流体力学（下篇共上下2篇）

第8章不可压缩流体动力学基础FundamentalsofIncompressibleFluidDynamics目录124563流体微团运动的分析有旋运动不可压缩流体连续性微分方程以应力表示的黏性流体运动微分方程应力和变形速度的关系纳维-斯托克斯方程7理想流体运动微分方程及其积分8流体流动的初始条件和边界条件流体微团运动的分析从理论力学知道,刚体的任何运动都可以看作平移和旋转两种基本运动的合成。流体运动要比刚体运动复杂得多,流体微团基本运动形式有平移运动、旋转运动还有变形运动,而变形运动又包括线变形和角变形两种。流体微团的运动形式与微团内各点速度的变化有关。为了便于讨论,先研究二元流动的情况。设有一方形流体微团,中心点M的流速分量为ux和uy(见图8-1),则微团各侧边的中点A、B、C、D的流速分量见表8-1。MABCDuxuy4平动转动线变形角变形流体微团在运动过程中，将发生刚体运动（平动和转动）与变形运动（线变形和角变形运动）。流体微团运动的分析流体微团运动的基本形式5

线变形

从二元流动推广到三元流动的普遍情况,则流体微团的线变形速度为

流体微团运动的分析流体微团运动的基本形式6转动角变形设沿逆时针方向旋转为正,则AMC的旋转角速度为

流体微团运动的分析旋转和角变形7我们把对角线EMF的旋转角速度定义为整个流体微团在xOy平面上的旋转角速度。推广到三元流动的情况,可得流体微团的旋转角速度分量为

流体微团运动的分析旋转和角变形8

流体微团运动的分析旋转和角变形9对于三元流动,流体微团的角变形速度为

流体微团运动的分析旋转和角变形10德国物理学家Helmholtz（1821-1894）1858年提出的流场速度的分解定理，正确区分了流体微团的运动形式。设在流场中，相距微量的任意两点，按泰勒级数展开给出分解。ux=uxo+duxuy=uyo+duyuz=uzo+duz

ux=uxo+εxxdx-ωzdy+εxydy+ωydz+εxzdz

点M的速度可以表达为流体微团运动的分析旋转和角变形11

流体微团运动的分析有旋流动流体微团运动的分解以平面运动为例131.移动

各角点的速度分量中都包含vx,vy

x方向移动速度：vxz方向移动速度：vzy方向移动速度：vy有旋流动流体微团运动的分解141.移动

各角点的速度分量中都包含vx,vy

x方向移动速度：vxz方向移动速度：vzy方向移动速度：vy有旋流动有旋流动流体微团运动的分解152.线变形运动A和D、B和C间的x向速度分量差:x方向线应变速度：z方向线应变速度：y方向线应变速度：C和D、B和A间的y向速度分量差:有旋流动流体微团运动的分解163.角变形运动和旋转A和D、B和C间的y向速度分量差:C和D、B和A间的x向速度分量差:结果:(1)AD边和BC边逆时针旋转微元角度

(2)AB边和DC边顺时针旋转微元角度

有旋流动流体微团运动的分解173.角变形运动和旋转(续)(2)旋转运动旋转旋转速度:每秒内绕同一转轴的两条互相垂直的微元线段旋转角度的平均值有旋流动流体微团运动的分解18第一项：平移运动第二项：线变形运动第三项：角变形运动第四项：旋转运动有旋流动流体微团运动的分解19有旋流动无旋流动流体微团的旋转角速度不等于零的流动流体微团的旋转角速度等于零的流动

有旋流动:无旋流动:无旋流动有旋流动有旋流动20涡线

一条曲线，在给定瞬时，这条曲线上每一点的切线与位于该点的流体微团的角速度的方向相重合。涡线的微分方程有旋流动有旋流动无旋流动21涡管

在给定瞬时，在涡量场中任取一不是涡线的封闭曲线，通过封闭曲线上每一点作涡线，这些涡线形成一个管状表面。涡束

涡管中充满着作旋转运动的流体涡通量

旋转角速度的值与垂直于角速度方向的微元涡管横截面积的乘积的两倍。有旋流动有旋流动无旋流动速度环量

速度在某一封闭周线切线上的分量沿该封闭周线的线积分。

速度环量是标量，其正负号不仅与速度的方向有关，而且与线积分的绕行方向有关规定沿封闭周线绕行的正方向为逆时针方向。22有旋流动速度环量斯托克斯定理

斯托克斯定理1.微元封闭周线的斯托克斯定理沿微元封闭周线的速度环量等于通过该周线所包围的面积的涡通量。证明:23--速度环量斯托克斯定理

有旋流动速度环量斯托克斯定理

斯托克斯定理2.平面上有限单连通区的斯托克斯定理

沿包围平面上有限单连通区域的封闭周线的速度环量等于通过该周线所包围的面积的涡通量。证明:24--速度环量斯托克斯定理

有旋流动速度环量斯托克斯定理

斯托克斯定理3.平面上复连通区的斯托克斯定理25--速度环量斯托克斯定理

有旋流动速度环量斯托克斯定理

斯托克斯定理(续)4.空间表面上的斯托克斯定理

沿空间任一封闭周线的速度环量等于通过该周线上的空间表面的涡通量。26--速度环量斯托克斯定理

有旋流动速度环量斯托克斯定理

汤姆孙定理

正压性的理想流体在有势的质量力作用下沿任何由流体质点组成的封闭周线的速度环量不随时间而变化。27有旋流动汤姆孙定理亥姆霍兹旋涡定理亥姆霍兹旋涡定理1.亥姆霍兹第一定理

在同一瞬间涡管各截面上的涡通量都相同2.亥姆霍兹第二定理

正压性的理想流体在有势的质量力作用下，涡管永远保持为由相同流体质点组成的涡管。3.亥姆霍兹第三定理

在有势的质量力作用下，正压性的理想流体中任何涡管的强度不随时间而变化，永远保持定值。28有旋流动汤姆孙定理亥姆霍兹旋涡定理控制体的选取:边长为dx，dy，dz的微元平行六面体。形心坐标：x,y,z三方向速度：vx,vy,

vz密度：

微分形式的连续方程不可压缩流体连续性微分方程29x轴方向流体质量的流进和流出左面微元面积流入的流体质量：右面微元面积流出的流体质量：x轴方向流体的净流出量：不可压缩流体连续性微分方程30微分形式的连续方程y轴方向流体的净流出量：同理,y、z轴方向流体质量的流进和流出

z轴方向流体的净流出量：x轴方向流体的净流出量：不可压缩流体连续性微分方程31微分形式的连续方程每秒流出微元六面体的净流体质量微元六面体内密度变化引起的每秒的流体质量的变化微分形式的连续方程不可压缩流体连续性微分方程32微分形式的连续方程其它形式的连续方程矢量形式：可压缩流体的定常流动：不可压缩流体的定常或非定常流动：不可压缩流体连续性微分方程33二维可压缩流体的定常流动：二维不可压缩流体的定常或非定常流动：不可压缩流体连续性微分方程34其它形式的连续方程粘性流体的应力状态流体处于静止状态，只能承受压力，几乎不能承受拉力和剪力，不具有抵抗剪切变形的能力。理想流体在运动状态下，流体质点之间可以存在相对运动，但不具有抵抗剪切变形的能力。因此，作用于流体内部任意面上的力只有正向力，无切向力。黏性流体在运动状态下，流体质点之间可以存在相对运动，流体具有抵抗剪切变形的能力。因此，作用于流体内部任意面上力既有正向力，也有切向力。

