2026-2027学年小升初数学奥数培优（通 用版）-数轴与动点行程（含答案）

/2026-2027学年小升初数学奥数培优（通用版）数轴与动点行程1．学习编程的奇奇最近编写了一套程序，让一只电子鼠P从长方形ABCD的点A出发，沿着长方形的边依次向B，C，D以每秒1厘米的速度移动.已知AB=12厘米，ED（1）电子鼠P从A点出发几秒后，三角形APE是等腰直角三角形？（2）当电子鼠P到达C时，另一只电子鼠Q以每秒2厘米的速度从A点出发.沿AB向B点移动.①电子鼠Q从A点出发几秒后，四边形AQPE是梯形？②当∠QPD2．如图，一根木棒放在有刻度的直线上，木棒的左端与点A重合，右端与点B重合。（1）若将木棒沿直线向右水平移动，则当它的左端移动到B点时，它的右端在直线上所对应的数为20cm；若将木棒沿直线向左水平移动，则当它的右端移动到A点时，则它的左端在直线上所对应的数为5cm。由此可得到木棒长为cm。（2）由题⑴的启发，请你借助这个工具帮助小红解决下列问题：一天，小红去问爷爷的年龄，爷爷说：我若是你现在这么大，你还要40年体出生，你若是我现在这么大，我已经125岁，是老寿星了，哈哈!”请求出爷爷现在多少岁?3．如图，在长方形ABCD中，AB=10cm,BC=8（1）根据图像提供的信息，a=。（2）点P出发后几秒，△APD的面积；S4．如图，在射线OM上有三点A，B，C，满足OA=20cm，AB=60cm，BC=10cm（如图所示），点P从点O出发，沿OM方向以1cm/s的速度匀速运动，点Q从点C出发在线段CO上向点O匀速运动，两点同时出发。（1）当P在线段AB上，且PA=2PB时，点Q运动到的位置恰好是线段AB的三等分点，求点Q运动的速度；（2）若点Q运动的速度为3cm/s，经过多长时间P、Q两点相距70cm；（3）当点P运动到线段AB上时，分别取OP和AB的中点E，F，求OB−5．如图，在长方形ABCD中，AB=12cm，AD-=8cm。点P、Q都从点A同时出发，点P向B点运动，点Q向D点运动，且保持，AP=AQ，在这个变化过程中，图中阴影部分的面积液随之变化，当AP由2cm变到8cm时，图中阴影部分的面积是增加了，还是减少了？增加或减少了多少平方厘米？6．如图，在正方形ABCD中，AB＝BC＝CD＝AD＝4cm，动点P从点A出发，以2cm/s速度沿AB—BC—CD—DA的线路运动，同时动点Q从B出发，以1cm/s的速度沿BC—CD的线路运动，设运动的时间为t（s）。（0<t（1）当点P在AB—BC上运动时，①用含t的代数式表示线段BP的长度。②当BQ＝2BP时，求t的值。（2）动点M从D点出发，以每秒4cm/s的速度在线段DC上作往返运动，点M与点P同时出发，当点P停止运动时，点M也停止运动，连接PQ，③当点P与点M第一次重合时，求t的值，并直接写出此时线段DP的长度。④当点M落在线段PQ上时，直接写出t的取值范围。7．从以下两题中，选一题作答，若都作答，仅以A题所得分计分。

