北师大版七年级下册数学第五章《生活中的轴对称》综合练习题

《生活中的轴对称》综合练习题

一.选择题（共10小题）

1.（2021春•毕节市期末）如图，在△48C中，ZACB=90°,BE平分/ABC,EO于

D,DE=3cm,那么CE等于（）

A.B.2cmC.3cmD.4cm

2.（202（）秋•甘井子区期末）等腰三角形的一个内角为120°,则底角的度数为（）

A.30°B.40°C.60°D.120°

3.（2021春•东坡区校级期末）图中阴影部分是由4个完全相同的的正方形拼接而成，要在

①，②，③，④四个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成

的新图形是轴对称图形，则这个正方形应添加在（）

A.区域①处B.区域②处C.区域③处D.区域④处

4.（2021春•郑州期末）一块三角形的草坪，现要在草坪上建一个凉亭供大家休息，要使凉

亭到草坪三边的距离相等，凉亭的位置应选在（）

A.三角形三条边的垂直平分线的交点

B.三角形三条角平分线的交点

C.三角形三条高所在直线的交点

D.三角形三条中线的交点

5.（2020秋•路北区期末；如图，在锐角三角形ABC中，48=4,△ABC的面积为10，BD

平分N48C,若M、N分别是8。、8。上的动点，则CM+MN的最小值为（）

A

6.（2020秋•九龙坡区校级期末）如图，在△4BC中，DE为线段A3的垂直平分线.关X

A8C的周长为18,线段AE的长度为4,则△8CO的周长为（）

A.10B.11C.12D.14

7.如图，在AABC中，4平分NBAC,B/平分NA8C,点。是AC、8c的垂直平分线的

交点，连接AO、BO,若NAIB=a,则NAO8的大小为（）

C.-la+90°D.1800-Aa

22

8.（2021•西湖区二模）如图，在8c中，点。在边8c上，且满足A8=4Q=OC,过点

。作。石_LAO,交AC于点£.设NZMQ=a,ZCAD=p,NCDE=Y，则()

A.2a+3p=180°B.3a+20=180°C.p+2y=90°D.20+Y=9O°

9.(2020秋•临沐县期末)如图，己知等腰△AAC的底角NC=15°,顶点3到边AC的距

离是3门"，则4c的长为（）

B

10.（2021春•江都区校级期末）等腰三角形的面积为24平方厘米，腰长8厘米.在底边上

有一个动点P，则尸到两腰的距离之和为（）

A.4cmB.6cmC.ScmD.10cm

二.填空题（共10小题）

II.2（021春•郑州期末）定义：等腰三角形的底边与其一腰的长度的比值改称为这个等腰

三角形的“优美比”,若等腰△ABC的周长为13cm,4B=5c7〃，则它的“优美比”k

12.（2021春•黄浦区期末）如图，在△A8C中，乙4=42",点。是边A上的一点，将4

8。。沿直线C。翻折斜到△8'CD,B'C交AB于点E,如果8'D//AC,那么N3QC

=度.

13.（2020秋•南潺区期末）如图，把一张长方形纸条A8CQ沿折叠，若=68°,

14.（2020秋•费县期末）如图，在等腰△48C中，ZBAC=120°,OE是AC的垂直平分

线，线段。E=2c/〃，则8。的长为cm.

15.（2020秋•滦州市期末）如图，在△ABCH4,AB=BC,8K平分NA8C,AO为边上

的高，且则N3=

16.（2021春•株洲期末）如图，AB//CD,8尸和CP分别平分N4BC和NDC3,4。过点P,

且与A8垂直.若AO=8,则点尸到BC的距离是.

PM工BE,PNLBF,垂足分别为M、N.现有四个结论：

①CP平分NAC产；②/3PC=2N8/1C；③NAPC=90°-2NA4C；④S.APM+%CPN

22

>S&4PC.

18.（2020秋•涪城区期末）如图，点CZ）在线段A8的同侧，CA=6,AB=\4,BD=\2,M

为A8中点，ZCMD=120°.则CO的最大值为.

19.（2020秋•李沧区期末）如图，△AO8与ACOB关于边OB所在的直线成轴对称.AO

的延长线交BC于点D若NB（）D=46：NC=22°,则NAOC=".

