2026-2027学年小学奥数思维训练-统筹与策略（经典透析）（含答案）

/小学奥数思维训练统筹与策略（经典透析）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、解答题1．6个人各拿一只水桶到水龙头接水，水龙头注满6个人的水桶所需时间分别是5分钟、4分钟、3分钟、10分钟、7分钟、6分钟．现在如果有甲、乙两个水龙头可用，怎么安排这6个人打水，才能使他们等候的总时间最短，最短的时间是多少？2．烙饼需要烙它的正、反面，如果烙熟一块饼的正、反面，各用去3分钟，那么用一次可容下2块饼的锅来烙2007块饼，至少需要多少分钟？3．如下图，在街道上有A、B、C、D、E、F六栋居民楼，每栋楼里每天都有20个人要坐车，现在想设立一个公交站，使居民到达车站的距离之和最短，应该设在何处？4．甲，乙两人要到沙漠中探险，他们每天向沙漠深处走20千米，已知每人最多可以携带一个人24天的食物和水，如果不准将部分食物存放于途中，那么其中一人最远可以深入沙漠多少千米（要求最后二人返回出发点）？5．某商店汽水做促销活动，规定每5个空瓶能换1瓶汽水．小强家买了80瓶汽水，喝完后再按规定用空瓶去换汽水，那么他们家前后最多能喝到多少瓶汽水？6．小明与弟弟在玩一种“抢报30”的游戏．从1开始到30，两人轮流报数，每人每次最多报两个数，不能不报，谁先抢到“30”算赢．请问，在他们先报与后报的人中，谁有必胜的策略．7．两人作移火柴棍的游戏，游戏的规则如下：两人从一堆火柴棍中可轮流移走1～7根，直到移尽为止．挨到谁移最后一根就算谁输．如果开始时有1000根火柴，则先移的人第一次应该移动几根火柴棍，才能保证在游戏中获胜？8．甲、乙两人轮流往一个圆桌面上放同样大小的硬币．规则是：每人每次只能放一枚，硬币不许重叠，谁放完最后一枚硬币而使对方再也无处可放，谁就获胜．如果甲先放，那么他怎样放才能取胜？9．如图，在一个2004×16的长方形棋盘左上角的方格中有一个棋子（用★表示）．小兵和小燕按如下规则下棋：（1）小兵先走，以后两人轮流移动棋子；（2）棋子纵向或横向（斜向不可）走几个方格都可以，但至少要走1个方格；（3）每个方格允许棋子通过或停留一次（即已经走过的格子不能再走了）；（4）轮到哪一方没方格可走时，哪一方就算失败．两人都在为取胜尽力，其中必有一胜．请问：谁有必胜的把握？简述取胜的策略．10．在一个3×3的方格中（下图），甲、乙两人轮流（甲先）往方格中写1、3、4、5、6、7、8、9、10九个数中的一个，数字不能重复．最后甲的得分是上、下两行六个数之和，乙的得分是左、右两列六个数之和，得分多者为胜．请你为甲找出一种必胜的方法．参考答案：1．安排需3分钟的，然后5分钟的，最后7分钟的在甲水龙头打；安排需4分钟的，然后6分钟的，最后10分钟的在乙水龙头打．

等候的总时间是：60分．【解析】【分析】首先我们来看看如果只有一个水龙头时候的情况．要想等候的时间最短，我们应该把时间短的人尽量安排在前边，例如应该最先安排3分钟那个人，这样后边的5个人外加他自己都等了3分钟，依此类推，以下依次安排4，5，6，7，10，很容易计算出等候的总时间是3×6＋4×5＋5×4＋6×3＋7×2＋10＝100（分）．现在看看有两个水龙头的情况，由刚才的分析我们可以看出为使总的等待时间尽量短，应让打水所需时间少的人先打．安排需3分钟的，然后5分钟的，最后7分钟的在甲水龙头打；安排需4分钟的，然后6分钟的，最后10分钟的在乙水龙头打；在甲水龙头3分钟的人打时，有2人等待，占用三人的时间和为（3×3）分；然后，需5分钟的人打水，有1人等待，占用两人的时间和为（5×2）分；最后，需7分钟的人打水，无人等待．甲水龙头打水的三个人，共用（3×3＋5×2＋7）分，乙水龙头的三人，共用（4×3＋6×2＋10）分．总的占用时间为（3×3＋5×2＋7）＋（4×3＋6×2＋10）＝60（分）．【详解】安排需3分钟的，然后5分钟的，最后7分钟的在甲水龙头打；安排需4分钟的，然后6分钟的，最后10分钟的在乙水龙头打；甲水龙头打水的三个人，共用（3×3＋5×2＋7）分，乙水龙头的三人，共用（4×3＋6×2＋10）分．