条件概率（解析版）

8.1条件概率

知识梳理

一、条件概率公式

I、定义：一般地，设4,8为两个事件，P(A)>(),

P(AB)

我们称先同2为事件A发生的条件下,事件B发生的条件概率,

/\/，八尸()

记为P(8|A),读作"4发生条件下3发生的概率〃，即。(8|4二号A稀8

2、乘法公式：对任意两个事件A与/若P(A)>0,则P(A5)=P(4)P伊|A).

3、条件概率的性质：设P(A)>(),则

(1)P(Q|A)=1;

(2)P(0|A)=O

(3)如果用、B2互斥，贝I」入(6+与)|A)=P(g|4)+尸(g|4);

4、两点说明

(1)一般地，每一个随机试脸都是在一定条件下进行的，这里所说的条件概率

是当试验结果的一部分信息已知(即在原随机试验的条件上，再加上“某事件发

生”的附加条件)，求另一事件在此条件下发生的概率；

(2)通常情况下，事件B在一事件A已发生“这个附加条件下的概率与没有这个

附加条件的概率是不同的。

二、全概率公式

1、全概率公式：若事件a，4,…，儿两两互斥，且它们的和之a=。，且p(a)>o,

1=1

i=,则对于Q中的任何事件8,有P⑻=fp(A,)P(同4).

(=1

2、全概率公式的来由：

不难由2(8)=!?(4)「(同4)看出，全概率P(8)被分解成了许多部分之和，它的理论和实

i=\

用意义在于在较复杂情况下直接计算P(N)不易，但3总伴随着某个4出现，适当去构造这

一组A,往往可以简化计算。

3、另一个角度理解全概率公式

（1）某一事件B的发生有各种可能得原因（，=1,2,3,如果8是由原因A,所

引起的，那么事件8发生的概率是P（研）=P（A）P（同4）.

（2）每一个原因都可能导致B发生，故8发生的概率是各原因引起8发生概率

的总和，即全概率公式。

（3）由此可以形象地把全概率公式看成为“由原因推结果，每个原因对结果的

发生有一定的“作用”，即结果发生的可能性与各种原因的“作用”大小有关。全概

率公式表达了它们之间的关系。

三、贝叶斯公式

设4,4,•认是一组两两互斥的事件，A=,且尸（A）＞0/=1,2,，则对于Q

,、P（Ai}P（B\Ai）P（A）P（B|A）

中的任何事件B,P（B）＞0,有P（4IB）=—丽~-=曰P（A）P（BIA）,12•

J=l

______________

常考题型

题型精析

题型一利用定义求条件概率

q

【例1】（2023春•河北石家庄♦高二校联考期中）已知某同学投篮一次的命中率为正，连续两

次均投中的概率是3，若该同学在投中一次后，随后一次也投中的概率是（）

【答案】D

91

【解析】若A,（i=i⑵为第i次投篮并投中,贝然（A）=历，P（A&）=5,

所以％&以）=今等4故选：D

【变式1-1]（2023春・山西太原•高二统考期中）根据历年气象统计资料,某地4月份的任一

天刮东风的概率为杀，下雨的概率为蒋，既刮东风又下雨的概率为2.则4月8日这一

IxjJU1J

天，在刮东风的条件下下雨的概率为（）

11948

AB-CD

-一-

*28-H9

25

【答案】D

【解析】由题意，设事件A表示吹东风,事件8表示下雨，

3114

贝P（B）=—,P（A4）=一,

人」10，30，15，

4

所以在吹东风的条件下下雨的概率为。（例如=鬻=?=5.故选：D.

10

【变式1-2】（2023春・安徽马鞍山•高二马鞍山二中校考期中）某校开展了课后延时服务，要

求张老师在每个星期的周一至周五选两天参加课后延时服务，则张老师在周二参加课后延时

服务的条件下，周三也参加课后延时服务的概率为（）

A.gB.1C.1

【答案】B

【解析】记事件A表示“张老师在周二参加课后延时服务”，

事件B表示“张老师在周三参加课后延时服务，

1

则一（A）=S=V，"幽咱后,所以P⑻4）=斗察吟=；，故选：B.

10

【变式1-3](2023春・广东广州但二广州市第八十九中学校考期中)有7件产品，其中4件

正品，3件次品，现不放回从中取2件产品，每次T牛，则在第一次取得次品的条件下，第

二次取得正品的概率为()

421I

D

A-B-C--

7336

【答案】B

【解析】法一：设第一次取得次品为事件A,第二次取得正品为事件B,

则尸(如黑帝⑷卷=＞所以3力=需今滂

法二：在第一次拿出一件次品后还有6件，其中4件正品，2件次品，

42

故第二次拿出正品的概率为故选：B.

o3

【变式1-4](2023春・江苏无铺・高二江苏省太湖高级中学校考期中)把一枚骰子连续抛掷两

次，记事件加为“两次所得点数均为奇数,N为"至少有一次点数是3”，则P(N|M)等于

()

A--3B'-9C0-2uD--3

【答案】B

【解析】事件〃为“两次所得点数均为奇数1

则事件为。，1),0，3)f(1,5),(3,1),(3,3),(3,5),(5,1),(5,3),(5,5),

故〃(M)=9;

N为“至少有一次点数是3”，

则事件脑V为(L3),(3,1),(3,3),(3,5),(5,3),

故〃(MN)=5,所以户3加)='故选：B.

