2026-2027学年小学奥数思维训练-浓度与经济问题（经典透析）（含答案）

/小学奥数思维训练浓度与经济问题（经典透析）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、解答题1．现有浓度为16%的糖水40千克，要得到含糖20%的糖水，可采用什么方法？2．甲种酒精纯酒精含量为72％，乙种酒精纯酒精含量为58％，混合后纯酒精含量为62％.如果每种酒精取的数量比原来都多取15升，混合后纯酒精含量为63.25％.问第一次混合时，甲、乙两种酒精各取多少升？3．有甲、乙、丙三个容器，容量为1000毫升，甲容器的浓度为40%的糖水400毫升；乙容器有清水400毫升，丙容器中有浓度为20%的糖水400毫升，先把甲，丙两容器中的糖水各一半倒入乙容器搅匀后，再把乙容器中的糖水200毫升倒入甲容器，200毫升倒入丙容器，这时候甲、乙、丙容器中糖水的浓度各是多少？4．A、B、C三个试管中各盛有10克、20克、30克水．把某种浓度的盐水10克倒入A中，混合后取出10克倒入B中，再混合后又从B中取出10克倒入C中，现在C中的盐水浓度是0.5%．最早倒入A中的盐水浓度是多少？5．某商店到水果产地去收购橘子，收购价为每千克1.20元。从产地到商店的距离是400千米，运费为每吨货物每运1千米收1.50元。如果在运输及销售过程中的损耗是10%，商店要想实现25%的利润率，零售价应是每千克多少元？6．某商场在迎元旦展销期间，将一批电视机降价出售．如果打九折出售，可盈利215元；如果打八折出售，亏损125元．此电视机的购入价是多少元？7．甲、乙二人原有钱数相同，存入银行，第一年的利息为4%，存入一年后利息降至2%，甲将本钱和利息继续存入银行，而乙将一半本钱投资股市及房地产，获利20%，一年后，甲比乙赚到的钱的一半还少144元，则甲原来有多少元？8．国家规定个人发表文章，出版图书获得稿费的计算方法是：①稿费不高于800元的不纳税；②稿费高于800元又不高于4000元的应缴纳超过800元的那一部分的14%的税；③稿费高于4000元的应缴纳全部稿费的11%的税。今得知丁老师获得一笔稿费，并且依法缴纳个人所得税420元，问丁老师这笔稿费是多少元？又得知马老师获得一笔稿费，并且依法缴纳个人所得税550元，问马老师这笔稿费是多少元？9．小刚家去年参加了家庭财产保险，保险金额是20000元，每年的保险费是保险金额的0.3%．其家中被盗，丢失了一台彩色电视机和一辆自行车，保险公司赔偿了2940元．已知电视机的价格正好是自行车价格的7倍．如果要购买与原价相同的电视机和自行车，那么加上已交的保险费，小刚家需比原来多花费400元．电视机和自行车原价各多少元？参考答案：1．加糖2千克，或者蒸发8千克水【解析】【分析】原来糖水的浓度为16%，现在要将浓度变为20%，是将浓度变大，通常首先会想到往溶液中再加一下溶质．其实，我们也可以用“蒸发”的方法减少水的质量来达到目的．若用加糖的方法，水的质量不变；若用蒸发的方法，糖的质量不变．【详解】解法一：采用加糖法，水的质量保持不变．原糖水中含水：40×（1-16%）=33.6（千克）也就是现在糖水中也是含水33.6千克，现在水的浓度就是（1-20%），现在糖水的质量为：33.6÷（1-20%）=42（千克）．糖水增加的质量就是要加的糖的质量，所以要加糖：42-40=2（千克）解法二：采用蒸发法，糖的质量保持不变．原糖水中含糖：40×16%=6.4（千克），即为现在糖水中糖的质量．现在糖水中含糖20%，可求出现在糖水的质量：6.4÷20%＝32（千克）．所以蒸发水：40－32＝8（千克）．答：可以加糖2千克，或者蒸发8千克水．【点睛】本题为典型的溶液混合题，只要抓住不变量，将混合前后各个量之间的关系联系起来．有时候利用不同的不变量，会有不同的解法．2．甲取12升，乙取30升【解析】【分析】这道题，我们可以把他看成一道分数百分数问题，首先选取单位“1”，但是注意，两次混合就要选取两次单位“1”，要对应联系起来，我们可以每次都选取乙为单位“1”．【详解】解法一：第一次混合时甲种酒精用量是乙种酒精用量的分率为：（62%-58%）÷（72%-62%）=；第二次混合时甲种酒精用量是乙种酒精用量的分率（63.25%-58%）÷（72%-63.25%）=根据量率对应的关系：乙可取15÷[3÷（5-3）–2÷（5-2）]÷（1-）=30（升）甲可取30×=12（升）．解法二：可以采用“十字交叉相减”法，这个方法和杠杆原理很类似，两种浓度不同的溶液混合在一起，混合后的浓度一定在混合前两种溶液的浓度之间，比大的小，比小的大，并且接近质量多的溶液．具体解体方法如下：混合前甲，乙溶液浓度：