B

20.（2020秋•深阳市期末）如图所示，A、8两个村子在河CO的同侧，A、B两村到河的

距离分别为4c=lh〃，BD=3km,CD=3km.现在河边C。上建一水厂分别向4、B两

村输送自来水，铺设水管的费用为20000元/千米，请你在河CD边上选择水厂位置O,

使铺设水管的费用最省，那么所铺设水管的总费用为元.

B

A

c]Dj

三.解答题（共10小题）

21.（2020秋•九龙坡区校级期末）已知：在△44C中，A/3=4C,4QJ_AC交AC于DAO

平分NBAC交于0,过。点作。石〃交AC于E.

（1）求证：BO=OC；

（2）若NB4C=56°,求NOOE的度数.

22.（2020秋•玄武区期末）如图，在△48。中，AB=AC,AD是△ABC的角平分线，FE

是AC的垂直平分线，交A。于点R连接3足求证：AF=BF.

A

23.（2020秋•兴化市期末）如图，△A8C中，A3的垂直平分线分别交A4、3c于点、M、D,

AC的垂直平分线分别交AC、6C于点N、E,△4。£的周长是7.

（I）求8C的长度；

（2）若NB+NC=60°,则ND4E度数是多少？请说明理由.

24.（2020秋•怀宁县期末）如图，在△ABC中，ZBAC=62°,ZB=78°,AC的垂直平

分线交8C于点。.

（1）求NBA。的度数；

（2）若44=8,BC=\\,求△4AQ的周长.

25.（2020秋•丛台区校级期末）小明采用如图所示的方法作NAOB的平分线OC：增带刻

度的直角尺。EMN按如图所示摆放，使EM边与03边重合，顶点D落在OA边上并标

记出点。的位置，量出。。的长，再重新如图放置直角尺，在ON边上截取。P=OQ,

过点尸画射线OC，则OC平分N40B.请判断小明的做法是否可行？并说明理由.

26.（2020秋•肥西县期末）如图，ZUBC是等边三角形，D、E分别是8C、4c边上的点,

连接A。、BE,月.AD、8E相交于点P,ZAEB=ZCDA.

（1）求N8PO的度数.

(2)过点8作8Q_LAQ于Q,若PQ=3,PE=\,求的长.

27.（2020秋•云南期末）如图，在△4BC中，4。为NBAC的平分线，DEJLAB于EDF

J_4C于凡△4BC面积是152c//,Af3=20cm,AC=\Scm,求。E的长.

28.（2020秋•三明期末）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1,格点三角

形（顶点是网格线交点的三角形）的顶点4,C的坐标分别为（-4,2）,（-1,0）.

（I）请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系；

（2）请作出△ABC关于），轴对称的△4‘B'C'；

（3）写出点夕的坐标.

29.（2020秋•新宾县期末）在如图所示的平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个

单位长度的正方形，△A/3C的顶点在格点上.

(1)画出△ABC关于y轴对称的△ABC'；

(2)写出A、B、C的对应点H、B\C的坐标;

(3)在)，轴上画出点。，使△QAC的周长最小.

30.(2020秋•力・龙坡区校级期末)如图，在△A8C中，AB=AC,NA3C的角平分线交AC

于点。，过点人作交8D的延长线于点£

(1)若N8AC=50°,求NE的度数.

(2)若尸是OE上的一点，且AO=AF,求证：BF=DE.

BC

参考答案

一.选择题（共10小题）

1.（2021春•毕节市期末）如图，在△ABC中，ZACB=90°,8E平分NA8C,于

D,DE=3an,那么CE等于（）

A.B.2cmC.3c〃？D.4cm

【考点】角平分线的性质.

【专题】三角形；推理能力.

【分析】直接利用角平分线的性质求解.

【解答】解：:8E平分N48C,ED±AB,ECVBC,

:.EC=ED=3cm.

故选：C.

【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.

2.（2020秋•甘井子区期末）等腰三角形的一个内角为120°,则底角的度数为（）

A.30°B.40°C.60°D.120°

【考点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质.

【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观.

【分析】因为三角形的内角和为180°,所以120°只能为顶角，从而可求出底角.

【解答】解：・・・120。为三角形的顶角，

・•・底角为（180°-120°）4-2=30°.

故选：A.

【点评】本题考查等腰三角形的性质，等腰三角形的两个底角相等，从而可求出解.