A题：如图，在长为490米的环形跑道上，A、B两点之间的跑道长50米，甲、乙两人同时从A、B两点出发反向奔跑。两人相遇后，乙立刻转身与甲同向奔跑，同时甲把速度提高了25%，乙把速度提高了20%。结果当甲跑到点A时，乙恰好跑到了点B。如果以后甲、乙的速度和方向都不变，那么当甲追上乙时，从一开始算起，甲一共跑了多少米？B题：如图1，已知AB∥CD，连结AD和BC交于点E。⑴求证：∠BAD＋∠BCD＝∠AEC；⑵如图2，∠AEC＝60°，点F，G分别在线段BE，ED上，∠EAF＝2∠BAF＝2x，∠DCG＝2∠ECG＝2。①请直接写出∠AFE和∠EGC（用含x，y的代数式表示）。②请判断∠AFE＋2∠EGC是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由。你的选择是：（）8．如图①，在长方形ABCD中，AB=10cm，BC=8cm，点P从A出发，沿A→B→C→D路线运动，到D停止；点P出发时的速度为每秒1cm，a秒时点P的速度变为每秒bcm，图②是点P出发x秒后，△APD的面积S（c㎡）与x（s）的函数关系图象.（1）根据题目中提供的信息，求出图②中a，b，c的值；（2）设点P运动的路程为y（cm）①7s时，y的值为cm；②请写出当点P改变速度后，y与x的函数关系式；（3）当点P出发后几秒时，△APD的面积S是长方形ABCD面积的149．如图，在直线上有A、O、B三点，其中AO=2cm，B0=6cm，若在点O处放一挡板，一小球甲从点A处以1个厘米1秒的速度向左移动：同时另一小球乙从点B处以2厘米/秒的速度也向左移动，在碰到挡板后(忽略球的大小，可看作一点)以原来速度的1.5倍向相反的方向运动，设运动的时间为t(秒)，（1）当t=10时，求甲，乙两小球到0点的距离；（2）当t为何值时，甲、乙两小球到0点的距离相等.10．如图，正方形ABCD的边长为2cm，点E是CD边的中点，正方形ABCD边上的一动点P从点A出发（不与点A重合），沿A→B→（1）当点P运动到与点B重合时，三角形APE的面积为平方厘米。（2）在正方形ABCD的边上是否存在点P，使三角形APE的面积为4311．学习编程的奇奇最近编写了一套程序，让一只电子鼠P从长方形ABCD的点A出发，沿着长方形的边依次向B、C、D以每秒1厘米的速度移动，已知AB=12厘米，ED（1）电子鼠P从A点出发几秒后，三角形APE是等腰直角三角形?（2）当电子鼠P到达C时，另一只电子鼠Q以每秒2厘米的速度从A点出发，沿AB向B点移动，①电子鼠Q从A点出发几秒后，圆边形AQPE是梯形?②当∠QPD=45°时，四边形AQPE的面积是多少平方厘米?12．如图1，在长方形ABCD中，AB：AD＝3：5，点P从点A出发以2cm/秒的速度沿A→B→C→D的路线匀速移动。随着点P的移动，三角形APD的面积会不断发生变化，它的面积变化情况如图2所示。（1）点P从点A出发，经过多少秒后到达点D？（2）点P从点A出发，经过多少秒后三角形APD的面积恰好是25cm13．如图为一个阶梯的纵截面，一只老鼠沿长方形的两边A→B→D路线逃跑，一只猫同时沿阶梯(折线)A→C→D的路线去做捉，结果在距离点C点1.5米的D处，猫捉住了老鼠，已知老鼠的速度是猫的5814．一点P从数轴上表示-2的点A开始移动，第一次先向左移动1个单位长度，再向右移动2个单位长度：第二次向左移动2个单位长度，向右移动4个单位长度；第三次先向左移动3个单位长度，再向右移动6个单位长度……求：（1）写出第一次移动后点P在数轴上对应的数；（2）写出第二次移动后点P在数轴上对应的数：（3）写出第三次移动后点P在数轴上对应的数；（4）按上述规律第n次移动后点p在数轴上对应的数15．（动点问题）在数轴上，已知点A与原点O之间的距离为1米，点A与点B之间的距离为9米。（1）如图1，当点A，B位于原点O的同侧时，动点P，Q分别从点A，B处同时相向而行，动点P的速度是动点Q的速度的2倍，3秒后两动点相遇，当动点Q到达数字4时，运动停止。将运动时间记为t，在整个运动过程中，当点P与点Q之间的距离为2米时，求t的值；（2）如图2，当点A，B位于原点O的异侧时，动点P，Q分别从点A，B处向右运动，动点Q比动点P晚出发1秒；当动点Q运动2秒后，动点P到达点C处，此时动点P立即掉头以原速向左运动3秒恰与动点Q相遇；相遇后动点P又立即掉头以原速向右运动5秒，此时动点P到达点M处，动点Q到达点N处，当OM与ON差值为2时，求动点P，Q运动的速度。16．一个圆周长70厘米，甲、乙两只爬虫从同一点同时出发，同向爬行。甲以4厘米/秒的速度不停地爬行，乙爬行15厘米后，立即反向爬行，并且速度增加1倍。如果乙在离出发点10厘米处与甲第一次迎面相遇，则乙爬虫原来的速度是多少厘米/秒?17．8点10分，有甲乙两人以相同的速度分别从相距60米的A、B两地按顺时针方向沿长方形ARCD的边走向D点，如下图，甲8点20分到D点后，丙、丁两人立即以相同速度从D点出发。丙由D点向A点走去，8点24分与乙在E点相遇；丁由D点向C点走去，8点30分在F点被乙追上，求18．如图，已知点A、B、C是数轴上三点，点C表示的数为3，BC=2，AB=6．（1）数轴上点A表示的数为，点B表示的数为；（2）动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，M为AP的中点，点N在线段CQ上，且CN=23①求数轴上M、N表示的数；（用含t的式子表示）②当t为何值时，原点O恰好是线段PQ的中点?19．（动点问题）在长方形ABCD中，AB=CD=10cm，BC=AD=8cm，动点P从A点出发，沿A⇒B⇒C⇒D路线运动到D停止；动点Q从点D出发，沿D⇒C⇒B⇒A路线运动到A停止；若P、Q同时出发，点P速度为（1）问点P出发几秒后，P、Q两点相遇？（2）当点Q出发几秒时，点P点Q在运动路线上相距的路程为25cm20．在一个边长为108厘米的等边三角形中，甲与乙两只蚂蚁分别从A、C两点同时以4：5的速度，按相反方向出发，第一次相遇后，甲停下10秒后按原速度出发，乙不停留，还增加了1521．(动点问题)在长方形ABCD中，AB=CD=10cm，BC=AD=8cm，动点P从A点出发，沿A→B→C→D路线运动到D停止；动点！从点D出发，沿D→C→B→A路线运动到A停止；若P、Q同时出发，点P速度为1cm/s，点Q速度为2cm/s，6s后P、Q同时改变速度，点P速度变为2cm/s，点Q速度变为1cm/s。（1）问点P出发几秒后，P、Q两点相遇？（2）当点Q出发几秒时，点P点Q在运动路线上相距的路程为25cm？