题型二条件概率的性质及应用

【例2](2023春・陕西西安•高二校联考阶段练习)下列说法正确的是()

B.°⑶可=瑞是可能的

A.P（B|A）＜P（AB）

C.0<P（«|4）<lD.夕（川可=0

【答案】B

【解析】由尸（例加=黑

,当0<P（4）vl,贝UP（8|A））P（A8）,A错误；

当4或B为不可能事件时，2（例加=。，C错误；

B：要使P（5|A）=瑞,即P（岫=P（B）,

当3恰好为A的子事件成立，正确；

D：由?⑷川=缁=1,故错误.故选：B

【变式2-1】（2022春.广东佛山.高二统考期末）设A,「是两个事件,P（A）>0,尸⑻>0,则

下列结论一定成立的是（）

A.尸（印4）尸（A忸）=1B.P（AB）=P（A）P（B）

C.P（C«P（5|A）D.P（AB）<P（B|A）

【答案】D

【解析】A：由尸伊|A）尸（A忸）=1,而0"（8|A）,P（A忸闫,

则叫止需=小昨需叫

即P（A8）=P（A）=P（S时成立，否则不成立，排除；

B：当A,8是两个相互独立的事件，有P（A8）=P（A）P（3）,否则不成立，排除;

C：由P（8）«P但力=鬻且0<P（4）G,

故尸（AB）??（A）尸（8）时成立，否则不成立，排除；

D：由——=尸（叫人尸04）,而0<P（A）«由则P（A8）4尸（同A），符合；故选：D

【变式2-2】（2022•全国•高二专题练习）已知屋月分别为随机事件A,B的对立事件,

P（A）>。，P（8）>0,则下列说法正确的是（）

A.P（同A）+P（冏A）=P（A）

B.若P（A）+P（8）=1,则A,8对立

C.若4,8独立，则。（4同=。（加

D.若A,8互斥，则。（4同+P（叫A）=l

【答案】C

【解析】对A,P（B|A）+P伍同="产=磊=1,故A错误；

对B,若A,8对立，则P（A）+P（8）=1,反之不成立，故B错误;

对C,根据独立事件定义,故C正确；

对D,若A,3互斥，则尸（4⑻+*8|力=0,故D错误；故选：C

【变式2-3】（2022.高二课时练习）下列式子成立的是（）

A.。（人|b）=P（4|人）B.0<P（B\A）<\

C.P（AB）=P（A}P（B\A）D.P（A18|A）=P（8）

【答案】c

【解析】因为P（48）=箫/（8|田=瑞,

所以当P（A）=P（B），尸（小。0,P（B）工。时,P（4|8），P（8|A）,A错,

又由概率的性质可得0KP（8|A）«l,B错，

由尸⑶力=需得产（芋）=?（5]A）.尸⑷,C对,

一⑻人）=错1，当A3不独立时，P（A「8|A）wP（B）,口错，故选：C.

题型三全概率公式及其应用

【例3】（2023春.山东烟台高二统考期中）若事件A,8满足：P（A）=|,?（,忸）=[,

P同邛1，则尸（8）=（）.

A—B-C-DU-

,40,2,3,3

【答案】D

【解析】由网无怛）=/P（砸）=3,

得p®=p（8）p（,同+P⑻P（小）=如—P网]+.⑻,

又P（司=p（油）+P（而）=1"（4=|,

所以;口_尸（胡+"⑻4,解得P⑺4故选：D.

