2026-2027学年小学奥数思维训练数论二约数倍数、质数合数、分解质因数（经典透析）（含答案）

/小学奥数思维训练数论(二）约数倍数、质数合数、分解质因数（经典透析）一、填空题1．从一张长2002毫米，宽847毫米的长方形纸片上，剪下一个边长尽可能大的正方形，如果剩下的部分不是正方形，那么在剩下的纸片上再剪下一个边长尽可能大的正方形．按照上述过程不断重复，最后剪得的正方形的边长是______毫米．（1991年小学数学奥林匹克决赛试题）二、解答题2．把26、33、34、35、63、85、91、143分成若干组，要求每组中任意两个数的最大公约数是1，那么至少要分几组？（1992年小学数学奥林匹克竞赛试题）3．已知自然数、满足以下两个性质：⑴、不互素；⑵、的最大公约数与最小公倍数之和为35．那么+的最小值是多少？4．三个连续正整数，中间一个是完全平方数，将这样的连续三个正整数的乘积称为“美妙数”，问所有的“美妙数”的最大公约数是多少？（第九届华杯赛）5．在一根长木棍上，有三种刻度线，第一种刻度线将木棍分成10等份，第二种刻度线把木棍分成12等份，第三种刻度线把木棍分成15等份，如果沿每条刻度线把木棍锯断，木棍总共被锯成多少段？（第二届“华罗庚金杯”赛决赛试题）6．已知一个苹果重千克，一个梨重千克，且苹果和梨的总重量相同，求最少有几个苹果和几个梨？7．一个数的20倍减1能被153整除，这样的自然数中最小的是多少？(祖冲之杯小学数学邀请赛)8．一个数加上10，减去10都是一个平方数，求这个数．9．3个质数的平方和是39630，那它们的和是多少？参考答案：1．77【解析】【详解】

从图中可知，在长2002毫米、宽847毫米的长方形纸片的一端，依次剪去以宽847毫米为边长的正方形2个，再在剩下的长847毫米、宽308毫米的长方形纸片中，剪去以308毫米为边长的正方形2个，然后又从余下的长308毫米、宽231毫米的长方形纸片中，剪去一个边长231毫米的正方形，剩下的长方形纸片长恰好是宽的3倍，也就是最后可以剪得3个边长为77毫米的正方形．由于77毫米是231毫米、308毫米、847毫米的约数，所以剪得同样长的、且边长尽可能长的正方形边长就是77毫米．也即本题就是求2002和847的最大公约数．

（2002，847）=77，即最后剪得的正方形边长是77毫米．说明：这种求最大公约数的方法叫辗转相除法．因为231＝77×3

308＝231+77＝77×3+77＝77×4

847＝308×2+231＝77×4×2+77×3＝77×11

2002＝847×2+308＝77×11×2+77×4＝77×26

由于26和11、11和4、4和3都是互质数．

所以就保证了（2002，847）=（847，308）＝（308，231）＝（231，77）＝77成立．【点睛】这样逐步重复地用除法把所要求最大公约数的一对数，换成愈来愈小的另一对数．可见辗转相除法的优点在于它能在较短时间内求出任意两个数的最大公约数．2．3组【解析】【详解】每组中任两个数的最大公约数都是“1”就必须保证每组中的数没有相同的质因数．先把这八个数分解质因数

26＝2×1333＝3×1134＝2×1735＝5×763＝32×785＝5×1791＝7×13143＝11×13

从中我们可以看出，每一个数都有2个不同的质因数，并且35，63，91中都有质因数7；26，91，143中都有质因数13．显然有相同质因数的三个数不能同在一组．因此至少要分3组才有可能把这两组三个数分开．