3.（2021春•东坡区校级期末）图中阴影部分是由4个完全相同的的正方形拼接而成，要在

①，②，③，④四个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成

的新图形是轴对称图形，则这个正方形应添加在（）

A.区域①处B.区域②处C.区域③处D.区域④处

【考点】轴对称图形.

【专题】平移、旋转与对称；几何直观.

【分析［根据轴对称图形的概念求解.

【解答】解：要在①，②，③，④四个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，使

它与阴影部分组成的新图形是轴对称图形，则这个正方形应添加在区域②处.

故选：B.

【点评】此题主要考查了轴对称变换，正确把握轴对称图形的性质是解题关键.

4.（2021春•郑州期末）一块三角形的草坪，现要在草坪上建一个凉亭供大家休息，要使凉

亭到草坪三边的距离相等，凉亭的位置应选在（）

A.三角形三条边的垂直平分线的交点

B.三角形三条角平分线的交点

C.三角形三条高所在直线的交点

D.三角形三条中线的交点

【考点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质.

【专题】能力层次.

【分析】根据角平分线的性质，角的平分线上的点到角的两边的距离相等.

【解答】解：•・•根据角平分线的性质，角的平分线上的点到角的两边的距离相等，

・•・三角形三条角平分线的交点到三角形三边的距离相等，

故选：B.

【点评】本题考查角平分线的性质，要充分理解并加以运用性质中的线段关系.

5.（2020秋•路北区期末；如图，在锐角三角形ABC中，AB=4,△ABC的面积为10.BD

平分NA8C,若M、N分别是BD、EC上的动点，则CM+MN的最小值为（）

A

【考点】三角形的面积；轴对称-最短路线问题.

【专题】探究型；三角形：几何直观；应用意识.

【分析】过。作CE_L，"于点E，交8。于点M',过点作N'_L4c于N',

则CE即为CM+MN的最小值，再根据三角形的面积公式求出CE的长，即为CM+MN的

最小值.

【解答】解：过C作于点E，交于点,过点M'作M'N于M,

•••B。平分N48C,M'ELAB于点E,M'N'_L8C于N',

N'=M'E,

：・CE=CM'+M'E=CM'+M'N'是CM+MN最小值，此时M与M'重合，N与N'

重合，

•・•三角形ABC的面积为10,48=4,

.-.AX4^CE=10,

2

：.CE=5.

即CM+MN的最小值为5.

故选：B.

【点评】本题考查三角形中的最短路径，解题的关键是理解CE的长度即为CM+MV最

小值.

6.(2()20秋♦九龙坡区校级期末)如图，在△ABC中，。石为线段的垂直平分线.箱4

ABC的周长为18,线段AE的长度为4,则△BC。的周长为（）

C

A.10B.IIC.12D.14

【考点】线段垂直平分线的性质.

【专题】三角形；推理能力.

【分析】根据线段垂直平分线的性质得到AB=2AE=8,DA=DB,根据三角形的周长公

式计算，得到答案.

【解答】解：•「△A8C的周长为18,

：.AC+8C+AB=18,

♦・・/）E为线段A8的垂直平分线，AE=4,

：.AH=2AE=8,DA=DB,

：,AC+BC=\0,

•••△BCD的周长=8O+CQ+8C=AO+CO+8C=AC+8C=10,

故选：A,

【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的

两个端点的距离相等是解题的关键.

7.如图，在△ABC中，H平分NBAC,即平分N/WC,点。是AC、的垂直平分线的

交点，连接A。、BO,若NA/B=a,则NAO8的大小为（）

A.aB.4a-360°C.2a+90°D.180°-工a

22

【考点】线段垂直平分线的性质.

【专题】三角形；推理能力.

【分析】连接CO并延长至。，根据二角形内角和定埋得到N/A8+N〃，A=180、’-a,根

据角平分线的定义得到NC48+/CBA=360°-2a,求出NACB,根据线段垂直平分线

的性质得至ijOA=OC,08=。。，

根据等腰三角形的性质得到NOCA=NOAC,ZOCB=ZOBC,根据三角形的外角性质

计算，得到答案.