答案解析部分1．（1）解：如图：

当电子鼠P爬到和B点重合时，三角形APE第一次成为等腰直角三角形，

需要：12÷1=12（秒）

当爬到CD边的中点时，三角形APE第二次成为等腰直角三角形，

需要：（12+6+6）÷1

=24÷1

=24（秒）

答：电子鼠P从A点出发12秒后，三角形APE第一次成为等腰直角三角形；经过24秒后，三角形APE第二次成为等腰直角三角形。（2）解：①如图：

可设电子鼠Q从A点出发x秒后四边形AQPE是梯形，

12-x=2x

3x=12

x=4

答：电子鼠Q从A点出发4秒后，四边形AQPE是梯形。

②如图：

图中电子鼠Q从A点向上运动，电子鼠P同时从C点向下运动时，当∠QPD=45°时，PF=6cm，PC+AQ=6cm。又因为电子鼠Q的速度是电子鼠P的2倍，所以电子鼠Q行驶路程也是电子鼠P的2倍，AQ=6÷23=4cm。而四边形AQPE为四边形，可以将其分割成一个梯形AQPD和一个三角形PED，分别求出这两个图形面积是：（4+10）×6÷2=42（cm2）

6×10÷2=30（cm2）

所以四边形面积为42+30=72（cm2）。由图可知：当电子鼠P爬到和B点重合时，三角形APE第一次成为等腰直角三角形；当爬到CD边的中点时，三角形APE第二次成为等腰直角三角形；然后求出A点到B点的距离及A点到CD中点的距离，进而根据：路程÷速度=时间，分别解答即可。

（2）①当DP∥AQ时，AQPE就是梯形，可设电子鼠Q从A点出发x秒后四边形AQPE是梯形，列式为12-x=2x，解答即可。

②当∠QPD=45°时，PF=6cm，PC+AQ=6cm。又因为电子鼠Q的速度是电子鼠P的2倍，所以电子鼠Q行驶路程也是电子鼠P的2倍，AQ=6÷22．（1）5（2）解：把小红与爷爷的年龄差看做木棒AB，

类似爷爷比小红大时看做当A点移动到B点时，此时B点所对应的数为-40，

小红比爷爷大时看做当B点移动到A点时，此时A点所对应的数为125，

∴可知爷爷比小红大[125-（-40）]÷3=55，可知爷爷的年龄为125-55=70．

答：爷爷的年龄是70岁.（1）解：由数轴观察知三根木棒长是20-5=15（cm），则此木棒长为：15÷3=5cm，

故答案为：5

（1）此题关键是正确识图，由数轴观察即可得到木棒长。

（2）借助数轴用数形结合的方法求解．类似爷爷比小红大时看做当A点移动到B点时，求出此时B点所对应的数，小红比爷爷大时看做当B点移动到A点时，求出此时A点所对应的数，可知爷爷的年龄．3．（1）6（2）解：∵a=6，b=2，

