福建省莆田十五中2025-2026学年高二（下）第一次月考数学试卷(含简略答案)

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年福建省莆田十五中高二（下）第一次月考数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.点A（2，-1，3）关于xOy平面的对称点为（）A.（2，-1，-3） B.（2，1，3） C.（-2，1，3） D.（-2，-1，3）2.下列求导正确的是（）A. B.

C.（x3•3x）'=x2•3x+1ln3 D.3.已知，且，则x=（）A.0 B.1 C.2 D.34.若f（x）=2f′（1）x-x2+7x,则f（-2）=（）A.2 B.-2 C.10 D.-105.如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB=1，AD=1，AA1=1，∠BAD=90°，∠BAA1=∠DAA1=60°，则线段AC1的长为（）A.5

B.3

C.

D.

6.若函数（e为自然对数的底）的一条切线与x轴平行，则切点的坐标为（）A.（1，0） B.（0，1） C.（1，1） D.（1，e）7.已知在（1，2）上单调递增，则a的取值范围（）A.（-∞，2] B.（-∞，2） C.（16，+∞） D.（-∞，16]8.若函数f（x）=lnx-ax在区间（3，4）上有极值点，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.如图是导数y=f'（x）的图象，下列说法正确的是（）A.（-1，3）为函数y=f（x）的单调递增区间

B.（3，5）为函数y=f（x）的单调递减区间

C.函数y=f（x）在x=0处取得极大值

D.函数y=f（x）在x=3处取得极小值10.设{，，}是空间的一组基底，则下列结论正确的是（）A.，，可以为任意向量

B.对空间任一向量，存在唯一有序实数组（x，y，z），使=x+y+z

C.若⊥，⊥，则⊥

D.{+2，+2，+2}可以作为构成空间的一组基底11.已知，下列说法正确的是（）A.f（x）在x=1处的切线方程为y=x+1 B.f（x）的单调递减区间为（e,+∞）

C.f（x）的极大值为 D.方程f（x）=-1有两个不同的解三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知f（x）=x2lnx,则f′（1）=

.13.已知函数y=f（x）在x=2处的切线方程为y=3x-3，则f（2）+f′（2）=

.14.已知P是棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1内（含正方体表面）任意一点，则的最大值为

.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，O为AC的中点．

（1）化简：；

（2）设E是棱DD1上的点，且，若，试求实数x,y,z的值．16.(本小题15分)

已知曲线，求：

（1）求曲线在（1，5）的切线方程；

（2）求过点P（0，5）且与曲线相切的切线方程.17.(本小题15分)

已知函数f（x）=+cx+d的图象过点（0，3），且在（-∞，-1）和（3，+∞）上为增函数，在（-1，3）上为减函数．

（1）求f（x）的解析式；

（2）求f（x）在R上的极值．18.(本小题17分)

已知函数.

（1）求f（x）的单调区间；

（2）求f（x）在区间[-3，3]上的最大值和最小值.

（3）若方程f（x）=k有三个根，写出k的取值范围（无需解答过程）.19.(本小题17分)

已知函数f（x）=lnx+ax2+3（a∈R）．

（Ⅰ）当a=-时，求函数f（x）的极值；

（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；

（Ⅲ）当a=0时，若xf（x）＞kx-k+2在x∈（1，+∞）时恒成立，求整数k的最大值．

1.【答案】A

2.【答案】D

3.【答案】D

4.【答案】A

5.【答案】C

6.【答案】B

7.【答案】A

8.【答案】D

9.【答案】AB

10.【答案】BD

11.【答案】BC

12.【答案】1

13.【答案】6

14.【答案】4

15.【答案】解：（1）==

（2）=

=

∴、、

16.【答案】解：（1）切点坐标为（1，5），

则由，得，

在x=1的切线斜率为，

所求切线方程为，

即5x-2y+5=0；

（2）因为点P（0，5）不在曲线

上，

需设切点坐标为M（t,u），

则切线斜率为，

又因为切线斜率为，

所以，

所以，得t=4，

所以切点坐标为M（4，10），斜率为，

所以切线方程为，

即5x-4y+20=0．

17.【答案】解：（1）∵f（x）的图象过点（0，3），

∴f（0）=d=3

∴，

∴f'（x）=x2+2bx+c

又由已知得x=-1，x=3是f'（x）=0的两个根，

∴

故…（8分）

（2）由已知可得x=-1是f（x）的极大值点，x=3是f（x）的极小值点

∴f（x）极大值=

f（x）极小值=f（3）=-6…（12分）

18.【答案】解：（1）f'（x）=x2-2x-3，

令f'（x）＞0可得x＜-1或x＞3，

令f'（x）＜0可得-1＜x＜3，

故函数的增区间为（-∞，-1）和（3，+∞），减区间为（-1，3）．

（2）由（1）知，[-3，-1]上递增，在[-1，3]递减，

故当x=-1时，，

又f（-3）=-9，f（3）=-9，

故f（x）min=-9．

（3）由（1）（2）知函数在（-∞，-1）上递增，在（-1，3）上递减，在（3，+∞）上递增，且极大值为，极小值为-9，

若方程f（x）=k有三个根，即y=f（x）与y=k图象有3个交点，

故k的取值范围为．

19.【答案】解：（Ⅰ）当a=-时，f（x）=lnx-x2+3，x∈（0，+∞），

所以f'（x）=-x=，

令f'（x）＞0，即0＜x＜1，f（x）单调递增；

令f'（x）＜0，即x＞1，f（x）单调递减；

​​​​​​​所以f（x）在x=1处取得极大值即f（1）=，无极小值．

（Ⅱ）f'（x）=+2ax=，x∈（0，+∞），

①当a≥0时，f'（x）＞0恒成立，

所以f（x）在（0，+∞）上单调递增；

②当a＜0时，

​​​​​​​当x∈时，f'（x）＞0，f（x）递增；

当x∈时，f'（x）＜0，f（x）递减．

综上，当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；

当a＜0时，f（x）在上单调递增，在上单调递减．

​​​​​​​（Ⅲ）xf（x）＞kx-k+2在x∈（1，+∞）时恒成立，

即k＜恒成立，

令F（x）=，则F'（x）=．

令m（x）=x-lnx-2，

则m'（x）=1-=＞0在x＞1上恒成立，

所以m（x）在（1，+∞）上单调递增，且m（3）=1-ln3＜0，m（4）=2-ln4＞0，

所以m（x）在（1，+∞）上存在唯一实数b∈（