【解答】解：连接C0并延长至。，

VNAIB=a,

・・・N/4B+N/BA=180°-a,

/平分N84C,B/平分NABC,

Z/BA=1^CBA,

22

，NCAB+NCBA=2(N/AB+N/B4)=360°-2a,

・・・NACB=180°-(ZCAB+ZCBA)=2a-180°,

丁点O是AC.BC的垂直平分线的交点，

：,OA=OC,08=OC,

：.ZOCA=ZOAC,NOCB=NOBC,

*/ZAOD是△AOC的一个外角，

，ZAOD=ZOCA+ZOAC=2ZOCA,

同理，ZBOD=2ZOCB,

JNAOB=ZAOD+ZBOD=2ZOCA+2ZOCB=4a-360°,

【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理,

掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键.

8.（2021•西湖区二模）如图，在△ABC中，点。在边AC上，且满足过点

。作OE_LAD,交4c于点£设N84D=a,/。。=仇ZCDE=y,则()

A.2a+3p=180°B.3a+20=180°C.p+2y=90°D.20+丫=90。

【考点】等腰三角形的性质.

【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力.

【分析】根据AB=AD=DC,ZB=ZADB,ZC=ZC^D=P，再根据三角形外角的性

质得出NAEO=B+Y，然后根据直角三角形的两锐角冗余即可得结论.

【解答】解：*：AB=AD=DC,ZBAD=a,

：,ZB=ZADB,NC=NC4Q=B，

,：DEA.AD.

：.ZADE=90°,

：.ZCAD+ZAED=90c,

•・・NCQE=Y，ZAED=ZC+ZCDE,

・•・NAEO=Y+B，

A2p+Y=90°,

故选：D.

【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形外角的性质，熟练掌握等腰三角形的性

质是解题的关键.

9.（2020秋•临沐县期末）如图，I知等腰△ABC的底角NC=15°,顶点B到边AC的距

离是3。小则AC的长为（）

【考点】等腰三角形的性质.

【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观.

【分析】•・•根据等腰三角形的性质可求/m。=30°,根据含30°的直角三角形的性质

可求AB,进一步求得AC.

【解答】解：•・•等腰AABC的底角NC=15°,

/.ZABC=\5°,

：,ZBAD=\5°+15°=30°,

在RtZ^AQA中，ZD=90°,BD=3cm,

:・AB=2BD=6cm,

.\AC=AB=()cm.

故选：D.

【点评】本题考查了等腰三角形的性质，含30°的直角三角形的性质，关键是求得NBA。

=30。.

10.(2021春•江都区校级期末)等腰三角形的面积为24平方厘米，腰长8厘米.在底边上

有一个动点P,则。到两腰的距离之和为()

A.4cmB.6cmC.ScmD.10cm

【考点】等腰三角形的性质.

【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观；运算能力；推理能力.

【分析】连接"，由三角形的面积公式证得&ABLSMCP=S”此，根据A8=AC即可

求出PE+PF.

【解答】解：已知：AA4C中，于£,。尸_LAC于F,4A=4C=8厘米，4ABe

的面积为24平方厘米，P是底边上一个动点.

求：PE+P/的值.

解：连接AP,

'：PELAB,PFLAC,

ASMBP=AAB*PE,SMCP=—AC*PF,

22

,**S^,ABP+S^ACP=S^ABC,S/\ABC=24,

・•・JLAB・PE+^AC・PF=24,

22

：.1AB(PE+PF)=24,

2

・•・PE+PF=?^X2.=6cffl,

8

故选:B.

【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的面积公式，由三角形的面积公式

证得SMBI>+SMCP=SwiC是解决问题的关键.

二.填空题（共10小题）

11.（2021春•郑州期末）定义：等腰三角形的底边与其•腰的长度的比值〃称为这个等腰

三角形的“优美比”，若等腰△A3C的周长为13皿，AB=5cm,则它的“优美比"&=Q^

或1.25.

【考点】等腰三角形的性质.

【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力.

【分析［分两种情况：A8为腰或AB为底边，再根据三角形周长可求得底边或腰的k度，

即可得到它的优美比k.

【解答】解：当AL腰对,则底边=3枷;

此时，优美比&=3=0.6；

5

当44为底边时，则腰为4：

此时，优美比比=S=1.25；

4

故答案为0.6或1.25.

【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键.

