2026-2027学年经典奥数专题：探索规律-数学五年级上学期苏教版（含答案）

/经典奥数专题：探索规律-数学五年级上册苏教版1．循环小数，小数部分第50位上的数字是多少？小数部分前50位的数字之和是多少？2．11÷14的商的小数部分第40位上的数字是多少？商的小数点后面前40位上的数字之和是多少？3．先阅读理解，再解决问题。有这样一组非常有趣的等式，从上往下写成若干行。请你注意观察这些数的规律。第1行：1＋2＝3；第2行：4＋5＋6＝7＋8；第3行：9＋10＋11＋12＝13＋14＋15；第4行：16＋17＋18＋19＋20＝21＋22＋23＋24；第n行：…（1）观察每行的第1个数，我发现：第n行的第1个数正好是（

）。（2）照上面写下去，第5行的等式是：_____________________________________。（3）请你列式计算出第6行等式左边的所有数的和。4．研究几何图形的变化会带来许多有趣的数学问题。如图，一个直角三角形的三条边长分别是3厘米、4厘米、5厘米。分别以这三条边为边长画三个正方形，这三个正方形的面积各是多少？（每个方格边长1厘米）（1）请你计算出面积。正方形①的面积＝正方形②的面积＝正方形③的面积＝观察三个正方形的面积，它们之间有什么关系？我发现：_____________________（2）如果直角三角形的边长分别是6厘米、8厘米、10厘米或5厘米、12厘米、13厘米，还会有这样的规律吗？请你算一算。5．观察下列算式，回答问题。1×1＝111×11＝121111×111＝123211111×1111＝1234321……（1）根据上面的规律，填一填。111111×111111＝_____________________________×_______________＝12345678987654321（2）请用画图，列式、文字等方法解释上面算式的算理，想想为什么会有这样的规律。（3）小亮也写了这样的一个式子，他写的对吗？为什么？1111111111×1111111111＝123456789109876543216．观察如图，回答问题。（1）根据前4个图形的规律拼摆，第6个图形需要几根小棒？（2）摆第个图形需要几根小棒？把探索过程用你喜欢的方式表示出来。7．将小正方体按下图方式摆放在地上。小正方体的个数123456露在外面的面数如果有50个正方体按上图摆放，露在外面的面有多少个？如果露在外面的面是129个，那是有几个正方体如上图摆放？8．画一画，算一算。（1）请你在横线上画出第5个点阵。（2）第9个点阵中有多少个点？9．用计算器计算1÷7，结果如图。请完成下列问题。（1）根据1÷7的商进行推理，那么20÷7的商是多少？（2）小数点向右数几位数，就称为几位小数。在1÷7、2÷7、3÷7、4÷7、5÷7、6÷7中，任意一个算式的商的第2022位小数上的数可能是3吗？请说明理由。10．如果学校阅览室按下图的方式配置桌椅，那么10张桌子和所需的椅子合计需要2180元。已知每张桌子130元，则每把椅子多少元呢？11．用小棒按如下方式摆图形。从简单的图形开始，画一画、算一算，像这样，摆8个六边形需要多少根小棒？12．观察下图阴影方框内中间的数与其他四个数的关系。（1）中间的数用表示，左边的数是（

），下面的数是（

），方框中5个数的和是（

）。（2）当5个数的和是110时，这5个数分别是多少？在下图方格中填一填。13．用小棒按下面的方式拼图形。五边形个数拼成的形状小棒根数15234……（1）填表，聪明的你从表中发现规律了吗？把你发现的规律写出来。（2）按规律拼成10个这样的五边形，一共用多少根小棒？请你写出算式。14．如图，把一些长3厘米、宽2厘米的纸片按下图摆在桌子上，每增加1张纸片，盖住桌面的面积增加多少平方厘米？n张纸片盖住桌面的面积是多少平方厘米？15．在田径400米倚栏比赛中，跑道中间有10个栏架，相邻两个栏架之间的距离都相等，起跑线与第一个栏架相距45米，最后一个栏架与终点相距40米。相邻两个栏架之间的距离是多少米？16．华美学校举行画展，把作品贴成一行。张贴1张作品要用4枚图钉，张贴2张要用6枚，张贴3张要用8枚……。（1）王老师吩咐小强照样子张贴5张作品。请你画出示意图。（2）①张贴5张作品要用（