35理想流体和黏性流体作用面受力差别在黏性流体运动中，由于存在切向力，过任意一点单位面积上的表面力就不一定垂直于作用面，且各个方向的大小也不一定相等。因此，作用于任意方向微元面积上合应力可分解为法向应力和切向应力。如果作用面的法线方向与坐标轴重合，则合应力可分解为三个分量，其中垂直于作用面的为法应力，另外两个与作用面相切为切应力，分别平行于另外两个坐标轴，为切应力在坐标轴向的投影分量。粘性流体的应力状态36黏性流体中的应力状态

由此可见，用两个下标可把各个应力分量的作用面方位和投影方向表示清楚。其中第一个下标表示作用面的法线方向，第二个下标表示应力分量的投影方向。如，对于x面的合应力可表示为

y面的合应力表达式为

z面的合应力表达式为粘性流体的应力状态37黏性流体中的应力状态

如果在同一点上给定三个相互垂直坐标面上的应力，那么过该点任意方向作用面上的应力可通过坐标变换唯一确定。因此，我们把三个坐标面上的九个应力分量称为该点的应力状态，由这九个应力分量组成的矩阵称为应力矩阵（或应力张量）。根据剪力互等定理，在这九分量中，只有六个是独立的，其中三法向应力和三个切向应力。这个应力矩阵如同变形率矩阵一样，是个对称矩阵。粘性流体的应力状态38黏性流体中的应力状态

（1）在理想流体中，不存在切应力，三个法向应力相等，等于该点压强的负值。即（2）在黏性流体中，任意一点的任何三个相互垂直面上的法向应力之和一个不变量，并定义此不变量的平均值为该点的平均压强的负值。即（3）在黏性流体中，任意面上的切应力一般不为零。粘性流体的应力状态39黏性流体中的应力状态

牛顿内摩擦定理得到，黏性流体作直线层状流动时，流层之间的切应力与速度梯度成正比。即如果用变形率矩阵和应力矩阵表示，有

应力和变形速度的关系40牛顿内摩擦定理启发41应力和变形速度的关系

上式说明，说明应力矩阵与变形率矩阵成正比。对于一般的三维流动，Stokes（1845年）通过引入三条假定，将牛顿内摩擦定律进行推广，提出广义牛顿内摩擦定理。牛顿内摩擦定理启发Stokes假设（1845年）

(Stokes，英国数学家、力学家，1819-1903年）（1）流体是连续的，它的应力矩阵与变形率矩阵成线性关系，与流体的平动和转动无关。（2）流体是各向同性的，其应力与变形率的关系与坐标系的选择和位置无关。（3）当流体静止时，变形率为零，流体中的应力为流体静压强。由第三条件假定可知，在静止状态下，流体的应力只有正应力，无切应力。即应力和变形速度的关系广义牛顿内摩擦定理

因此，在静止状态下，流体的应力状态为

根据第一条假定，并受第三条假定的启发，可将应力矩阵与变形率矩阵写成如下线性关系式（本构关系）。式中，系数a、b是与坐标选择无关的标量。参照牛顿内摩擦定理，系数a只取决于流体的物理性质，可取应力和变形速度的关系广义牛顿内摩擦定理由于系数b与坐标系的转动无关，因此可以推断，要保持应力与变形率成线性关系，系数b只能由应力矩阵与变形率矩阵中的那些线性不变量构成。即令式中，为待定系数。将a、b代入，有取等式两边矩阵主对角线上的三个分量之和，可得出应力和变形速度的关系广义牛顿内摩擦定理

归并同类项，得到在静止状态下，速度的散度为零，且有于是，有由于b1和b2均为常数，且要求p0在静止状态的任何情况下均成立，则然后代入第一式中，有应力和变形速度的关系广义牛顿内摩擦定理如果令称为流体压强。则本构关系为上式即为广义牛顿内摩擦定理（为牛顿流体的本构方程）。用指标形式，上式可表示为此表达式即为斯托克斯假设，可用于可压缩及不可压缩流体应力和变形速度的关系广义牛顿内摩擦定理对于不可压缩流体,有如果用坐标系表示，有黏性切应力：法向应力：应力和变形速度的关系广义牛顿内摩擦定理利用牛顿第二定理推导以应力形式表示的流体运动微分方程。(在流场中取一个微分六面体流体微团进行分析，以x方向为例，建立运动方程）。纳维-斯托克斯方程48流体运动的基本方程整理后，得到

这是以应力形式表示的流体运动微分方程，具有普遍意义，既适应于理想流体，也适应于黏性流体。这是一组不封闭的方程，在质量力已知的情况下，方程中多了6个应力分量，要想得到封闭形式，必须引入本构关系，如黏性流体的广义牛顿内摩擦定律。纳维-斯托克斯方程49流体运动的基本方程人类对流体运动的描述历史是：1500年以前DaVinci（1452-1519，意大利科学家）定性。1755年Euler（瑞士科学家，1707-1783）推导出理想流体运动方程。1822年Navier（1785-1836，法国科学家）开始考虑黏性

1829年Poisson(1781-1846)、1843年SaintVenant（1795-1886)、1845年Stokes(1819-1903，英国科学家)结束，完成了推导过程，提出现在形式的黏性流体运动方程。（历时90年）纳维-斯托克斯方程50Navier-Stokes方程组（黏性流体运动方程组）以x方向的方程为例，给出推导。引入广义牛顿内摩擦定理，即代入得到纳维-斯托克斯方程51Navier-Stokes方程组（黏性流体运动方程组）

对于y和z方向的方程为

这就是描述黏性流体运动的N-S方程组，适应于可压缩和不可压缩流体。纳维-斯托克斯方程52Navier-Stokes方程组（黏性流体运动方程组）

写成张量的形式为对于不可缩流体，,且黏性系数近似看作常数，方程组可得到简化。仍以x向方程进行说明。

纳维-斯托克斯方程53Navier-Stokes方程组（黏性流体运动方程组）由此可得到张量形式矢量形式纳维-斯托克斯方程54Navier-Stokes方程组（黏性流体运动方程组）两个积分式的前提条件流动是定常的质量力是有势的流体不可压缩，流体是正压流体前提条件理想流体运动微分方程及其积分55常见的正压流体等温流动的可压缩完全气体绝热流动的可压缩完全气体不可压缩流体理想流体运动微分方程及其积分56两个积分式的前提条件前提条件下的兰姆方程理想流体运动微分方程及其积分57两个积分式的前提条件欧拉积分式无旋流动理想流体运动微分方程及其积分58