12.（2021春•黄浦区期末）如图，在△A8C中，/A=42°,点7）是边A上的一点，将4

BCD沿直线CD翻折斜到CD,B'C交A8于点E,如果8'D//AC,那么NBQC

=111度.

【考点】平行线的性质；三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）.

【专题】三角形；几何直观.

【分析】设N8CO为a,NCBD为0,列出关于a+0的方程，求出a+%即可求出

【解答】解：设/BCD为a,/C8。为0,

•:B'D//AC,

AZB'DC+ZACD=180°,

由对称性知N8/)C=ZB'DC,

A180°-(a+p)+180°-42°-(a+p)=180°,

/.a+p=69°,

AZBDC=1800-69c=111°,

故答案为111.

【点评】本题主要考查翻折的性质，还有平行线的性质，注意翻折是轴对称变换，具有

对称性，平行线的三个某本性质要牢记于心.

13.(2020秋♦南潺区期末)如图，把一张长方形纸条/WCQ沿E尸折叠，若乙4七4=68°,

【考点】翻折变换(折叠问题).

【专题】平移、旋转与对称；运算能力；推理能力.

【分析】设/OE尸=x，根据折叠的性质得到N。'EF=^DEF=x,利用平角的定义列方

程即可得到结论.

【解答】解：设NDEF=x,

•・•把张长方形纸条ABCD•沿科折叠，

：.ZD'EF=NDEF=x,

VZAED1=68°,/AED'+N。'EF+DEF=I8O0,

.•・x+x+68°=180°,

/.x=56°,

：.ZDEF=ZD'EF=56°,

：・4AEF=NAED'+N。'£"=124°,

故答案为：124°.

【点评】本题重点考查了折叠问题，解题的关键是学会利用参数，构建方程组解决问题.

14.（2020秋•费县期末）如图，在等腰△ABC中，ZBAC=120°,QE是A。的垂直平分

线，线段。£=2。〃，则BD的长为8

【考点】线段垂直平分线的性质：等腰三角形的性质.

【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观.

【分析】连接AD,根据等腰三角形的两底角相等求出/B=NC=30°,再根据线段垂

直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD=CD,然后求出NCAO=30°,再求

出/B4/）=90°,然后根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求出CD=2DE,BD=

2A。，代入数据进行计算即可得解.

【解答】解：连接A。，

在等腰△ABC中，ZB.4C=120°,

AZB=ZC=30°,

•••DE是4C的垂直平分线，

：.AD=CD,

・・・NCW=NC=30°

：,ZBAD=ZBAC-ZG4D=120°-30°=90°,

在RtZXCDE中，CD=2DE,

在中，BD=2AD,

:.BD=4DE,

,:DE=2cm,

:.BD的长为8c，〃.

故答案为：8.

【点评】本题考查了等腰三角形的在，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半

的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟记性质是解题的关

键.

15.（2020秋•滦州市期末）如图,在△A8C中，AB=BC,BE平分NABC,AD为灰?边上

的高，且则N3=22.5°.

【考点】等腰三角形的性质.

【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观.

【分析】求出入4。8=90°,根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求出NA8。

=NB4D=45°,根据角平分线的定义求出N2,再根据等腰三角形的性质得出=

ZADB=90°,根据三角形的内角和定理求出N2=/3即可.

【解答】解：:A。为边上的高，

AZADB=90°,

♦：AD=BD,

：.ZABD=ZBAD=^-（180°-Z.ADB）=45°，

2

「BE平分NA8C,

・・・N1=N2=2NA4O=22.5°,4EJ_4C,

2

••・NBE4=90°=NADB,

VZ3+ZBEA+Z/1HE=180°,Z2+ZADB+ZBHD=180°,NAHE=NBHD,

・・・N3=N2=22.5°.

故答案为：22.5°.

【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义等知识

点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键.

16.（2021春•株洲期末）如图，AB//CD,5。和CP分别平分NA4C和NOC从A。过点P,

且与人8垂直.若人。=8,则点。到BC的距离是4.

【考点】平行线的性质；角平分线的性质.

【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力.

【分析】过点户作PE_L8C于E,根据角平分线上的点到角的两边的距离相等，可得出

=PE,PD=PE,那么PE=%=尸。，依据A£>=8,进而求出PE=4.