）枚图钉。②张贴10张作品要用（

）枚图钉。……③张贴n张作品要用（

）枚图钉。（不化简）（3）当n＝40时，要用多少枚图钉？

参考答案：1．6；315【分析】循环小数的循环节是568，每3个数字一循环，求小数部分第50位上的数字就是求50里面有几个3，用除法计算；然后根据余数的情况，判断出小数部分第50位上的数字。求小数部分前50位的数字之和，先求出一个循环节各个数位上的数字之和，再乘循环的次数，最后加上余数中出现的几个数字即可求解。【详解】50÷3＝16……2余数是2表示是一个循环里的第2个数，即6；所以小数部分第50位上的数字是6。（5＋6＋8）×16＋5＋6＝19×16＋5＋6＝304＋5＋6＝315答：小数部分第50位上的数字是6，小数部分前50位的数字之和是315。2．7；189【分析】先根据小数除法的计算方法，求出11÷14的商，即11÷14＝，循环节是857142，6个数字一个循环周期，用40减去1，再除以6即可求出有多少个循环周期，余数是几就从循环节的左起数几即可，据此求出第40位上的数字是多少；计算前40位上的数字之和，先求出一个循环节的各个数位上的数字之和，再乘循环节的个数，再加上余数中的出现的几个数字和十分位上的7即可。【详解】11÷14＝（40－1）÷6＝39÷6＝6（组）⋯⋯3（个）（8＋5＋7＋1＋4＋2）×6＋7＋8＋5＋7＝27×6＋7＋8＋5＋7＝162＋7＋8＋5＋7＝169＋8＋5＋7＝177＋5＋7＝182＋7＝189答：小数部分第40位上的数字是7，商的小数点后面前40位上的数字之和是189。【点睛】本题考查小数除法，明确循环节是多少是解题的关键。3．（1）行数的平方（2）25＋26＋27＋28＋29＋30＝31＋32＋33＋34＋35（3）273【分析】（1）根据题意，找出每行的第1个数与行数之间的关系可知，第n行的第1个数正好是行数的平方；（2）根据第n行的第1个数正好是行数的平方可知，第5行的第1个数是25。看算式找规律可知，等式的左边加数的个数是n＋1而且是数字依次加1，等式的右边加数的个数是n，数字依次加1。等式右边开始的数字是等式左边最后一个数字加1。（3）根据等式的规律可知，第6行等式左边的数是36＋37＋38＋39＋40＋41＋42，据此解答。【详解】（1）行数的平方（2）25＋26＋27＋28＋29＋30＝31＋32＋33＋34＋35（3）6×6＝3636＋37＋38＋39＋40＋41＋42＝36×7＋（1＋2＋3＋4＋5＋6）＝252＋7×6÷2＝252＋21＝273【点睛】此题考查了算式的规律。要求学生熟练掌握并灵活运用。4．（1）9平方厘米；16平方厘米；25平方厘米；两个小正方形的面积和等于大正方形的面积；（2）见详解【分析】（1）根据正方形的面积＝边长×边长，把数据代入公式求出三个正方形的面积，然后进行比较。（2）计算出对应正方形的面积，验证上面的规律即可。【详解】（1）3×3＝9（平方厘米）4×4＝16（平方厘米）5×5＝25（平方厘米）9＋16＝25（平方厘米）正方形①的面积＝9平方厘米正方形②的面积＝16平方厘米正方形③的面积＝25平方厘米我发现：两个小正方形的面积和等于大正方形的面积。（2）6×6＝36（平方厘米）8×8＝64（平方厘米）10×10＝100（平方厘米）36＋64＝100（平方厘米）5×5＝25（平方厘米）12×12＝144（平方厘米）13×13＝169（平方厘米）25＋144＝169（平方厘米）所以如果直角三角形的边长分别是6厘米、8厘米、10厘米或5厘米、12厘米、13厘米，那么两个小正方形的面积和等于大正方形的面积。答：还会有这样的规律：以直角三角形两条直角边为边长两个小正方形的面积和等于以直角三角形第三条边为边长的大正方形的面积。【点睛】此题主要考查正方形面积公式的灵活应用，直角三角形的特征及应用。5．（1）12345654321；111111111；111111111（2）见详解（3）没写对；在十亿位上，满十进一【分析】两个相同的乘数是一个1相乘积是1，两个相同的乘数是两个1相乘积是121，两个相同的乘数是三个1相乘积是12321，……，可得相同乘数是几个1，那么积就是从1～几（乘数中1的个数）～1的自然数排列。【详解】（1）由分析可得：111111×111111＝12345654321111111111×111111111＝12345678987654321（2）作图如下：在用乘法竖式计算时，相同乘数中1的个数的错位加。积的最中间的数字等于同乘数中1的个数，它的两边数字自然递减。（3）他写的不对，积的中间是10个1的和，满十就要向前一位进1，积就是1234567900987654321。【点睛】仔细观察，找到规律是解决本题的关键。6．（1）13根（2）（）根，过程见详解【分析】第一个图形需3根小棒，第二个图形需3＋2根小棒，第三个图形需3＋2×2根小棒；第四个图形需3＋2×3根小棒……，（1）摆第6个图形即可求。（2）摆n个图形即可求。【详解】（1）3＋2×5＝3＋10＝13（根）答：第6个图形需要13根小棒。