方程组三式分别乘以任意微元线段的三个轴向分量dx,dy,dz后再相加欧拉积分式物理意义：非粘性的不可压缩流体和可压缩的正压流体，在有势的质量力作用下作无旋流动，流场中任一点的单位质量流体质量力的位势能、压强势能和动能的总和保持不变，且这三种机械能可以相互转换。理想流体运动微分方程及其积分59欧拉积分式伯努利积分式有旋流动理想流体运动微分方程及其积分60

方程组三式分别乘以某一条流线上任一微元线段的三个轴向分量dx,dy,dz三式相加

理想流体运动微分方程及其积分61伯努利积分式伯努利积分式物理意义：非粘性的不可压缩流体和可压缩的正压流体，在有势的质量力作用下作有旋流动时，沿同一条流线上各点单位质量流体质量力的位势能、压强势能和动能的总和保持不变，且这三种机械能可以相互转换。理想流体运动微分方程及其积分62伯努利积分式伯努利方程质量力仅仅是重力不可压缩流体物理意义：在重力作用下不可压缩理想流体作定常流动时，对于有旋流动，沿同一条流线单位质量流体的位势能、压强势能和动能的总和保持不变；对于无旋流动，在整个流场中总机械能保持不变.理想流体运动微分方程及其积分63伯努利积分式两个积分式的前提条件流动是定常的质量力是有势的流体不可压缩，流体是正压流体前提条件流体流动的初始条件和边界条件64黏性流体运动方程组的封闭性在推导黏性流体方程组时，所引入的独立未知物理量有：流体密度、流体速度、质量力、黏性系数、热传导系数k、压强p、内能e、温度T和热辐射量q，共13个标量。但所导出的方程只有5个，其中1个连续方程、3个运动方程和1个能量方程。要向求解必须给出补充关系，封闭方程。通常，质量力是已知的；黏性系数和热传导系数决定于流体性质，也是已知的；热辐射量已知，这样未知量的个数变为7个，即3个速度分量，流体密度、压强、温度和内能。因此，需要补充2个方程。状态方程

在研究可压缩流体时，必然涉及热力学状态参数对流体运动的影响。表征流体热力学状态的物理量称为热状态参数。黏性流体运动方程组的封闭流体流动的初始条件和边界条件65

热状态物理量p、T、，这些参数之间的数学关系叫做状态方程。对于完全气体，有内能和焓的表达式为可压缩流体的封闭方程组连续方程：流体流动的初始条件和边界条件66

运动方程：广义牛顿内摩擦定理：能量方程：状态方程：流体流动的初始条件和边界条件67可压缩流体的封闭方程组不可压缩流体方程组连续方程：运动方程：能量方程：定解条件定解条件包括：初始条件和边界条件。初始条件给定初始时刻流场物理量的函数值（速度、压强、温度、密度）。流体流动的初始条件和边界条件68边界条件固壁面条件（满足不穿透和不滑移条件）。

不同流体分界面条件（在分界面上速度、压强、温度是连续的）。进出口边界条件（给定进口断面速度、压强、温度分布）。流体流动的初始条件和边界条件69第9章绕流运动CircumfluenceMotion目录13452无旋流动平面无旋流动几种简单的平面无旋流动几种简单的平面无旋流动的叠加附面层（边界层）概念附面层动量方程6平板上层流附面层的近似计算有势流动速度势

不可压缩流体或可压缩流体作无旋流动时，总有速度势存在，故无旋流动也称有势流动。上式是成为某一函数的全微分的必要且充分的条件，函数称为速度势函数。有势流动无旋流动及平面无旋流动72有势流动速度势速度势势函数的微分方程无旋流动及平面无旋流动73有势流动速度势速度势的性质速度沿三个坐标轴的分量等于速度势对于相应坐标的偏导数在有势流动中，沿一曲线的速度环量等于曲线终点与起点的速度势之差。在有势流动中，速度势函数满足拉普拉斯方程。无旋流动及平面无旋流动74流函数流函数存在的条件不可压缩流体的平面流动上式是成为某一函数的全微分的必要且充分的条件，函数称为流函数。无旋流动及平面无旋流动75流函数流函数流函数的微分方程无旋流动及平面无旋流动76流函数的性质速度与流函数的关系在平面流动中，两条流线间单位厚度通过的体积流量等于两条流线上的流函数之差。在平面流动中，流函数满足拉普拉斯方程。流函数无旋流动及平面无旋流动77流网速度势和流函数的关系等势线簇和流线簇相互垂直。无旋流动及平面无旋流动78流网流网在平面上，等势线簇和流线簇构成的正交网络，称为流网。无旋流动及平面无旋流动79

几种简单流体的平面流动平行流流动描述流体作等速直线流动，流场中各点速的大小和方向都相同。势函数的确定流函数的确定80平行流等势线和流线方程等势线流线流网x

y

o

几种简单流体的平面流动81点源和点汇流动描述点源——在无限平面上流体从一点沿径向直线均匀地向各方流出。点汇——在无限平面上流体沿径向直线均匀地从各方流入一点。

几种简单流体的平面流动82点源和点汇势函数的确定流函数的确定

几种简单流体的平面流动83等势线和流线方程等势线流线流网点源和点汇

几种简单流体的平面流动84涡流和点涡流动描述涡流——有一直线涡束，该涡束好象刚体一样地以等角速度绕自身轴旋转，涡束周围的流体也将绕涡束轴产生环流，这种以涡束所诱导出的平面流动，称为涡流。点涡——涡束半径rb趋于0，则成为一条涡线，平面上的涡核区缩为一点这样的涡流称为点涡

几种简单流体的平面流动85势函数的确定流函数的确定涡流和点涡

几种简单流体的平面流动86等势线和流线方程等势线流线流网涡流和点涡

几种简单流体的平面流动87几种简单的平面无旋流动的叠加叠加原理叠加公式叠加原理几个无旋流动叠加后仍然是无旋流动。几个无旋流动的速度势函数及流函数的代数和等于新无旋流动的速度势函数和流函数。新无旋流动的速度是无旋流动速度的矢量和。叠加公式88螺旋流流动描述同一点上点汇和点涡的叠加势函数和流函数的确定点汇的势函数和流函数点涡的势函数和流函数螺旋流的势函数和流函数几种简单的平面无旋流动的叠加89螺旋流等势线和流线方程流网等势线流线速度的确定几种简单的平面无旋流动的叠加90偶极流流动描述同一点上A(-a,0)的点源和位于点B(a,0)的点汇的叠加点源和点汇的叠加位于点A(-a,0)的点源和位于点B(a,0)的点汇的叠加几种简单的平面无旋流动的叠加91偶极流偶极流的势函数和流函数点源和点汇无限接近，即a→0，qv→∞便得到一个无旋的偶极流。2aqv→M保持一个有限常数，M称为偶极矩。几种简单的平面无旋流动的叠加92等势线和流线方程流网等势线流线偶极流几种简单的平面无旋流动的叠加93边界层概念的提出业已知道，流动Re数（O.Reynolds，1883年，英国流体力学家）是用以表征流体质点的惯性力与黏性力对比关系的。根据量级分析，作用于流体上的惯性力和黏性力可表示为:惯性力：