4।JJ

【变式3-1】（2022.全国•高二专题练习）某地区居民的肝癌发病率为。1%,现用甲胎蛋白法

进行普查,医学研究表明，化验结果是可能存有误差的.已知患有肝癌的人其化验结果999%

呈阳性，而没有患肝癌的人其化验结果。J%呈阳性，现在某人的化验结果呈阳性，则他真的

患肝癌的概率是（）

A.0.999B.0.9C.0.5D.0.1

【答案】c

【解析】记事件上某人患肝癌,事件从化验结果呈阳性，

由题意可知P（A）=，,⑷二箜~,2（8同二—!—,

Rd""U''1000'VIf1000'\'1000z

所以，P（B）=P（A）.P（B|A）+P（孙P（明二篝x2二券,

现在某人的化验结果呈阳性，则他真的患肝癌的概率是

999

尸（平卜p（旷P⑻—第9一2・故选C

5?5

【变式3-2]（2023春・重庆•高二校联考期中）某学校组织学生进行答题比赛,已知共有4道

A类试题，X道〃类试题，12道。类试题，学生从中任选1道试题作答，学生甲答对ABC这

3类试题的概率分别为3,J,幺若学生甲答对了所选试题，则这道试题是“类试题的概率为

【答案】I

【解析】设学生选1道A类试题为事件A,学生选1道8类试题为事件8,

学生选1道C类试题为事件C,

设学生答对试题为事件。，

贝[]P(A7)=-------=-P(B)=-------=—尸(vC)7=-=—

人」'4+8+126'''4+8+123'4+8+122'

P(O|4)=g,P(D\B)=^,P(D|C)=1,

111111]_

所以P(Q)=+-x-+

6234264

11

所以？⑶。）=需=平4

4

故答案为：；

【变式3-3】（2023春山东滨州•高二统考期中）甲、乙、丙3台车床加工同一型号的零件，

甲加工的次品率为6%,乙、丙加工的次品率均为5%,加工出来的零件混放在一起.已知甲、

乙、丙加工的零件数分别占总数的25%,30%,45%.

（1）任取一个零件，求它是次品的概率；

（2）如果取到的零件是次品，求它是丙车床加工的概率.

【答案】（1）0.0525；（2）y

【解析】（1）设8=“任取一个零件是次品”，4k“零件为甲车床加工”，

A"零件为乙车床加工”，A矿“零件为丙车床加工”，

贝！JQ=ApUA乙UAR,且4尹，A1，4两，两两互斥,

根据题意得P（4）=0.25,P（4）=0.3,）=0.45,

尸（81AJ=0.06,尸（81&）=尸（81%）=0.05.

由全概率公式得P（B）=尸（一）尸（阴生）+尸（管）尸（8|A乙）+P（4）（P⑻4）

=0.25x0.06+0.3x0.05+0.45x0.05=0.0525.

（2）由题意知“如果取到的零件是次品，它是丙车床加工的概率”

就是计算在B发生的条件下事件A版生的概率.

【变式3-4】吸小户喏=不固=错V（2023春山西吕梁・高二山西省

交城中学校统考期中）设甲袋中有4个白球和4个红球，乙袋中有1个白球和2个红球（每

个球除颜色以外均相同).

(1)从甲袋中取4个球，求这4个球中恰好有3个红球的概率；

(2)先从乙袋中取2个球放人甲袋，再从甲袋中取2个球，求从甲袋中取出的是2个红球的

概率.

【答案】(1)一(2),

【解析】(1)依题意，从8个球中取4个球有禺种取法，

其中4个球中恰好有3个红球，

即恰好有3个红球、1个白球，有C：C：种取法，

所以4个球中怡好有3个红球的概率夕=方'=天；

(2)记A为从乙袋中取出1个红球、1个白球,为为从乙袋中取出2个红球，

3为从甲袋中取出2个红球，

则P(A)=]=[P(4)=葛=：,P(BIA)=*”BIA)=m,

7?1I7

所以P(B)=P(BIA)P(A)+P(8I4)P(4)=T§+§X§=^.

题型四贝叶斯公式及其应用

【例4】(2023•全国•高二专题练习)某一地区的患有癌症的人占0.004，患者对一种试验反应

是阳性的概率为0.95,正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.02.现抽查了一个人，试验反

应是阳性，则此人是癌症患者的概率约为()

A.0.16B,0.32C,0.42D.0.84

【答案】A

0.004x0.95

【解析】此人是癌症患者的概率为。0.16.故选：A

0.004x0.95+0.996x0.02

【变式4-1】(2023春•高二课时练习)某同学连续两次投篮，已知第一次投中的概率为0.8,

在第一次投中的情况下，第二次也投中的概率为0.7,且第一次投不中，第二次投中的概率为

0.5,则在第二次投中的条件下，第一次也投中的概率为

【答案】§

【解析】设事件4表示“第一次投中”，事件B表示“第二次投中「

由贝叶斯公式可得•P(A|B)=---------P(8|4)P(A)____=().56=28

H人"I丹IZx队手P(B\A)P(A)+P(B\A)P(A)0.56+0.133

故答案为：II.

【变式4-2](2022春・安徽滁州•高二校考阶段练习)一道考题有4个，要求学生将其中的一

个正确选择出来.某考生知道正确的概率为:,而乱猜正确的概率为|•在乱猜时，4个都有

机会被他选择，如果他答对了，则他确实知道正确的概率是()

A，B-C-D—

A.3B-3544

【答案】B

【解析】设斗二“考生答对