【解答】解：如图所示，过点P作PEL8C于E,

YNB//CD,PAA,AB,

,PDLCD,

和CP分别平分NA8C和/OC8,

：,PA=PE,PD=PE,

：.PE=PA=PD,

•・•必+PO=AQ=8,

：.R\=PD=4,

:.PE=4,即点P到BC的距离是4.

故答案为:4.

【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质并作辅助

线是解题的关键.

17.（2020秋•渝中区期末）如图，已知N48C、NE4C的角平分线8P、AP相交于点P,

PMA.BE,PN上BF,垂足分别为M、N.现有四个结论：

①CP平分NAC八②NBPC=2NZMC；③/4PC=90°-2N44C；@S，APM+S^CPN

22

>SAAPC.

其中结论正确的为一①②③.（填写结论的编号）

【考点】角平分线的性质.

【专题】线段、角、相交线与平行线；图形的全等：运算能力；推理能力.

【分析】①作PO_LAC于D根据角平分线性质得到PM=PN,PM=PD,得到PM=PN

=PD,于是得到点。在NAC厂的角平分线上，故①正确：

②根据三角形的判定和性质得到人O=AM,ZAPM=ZAPD,CD=CN,/NPC=/DPC,

于是得到NAPC=J~/MPM故②正确；

③根据四边形的内角和得到N/WC+90。+NMPN+90。=360°,求得N/WC+NMPN=

180°,于是得到NAPC=90°-2NA8C,故③正确；

2

④根据角平分线定义得到N4C~=NA8C+N/MC,NPCN=2/ACF=NBPC+1/

22

ABC,得到N8PC=~^N84C,根据全等三角形的性质得到S^APM+S^CPN=SMPC.故④

2

不正确.

【解答】解：①作PD_LAC于。.

•••PB平分NABC,小平分NE4C,PM上BE,PN工BF,

:,PM=PN,PM=PD,

:.PM=PN=PD，

・•・点尸在/ACr的角平分线上（到角的两边距离相等的点在角的平分线上），

故①正确：

②平分NA3C,CP平分NACR

:・/ABC=2/PBC,ZACF=2ZPCF,

•；ZACF=NABC+NBAC,ZPCF=/PRF+NBPC,

:・NBAC=2NBPC,

・・・NBPC=2N8AC,故②正确；

2

③・・・PMJ_4B,PN1BC,

AZABC+900+NMPN+90。=360°,

，NA8C+NMPN=180°,

/.ZAPC=90°-AZABC,故③正确；

2

④・・・P8平PC平分NAC产，

・•・ZACF=ZABC+ZBAC,/PCN=2/ACF=/BPC+工/ABC,

22

：.ZBAC=2ZBPC,

・・・NB尸C=2/BAC,放本小题正确；

2

*.*SAAPD=S^APM，S^CPD=S^CPN，

SMPM+S^CPN=S"PC,故④不正确.

综上所述，①②③正确.

故答案为：①②③.

【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质以及到角的两边距离

相等的点在角的平分线上的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与

它不相邻的两个内角的和的性质，有一定综合性，但难度不大，只要仔细分析便不难求

解.

18.（2020秋•涪城区期末）如图，点C。在线段A笈的同侧，C4=6,AB=\A,BD=\2,M

【考点】线段的性质：两点之间线段最短；轴对称的性质.

【专题】平移、旋转与对称；推理能力.

【分析】如图，作点A关于CM的对称点A',点8关于。M的对称点），证明4A'

MB，为等边三角形，即可解决问题.

【解答】解：如图，作点4关于CM的对称点A',点4关于QM的对称点）.

D

MB

VZCMD=120°，

・・・NAMC+NQMB=60°,

：.ZCMAf+NDMB'=60°,

AZAfMB'=60°,

*：MA'=MB',

・・・△*MB'为等边三角形

•••COW。'+A'B'+B'D=CA+AM+BD=6+7+12=25,

・・・C。的最大值为25,

故答案为25.

【点评】本题考查翻折变换，等边三角形的判定和性质，两点之间线段最短等知识，解

题的关犍是学会添加常用辅助线，学会利用两点之回线段最短解决最值问题，属于中考

常考题型.

19.（2020秋•李沧区期末）如图，△408与△CO8关于•边所在的直线成轴对称，AO

的延长线交8C于点D若/80。=46°,ZC=22°,则N4QC=70°.