（2）3＋2×（n－1）＝3＋2n－2＝2n＋（3－2）＝2n＋1答：摆第n个图形需要2n＋1根小棒。【点睛】仔细观察，比较总结规律是解决本题的关键。7．表格见详解；201个；32个【分析】由题意可知，有1个小正方体露在外面的面数有5面，2个小正方体露在外面的面数有9个，3个小正方体露在外面的面数有13个，则有n个正方体，则露在外面的面有（4n＋1）个，据此解答即可。【详解】当n＝4时4n＋1＝4×4＋1＝16＋1＝17（个）当n＝5时4n＋1＝4×5＋1＝20＋1＝21（个）当n＝6时4n＋1＝4×6＋1＝24＋1＝25（个）当n＝50时4n＋1＝4×50＋1＝200＋1＝201（个）解：设如果露在外面的面是129个，那是有x个正方体如上图摆放。4n＋1＝1294n＋1－1＝129－14n＝1284n÷4＝128÷4n＝32则如果有50个正方体按上图摆放，露在外面的面有201个，如果露在外面的面是129个，那是有32个正方体如上图摆放。如图所示：小正方体的个数123456露在外面的面数5913172125【点睛】本题考查图形的变化规律，发现规律，利用规律是解题的关键。8．（1）见详解（2）45个【分析】（1）第1个图需要1个点子；第2个图需要3个点子：＝＝3第3个图需要6个点子：＝＝6第4个图需要10个点子：＝＝10……第n个图需要点子：第5个点阵，即n＝5，代入求值画图即可；（2）第9个点阵，即n＝9，代入求值即可。【详解】（1）第n个图需要点子：当n＝5时，＝＝＝15（个）画图如下：（2）当n＝9时，＝＝＝45（个）答：第9个点阵中有45个点。【点睛】本题主要考查数与形结合的规律，发现棋子个数的变化规律，再根据规律去解决问题。9．（1）；（2）不可能；理由见详解【分析】（1）通过观察可知，商都是循环小数，且循环节都是由1、4、2、8、5、7这六个数字组成的，只是循环节的第一位数不同，排列规律是142857的顺序。由此可直接得出20÷7的商。（2）上述这些算式中，任意一个商的循环节总是142857这6位数字组成，只是位置不一样。商的循环节始终是142857这六个数字的顺序变换。可通过画图的形式，说明商的数字不可能是3。据此解答。【详解】（1）根据1÷7的商进行推理，写出算式。所以。答：那么20÷7的商是。（2）画图表示：从图可知，商的数字都不可能是3、6、9。答：任意一个算式的商的第2022位小数上的数不可能是3，因为商的循环节始终是142857这六个数字的顺序变换。【点睛】此题的解题关键是理解循环小数的特点及意义，通过计算器找出算式中循环小数的规律，推理并解决问题。10．40元【分析】根据题意可知，一张桌子配4把椅子，可写成：4把椅子＝2×1张桌子＋2，2张桌子配6把椅子可写成：6把椅子＝2×2张桌子＋2；由此可知，求出10张桌子需要多少把椅子，用10×2＋2＝22把椅子，设一把椅子单价为x元，则22把椅子为22x元，一张桌子130元，10张桌子价钱是130×10元，一共需要2180元，列方程：130×10＋22x＝2180，解方程，即可解答。