2026-2027学年经典奥数专题：数与形-数学六年级上学期人教版（含答案）

/经典奥数专题：数与形-数学六年级上册人教版1．用绳子测量一口井的深度，把绳子三折来量，井外每折余16米，把绳子四折来量，井外每折余4米，井深和绳长各是多少？2．同学们，“观察—猜想—验证—应用”是我们常用的数学探究方法。在边长为5厘米的正方形纸片上剪去一个边长为3厘米的小正方形，怎样求剩余部分的面积呢？妙妙想出了两种不同的方法（如图）。这两种方法都是求的阴影部分的面积，因此52－32＝（5－3）×（5＋3）。仔细观察这个等式，想一想：是不是任意两个数都具有这样的特征呢？（1）请举2个例子验证：①102－62＝（

）×（

）

②

（2）如果用a和b表示两个数（且a＞b），这样的规律可以表示为：a2－b2＝（

）×（

）（3）根据以上结论计算：[1－（）2]×[1－（）2]×[1－（）2]＝（

）3．下面每个图中各有多少个绿色小正方形和多少个蓝色小正方形？照这样接着画下去，第6个图形有多少个绿色小正方形和多少个蓝色小正方形？第10个图形呢？你能解释这其中的道理吗？4．在数学学习中，我们常常用“数形结合”的方法将复杂的问题简单化，抽象问题具体化。（1）我们在探究分数乘法的算理和算法时就运用了这一思想方法，请画图解释的算理。（2）玲玲在解决“12＋12＋22＋32＋52＋82＋132＋212＋342＋…”这个问题时，想到了用数形结合的办法来探索，于是她以这组数中各个数作为正方形的边长构造正方形，再拼成如下面所示的长方形来研究。序号1234……图形……算式12＋1212＋12＋2212＋12＋22＋32……①你根据前面的规律，把序号4的图形与算式补充完整。②观察上面的图形和算式，你能把下面的算式补充完整吗？12＋12＝1×212＋12＋22＝2×312＋12＋22＋32＝3×512＋12＋22＋32＋52＝（

）×（

）12＋12＋22＋32＋52＋82＋132＝（

）×（

）③若按此规律继续拼长方形，有一个长方形的面积是1870，它表示的算式是（

）。5．规定：如图1中，方格里的数表示在其周围8个方格中共有多少个△。即以“1”为中心，在它的四周8个方格中只能有1个△；以“2”为中心，在它的四周8个方格中只能有2个△；以“3”为中心，在它的四周8个方格中只能有3个△；依此类推。按上述规定，在如图2中一共可以画12个△。现在已经画好了其中的2个，请你在合适的空格中补上其余的10个。6．有一座四层楼房，每个窗户的4块玻璃分别涂上红色和白色，每个窗户代表一个数字，每层楼有三个窗户，由左向右表示一个三位数，四个楼层表示的三位数有：791、275、362、612。问：第二层楼表示哪个三位数？7．观察下面点图与算式的关系，找到规律后解答问题。（1）按点子增加的规律给第⑤个点图补画上9个点，并在（

）里写出点的总数。（2）根据上面图中点的总数的变化规律，第n个点图里一共有（

）个点（用含有n的式子表示）。8．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10…这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16…这样的数称为“正方形数”，从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．请写出第5个图形的算式．4=1+3

9=3+6

16=6+109．将自然数1、2、3、…按下图排列，照样子用一个方框框出九个数，这九个数的和能否等于2015？1998？如果能，请写出框中的最大数与最小数。10．如图摆放餐桌和椅子．(1)1张餐桌可以坐6人，2张餐桌可以坐10，5张餐桌可以坐多少人？(2)照此摆下去，x张桌子可以坐多少人？当x＝20时，可以坐多少人？11．张林带着他心爱的小狗去外婆家．他步行的速度是每分钟80米，小狗以每分钟200米的速度奔向了外婆家．小狗过了8分钟到达外婆家后又立刻返回，路上遇见张林后它又返回奔向外婆家……就这样它不停来回跑．当张林到达外婆家时，小狗总共跑了多少米？12．下面是由长为2cm、宽为lcm的长方形组成的图形．（1）根据上图与数的规律想一想，第8个图形所对应的数是多少？（2）第3个图形的周长是多少？第n个图形呢？13．云星艺术团为联络方便，设计了一种联络方式．一旦有事，先由教练同时通知两位同学，这两位同学再分别同时通知另两名同学，依此类推，每人再同时通知两个人．每同时通知两人共需1分．（如下表）①把左边的表格填完整．②用7分能把所有人都通知完，通知到的人数有几人？只列式，不计算：时间/分示意图通知到的同学数1222+432+4+84略2+4+8+5略14．小明用面积为1cm2的正方形卡纸拼摆图形．（1）像这样拼下去，第（5）个图形要用多少张小正方形卡纸？（2）如果要在第n个图形的外围用铁丝镶上一圈边框，至少需要多少厘米铁丝？15．下图依次排列着5盏灯，用不同位置上亮灯和灭灯表示一个具体的数（亮灯用表示，灭灯用表示）。请根据下面前四种状况所表示的数，完成下列问题。（1）写出图⑤表示的数。（2）在图⑥中画出亮灯和灭灯的状况。①1