∴动点P改变速度后y与出发后的运动时间x（秒）的函数关系式为：y=6+2（x﹣6）=2x﹣6

①当0≤x≤6时

AP=x（cm）

S△APD=12AD×AP=4x

②当6＜x≤8时

AP=6+（x﹣6）×2=2x﹣6

S△APD=12AD×AP=8x﹣24

③当x运动到C点时

2x﹣6=18解得：x=12

即：8＜x≤12时

S△APD=12AD×AP=40

④当12＜x≤17时

DP=2DC+BC﹣（2x﹣6）=﹣2x+34

S△APD=12AD×AP=﹣8x+136

综上：S△APD=4x解：根据图象可知

S△APD=12AD×AP

12×8×（1+a）=24

∴a=6

b=10−1×68−6=2

c=8+12×（10+8）=17

故答案为：6

（1）根据三角形的面积公式可求a的值；

（2）①P在AB上运动时，S△APD=4．（1）解：当P在线段AB上时，因为P=2PB，AB=60cm所以PA=60÷(1+2)×2=40(cm)OP=0A+20=40+20=60(cm)，又因为点P从点O沿OM方向以1cm/s的速度勺速运动，所以60÷1=60(秒)即点P运动时间为60秒。若AQ=13AB，则BQ=23AB=点Q的运动速度为：50÷60=5060若BQ=13AB=1点Q的运动速度为：30÷60=12答：当P在线段AB上时，点Q运动的速度是56cm/s或1（2）解：设运动时间为t秒，则：t+3t=90+70或t+3t=90-70，解得：t=40或5因为点Q运动到点O时没法继续运动，所以点Q最多运动30秒。即t=40(不合题意，舍去)所以t=5。QO=CB+BA+AO=10+60+20=90(cm)90÷3=30(秒)即当点Q运动30秒到点O时，点Q没法运动，P，0距离为70cm，即OP=70cm，70÷1=70(秒)即运动时间为70·秒。故经过5秒或70秒，两点相距70cm。答：经过5秒或70秒时P、Q两点相距70cm。（3）解：如下图所示：设OP=xcm点P在线段AB上，因为OA=20cm，AB=60cm所以20≤x≤80OB-AP=OA+AB-(OP-OA)=20+60-(x-20)=100-xEF=OF-OE=OA+12AB-OE=20+12×60-12所以OB−APEF答：OB−（1）从题中我们可以看出点P及Q是运动的，当PA=2PB时实际上是P正好到了AB的三等分点上，而且PA=40，PB=20.由速度公式就可求出P点的运动时间，也是点Q的运动时间，点Q运动到的位置恰好是线段AB的三等分点，由此就可求出CQ长和点Q的速度.

（2）若点Q运动速度为5cm/s，经过多长时间P、Q两点相距70cm，这也有两种情况即当它们相向而行时，和它们背向而行时，此题可设运动时间为t秒，列方程就可解了.

（3）此题就可把它当成一个静止的线段问题来解决了，但必须借助图形.5．解：设AP=AQ=x，阴影部分的面积为S，则S=12×8-12×x2，

即S=96-12x2，

当AP=2cm时，则S=96-12×22=94(cm2)，

当AP=8cm时，则S=96-12×82=64(cm2).

所以阴影部分面积减少了94-64=30(cm2).

答：图中阴影部分的面积是减少了，减少了30平方厘米.分析题目，设AP=AQ=x，阴影部分的面积为S，则由图形可知S=12×8-12×x2，即S=96-12x2；

接下来把AP=2和AP=8分别代入关于S的表达式中进行计算，可得对应的S的值；然后将得出的面积相减，即可得到结果.6．（1）解：当点P在AB—BC上运动时，

①当0<t≤2时，由于点P以2cm/s的速度从A点出发，因此BP的长度为4−2t

当2<t≤4时，点P在BC边上，此时BP的长度为2t−4

②当BQ＝2BP时，

当0<t≤2时，BQ的长度为t，BP的长度为4−2t，因此有t=2（4−2t），解得：t=85

当2<t≤4时，BQ的长度为t，BP的长度为2t−4，因此有t=2（2t-4），解得：t=83

综上分析可知，当0<t≤2时，BP的长度为4−2t；当2<t≤4时，BP的长度为2t−4；当BQ＝2BP时，t的值为8（2）解：当点M从D点出发，以每秒4cm/s的速度在线段DC上作往返运动时，