【详解】10张桌子需要椅子：2×10＋2＝20＋2＝22（把）解：设一把椅子为x元130×10＋22x＝21801300＋22x＝218022x＝2180－130022x＝880x＝880÷22x＝40答：每把椅子40元。【点睛】解答本题的关键是求出10张桌子需要配多少把椅子；根据题意，找出规律，求出需要多少把椅子，再利用方程的实际应用，设出未知数，根据桌子与椅子一共需要的钱数和已知一张桌子的价钱，列方程，解方程。11．见详解【分析】画图知，1个六边形需要1×5＋1＝6（根）小棒，2个六边形需要2×5＋1＝11（根）小棒，3个六边形需要3×5＋1＝16（根）小棒。那么推理可知，8个六边形需要8×5＋1＝41（根）小棒。据此解题。【详解】答：摆8个六边形需要41根小棒。【点睛】本题考查了图形的变化规律，有一定推理和归纳总结能力是解题的关键。12．（1）y－1；y＋7；5y（2）21；22；23；15；29；图见详解【分析】（1）观察表格中数与数之间的规律可以发现，上下两个相邻数之间相差7，左右两个相邻数之间相差1，据此写出左边数和下边数，求出5个数的和；（2）根据表格中数与数之间的规律，求出中间数，再根据规律，求出这5个数，再填上方格。【详解】（1）左边数：y－1，下面数：y＋7（y－1）＋y＋（y＋1）＋（y－7）＋（y＋7）＝y－1＋y＋y＋1＋y－7＋y＋7＝5y（2）中间数：110÷5＝22左边：22－1＝21右边：22＋1＝23上面：22－7＝15下面：22＋7＝29【点睛】解答本题的关键是找出表格中的规律，进而求出问题。13．（1）9；13；17；每增加一个五边形，就增加4根小棒（2）41根【分析】（1）由图示可知，拼一个5边形，需要小棒的根数是：5根，即：4×1＋1根，拼2个五边形需要4×2＋1根；拼3个五边形需要4×3＋1根，由此推出一般规律，即拼n个五边形用的小棒根数：4n＋1根。（2）把n等于10代入4n＋1的式子里，求出结果即可知道需要多少根小棒。【详解】（1）根据分析可知，拼1个五边形需要小棒：4×1＋1＝5（根）拼2个五边形，需要小棒：4×2＋1＝9（根）拼3个五边形，需要小棒：4×3＋1＝13（根）拼4个五边形，需要小棒：4×4＋1＝17（根）由此可知，拼n个五边形，需要4n＋1根五边形个数拼成的形状小棒根数1529313417……4n＋1答：每增加一个五边形，就增加4根小棒；（2）4×10＋1＝40＋1＝41（根）答：一共用了41根小棒。【点睛】根据题干中已知图形的排列特点及其数量关系，推理得出一般结论进行解答，是此类问题的关键。14．2平方厘米；（4＋2n）平方厘米【分析】第一张纸盖住桌子的面积是3×2＝6平方厘米，第二张纸盖住桌面的面积增加是2×（3－2）＝2平方厘米，第三张纸盖住桌面的面积增加的也是2×（3－2）＝2平方厘米，以后每张纸盖住的面积增加的都是2平方厘米，由此即可得出：n张