②3③④1+9+81=91⑤（

）⑥9316．下图是由三角形构成的．

(1)填写下表．

图号①②③④白色三角形个数黑色三角形个数(2)照这样的规律画下去，第10个图形中有多少个白色三角形、多少个黑色三角形？17．如图两条直线相交只有1个交点，3条直线相交最多有3个交点，4条直线相交最多有6个交点，……那么，11条直线相交最多有多少个交点？18．我们把分子为1的分数叫做单位分数。如，，…，任何一个单位分数都可以拆分成两个不同的单位分数的和，如＝，＝，＝，…（1）根据对上述式子的观察，你会发现＝＋，请写出□，○所表示的数。（2）进一步思考，单位分数（n是不小于2的正整数）＝＋，请写出△，☆所表示的式。19．观察如图，要想得到200个直角三角形，应画多少个正方形？……20．社区公园要铺设一条人行走道，走道长80米，宽1.6米。现在用边长都是0.4米的红、黄两种正方形地砖铺设（下图是铺设的局部图示）。（1）铺设这条人行走道一共需要多少块地砖？（不计损耗）（2）铺设这条人行走道一共需要多少块红色地砖？（不计损耗）21．在数学学习中，我们常常这样去探究：“观察——猜测——论证——应用。”学习加法结合律、三角形的内角和等知识时就是按这样的过程去探究的。三角形的内角画几个不同类型的三角形，量一量，算一算。三角形的3个内角的和各是多少度。先把一个三角形的三个角剪下来，再拼一拼，看一看，拼成一个什么角。比较下面的两组算式，你发现了什么？（69＋176）＋28○69＋（176＋28）155＋（145＋207）○（155＋145）＋207你能用符号表示加法结合律吗？（△＋☆）＋○＝____＋（____＋____）（a＋b）＋c＝____＋（____＋____）请你利用这种数学方法，来找找两个数的平方差中所蕴含的规律吧！我有发现：观察下面的算式，找到规律后在括号里填上合适的数。72－32＝（7＋3）×（7－3）＝10×4＝40102－62＝（10＋6）×（10－6）＝16×4＝64752－252＝（