黏性力：惯性力/黏性力：

因此，在高Re数下，流体运动的惯性力远远大于黏性力。这样研究忽略黏性力的流动问题是有实际意义的。附面层（边界层）概念

这也是早期发展理想流体力学的重要依据，而且确实较成功地解决了与黏性关系不大的一系列流动问题，诸如绕流物体的升力、波动等问题，但对绕流物体阻力、涡的扩散等问题，理想流体力学的解与实际相差甚远，且甚至得出完全相反的结论，圆柱绕流无阻力的D’Alembert疑题就是一个典型的例子。（D’Alembert，法国力学家，1717-1783）那么，如何考虑流体的黏性，怎样解决扰流物体的阻力问题，这在当时确实是一个阻碍流体力学发展的难题，直到1904年国际流体力学大师德国学者L.Prandtl通过大量实验发现，虽然整体流动的Re数很大，但在靠近物面的薄层流体内，流场的特征与理想流动相差甚远，沿着法向存在很大的速度梯度，黏性力无法忽略。Prandtl把这一物面近区黏性力起重要作用的薄层称为边界层（Boundarylayer）。绕流运动与附面层（边界层）概念Prandtl边界层概念的提出，为人们如何计入黏性的作用开辟了划时代的途径，因此称其为黏性流体力学之父。对整个流场提出的基本分区是:整个流动区域可分成理想流体的流动区域（势流区）和黏性流体的流动区域（黏流区）。在远离物体的理想流体流动区域，可忽略黏性的影响，按势流理论处理。黏性流动区域仅限于物面近区的薄层内，称为边界层。既然是黏流区，黏性力的作用不能忽略，与惯性力同量级，流体质点作有旋运动。边界层的特征边界层定义严格而言，边界层区与主流区之间无明显界线，通常以速度达到主流区速度的0.99U作为边界层的外缘。由边界层外缘到物面的垂直距离称为边界层名义厚度，用表示。绕流运动附面层（边界层）概念边界层的有涡性黏性流体运动总伴随涡量的产生、扩散、衰减。边界层就是涡层，当流体绕过物面时，无滑移边界条件相当于使物面成为具有一定强度的连续分布的涡源。以二维流动为例说明之。此时，物面上的涡源强度为对于不可压缩流体，二维流动的涡量输运方程为上式表明，由于黏性的影响，物面上的涡量一方面沿垂直流线方向扩散，另一方面，涡量沿主流方向迁移，并随之而逐渐衰减。涡量的扩散速度与黏性有关，涡量的迁移速度取决于流动速度。绕流运动附面层（边界层）概念边界层的特征边界层厚度的量级估计根据边界层内黏性力与惯性力同量级的条件，可估算边界层的厚度。以平板绕流为例说明。设来流的速度为U，在x方向的长度为L，界层厚度为。惯性力：黏性力：

由惯性力与黏性力同量级得到

绕流运动附面层（边界层）概念附面层的概念对于管流同样有效,事实上,管路内部的流动都处于受壁面影响的附面层内。附面层内的速度梯度引起管路的沿程阻力,附面层分离引起管路的局部阻力。图示是管流入口段的情况,这里可清楚地看到管流的发展过程。假设速度以均匀速度流入,则在入口段的始端将保持均匀的速度分布。由于管壁的作用,靠近管壁的流体将受阻滞而形成附面层,其厚度δ随离管口距离的增加而增加。当附面层厚度δ等于管半径r0时,则上下四周附面层相衔接,使附面层占有管流的全部断面,而形成充分发展的管流,其下游断面将保持这种状态不变。从入口到形成充分发展的管流的长度称入口段长度,以xE表示。根据试验资料的分析,有附面层（边界层）概念管中流动附面层（边界层）概念

100描述粘性流体流动的方程是N-S方程，由于方程复杂，求解十分困难。因此必须根据边界层特点对N-S方程进行简化，经过简化后的N-S方程称为边界层方程。以平板边界层流动来进行讨论，获得层流边界层的微分方程：设流动为定常流动，且边界层内流动全部为层流，且不计质量力。N-S方程和连续性方程为：附面层动量方程101简化分析

，方程（2）可以不予考虑；

在x方向的变化远小于在y方向的变化，所以在方程（1）中，也可以不计。

同等重要；

写成量级分析将x的数量级为1，vx的数量级为1，则y与vy的数量级分别为（一阶无穷小）附面层动量方程102由方程的各项量级相等，

由方程的各项量级相等，方程（2）对于方程（1）是高一阶小量，可以忽略。同时，在方程（1）中是高二阶的无穷小。对于方程N-S方程在边界层内为：对应的边界条件：在整个边界层厚度方向压强不变，都等于边界层外边界处的势流压强。附面层动量方程103层流边界层的近似计算边界层动量积分方程平板很薄，不会引起边界层外流动的改变，所以在外边界上速度都是即边界层中，p=C，这种边界层流动称为无压强梯度的边界层。方程中未知数为，补充相应方程。（1）平板上层流附面层的近似计算104速度分布假定假定在层流边界层内速度分布以的幂函数表示，是一个小量，四阶以上很小可不计，待定系数确定如下：1）在平板表面上2）在边界层外边界上，3）在平板表面上，由边界层方程求解得：平板上层流附面层的近似计算层流边界层的近似计算105于是得速度分布为，利用牛顿内摩擦定律，得到与壁面的剪切力（3）（2）对（1）（2）（3）方程联合求解：求解一个壁面的摩擦力与摩擦系数平板上层流附面层的近似计算层流边界层的近似计算第10章

一元气体动力学基础

FundamentalsofOneDimensionalGasDynamics目录12453理想气体一元恒定流动的运动方程声速、滞止参数、马赫数气体一元恒定流动的连续性方程等温管路中的流动绝热管路中的流动

从微元流束中沿轴线s任取ds段,如图10-1所示。应用理想流体欧拉运动微分方程,单位质量力在s方向的分力以fs表示,就可得出:理想气体一元恒定流动的运动方程图10-1气体微元流动

对于一元恒定流动,

当质量力仅为重力,气体在同介质中流动时,浮力和重力平衡,不计质量力fs,并去掉下标s,可得

得到欧拉运动微分方程,

又称为微分形式的伯努利方程要积分上式,必须给出气体的p、ρ之间的函数关系,于是必须借助热力学过程方程。气体一元定容流动理想气体一元恒定流动的运动方程热力学中定容过程是指气体在容积不变,或比容不变的条件下进行的热力过程。定容流动则是指气体容积不变的流动,即密度ρ不变的流动。在ρ=常量下,对式(10-2)进行积分,得

上式两端同时除以g,得

不可压缩理想流体元流能量方程忽略质量力时的形式该方程的意义是:沿流各断面上受单位质量或重量作用的理想气体的压能与动能之和守恒,且二者可以互相转换。在元流任取两断面上可列出:

单位质量理想气体的能量方程理想气体一元恒定流动的运动方程热力学中等温过程是指气体在温度T不变的条件下所进行的热力过程。等温流动则是指气体在温度保持不变情况下的流动。气体一元等温流动气体状态参数服从等温过程方程将式(10-5)代入式(10-2)中,并积分得又知C=RT,代入上式,得