【考点】轴对称的性质.

【专题】平移、旋转与对称；推理能力.

【分析】根据NAOC=N4+NA8。，求出NA,NA8O即可.

【解答】解：:△AOS与△CO3关于边03所在的直线成轴对称,

AAOB会△COB,

••・NA=NC=22°,ZABO=ZCBO,

ZBOD=ZA+ZABO,

/.ZABO=46°-22°=24°,

/.ZABD=2ZABO=^°,

AZADC=ZA+ZABD=220+48°=70°,

故答案为：70.

【点评】本题考查轴对称的性质，全等三角形的性质，三角形的外角的性质等知识，解

题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.

20.(2020秋•涕阳市期末)如图所示，A、8两个村子在河C。的同侧，A、8两村到河的

距离分别为AC=lk〃?，BD=3km,CD=3km.现在河边CO上建冰厂分别向A、8两

村输送自来水，铺设水管的费用为20000元/千米，请你在河CD边上选择水厂位置。，

便铺设水管的费用最省，那么所铺没水管的总萨用为10()(X)0元.

B

■

A

c]Dj

【考点】轴对称-最短路线问题.

【专题】平移、旋转与对称；几何直观；运算能力；推理能力.

【分析】构造出以A'8为斜边的直角三角形，利用勾股定理列式计算即可求出A'B,

再乘以单价计算即可得解.

【解答】解・：如图，作出以A'4为斜边的直角三角形，

AC=\km,BD=3kg,CD=3km,

,\A'E=CD=3km,BE=3+l=4(km),

由勾股定理得，A'B=^32+42=5(km),

20(XX)X5=l(X)0(X)(7E).

答：铺设水管的总费用100000元.

故答案为：100000.

B

【点评】本题考查了轴对称确定最短路线问题，勾股定理，熟练掌握最短路线的确定方

法是解题的关键.

三.解答题（共10小题）

21.（2020秋•九龙坡区校级期末）已知：在△A3C中，AB=AC,8£>_LAC交AC于O,AO

平分N3AC交于0,过。点作。石〃8c交AC于E.

（I）求证：BO=OCx

（2）若/BAC=56°,求NOOE的度数.

【考点】平行线的性质；等腰三角形的性质.

【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力.

【分析】（1）根据三角形全等证明对应边相等：

（2）根据等腰三角形两底角相等就出底角的度数，根据6Q_LAC得N3QC=90"，求出

N相。的度数，进而求出NO8C的度数，最后根据两直线平行，同位角相等即可证明.

【解答】解：⑴TA。平分NBAC,

・・・NB4O=NOAC,

在△AB。和△AC。中，

rAB=AC

<NBAO/OAC，

A0=A0

（SAS）,

：,BO=OC.

(2)^BDIAC,

ZBDC=90°,

：.ZABD=ZBDC-ZBAD=90°-56°=34°,

t：AB=AC,

：.ZABC=ZACB=^-(180°-ABAC)=62°,

2

：.ZDBC=zlABC-ZABD=62a・34°=28°,

*：OE//BC,

；・NDOE=NDBC=28°.

【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形全等的判定与性质，平行线的性质，解

题的关键是求出NDBC的度数.

22.(2020秋•玄武区期末)如图，在aABC中，AB=AC,AD是△ABC的角平分线，FE

是AC的垂直平分线，交AO十点F,连接8立求证：AF=BF.

【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质.

【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力.

【分析】由等腰三角形的性质可得BD=CD,ADLBC,由线段垂直平分线的性质可得

BF=CF=AF.

【解答】证明：连接CR

,\BD=CD,AD±BC,

:.BF=CF,

YFE垂直平分AC,

:・AF=CF,

:・AF=BF.

【点评】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，掌握等腰三角形的性

质是本题的关键.

23.（2020秋•兴化市期末）如图，△ABC中，A8的垂直平分线分别交4B、RC于点M、D,

AC的垂直平分线分别交AC、BC于点N、E,AAOE的周长是7.

（1）求8c的长度；

（2）若N8+NC=60°,则NOAE度数是多少？请说明理由.

【考点】线段垂直平分线的性质.

【专题】三角形；推理能力.

【分析】（I）根据线段垂直平分线的性质得到。4=。氏EA=EC,根据三角形的周长公

式计算，得到答案；

（2）根据等腰三角形的性质得到ND4B=N8,ZEAC=ZC,根据三角形的外角性质、

三角形内角和定理计算即可.