甲

乙交叉相减求差：

62%-58%=4%

72%-62%=10%

差的比值：

4%

：

10%甲，乙溶液质量的比值：

2

：

5

第二次配比也是相同的方法混合前甲，乙溶液浓度：

甲

乙

交叉相减求差：

63.25%-58%=5.25%

72%-63.25%=8.75%

差的比值：

5.25%

：

8.75%甲、乙溶液质量的比值：

3

：

5这样我们可以轻松的得到配比前两种溶液质量的比值，剩下的步骤就很容易了．【点睛】溶液的配比问题可以抓住不变量，利用方程或“十字交叉”法来解决．3．甲：27.5%

乙：15%

丙：17.5%【解析】【分析】对于涉及到多个变量反复操作的问题，我们最好采用列表处理的方法．【详解】解：列表如下甲浓度溶液开始40%400第一次40%400-200=200第二次200+200=400乙浓度溶液开始0400第一次400+200+200=800第二次15%800-200-200=400丙浓度溶液开始20%400第一次40%400-200=200第二次200+200=400答：这时甲容器中糖水的浓度是27.5%，乙容器中糖水的浓度是15%，丙容器中糖水的浓度是17.5%．【点睛】在做有关浓度的应用题时，为了搞清楚溶质质量，溶液质量的变化，尤其是多次变化的，常用列表的方法，使它们之间的关系一目了然．4．12%【解析】【分析】可用倒推法的思想，先求出现在C管中糖的质量，又因为C中原来只有30g水，所以它的糖是从B管取出的10g糖水中来的，由此可求出此前B管中糖的质量．而B管中的糖又是从A管中取出的10g糖水中来的，由此可求出A管里20g糖水中糖的质量，即所求糖水中的糖．【详解】解法一：现在C管中的糖的质量为（30+10）×0.5%=40×0.5%=0.2（g）则此前B管中糖的质量为：0.2÷10×（20+10）=0.6（g）则此前A管中糖的质量为0.6÷10×（10+10）=1.2（g），最早到入A中的糖水浓度是12%．解法二：设最早倒入A中糖水浓度为x，则A中糖水的浓度为10x÷（10+10）=0.5x，B中糖水的浓度为=xC中糖水的浓度为=x所以

x=0.5%x=12%．答：最早倒入A中糖水的浓度为12%．【点睛】要想在解题过程中分清变化前后谁变了，谁没变，紧紧抓住不变量是突破口．用倒推法能让思路清晰，避免纠缠于中间的变化过程．5．2.50元【解析】【分析】先求出每千克的成本价，然后根据售价＝成本×（1＋利润率）。【详解】每千克的运费是1.50×400÷1000＝0.60（元）每千克的成本：（1.20＋0.60）÷（1－10%）＝1.8÷0.9＝2.00（元）零售价为：2.00×（25%＋1）＝2×1.25＝2.50（元）答：零售价应是每千克2.50元。【点睛】本题的关键是搞清楚成本、利润、售价、利润率这几个量的概念以及它们之间的关系。6．2845元【解析】【详解】第二种方法比第一种多降了定价的20%-10%=10%，而导致第二种方法比第一种少卖了215+125=340元．说明定价的10%就是340元．可以求出定价，也可以求出成本．详解过程：电视机的定价为：（215+125）÷（20%-10%）=3400（元）那么该电视机的购入价为：3400×（1-10%）-215=2845（元）答：此电视机的购入价是2845元．【点睛】本题为折扣问题，是百分数的典型应用．注意折扣的单位“1”和利润率的单位“1”不同，折扣的单位“1”为原价（定价），利润率的单位“1”为成本，注意区分和转化．7．10000元【解析】【分析】本题为利息问题，本金×（1＋利息×期数）＝本息【详解】详解过程：设甲和乙原有钱数都是x．甲在银行存了两年，第一年利息为4%，钱变成了x（1+4%），接着再存了一年，第二年利息是2%，本息和为x（1+4%）（1+2%），两年赚的钱为：x（1+4%）（1+2%）－x＝0.0608x；乙先将所有的钱在银行存了一年，本息和为x（1+4%），第二年将一半本息接着存入银行，一半本钱投入股市，存入银行的一年后本息和为x（1+4%）（1+2%），投入股市的钱一年后收入为x（1+20%），乙两年赚的钱为：x（1+4%）＋x（1+4%）（1+2%）＋x（1+20%）－x=0.1504x．已知甲赚的比乙的一半还少144元，于是得到（144＋0.0608x）×2=0.1504x，解得x=10000元．答：甲原来有10000元．【点睛】本题考察的是利息问题和利润问题的综合求解．在计算本息和时最好写成x（1+4%），这样后面的也可以直接写为x（1+4%）（1+2%）了，比较简单明了方便计算．推而广之，在计算所有增加或者减少分率时都可以这样处理，一般公式为单位“1”×（1±增加或减少分率）．8．丁老师的稿费为3800元，马老师的稿费为5000元【解析】【分析】因为第一档的不纳税，先求出第二档的要纳税钱数是多少，再用缴个人所得税420元和550元与第二档的要纳税作比较，看属于那个档次再计算稿费，据此解答。【详解】第一档的不纳税，第二档的要纳税（4000－800）×14%＝3200×14%＝448（元）说明丁老师稿费低于4000元。丁老师的稿费为：420÷14%＋800＝3000＋800＝3800（元）。马老师的所得税高于448元，应该用第三档的来计算。马老师的稿费为：550÷11%＝5000（元）。答：丁老师的稿费为3800元，马老师的稿费为5000元。【点睛】此题考查了有关纳税问题，解答此题关键是首先确定稿费的范围，然后根据税率计算即可。9．自行车的原价是：410元

电视机的原价是：2870元【解析】【详解】解：小刚家的保险金额是20000元，保险费是保险金