现取26、33、35为一组，34、63、143为一组，85、91为一组．同组的数中，没有相同的质因数，都保证“每两个数的最大公约数都为“1”．所以只有至少分3组，才能满足题目要求．即至少要分3组．【点睛】转化为分析各数的质因数，从而找到答案．阐述理由时，一方面讲为什么不能少于3组，另一方面举例证明这3组确实分得出．这样阐述，理由充足，令人信服．3．25【解析】【详解】因为、的最大公约数与最小公倍数的和是35，所以35是两数最大公约数的倍数．它们的最大公约数可能是5和7（因为两数不互质，所以不为1）．如果、的最大公约数是5，则、的最小公倍数是30，此时有=10、=15或=5、=30；如果、地最大公约数是7，则、的最小公倍数是28，此时有=7、=28．所以＋的最小值为．【点睛】、的最大公约数一定是它们最小公倍数的约数．充分应用最大公约数与最小公倍数的关系，并分类讨论多种可能性，考察推理思维的周密性和严谨性，最终找到最小值．4．60【解析】【详解】这样的数有3×4×5

8×9×1015×16×1724×25×26……容易发现它们的最大公约数是3×4×5＝60首先任意连续3个正整数中必然有一个是3的倍数，所以美妙数一定能被3整除；其次，任何一个完全平方数要么是4的倍数要么被8除余1，所以美妙数一定也能被4整除；最后，任何一个完全平方数的末位数字都是0，1，4，5，6，9，无论是哪一个，它们自己加上前后各一个数中必然有一个是0或5，因此美妙数一定也是5的倍数．综上所述，所有美妙数的最大公约数是60．5．28段【解析】【分析】假如把木棍长看成是1个单位，那么每个等分线将表示一些分数，寻找起来就不大方便．如果把木棍看成是10、12、15的最小公倍数个单位，那么每个等分线将表示的数都是整数，而且重合位置表示的数都是等分线段长度的最小公倍数．这样一来，可利用求最小公倍数的方法计算出重合部分的个数．【详解】由于[10，12，15]＝60，先把木棍60等分，每一等分作为一个单位，则第一种刻度线相邻每两刻度间占6个单位，第二种刻度线占5个单位，第三种刻度线占4个单位，分点共有9+11+14=34个．

由于[5，6]＝30，故在30单位处二种刻度重合1次；

[4，5]=20，故在20、40单位处二种刻度重合2次；

[4，6]＝12，故在12、24、36、48单位处二种刻度重合4次；

∴共有不重合刻度34－1－2－4＝27个，从而分成28段．即木棍总共锯成28段．【点睛】木棍锯成的段数，比锯的次数大1．但是锯的次数并不一定是三种刻线的总和．这是因为两种刻度线重合在一起的时候，就少锯了一次．因此，解决本题的着眼点在于计算出有多少两种刻度线或者三种刻度线重叠在一起的位置．6．苹果25个，梨32个【解析】【分析】本题实质上就是一个求分数的最小公倍数的问题，这类问题有固定的解法，一般地，对于两个分数，它们的最小公倍数是，这里[a，c]代表a，c的最小公倍数，（b，d）代表b，d的最大公约数．【详解】方法一:直接使用分数最小公倍数的公式根据上述分析本题实质上是求和的最小公倍数由上面给出的结论知道这个数是＝所以苹果和梨的总重量都是20/3千克因此苹果个数是个

梨的个数是个方法二：列方程设苹果有x个，梨有y个所以x＝y，推出x︰y＝25︰32故x最小是25，y最小是32．x＝×25＝所以总重量是千克．7．23【解析】【分析】本题根据个位率考虑问题是小学常用的特点,一个的自然数的20倍的末位数一定是0，减1后的尾数是9，最后考虑153乘几尾数是9【详解】设这样的数为x，则20x-1=153a，a是整数，即20x=153a＋1，因为20x的末位数一定是0，所以a最小取3，从而x最小是23．8．26【解析】【分析】平方差公式的应用是重点（清华附中入学测试题）1.－=（A+B）（B－A）公式的应用2.（A+B）与（B－A）奇偶性相同3.分解4.和差求解【详解】：-=20，-=（A+B）（B－A）=20，可见右边的数也要分成2个数的积，还得考虑同奇偶性，所以只能拆成2×10，这样A+B=10，B－A=2，所以A=4，B=6，所以这个数为A2+10=B2-10=26．9．206【解析】【详解】请注意平方数的个位特征，联系奇偶性．39630=奇数＋奇数＋偶数，所以3个质数中必定有一个是2；由于质数中除