理想气体一元恒定流动的运动方程从热力学中得知,在无能量损失且与外界又无热量交换的条件下进行的热力过程,称为可逆的绝热过程,又称等熵过程。这样理想气体的绝热流动即为等熵流动。气体一元绝热流动

所以

将式(10-8)代入式(10-2)中的第一项并积分:

式(10-9)代入式(10-2)中,于是得出

图10-1气体微元流动理想气体一元恒定流动的运动方程气体一元绝热流动对任意两断面有

将式(10-10)变化为

将内能u代入式(10-12)中,得

绝热流动的全能方程表明:气体等熵流动,即理想气体绝热流动,沿流任意断面上,单位质量的气体所具有的内能、压能和动能之和为一常量。

理想气体一元恒定流动的运动方程气体一元绝热流动又知h=cpT,则式(10-14)又可写为

对任意两断面可列出

类似绝热运动,可得出多变流动的运动方程

对任意两断面可写为

式中,n为多变指数。从热力学中知下列特殊流动时：等温流动n=1绝热流动n=k定容流动n=±∞理想气体一元恒定流动的运动方程【例10-1】求空气绝热流动时(无摩擦损失),两断面间流速与热力学温度的关系。已知:空气的等熵指数k=1.4,气体常数R=287J/(kg·K)。【解】应用公式

流经两个断面有方程

代入已知数据,即可解得

声速115声速、滞止参数、马赫数压力扰动：流体中某处受外力作用,使其压力发生变化。压力扰动就会产生压力波,向四周传播。如弹拨琴弦,使得弦周围的空气受到微小扰动,压强、密度发生微弱变化,并以纵波的形式向外传播。传播速度的快慢,与流体内在性质——压缩性(或弹性)和密度有关。声速：不仅仅限于人耳所能听到的声音的传播速度,凡微小扰动在流体中的传播速度都定义为声速,以符号c表示。c是气体动力学重要参数，下面加以讨论。取等断面直管(见图10-3),管中充满静止的可压缩气体。活塞在力的作用下,以微小速度dv向右移动,产生一个微小扰动的平面波。图10-3

声速传播物理过程声速116声速、滞止参数、马赫数c是气体动力学重要参数，下面加以讨论。若定义扰动与未扰动的分界面为波峰,则波峰传播速度就是声速c。波峰所到之处,流体压强变为p+dp,密度变为ρ+dρ,波峰未到达之处,流体仍处于静止,压强、密度仍为静止时的p、ρ。设管道断面面积为A,对控制体写出连续性方程cρA=(c-dv)(ρ+dρ)A展开略去二阶小量,得

对控制体建立动量方程,由于控制体的体积趋近于零,质量力为零,并且可以忽略切应力的作用,于是动量方程可写成pA-(p+dp)A=ρcA[(c-dv)-c]整理可得dp=ρcdv(10-21)声速声速、滞止参数、马赫数c是气体动力学重要参数，下面加以讨论。由式(10-20)及式(10-21),消去dv可得声速公式:

对气体、液体都适用

声速声速、滞止参数、马赫数c是气体动力学重要参数，下面加以讨论。声波传播速度很快,在传播过程中与外界来不及进行热量交换,而且各项变化为微小量,可以认为,整个传播过程是一个既绝热、又无能量损失的等熵过程。应用气体等熵过程方程

对上式进行微分,有dp=C·kρk-1dρ则

将式(10-25)代入声速公式中,于是得到气体中声速公式

声速声速、滞止参数、马赫数c是气体动力学重要参数，下面加以讨论。

不同的气体有不同的绝热指数k及不同的气体常数R,所以各种气体有各自的声速值。同一气体中声速也不是固定不变的,它与气体的热力学温度的平方根成正比。如常压空气中声速

滞止参数

120声速、滞止参数、马赫数滞止参数:气流某断面的流速,设想以无摩擦绝热过程降低至0时,断面各参数所达到的值。滞止参数以下标“0”表示。例如p0、ρ0、T0、i0、c0等相应地称为滞止压强、滞止密度、滞止温度、滞止焓值、滞止声速。断面滞止参数可根据能量方程及该断面参数值求出。应用式(10-11)及式(10-16),可得

等熵流动中,各断面滞止参数不变,其中T0、i0、c0反映了包括热能在内的气流全部能量。等熵流动中,气流速度若沿流增大,则气流温度T、焓i、声速c沿程降低。由于当地气流速度v的存在,同一气流中,当地声速c永远小于滞止声速c0。气流中最大声速是滞止时的声速c0。Ma>1,v>c,即气流本身速度大于声速,则气流中参数的变化不能向上游传播。这就是超声速流动。Ma<1,v<c,气流本身速度小于声速,则气流中参数的变化能够各向上游传播,这就是亚声速流动。Ma是气体动力学中一个重要无量纲数,它反映了惯性力与弹性力的相对比值。如同雷诺数一样,是确定气体流动状态的准则数。121声速、滞止参数、马赫数马赫数Ma马赫数:马赫首先将有关影响压缩效果的v与c两个参数联系起来,取指定点的当地速度v与该点当地声速c的比值,记作Ma。

122声速、滞止参数、马赫数【例10-3】某飞机在海平面和11000m高空均以速度1150km/h飞行,问这架飞机在海平面和在11000m高空的飞行Ma是否相同?【解】飞机的飞行速度:v=1150km/h=319m/s由于海平面上的声速为340m/s,故在海平面上的Ma为

即为亚声速飞行。在11000m高空的声速为295m/s,故在11000m高空的Ma为

则Ma>1,即飞机做超声速飞行。马赫数Ma声速、滞止参数、马赫数马赫数MaMa的函数:将滞止参数与断面参数比表示为Ma的函数。利用

求出:

根据绝热过程方程及气体状态方程可推出

已知滞止参数及该断面上的Ma,即可求出该断面上的压强、密度、温度值124气体一元恒定流动的连续性方程连续性微分方程由连续性方程:ρvA=常量对管流任意两断面,有ρ1v1A1=ρ2v2A2为了反映流速变化和断面变化的相互关系,对上式微分可得d(ρvA)=ρvdA+vAdρ+ρAdv=0(10-39)或

根据式(10-1),微分形式的伯努利方程

可压缩流体连续性微分方程的另一种形式125气流速度与断面的关系气体一元恒定流动的连续性方程

讨论式(10-41),可得下面重要结论当Ma<1时,为亚声速流动,v<c,因此式(10-41)中Ma2-1<0时,dv与dA正负号相反,说明速度随断面的增大而减慢,随断面的减小而加快。这与不可压缩流体运动规律类似(见图10-5a),速度与断面呈反向变化的关系。当Ma>1时,为超声速流动,v>c,式(10-41)中Ma2-1>0,dv与dA正负号相同,说明速度随断面的增大而加快,随断面的减小而减慢(见图10-5b),即速度与断面呈同向变化的关系。图10-5气流速度与断面的关系气流速度与断面的关系气体一元恒定流动的连续性方程为什么超声速流动和亚声速流动存在着上述截然相反的规律呢?