）×（

）我来猜测：两个数a和b的平方差有下面这样的规律。a2－b2＝（

）×（

）我来验证：如下图，两个正方形的边长分别是a和b。请你用下面的图来证明上面的规律是正确的。（1）选一选：a2表示（

），b2表示（

）。A．大正方形的面积

B．小正方形的面积

C．大正方形的周长

D．小正方形的周长（2）请你用斜线涂出a2－b2所表示的部分。（3）请你用所学面积计算的知识来证明上面规律是正确的。

参考答案：1．144米；32米【分析】把绳子三折来量，井外余16米，也就是绳长比井深的3倍还多16×3＝48米；把绳子四折来量，井外余4米，也就是绳长比井深的4倍还多4×4＝16米。根据盈亏问题公式可知，井深为（48－16）÷（4－3）＝32米，则绳长为（32＋16）×3＝144米。【详解】井深为：（48－16）÷（4－3）＝32÷1＝32（米）绳长为：（32＋16）×3＝48×3＝144（米）答：绳长为144米，井深为32米。【点睛】本题为两次都有余的盈亏问题，公式为：（大盈－小盈）÷（两次分配的差）＝分配数量。2．（1）①（10－6）×（10＋6）②0.82－0.52＝（0.8－0.5）×（0.8＋0.5）（2）（a－b）×（a＋b）（3）【分析】已知在边长为5厘米的正方形纸片上剪去一个边长为3厘米的小正方形，求剩余部分的面积（阴影部分的面积）；方法1：阴影部分的面积＝大正方形的面积－小正方形的面积，根据正方形的面积＝边长×边长，则阴影部分的面积列式为52－32；方法2：把阴影部分转化成一个长（5＋3）厘米，宽（5－3）厘米的长方形，根据长方形的面积＝长×宽，则阴影部分的面积列式为（5－3）×（5＋3）；由此得出52－32＝（5－3）×（5＋3）；发现规律：两个数的平方差等于这两个数的差与这两个数的和的乘积，据此规律解答。【详解】（1）①102－62＝100－36＝64（10－6）×（10＋6）＝4×16＝64所以，102－62＝（10－6）×（10＋6）②0.82－0.52＝0.64－0.25＝0.39（0.8－0.5）×（0.8＋0.5）＝0.3×1.3＝0.39所以，0.82－0.52＝（0.8－0.5）×（0.8＋0.5）（答案不唯一）（2）a2－b2＝（a－b）×（a＋b）（3）[1－（）2]×[1－（）2]×[1－（）2]＝（1－）×（1＋）×（1－）×（1＋）×（1－）×（1＋）＝×××××＝【点睛】通过数与形的结合，从已知的图形或数据中找到规律，并按规律解题。3．绿色6个；蓝色18个；绿色10个；蓝色26个；见详解【分析】第1个图形，有1个绿色小正方形，8个蓝色小正方形，8＝2×1＋6；第2个图形，有2个绿色小正方形，10个蓝色小正方形，10＝2×2＋6；第3个图形，有3个绿色小正方形，12个蓝色小正方形，12＝2×3＋6；第4个图形，有4个绿色小正方形，14个蓝色小正方形，14＝2×4＋6；……规律：第n个图形，有n个绿色小正方形，（2n＋6）个蓝色小正方形；据此解答。【详解】规律：第n个图形，有n个绿色小正方形，（2n＋6）个蓝色小正方形。当n＝6时，有6个绿色小正方形；蓝色小正方形有：2n＋6＝2×6＋6＝12＋6＝18（个）当n＝10时，有10个绿色小正方形；蓝色小正方形有：2n＋6＝2×10＋6＝20＋6＝26（个）答：照这样接着画下去，第6个图形有6个绿色小正方形和18个蓝色小正方形。第10个图形有10个绿色小正方形和26个蓝色小正方形。道理：从图中发现规律：第n个图形有n个绿色小正方形，（2n＋6）个蓝色小正方形。【点睛】通过数与形的结合，从已知的图形或数据中找到规律，并按规律解题。4．见详解【分析】（1）先将长方形一分为二，取其中的一份，再将其一分为四，取其中的3份，据此表示的积；（2）①看图，每次多加的正方形的边长是上两个多加正方形的边长的和，2＋3＝5，所以应多加一个边长为5的正方形，算式上多加一个52；②每个算式等于这个图形的最大边长乘下个图形的最大边长，据此填空；③根据①和②的规律，下个算式为：21×34，再下个算式是34×55，检验发现，34×55＝1870，据此填空。【详解】（1）可表示为：；（2）①序号1234……图形……算式12＋1212＋12＋2212＋12＋22＋3212＋12＋22＋32＋52……②将算式补充完整：12＋12＝1×212＋12＋22＝2×312＋12＋22＋32＝3×512＋12＋22＋32＋52＝5×812＋12＋22＋32＋52＋82＋132＝13×21③有一个长方形的面积是1870，它表示的算式是34×55。【点睛】本题考查了数与形，有一定观察和归纳总结能力是解题的关键。5．见详解【分析】根据题意，“1”的四周8个方格中只能有1个△；“2”的四周8个方格中只能有2个△；“3”的四周8个方格中只能有3个△，由此根据图中的两个三角形，进而画出其它的三角形。【详解】如图：【点睛】关键是根据题意得出规律，再由规律解决问题。6．612【分析】给出的四个数中362和612的个位数字相同，第二和第四层右边窗户符号也相同，可以肯定这两层分别代表362和612。这两个数中又有数字6是一样的，对照第二层和第四层的窗户，可以确定第二层代表612。【详解】第二层代表612，因为362和612的个位数字相同，又有数字6是一样的，对照第二层和第四层的窗户，所以第二层代表612。【点睛】本题考查数与形，解答本题的关键是根据数字的特征找到图形规律。7．（1）25；（2）n2【分析】观察发现，每一层的点的个数依次为1、3、5、7、9、11……，第5层点的数量是9个；观察每幅图点的数量的总和，第一幅图1个，可以表示为12，第二幅图4个，可以表示为22，第三幅图9个，可以表示为32，第四幅图16个，可以表示为42，依此类推。【详解】（1）如图所示：（个）第⑤个点图总共有25个点。（2）第n个点图里一共有n2个点。【点睛】从1开始的连续的n个奇数相乘，结果可以表示为n2，概括为“天下无双，个数平方”。8．36=15+21【详解】题目中“三角形数”的规律为1、3、6、10、15、21…“正方形数”的规律为1、4、9、16、25…，根据题目已知条件：从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．可得出最后结果.9．因为图中框出的九个数的和是中间数18的9倍，所以这样框出的数都是9的倍数．而2015不是9的倍数，所以框不出和等于2015的。1998是9的222倍，所以可以框出且中间一个就是222，最大的是230最小的是214。【详解】略10．(1)22人(2)（4x＋2）人