当点P运动到点C时，用的时间为：（4+4）÷2=4（s）

此时点M正好运动到点D，当点M与点Q第一次重合时，有：4（t−4）+（t−4）=4

解得：t=245

当点M与点P第二次重合时，有：4（t-5）=2+2（t-5）

解得：t=6

此时点P、M都运动到D处，综上分析可知，

当143≤（1）分析点P和点Q的运动规律，根据它们的速度和初始位置，可以用含t的代数式表示它们在不同时间段内的位置。

根据题目要求，分别求解当点P在AB—BC上运动时，线段BP的长度表示式以及当BQ＝2BP时，t的值。

（2）考虑动点M的运动情况，当点P与点M第一次重合时，我们求解t的值，并直接写出此时线段DP的长度。分析当点M落在线段PQ上时，t的取值范围，通过解方程和不等式，我们得出t的具体取值范围。7．A题：解：乙速度变化前后的比为1：（1+20%）=5：6，

所以所花时间的比为6：5．

设甲原来每单位时间的速度V甲，由题意得：

6V甲+5×V甲×（1+25%）=490，

6V甲+5×V甲×1.25=490，

得：V甲=40（米）．

从A点到相遇点路程为：

40×6=240（米），

所以V乙为：

（490-50-240）÷6，

=200÷6，

=1003（米）．

两人速度变化后，甲的速度为：

40×（1+25%）=50（米），

乙的速度为：1003×（1+20%）

=1003×1.2

=40（米）

从相遇点开始，甲追上乙时，甲比乙多行一圈，所以甲一共跑了：

490÷（50-40）×50+240，

=490÷10×50+240，

=49×50+240，

=2450+240，

=2690（米）；

答：甲一共跑了2690米．

B题：解：（1）证明：过点E作EM∥AB，

∴∠BAD=∠AEM，

∵AB∥CD，

∴CD∥EM，

∴∠MEC=∠BCD，

∵∠AEM+∠MEC=∠AEC，

∴∠BAD+∠BCD=∠AEC；

（2）①解：设∠BAF=x°，∠ECG=y°，

∵∠EAF=2∠BAF，∠DCG=2∠ECG，

∴∠EAF=2∠BAF=2x°，∠DCG=2∠ECG=2y°，

∴∠BAD=3∠BAF=3x°，∠BCD=3∠ECG=3y°，

由（1）可得：∠BAD+∠BCD=∠AEC，

∵∠AEC=60°，

∴3x+3y=60，

∴x+y=60，

∵∠AEC是△AFE的一个外角，

∴∠AEC=∠AFE+∠EAF=∠AFE+2x°，

∵∠AEC是△EGC的一个外角，

∴∠AEC=∠ECG+∠EGC=y°+∠EGC，

∴∠AFE+2x°=y°+∠EGC，

∴2x°-y°=∠EGC-∠AFE，

由①可得：∠AEC=∠AFE+2x°，∠AEC=y°+∠EGC，

∴∠AFE=∠AEC-2x°=75°-2x°，∠EGC=∠AEC-y°=60°-y°=60°-（25-x）°=35°+x°，

∴∠AFE+k∠EGC=60°-2x°+k（35°+x°）

=60°-2x°+35°k+kx°

=（k-2）x°+60°+35°k，

∵（∠AFE+k∠EGC）为定值，

∴k-2=0，

20—A题：相遇后乙的速度提高20%，跑回B点，即来回路程相同，乙速度变化前后的比为5：6，所以所花时间的比为6：5．设甲在相遇时跑了6个单位时间，则相遇后到跑回A点用了5个单位时间．

设甲原来每单位时间的速度V甲，由题意得：6V甲+5×V甲×（1+25%）=490，得：V甲=40（米）．从A点到相遇点路程为40×6=240，所以V乙=（490-50-240）÷6=1003（米）．然后再求出两人速度变化后各自的速度；从相遇点开始，甲追上乙时，甲比乙多行一圈，进而求出甲一共跑的路程，解决问题．