【解答】解.：（1）〈DM是线段A8的垂直平分线，

:.DA=DB,

同理，EA=EC,

,:△AOE的周长为7,

：,DA+DE+EA=1,

:・BC=DA+DE+EC=7；

（2）NOAE度数是60°,

理由如下：'：DA=DB,EA=EC,

:・/DAB=NB,ZEAC=ZC,

VZB+ZC=60°,

・・・NAOE+NAEO=2NB+2NC=120°,

/.ZDAE=180°-120°=60°.

【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直

平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键.

24.(202()秋•怀宁县期耒)如图，在△人8c中，NMC=62°,NB=78°,AC的垂直平

分线交BC于点D.

(1)求NBA。的度数；

(2)若A8=8,8c=11,求△48。的周长.

【考点】角的计算；线段垂直平分线的性质.

【专题】三角形；运算能力.

【分析】(1)根据三角形内角和定理求出NC,根据线段垂直平分线的性质得到AO=CD,

根据等腰三角形的性质得到NC4D=NC=40°,得到答案；

(2)根据三角形的周长公式计算即可.

【解答】解：(1)・・・NBAC=62°,ZB=78°,

AZC=1800-ZBAC-ZB=180°-62°-78°=40°,

•・・£)E垂直平分AC,

：.AD=CD,

.\ZC4D=ZC=40°,

・・・NB4D=N8AC-NC4O=62°-40°=22°；

(2)\'AD=CD,48=8,BC=11,

・•・AABD的周长=A8+4Q+BQ=A8+CZ)+BQ=A8+8C=8+11=19.

【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平

分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键.

25.(2020秋•丛台区校级期末)小明采用如图所示的方法作NAOB的平分线OC：格带刻

度的直角尺。EMN按如图所示摆放，使边与OB边重合，顶点D落在OA边上并标

记出点。的位置，量出的长，再重新如图放置苣角尺，在。N边上截取Z）P=O£）,

过点P画射线0C,则0C平分N40B.请判断小明的做法是否可行？并说明理由.

【考点】角平分线的性质.

【专题】线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；推理能力.

【分析】根据平行线论性质得到N。尸0=/尸0M,根据等腰三角形的性质得到NOPO=

ZD0P,由等量代换得到NPOM=NOOP,由此可判断小明的做法可行.

【解答】解：小明的做法可行.理由如下：

在百角尺DEMN中，0N〃EM,

：.ZDPO=NPOM,

•:DP=OD,

；・/DP0=NDOP,

:./P0M=/D0P,

/.0C平分/A0&

【点评】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的性质，能灵活

应用平行线的性质和等腰三角形的性质是解决问题的关键.

26.（2020秋•肥西县期末）如图，△回（7是等边三角形，。、E分别是BC、AC边上的点,

连接AZ）、BE,且4D、8E相交于点P,ZAEB=ZCDA.

（1）求NB尸。的度数.

（2）过点8作BQ_LAQ于Q,若PQ=3,PE=1,求8E的长.

【考点】等边三角形的性质.

【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力.

【分析】（1）根据等边三角形的性质可得，ZABC=ZC=60°,又根据NAE8=NCD4,

进而求得/£BC=NA4O,即可得出答案；

（2）根据题意求得NP3Q=30°,再根据直角三角形中30°的角的性质求出6户的长度，

即可得出答案.

【解答】解：（1）由△ABC是等边三角形可得，

N4BC=NC=60°,

VZADC=ZABC+ZBAD,/AEB=/C+/EBC,NAEB=NCDA,

；・NBAD=/EBC,

*/ZBPD=NABE+NBAD,

AZBPD=ZABE+ZEBC=ZABC=60°；

（2）•・・3Q_L4。于Q,

:・NBQP=90°,

•••/8尸。=60°,

，NP8Q=90°-NBPO=30°,

在RtZ\8PQ中，

;PQ=3,/P8Q=30°,

:.BP=2PQ=6,

又・：PE=1,

:・BE=BP+PE=6+\=~I.

【点评】此题考查了等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键.

27.（2020秋•云南期末）如图，在△ABC中，A。为N84C的平分线，DEJ_AB于EDF