82人【详解】(1)5×4+2=22（人）答：5张餐桌可以坐22人．(2)当x＝20时，4x＋2＝4×20+2=82（人）答：可以坐82人．11．200×8÷80×200＝4000（米）【解析】略12．（1）36（2）18cm,6ncm【解析】略13．16；2+4+8+16+32；2+4+8+16+32+64+128【详解】本题考查的是规律的探索与应用，从题目中的信息，可以看出，每过一分钟，通知到的同学都是前一分钟的2倍，由此可列出算式．14．（1）16张；（2）(10+2n)厘米．【详解】（1）由图可知：第（1）个图形的小正方形卡纸个数为3×3-1，第（2）个图形的个数为3×4-2，第（3）个图形的个数为3×5-3，像这样拼下去，第（5）个图形用3×7-5=16张小正方形卡纸．（2）第n个图形周长=（3+2+n）×2=10+2n（厘米）15．117；【详解】略16．(1)图号①②③④白色三角形个数0136黑色三角形个数13610(2)45个

55个【详解】(2)白色三角形：0＋1＋2＋…＋9＝45(个)黑色三角形：1＋2＋3＋…＋10＝55(个)17．55个【分析】三条直线交点最多为1＋2＝3个；四条直线交点最多为1＋2＋3＝6个；五条直线交点最多为1＋2＋3＋4＝10个；则11条直线交点最多为10＋9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝55（个）。【详解】10＋9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝55（个）【点睛】先从相交直线条数较少的开始分析，发现其一般规律，并应用到11条直线相交的情况中。18．（1）□表示6；○表示30；（2）△表示n＋1；☆表示n（n＋1）【分析】（1）通过观察发现：＝中2＋1＝3，2×3＝6；＝中3＋1＝4，3×4＝12；＝中4＋1＝5，4×5＝20，依次类推得出＝＋；（2）根据（1）的分析可知单位分数等于单位分数的分母加1分之一加单位分数的分母乘（单位分数的分母加1）分之一，据此解答。【详解】（1）因为5＋1＝6，5×6＝30，所以＝，所以□表示6，○表示30；（2）根据分析：单位分数（n是不小于2的正整数）＝＋，所以△表示n＋1，☆表示n（n＋1）。【点睛】此题考查的是分数的变形，考查学生的观察力与思考能力。19．51个【分析】第1个正方体中有0个直角三角形；第2个正方体中有4个直角三角形；第3个正方体中有8个直角三角形；第4个正方体中有12个直角三角形。由此得出规律，三角形的个数都是4的倍数，然后得出假设第n个正方体，就有（n－1）×4个直角三角形。【详解】根据图中的数据可得：1个正方形有0个三角形，可以写成（1－1）×4个；2个正方形有4个三角形，可以写成（2－1）×4个；3个正方形有8个三角形，可以写成（3－1）×4个；4个正方形有12个三角形，可以写成（4－1）×4个；所以当正方形的个数为a时，三角形的个数可以写成：（a－1）×4个；设需要画a个正方形才得到200个直角三角形，则根据上面的结论可得：（a－1）×4＝200a