20—B题：（1）根据猪脚模型，即可解答；

（2）①∠BAF=x°，∠ECG=y°，则∠EAF=2x°，∠DCG=2y°，从而可得∠BAD=3x°，∠BCD=3y°，

8．（1）解：根据图象可知S△APD=12AD×AP=12×1×a×8=24，

∴a=6

b=10−1×68−6=2

（2）8；y=2x-6（3）解：①当0≤x≤6时

AP=x（cm）

S△APD=12AD×AP=4x

②当6＜x≤8时

AP=6+（x-6）×2=2x-6

S△APD=12AD×AP=8x-24

③当x运动到C点时

2x-6=18解得：x=12

即：8＜x≤12时

S△APD=12AD×AB=40

④当12＜x≤17时

DP=2DC+BC-（2x-6）=-2x+34

S△APD=12AD×DP=-8x+136

综上：S△APD=4x0≤x≤62x−66＜x≤8408＜x≤12−8x解：（2）因为a=6，b=2，

所以动点P改变速度后y与出发后的运动时间x（秒）的函数关系式为：y=6+2（x-6）=2x-6

当x=7时，y=2×7-6=14-6=8

故答案为：（2）8；y=2x-6。

（1）根据三角形的面积公式可求a、b及图②中c的值；

（2）确定y与x的等量关系后列出关系式即可；

（3）①P在AB上运动时，S△APD=12AD×AP，AP为运动时间t的一次函数；

②P在BC上运动时S△APD=12AD×AB为定值．

③P在DC段上运动时，S△APD=129．（1）解：甲小球到原点的距离为：2＋1×10=12cm；

乙小球碰到挡板后返回的速度：2×1.5＝3(厘米/秒)

乙小球到原点的时间为：10-6÷2=7(秒)

乙小球到原点的距离为：7×3=21cm

答：当t=10时，甲小球到原点的距离为12cm；乙小球到原点的距离为21cm.（2）解：甲球运动的路程为：1×t=t，

∵OA=2

∴甲球到原点的距离为：t+2；

乙球到原点的距离分两种情况：

当0＜t≤3时，乙球运动的路程为：2×t=2t

∵OB=6

∴乙球到原点的距离为：6-2t

由题意得：t+2=6-2t

3t=4

t=43

当t＞3时，乙球到原点的距离为：2×1.5×﹙t-6÷2﹚=3﹙t-3﹚

由题意得：t+2=3﹙t-3﹚

t+2=3t-9

2t=11

t=5.5

熟知路程、速度、时间三者之间的等量关系是解题关键。路程、速度、时间三者之间的等量关系为：路程=速度×时间；速度=路程÷时间；时间=路程÷速度；

（1）根据”路程=速度×时间“可知：甲球运动的路程为：1×10=10cm，由OA=2cm，可得：甲小球到原点的距离为：2＋1×10=12cm；乙小球碰到挡板后返回的速度：2×1.5＝3(厘米/秒)；乙小球到原点的时间为：10-6÷2=7(秒)；乙小球到原点的距离为：7×3=21cm，即可得出答案；

（2）根据乙球的运动轨迹，分0＜t≤3和t＞3两种情况讨论，由甲球到原点的距离为：t+2；当0＜t≤3时，乙球到原点的距离为：6-2t；根据甲、乙两小球到0点的距离相等可列出关于t的一元一次方程，解得t的值；当t＞3时，乙球到原点的距离为：2×1.5×﹙t-6÷2﹚=3﹙t-3﹚，根据甲、乙两小球到0点的距离相等可列出关于t的一元一次方程，解得t的值，即可得出答案。10．（1）2（2）解：存在，有两种情况：

第一种情况：当点P在AB边上时，S∆APE=12×AP×2=43，

解得：AP=43，即x=43(cm);

第二种情况：当点P'在BC边上时，如图，

解：(1)当点P与点B重合时，如图

即S∆APE=S∆ABE=12×2×2=2cm2

故答案为：2

(1)点P运动到点B，连接AE、PE，观察所形成的图形的底边和高与正方形边长的关系，即可求解。

(2)分析题意，要使三角形APE的面积为43c11．（1）解：如图

当电子鼠P爬到和B点重合时，三角形APE第一次成为等腰直角三角形，需要：12+1=12(秒)

当爬到CD边的中点时，三角形APE第二次成为等腰直角三角形，需要：(12+6+6)+1=24+1=24(秒)