得

由公式气流速度与断面的关系气体一元恒定流动的连续性方程为什么超声速流动和亚声速流动存在着上述截然相反的规律呢?

当Ma=1时,即气流速度与当地声速相等时,称此时气体流动处于临界状态。气体达到临界状态的断面称为临界断面。临界断面Ak上的参数称为临界参数(用下标“k”表示),临界气流速度为vk、临界当地声速为ck,因Ma=1,所以vk=ck。还有pk、ρk、Tk等临界参数。当Ma=1时,式(10-41)中Ma2-1=0,则必有dA=0。气流速度与断面的关系气体一元恒定流动的连续性方程从数学的角度分析,临界断面的微分dA=0,可以是最小断面,也可以是最大断面。下面证明,临界断面只能是最小断面。如图10-6a所示,如果气流以超声速v>c流入扩张管道,由于断面扩大,流速增大。因此气流的速度仍为超声速,且越来越大,不会出现声速,也就不可能有最大临界断面;反之,如图10-6b，如果气流以亚声速v<c流入扩张管道,所示,由于断面扩大而流速降低,因此气流的速度仍为亚声速,而且会越来越小,永远不会达到声速。综上所述,临界断面Ak只能是最小断面。图10-6临界断面只能是最小断面

将式(10-43)加到理想气体一元流动的欧拉微分方程(10-1)中,得到129等温管路中的流动气体管路运动微分方程气体沿等断面管道流动时,由于摩擦阻力的存在,使其压强、密度沿程有所改变,因而气流速度沿程也将变化,这样使计算摩擦阻力的达西公式不能用于全长l上,只适用于微段dl上,于是微段dl上的单位质量气体摩擦损失为

或写成

气体管路的运动微分方程

130等温管路中的流动气体管路运动微分方程

或写成

气体管路的运动微分方程

等温流动中的摩擦阻力系数λ是恒定不变的。

②μ是温度的函数,对于等温流动中,μ是不变的(绝热流动中μ随温度变化);

131管中等温流动等温管路中的流动根据连续性方程,质量流量Qm为Qm=ρ1v1A1=ρ2v2A2=ρvA因A1=A2=A,得出

对于等温流动,有

则

代入式(10-46),于是

又可导出

图10-8管流将式(10-49)代入式(10-45)中,并对长度为l的1、2两断面进行积分(见图10-8),得132管中等温流动等温管路中的流动图10-8管流

得出

解得

等温时,有

式(10-50)~式(10-53)就是等温管路的基本公式。

求得Qm为

133等温管流的特征等温管路中的流动气体管路运动微分方程

完全气体状态方程的微分形式为

等温时,有

连续性微分方程当断面不变时dA=0,则为

134等温管流的特征等温管路中的流动由式(a)、式(b)两式可得

由声速公式可得

将式(a)~式(c)代入式(10-56)中,得

又可得出

讨论：当l增加,摩阻增加,将引起如下的结果:当kMa2<1,1-kMa2>0,使v增加,p减小。当kMa2>1,1-kMa2<0,使v减小,p增加。变化率随摩阻的增大而增大。135等温管流的特征等温管路中的流动

讨论：

136等温管流的特征等温管路中的流动【例10-4】有一直径D=100mm的输气管道,在某一断面处测得压强p1=980kPa,温度t1=20℃,速度v1=30m/s。试问气流流过距离为l=100m后,压强降为多少?【解】

(1)空气在20℃时,查得运动黏度为ν=15.7×10-6m2/s,计算雷诺数得故为湍流,λ=0.0155,应用式(10-53),有

相应的压降:Δp=p1-p2=980kPa-890kPa=90kPa

137等温管流的特征等温管路中的流动【例10-4】有一直径D=100mm的输气管道,在某一断面处测得压强p1=980kPa,温度t1=20℃,速度v1=30m/s。试问气流流过距离为l=100m后,压强降为多少?【解】

所以

这说明计算有效,也说明此时管路实长l=100m小于最大管长。有摩阻绝热流动,扔可应用无摩阻绝热流动方程,但需加上摩阻损失项。138绝热管路中的流动绝热管路运动方程应用式(10-44),有

式中，

将式(10-61)对长度l的1、2两断面进行积分得

有摩阻绝热流动,扔可应用无摩阻绝热流动方程,但需加上摩阻损失项。139绝热管路中的流动绝热管路运动方程将式(10-61)对长度l的1、2两断面进行积分得

在实际应用中,由于对数项较摩擦损失项小,可忽略对数项。式(10-62)变为

解得质量流量为

绝热管路流动基本公式140绝热管流的特性绝热管路中的流动应用式(10-56)及式(b)、式(c)

再用等熵过程方程

所以有

得

141绝热管流的特性绝热管路中的流动所以

或

当l增加,摩阻增加,将引起下列结果:Ma<1,1-Ma2>0,沿流v增加,p减小。Ma>1,1-Ma2<0,沿流v减小,p增加。变化率随摩阻的增加而增加。Ma<1时摩阻增加,引起速度增加。在管路中间绝不可能出现临界断面。至出口断面上,Ma只能是Ma≤1。当Ma<1时,且dv>0,则式(10-65)中,1-Ma2>0,所以Ma<1。在Ma=1的l处求得的管长就是绝热管流动的最大管长。如管道实长超过最大管长时与等温管流情况相似,将使进口断面流速受阻滞。142绝热管流的特性绝热管路中的流动

【解】(1)从马赫数Ma1求v1:

空气k=1.4,R=287m2/(s2·K),T1=(273+16)K=289K,于是得

(2)钢管

当16℃时,空气ν=15.3×10-6m2/s,有

可从莫迪图查得λ=0.0175143绝热管流的特性绝热管路中的流动

【解】(3)应用绝热管流公式(10-64),有上式又可变为

144绝热管流的特性绝热管路中的流动

【解】(3)应用绝热管流公式(10-64),有于是

解得l≈45m(4)判定是否为最大管长,求Ma2=v2/c2,v2可从绝热伯努利方程及流量ρ1v1求得,即ρ1v1=1.183kg/m3×102m/s=120.666kg/(m2·s)

应用伯努利方程,有

145绝热管流的特性绝热管路中的流动

【解】(4)判定是否为最大管长

求解取正值,得v2=272.4m/s

Ma2<1,所以此管长不是可能的最大管长。第11章明渠流动Open-ChannelFlow明渠流动概述1明渠均匀流2无压圆管均匀流3明渠流动状态4主要内容水跃和水跌5棱柱形渠道非均匀渐变流水面曲线的分析6明渠非均匀渐变流水面曲线的计算7主要内容