总的占用时间为（3×3＋5×2＋7）＋（4×3＋6×2＋10）＝60（分）．【点睛】这道题的关键在于弄清楚安排的顺序，尽量将时间短的人往前安排，以使后面的人等待的时间短．2．6021分钟【解析】【分析】首先很容易想到这样一种烙饼的方法，每次烙两张饼，正反两面共用6分钟，2007÷2=1003余1最后那张饼只能再用6分钟烙好，这样总共就用了6×1003+6=6024分钟．但是可以看出烙最后一张饼的时候对锅的利用不够充分，所以很有可能浪费了一部分时间．我们可以先将两块饼同时放入锅内一起烙，3分钟后两块饼都熟了一面，这时取出一块，第二块翻个身，再放入第三块，又烙了3分钟，第二块已烙熟取出，第三块翻个身，再将第一块放入烙另一面，再烙3分钟，锅内两块饼均烙熟．这样烙3块饼，用去9分钟，所以烙2007块饼，至少用2007÷3×9＝6021（分钟）．这种方法保证了所有时间段都能充分的利用锅，不造成浪费．因此这种方法是用时最短的．【详解】2007÷3×9＝6021（分钟）．答:至少需要6021分钟.【点睛】如果是有2的倍数张饼，可以直接用第一种方式来操作，如果是一个3的倍数，可以直接用第二种方式，但是如果既不是2，又不是3的倍数（比如7张饼），我们可以把这样的数拆成一个2的倍数与一个3的倍数的和来操作，如7可以拆成4+3，4这一部分用第一种方式操作，3用第二种方式操作．3．可以建在C或D【解析】【分析】分析：先看下面这道题，如下图，在街道上有A、B、C、D、E五栋居民楼，现在设立一个邮筒，为使五栋楼的居民到邮筒的距离之和最短，邮筒应设于何处？条件中只有五个楼的名字和排列顺序，楼与楼的距离也不确定．那么我们先来分析一下A、E两个点，不论这个邮筒放在AE之间的那一点，A到邮筒的距离加上E到邮筒的距离就是AE的长度，也就是说邮筒放在哪儿不会影响这两个点到邮筒的距离之和；那么我们就使其他的3个点到邮筒的距离之和最短，再看为了使B、D两个到邮筒的距离之和小，应把邮筒放在BD之间．同理，只要是在BD之间，B、D到邮筒的距离之和也是不变的，等于BD．最后，只需要考虑C点到邮筒的距离最近就行了．那么当然也就是把邮筒放在C点了．这里就体现了一个“向中心靠拢的思想”．【详解】因为每栋楼的人数相同所以数量不影响选择，找最中间的那栋楼，可这时最中间的楼有两个．经过研究发现，建在这两个楼都一样，路程和最短，所以可以建在C或D．如果我们只要求建在这条道路上的一点即可，那么CD之间及点C、D均可．【点睛】有“奇数”个点时就选最中间的那个点，有“偶数”个点的时候就选择最中间的两个点之间的任意一点．4．320千米【解析】【分析】题目的要求是要其中一人走的更远，假设这个人是甲，他必须获得乙的帮助，也就是说乙的食物和水当中的一部分得分给甲，由此，我们可以设计出如下的一个方案：由线段图可知，两人先从A走到C地，然后乙将自己的一部分水和食物给甲，将甲的补给加满，只留下够自己回去的食物和水就行，然后甲继续往前走到B地然后返回A．现在问题的关键是C地究竟在什么位置？我们来分析一下乙的食物和水分成了几个部分，他自己用去了两个部分（A到C，C回A），还把甲给加满了，也就是甲从A到C耗费的那部分，总共三部分，而且还是相等的．24÷3=8，即从A到C用去了8天，那么甲总共用去了24+8=32天的水和食物，因为是往返，所以从A到B总共用去了32÷2=16天，每天走20千米，所以A，B两地相距20×16=320（千米）．【详解】24÷3=8（天）24+8=32（天）32÷2=16（天）20×16=320（千米）答:其中一人最远可以深入沙漠320千米5．100瓶【解析】【分析】很多人会考虑到用80个空瓶换16瓶汽水，然后用16个空瓶换3瓶汽水，然后就不会往下想了，事实上最后4个空瓶还能发挥点作用．我们按照实际换汽水过程分析：喝掉80瓶汽水，用80个空瓶换回16瓶汽水；喝掉16瓶汽水，用16个空瓶换回3瓶汽水余1个空瓶；喝掉3瓶汽水，连上次余下的1个空瓶还剩4个空瓶．此时，再借1个空瓶，与剩下的4个空瓶一起又可换回1瓶汽水，喝完后将空瓶还了．所以，他们家前后最多能喝到汽水：80+16+3+1=100（瓶）．