答：电子鼠P从A点出发12秒后，三角形APE第一次成为等腰直角三角形；经过24秒后，三角形APE第二次成为等腰直角三角形。（2）解：①如图，

设电子鼠Q从A点出发x秒后四边形AQPE是梯形，

12-x=2x

3x=12

x=4

答：电子鼠Q从A点出发4秒后，四边形AQPE是梯形。②如图

图中电子鼠Q从A点向上运动，电子鼠P同时从C点向下运动时，当∠QPD=45°时，PF=6cm，PC+AQ=6cm。又因为电子鼠Q的速度是电子鼠P的

2倍，所以电子鼠Q行驶路程也是电子鼠P的2倍，AQ=6÷32=4(cm)。而四边形AQPE为四边形，可以将其分割成一个梯形AQPD和一个三角形PED，分别求出这两个图形面积是：(4+10)x6+2=42(cm2)

6x10+2=30(cm2)

所以四边形面积为42+30=72(cm2)。

（1）电子鼠P从A点出发，要使三角形APE是等腰直角三角形，需要分情况讨论：①当电子鼠P爬到和B点重合时，三角形APE第一次成为等腰直角三角形；②当爬到CD边的中点时，三角形APE第二次成为等腰直角三角形。分别计算出这两种情况时所需的时间即可

（2）①设电子鼠Q从A点出发x秒后四边形AQPE是梯形，按路线画出图形：

根据路线，列出方程：12-x=2x，即可计算

②如图，

要使∠QPD=45°，需要分别求出梯形AQPD和一个三角形PED的面积，然后将其相加即可求解12．（1）解：由图2知，

点P运动3秒时到达B点，

又点P的运动速度是2cm/秒，所以，AB=2×3=6cm

又AB：AD=3：5，则AD=10cm

又四边形ABCD是长方形

所以，CD=AB=6cm

则AB+BC+CD=6+10+6=22cm

所以，22÷2=11秒

故点P从点A出发，经过11秒后达到点D。（2）解：由（1）知

S长方形ABCD=6×10=60cm2，则当点P再BC上运动时，

三角形ADP的面积恒为：60÷2=30cm2

又25<30

则当点P在边AB上时，

25×2÷10=5cm

5÷2=2.5秒

当点P在边CD上时，

6+10+6-5=17cm

17÷2=8.5秒

综上所述，经过2.5秒或8.5秒后三角形APD的面积恰好是25cm2（1）通过题干中的信息，确定长方形ABCD的边长AB和AD，进而得到CD的长度。即可计算点P从A到D的总运动时间。

（2）分析点P在不同位置时，三角形APD的面积变化情况，确定何时三角形APD的面积为25cm2，计算出对应的运动时间。13．解：把楼梯的各条线段进行平移，可得AB+BC=楼梯A→C的总长；

设A→C的路程为x米，则猫行走的路程为x+1.5米，老鼠行走的路程为x-1.5米，

因为猫和老鼠行走的时间相同，且老鼠的速度是猫的58，

根据时间一定时，路程与速度成正比的性质可得：

x−1.5x+1.5=5把楼梯的各条线段进行平移，可得到一个长方形ABCE；可得AB+BC=楼梯A→C的总长（即这个长方形周长的一半）；猫捉鼠的路程之和为楼梯A→C的总长+线段CD长；老鼠逃窜的路程为AB+BC-线段CD长；根据时间一定时，所行走的路程与速度成正比的性质即可解决问题．14．（1）解：-2-1+2