明渠流动的特点1

底坡2

棱柱形渠道和非棱柱形渠道3明渠流动概述-目录返回主目录什么是明渠流动？又称为无压流动。水流过流断面的某一边界与大气接触，具有一个自由表面的流动称为明渠流动。明渠流动的特点水在渠道、无压管道以及江河湖海中的流动都是明渠流动。与有压管流相比，明渠流动:明渠流动的特点1、具有自由表面，沿程各断面的表面压强为大气压强，重力对流动起主导作用。2、明渠底坡的改变对流速和水深有直接影响，底坡i1≠i2，则流速v1≠v2，水深h1≠h2。3、明渠局部边界的变化，如设置控制设备、渠道形状和尺寸的变化、底坡变化等，都会造成水深在很长的流程上发生变化。因此，明渠流动存在均匀流和非均匀流。底坡明渠渠底与纵剖面的交线称为底线。底线沿流程单位长度的降低值称为渠道底坡，以符号i表示。一般情况下，渠道底坡i很小，为便于测量和计算，以水平距离lx代替流程长度l，同时以铅垂断面作为过流断面，以铅垂深度h作为过流断面的水深。底坡底线高程沿程降低(Δ1>Δ2)，i>0，称为正底坡或顺坡(图a)底线高程沿程不变(Δ1=Δ2),i=0,称为平底坡(图b)底线高程沿程抬高(Δ1<Δ2),i<0,称为反底坡或逆坡(图c)底坡分为三种类型：棱柱形渠道和非棱柱形渠道根据渠道几何特性分为：棱柱形渠道非棱柱形渠道棱柱形渠道：断面形状、尺寸沿程不变的长直渠道。非棱柱形渠道：断面的形状、尺寸沿程有变化的渠道。天然河道属于？返回目录明渠均匀流-目录返回主目录明渠均匀流形成的条件及特征1过流断面的几何要素2明渠均匀流的基本公式3明渠均匀流的水力计算4水力最优断面和允许流速5什么是明渠均匀流？明渠均匀流是流线为平行直线且水面线和底坡平行的明渠水流,是具有自由表面的等深、等流速的水流。明渠均匀流是形式最简单的明渠流动。明渠均匀流形成的条件及特征明渠均匀流形成的条件:明渠均匀流形成的条件及特征取断面1-1、2-2列伯努利方程：明渠均匀流等深、等流速，有：所以：即：此式表明：明渠均匀流的形成条件是水流沿程减少的位能，等于沿程水头损失，而水流的动能保持不变。明渠均匀流的特征:明渠均匀流形成的条件及特征明渠均匀流是等深流，水面线即测压管水头线与渠底线平行，坡底相等，即：明渠均匀流又是等速流，总水头线与测压管水头线平行，坡度相等，即：明渠均匀流只能出现在底坡不变、断面形状、尺寸不变、粗糙系数不变的顺坡(i>0)长直渠道中。由以上分析得出明渠均匀流的特征是各项坡度皆相等，即：以梯形为例，几何要素包括:过流断面的几何要素基本量：底宽(b)﹑水深(h)和边坡系数(m)导出量：水面宽(B)﹑过流断面面积(A)﹑湿周(χ)和水力半径(R)土的种类边坡系数m土的种类边坡系数m细粒沙土3.0~3.5重壤土、密实黄土、普通黏土1.0~1.5砂壤土或松散土壤2.0~2.5密实重黏土1.0密实砂壤土、轻黏壤土1.5~2.0各种不同硬度的岩石0.5~1.0砾石、砂砾石土1.5

边坡系数的大小决定于渠壁土体或护面性质梯形断面明渠均匀流的基本公式均匀流动水头损失计算公式——谢才公式。由于明渠均匀流中，水力坡度J与渠道底坡i相等，J=i，故有流量为

明渠均匀流的水力计算渠道已经建成，过流断面的形状、尺寸(b、h、m)，渠道的壁面材料n及底坡i都已知，只需算出A、R、C值，代入明渠均匀流基本公式，便可算出通过的流量。演算渠道的输水能力：确定渠道底坡：

明渠均匀流的水力计算设计渠道断面：补充条件：

K=f(b)曲线明渠均匀流的水力计算设计渠道断面：补充条件：

K=f(h)曲线明渠均匀流的水力计算设计渠道断面：补充条件：

明渠均匀流的水力计算设计渠道断面：补充条件：4、限定最大允许流速[v]max，确定相应的b、h。以渠道不发生冲刷的最大允许流速[v]max为控制条件，则渠道的过流断面面积和水力半径为定值，则再由几何关系联立即可解得b、h。水力最优断面的概念水力最优断面和允许流速由明渠流基本公式式中得此式表明：底坡i随地形条件而定，粗糙系数n决定于壁面材料，此时输水能力Q只取决于过流断面面积的大小和形状。理论上，A越大则Q越大，但实际工程中A不可能不受限制。因此，定义：当i、n和A一定，能够使通过的流量Q的断面形状达到最大，或者使水力半径R最大，即湿周χ最小的断面形状定义为水力最优断面。水力最优断面的概念水力最优断面和允许流速当边坡系数一定时，由几何要素可得：对χ=f(h)求极小值，令：梯形断面以梯形渠道为例其二阶导数：得水力最优梯形断面宽深比：取边坡系数m=0时：即水力最优矩形断面的底宽为水深的两倍，则b=2h。水力最优断面的概念水力最优断面和允许流速梯形断面的水力半径：

梯形断面以梯形渠道为例此式证明：在任何边坡系数m的情况下，水力最优梯形断面(包括矩形断面)的水力半径Rh为水深h的一半。渠道的允许流速水力最优断面和允许流速式中，[v]max为渠道不被冲刷的最大设计流速，即不冲设计流速；

[v]min为渠道不被淤积的最小设计流速，即不淤设计流速。渠道中流速过大会引起渠道的冲刷，过小又会导致水中悬浮的泥沙在渠道中淤积，从而影响渠道的输水能力。为确保渠道能长期、稳定地通水，渠道设计流速应控制在既不冲刷渠床，也不使水中悬浮的泥沙沉降淤积的不冲不淤的范围之内，即渠道的不冲允许流速[v]max的大小取决于土质情况、衬砌材料以及通过流量等因素。为防止水中悬浮泥沙的淤积，防止水草滋生，最小设计流速[v]min分别为0.4m/s、0.6m/s。例题讲解【例11-1】欲开挖一梯形断面土渠，已知流量Q=10m3/s，边坡系数m=1.5，粗糙系数n=0.02，为防止冲刷的最大允许流速[v]max=1.0m/s，试求：（1）按水力最优断面条件设计断面尺寸；（2）渠道的底坡i。解：（1）水力最优宽深比为例题讲解【例11-1】欲开挖一梯形断面土渠，已知流量Q=10m3/s，边坡系数m=1.5，粗糙系数n=0.02，为防止冲刷的最大允许流速[v]max=1.0m/s，试求：（1）按水力最优断面条件设计断面尺寸；（2）渠道的底坡i。解：（2）其中代入得例题讲解【例11-2】一路基排水沟需要通过流量Q为1.0m3/s，沟底坡度i为4/1000，水沟的断面采用梯形，并用小片石干砌护面(n=0.020)，边坡系数m为1。按水力最优条件决定排水沟的断面尺寸。解：按水力最优条件代入得返回目录无压圆管均匀流-目录返回主目录无压圆管均匀流的特征1过流断面的几何要素2无压圆管的水力计算3输水性能最优充满度4最大充满度、允许流速5什么是无压圆管？无压圆管是指圆形断面不满流的长管道，主要用于排水管道中。因为水流量时有变化，为避免在流量增大时管道承压，污水涌出排污口污染环境，以及为保持管道内通风，避免污水中溢出的有毒、可燃气聚集，所以排水管道中通常为非满管流。无压圆管均匀流的特征无压圆管均匀流只是明渠均匀流特定的断面形式，无压圆管流的形成条件、水力特征以及基本公式都和明渠均匀流相同。无压圆管几何要素包括:过流断面的几何要素基本量：直径(d)﹑水深(h)、充满度(α)和充满角(θ)导出量：过流断面面积(A)﹑湿周(χ)和水力半径(R)无压圆管过流断面无压圆管的水力计算管道已建成，管道直径d、管壁粗糙系数n以及管线坡度i已知，充满度α由设计规范确定。按已知的d、α，查表得A、R，并计算出C，代入基本公式便可计算流量为经验输水能力：计算管道坡度：