以上方法正确运用“5个空瓶可换1瓶汽水”这个条件，特别是最后一次换瓶的技巧，你不充分利用可就“吃亏了”！但如果一开始瓶数很多，那么这个换的过程就会很长．有没有简便的算法呢？方法二：每4个空瓶就能换到1瓶汽水（不带瓶），即买4瓶就可以喝到5瓶，喝的瓶数是买的瓶数的倍．买了80瓶，那么可以喝80×=100（瓶）【详解】方法一：80+16+3+1=100（瓶）．方法二：每4个空瓶就能换到1瓶汽水（不带瓶），即买4瓶就可以喝到5瓶，喝的瓶数是买的瓶数的倍．80×=100（瓶）答：他们家前后最多能喝到100瓶汽水.【点睛】对于这种空瓶换汽水的题，主要有两种类型，一种是已知买了多少瓶，求最多能喝多少瓶（以下简称买推喝），另一种是已知喝了多少瓶，求至少要买多少瓶（以下简称喝推买）．无论是那种题，我们首先都要弄清楚喝的瓶数与买的瓶数之间的倍数关系．例如4瓶换1瓶，则倍数为，7瓶换1瓶，倍数为，然后喝推买的时候用喝的瓶数除以这个倍数，买退喝的时候就乘以这个倍数，这里要注意，喝的瓶数一定会比买的瓶数多，这个可以用来检验我们是否做对的标准．但是这里又会出现一个问题，万一得数不是一个整数该怎么办呢？这里我们要站在卖汽水的人的角度来看问题，他一定是希望我们买得多，喝得少，也就是说买推喝的时候，如果得数是100.9这样的数，那么我们只能喝到100瓶，而喝推买的时候，如果得数是100.1这样的数，我们必须买101瓶才行，这里一定是买推喝全舍，喝推买全入，而不是四舍五入．6．后报的人有必胜策略【解析】【分析】每次能够报1个或2个，当对手报1个时，自己就报2个，对手报2个，自己就报一个，这种方法可以称之为“凑3”．因此可以以3个数为一组（以下简称周期），对手报的是3个数中的前一部分，自己报的是后一部分．【详解】详解：因为30÷3=10，没有余数，所以应该让对手先报，后报的人有必胜策略，就是“凑3”．【点睛】谁报最后一个谁赢的情况下，用总数÷周期，如果有余数，则先报的人赢，必胜策略是先报余数，然后与对手凑周期；如果没有余数，则后报的人赢，必胜策略是直接与对手凑周期．谁报最后一个谁输的情况下，先用总数-1，然后用报最后一个赢的方式操作就可以了．7．7根【解析】【详解】因为是谁拿到最后一根谁输，所以先用1000-1=999，又因为周期是8，所以用999÷8余7，因此先拿的人必须拿走7根火柴，然后与对手“凑8”，就一定能获胜．8．如果甲先放，他要把第一枚硬币放到圆桌面的圆心处，以后总在乙上次放的硬币的对称点放置硬币，这样才能取胜．【解析】【分析】我们用对称的思想来分析一下．圆是关于圆心对称的图形，若A是圆内除圆心外的任意一点，则圆内一定有一点B与A关于圆心对称（见右图，其中AO=OB）．所以，圆内除圆心外，任意一点都有一个（关于圆心的）对称点．由此可以想到，只要甲把第一枚硬币放在圆桌面的圆心处，以后无论乙将硬币放在何处，甲一定能找到与之对称的点放置硬币．也就是说，只要乙能放，甲就一定能放．最后无处可放硬币的必是乙．【详解】甲的获胜策略是：如果甲先放，他要把第一枚硬币放到圆桌面的圆心处，以后总在乙上次放的硬币的对称点放置硬币，这样才能取胜．9．小兵有必胜的把握．策略见详解．【解析】【详解】小兵有必胜的把握，可按下面策略走棋：第一步，小兵向右走至最后一格，小燕只能向下走若干格；第二步，小兵向左走至最后一格，小燕只能向上或向下走若干格；第三步，小兵向右走至最后一格，小燕只能向上或向下走若干格；就这样，小兵始终横向走，使得小燕只能纵向走．最后小兵必胜．【点睛】为什么这样小兵必胜呢？我们可以看出，这道题中行比列多，小兵横向走，每次都废掉了一行，而小燕纵向走，每次都废掉了一列，又因为行比列多，所以小兵的选择比小燕多，也就坚持的时间比较长了．如果把这道题中的棋盘竖过来，很显然小兵不能再选择横向走了，而只能纵向走，也就是说先走的人永远必胜，他只要选择去废掉行或列中较多一种就可以保证自己能赢．也许有同学要问了，如果行和列同样多呢？还是先走的人赢，这个时候他不论选择横向或者纵向都可以获胜．10．先在d或f中填入1．【解析】【详解】把题中的九个格标上字母：a、b、c、d、e、f、g、h、i．甲的得分为：a＋b＋c＋g＋h+i=（a＋c＋g+i）+（b+h）；乙的得分为：a＋d＋