=-3+1

=-1

答：第一次移动后点P在数轴上对应的数为-1。（2）解：-1-2+4

=-3+4

=1

答：第二次移动后点P在数轴上对应的数为1。（3）解：1-3+6

=-2+6

=4

答：第三次移动后点P在数轴上对应的数为4。（4）解：点P在数轴上的数依次是：-2、-1、1、4，

所以第n次移动后点P在数轴上对应的数是-2+(n+1)n(1)、(2)、(3)根据左减右加，用开始的点减去向左移动的个数再加上向右移动的个数即可。(4)写出前几个点P的位置，发现第一次移动后的点是-2+1，第二次移动后的点是-2+1+2，第三次移动的点是-2+1+2+3，因此，第n次移动后的点就是-2+1+2+3+……n，据此总结规律即可。15．（1）解：当点A，B位于原点O的同侧时，点B表示的数是10。设点Q的运动速度为x，则点P的速度为2x，3秒后两动点相遇，3（x+2x）=9，解得x=1。点Q的运动速度为1，则点P的速度为2。点Q运动到数字4时，需要（9-4）÷1=5（秒），运动t秒后（t≤5），PQ=2有两种情况：①相遇前，由题意有：2t+2+t=9，解得：t②相遇后，由题意有：2t+t=9+2，解得：t（2）解：根据题意得：点P和点Q在A处相遇，此时点Q运动5秒，运动路程为9米。所以点Q的运动速度为9÷5=1.8（米/秒）设点P速度为v，|OM-ON|=2|9+1-（5v+1）|=2|9-5v|=2解得v=7答：点P的速度为75米/秒或11(1)因为动点P的速度是Q的2倍，可以设Q的速度为x，P的速度为2x，两者相遇用了3秒，可以列出3(x+2x)=9，解出x=1；又Q运动到数字4时，运动停止，因此，整个运动持续的时间为(9-4)÷1=5秒。PQ的距离是2，分为两种情况，①相遇前的运动路程是9-2=7；②相遇后的路程是9+2=11；据此求出t的值。

(2)A、B在原点的异侧，可以求出B对应的数是-8，由题意分析可以得到P、Q在A点相遇时，Q运动时间是5秒，运动路程是9，从而求出Q运动速度是9÷5=1.8；设P的速度为v，因为MN=2，所以可以分为Q在P前和Q在P后两种情况，分别求出v的值即可解答。16．解：离出发点10cm有甲爬行10cm，70-10=60cm，70+10=80cm三种情况。（1）当甲爬行10cm时，甲所用的时间为10÷4=乙在此过程中分为两个阶段，第一阶段乙爬行15cm，第二阶段爬行：15−10=5两段速度比为1∶2两段路程比为3：1两段时间比为3第一段乙用时52×（2）当甲爬行60厘米时，甲所用时间为60÷4=15乙在此过程中分为两个阶段，第一阶段乙爬行15cm，第二阶段爬行15+10=25两段速度比为1：2，两段路程比为：15：25=3：5两段所用时间比31：乙原来的速度：15÷⑶当甲爬行80cm时，甲所用的时间为80÷4=20乙在此过程中分为两个阶段，第一阶段乙爬行15cm，第二阶段乙爬行15-10=5（cm）。两段速度比1：2，路程比为15：5=3：1。两段所用时间比31：乙原来的速度为15÷因此，乙爬虫原来的速度为7cm/s或-116cm为了解决这个问题，我们需要分析甲和乙的爬行过程，特别是在它们第一次相遇时的情况。由于甲和乙的速度不同，以及乙的速度变化和方向改变，我们需要分情况讨论，分别计算在不同情况下乙的原始速度。17．解：如图，

由题意可知，丙从D到E用4分钟，丁从D到F用10分钟，乙从E经D到F用6分钟，说明甲（或乙）速度是丙（或丁）的：（4+10）÷6=73（倍）

因为甲走AD用10分钟，所以丙走AD要用10×73=703（分），走AE用703−4=583（分钟）

因为乙走（BA+AE）用14分钟，所以，丙走AB用14×73−583=403（分钟由题意可知，丙从D到E用4分钟，丁从D到F用10分钟，乙从E经D到F用6分钟，说明甲（或乙）速度是丙（或丁）的：（4+10）÷6=73（倍）

因为甲走AD用10分钟，所以丙走AD要用10×73=703（分），走AE用703−4=583（分钟）

因为乙走（BA+AE）用14分钟，所以，丙走AB用18．（1）解：点C表示的数为3，BC=2，AB=6，OB=3-2=1；AO=6-1=5所以A表示-5；答：数轴上点A表示的数为-5.；解：点C表示的数为3，BC=2，OB=3-2=1，所以B表示1；答：点B表示的数为1.（2）解：①由题意得，如图：

t秒后，

点p表示的数为：-5+2t，

点Q表示的数为：3-t，

M为AP的中点，所以点M表示的数为：−5−5+2t2=t−5，

因为CN=23CQ，所以CN=23t，

所以点N表示的数为：3−23t；

②由题意可，如图：P在左侧，Q在右侧时，

OP=5-2t，OQ=3-t，

原点O恰好是线段PQ的中点，所以5-2t=3-t；

解得t=2；

如图：Q在左侧，P在右侧时，

OP=2t-5，OQ=t-3，

原点O恰好是线段PQ的中点，所以2t-5=t-3；

（1）根据图片A，B，C点的位置，3-