计算管道直径：代入基本公式得即可求解管道直径d最优充满度的概念输水性能最优充满度对于一定的无压管道（d、n、i一定），可得流量分析过流断面面积A和湿周χ随水深h的变化。在水深很小时，水深增加，水面增宽，过流断面面积增加很快，接近管轴处增加最快。水深超过半管后，水深增加，水面宽减小，过流断面面积增势减慢，在满流前增加最慢。湿周随水深的增加与过流断面面积不同而不同，接近管轴处增加最慢，在满流前增加最快。由此可知，在满流前(h<d)，输水能力达到最大值，相应的充满度是最优充满度。最优充满度的概念输水性能最优充满度将几何关系代入上式可得：

同理可得：

最优充满度的概念输水性能最优充满度由以上分析得出，无压圆管均匀流在水深h=0.95d，即充满度αh=0.95时，输水能力最优；在水深h=0.81d，即充满度αh=0.81时，过流速度最大。需要说明的是，水力最优充满度并不是设计充满度，实际采用的设计充满度，需根据管道的工作条件以及直径的大小来确定。无量纲参数图无压圆管均匀流的流量和流速随水深变化，可用无量纲参数图表示最大充满度、允许流速工程上进行无压管道的水力计算，还需符合有关的规范。对于污水管道，为避免因流量变动形成有压流，充满度不能过大。现行室外排水规范规定，污水管道最大充满度见表11-3。雨水管道、河流管道允许短暂承压。为防止管道发生冲刷和淤积，最大设计流速，金属管为10m/s，非金属管为5m/s；最小设计流速(在设计充满度下)，d≤500mm时取0.7m/s，d>500mm时取0.8m/s。此外，对最小管径和最小设计坡度均有规定。管径或暗渠高(d或H)/mm最大设计充满度管径或暗渠高(d或H)/mm最大设计充满度200~3000.55500~9000.70350~4500.65≥10000.75例题讲解【例11-3】钢筋混凝土圆形污水管，管径d为1000mm，管壁粗糙系数n为0.014，管道坡度i为0.002。求最大设计充满度时的流速和流量。解：查表得谢才系数流量实际工程中，还需要验算流速v是否在允许流速范围之内。本题为钢筋混凝土管，最大设计流速[v]max为5m/s，最小设计流速[v]min为0.8m/s。返回目录明渠流动状态-目录返回主目录微幅干扰波波速和弗劳德数1断面单位能量和临界水深2临界底坡3两种明渠流动状态明渠非均匀流是不等深、不等速流动，水深的变化同明渠流动的状态有关。在讨论明渠非均匀流之前，需进一步认识明渠流动状态。观察发现，明渠水流有两种截然不同的流动状态。一种常见于底坡平缓的灌溉渠道，另一种多见于陡峭、瀑布、险滩中。前者称为缓流，后者称为急流。明渠流动状态a）缓流b）急流微幅干扰波波速和弗劳德数缓流和急流遇障碍物干扰，流动现象不同。缓流受干扰引起的水面波动，既向下游传播，也向上游传播；而急流受干扰引起的水面波动，只向下游传播，不能向上游传播。设平底坡的棱柱形渠道，渠道内水静止，水深为h，水面宽为B，过水断面面积为A。如用直立薄板N—N向左拨动，使水面产生一个高为Δh的微幅干扰波，以速度c传播，波形所到之处，引起水体运动，渠内形成非恒定流。非恒定流微幅干扰波波速微幅干扰波波速和弗劳德数取固结在波峰上的动坐标系,该坐标系随波峰做匀速直线运动,因而仍为惯性坐标系。对于这个动坐标系而言,水以波速c由左向右运动,渠内水流转化为恒定流。以底线为基准面,取相距很近的1—1、2—2断面,列伯努利方程。恒定流展开(A+ΔA)2,忽略(ΔA)2,由图可知,Δh≈ΔA/B。可得

微幅干扰波波速和弗劳德数矩形断面渠道A=Bh,得在实际的明渠中,水总是流动的,若水流流速为v,则微波的绝对流速c'为静水中的波速c与水流流度之和,即恒定流微幅干扰波波速和弗劳德数弗劳德数取两种速度之比,就是以平均水深为特征长度的弗劳德数,即：故弗劳德数可作为流动状态的判别数,即:Fr<1,v<c,流动为缓流;Fr>1,v>c,流动为急流;Fr=1,v=c,流动为临界流。由上式可得，

断面单位能量和临界水深设一明渠为非均匀渐变流,某断面单位重量液体的机械能为将基准面抬高z1,使其通过该断面的最低点,单位重量液体相对于新基准面01—01的机械能断面单位能量式中定义e为断面单位能量,或断面比能,是单位重量液体相对于通过该断面最低点的基准面的机械能。断面单位能量和临界水深明渠非均匀流有不同的断面单位能量。在断面形状、尺寸和流量一定时,断面单位能量只是水深h的函数,则对h求导，得断面单位能量

e=f(h)曲线断面单位能量和临界水深断面单位能量最小时,明渠水流是临界流,其水深称为临界水深,以hk表示,由上式得临界水深时对于矩形断面渠道,水面宽等于底宽,即B=b临界水深临界流(h=hk)的流速是临界流速vk。得h>hk,v<vk,流动为缓流;h<hk,v>vk,流动为急流;h=hk,v=vk,流动为临界流。临界底坡正常水深恰好等于该流量下的临界水深,相应的渠道底坡称为临界底坡,以符号ik表示,即h0=hk时,i=ik。此时，明渠中的水深同时满足均匀流基本公式和临界水深公式式中：Ck、χk、Bk分别为临界水深hk对应的谢才系数、湿周和水面宽度。临界底坡是为了便于分析明渠流动而引入的特定坡度。渠道的实际底坡i与临界底坡ic相比较,有三种情况:i<ik为缓坡;i>ik为陡坡(或急坡);i=ik为临界坡。三种底坡的渠道中,均匀流分别为三种流动状态:i<ik,h0>hk,均匀流是缓流;i>ik,h0<hk,均匀流是急流;i=ik,h0