配线的生产效率与生产线上工人数量间的关系.解:该装配线的生产效率是关于生产线上工人数的函数.当工人数为零时，产效率为零;在一定范围内，随着工人数的增加，生产效率升高;超出这个范围时，随着工人数的增加，生产效率反而降低.2.根据定义,证明函数

是增函数.所以,函数

是增函数.证明:课本练习3.证明函数在区间上单调递增.证明:所以,函数

在区间

上单调递增.画出反比例函数

的图象.（1)这个函数的定义域I是什么？（2)它在定义域I上的单调性是怎样的？证明你的结论.解：当k>0时，

的图象如图（1)；当k>0时，

的图象如图（2).所以,当k>0时,函数

在区间

上单调递减.类似地,可以证明其他三种情况.（1)定义域为（2)当k>0时，

在

上单调递减；