高考数学一轮复习 8.3 等比数列

第三节等比数列考向1等比数列的概念及通项公式知识点1等比数列的概念1.定义:一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母表示.2.递推公式形式的定义:.知识点2等比中项如果在与中间插入一个数,使成等比数列,那么叫做与的等比中项,此时,注:①并非任何两数总有等比中项.仅当实数同号,即时,实数存在等比中项.对同号两实数的等比中项不仅存在,而且有一对互为相反数的等比中项.也就是说,两实数要么没有等比中项（非同号时）,如果有,必有一对（同号时）.在遇到三数或四数成等差数列时,常优先考虑选用“中项关系”转化求解.②是、、成等比数列的必要不充分条件.知识点3等比数列的通项公式若等比数列的首项为,公比为,则.知识点4从函数观点看等比数列一一等比数列与指数函数1.等比数列的图像对于等比数列,通项公式.当且时,它们都是一个非零常数与指数函数的乘积:.由指数函数的图像可以得出的图像,而的图像上横坐标为正整数的孤立点,组成如下图等比数列的图像.当等比数列的公比时等比数列的各项都为常数,其图像是一系列从左至右呈水平状的孤立点.2.等比数列的单调性（1）已知等比数列的首项为，公比为，则①当或时，是递增数列；②当或时，是递减数列；③当时，为常数列.（2）对于等比数列，借助函数的性质，可分析等比数列的增减性如下表.的范围数列的增减性递减数列常数列递增数列递增数列常数列递减数列（3）等比数列，当公比时，是摆动数列，即不递增也不递减，所有的奇数项（偶数项）同号，奇数项与偶数项异号,反应在图像上是一系列上下波动的孤立的点（如图）注:常数列不一定是等比数列，只有非零常数列才是公比为1的等比数列.知识点5等比数列通项公式的推广和变形1.通项公式变形等比数列的公比为,则①，可用来由等比数列任两项求公比.②，可以用来利用任一项及公比直接得到通项公式，不必求.证明:因为,所以,所以.由上可知,等比数列的通项公式可以用数列中的任一项与公比来表示,通项公式0）可以看成是时的特殊情况.③，已知首项，末项，公比即可计算出项数.2.基本量法（1）等比数列可以由首项和公比确定，我们把和称为基本量，所有关于等比数列的计算和证明,都可围绕和进行.在基本量法中,不拘泥于,有可以直接用.解题时没有思路了,可以回归基本量法.（2）求等比数列的通项公式的两种思路:①设出基本量，利用条件构建方程组，通过两式相除法或者代入消元法求出，即可写出等比数列的通项公式;②已知等比数列中的两项，（，，）时，则可不必求而直接写出等比数列的通项公式.③设项技巧——对称设项（1）三个数成等比数列可设为:，，或，，；（2）四个数成等比数列可设为:，，，或，，，.例1（2025北京卷）已知是公差不为0的等差数列，，若成等比数列，则（）A.-20B.-18C.16D.18例2乙卷理）已知等比数列的前3项和为,则（）A.14B.12C.6D.3例3（2020新课标I文）设是等比数列,且,则A.12B.24C.30D.32考向2等比数列的常用性质一、由等比数列生成新的等比数列若数列是公比为的等比数列,由等比数列的定义可得等比数列具有如下性质:1.数列仍是公比为的等比数列;2.数列为等比数列;特别地,当时,即是公比为的等比数列;3.若数列是公比为的等比数列,则数列是公比为的等比数列;4.在等比数列中,等距离取出若干项也构成一个等比数列,即为等比数列,公比为.二、等差数列与等比数列的联系1.若数列是公差为的等差数列,则数列是公比为的等比数列.2.若数列是公比为等比数列,则数列公差为的等差数列.3.如果数列既成等差数列又成等比数列,那么数列是非零常数数列;但数列是常数数列仅是数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件.三、项的性质1.对称性:若,则;若,则.推广:①若,则.②有穷等比数列中,与首末两项等距离的两项之积都相等,都等于首末两项的积:.2.若成等差数列,则成等比数列.3.等比性质:.例如:;2;3.例4长春模拟）已知为正项等比数列,若是函数的两个零点,则（）A.10B.104C.108D.例5在等比数列中,,则（）A.-6 B.C.D.2例6在各项均为正数的等比数列中,,则的最大值是（）A.25B.5 C.D.考向3等比数列的前项和公式及其性质已知量首项、公比与项数首项、公比与末项求和公式1.推导方法由等比数列的定义,有根据等比性质,有所以当时,或.2.基本量法（1）对于等比数列问题一般要给出两个条件，可以通过列方程求出.如果再给出第三个条件就可以完成的“知三求二”问题.这体现了利用方程思想通过两式相除法或代入消元法求出基本量解决问题.解题时没有思路了,可以考虑“回归基本量法”.注:往往要用到乘法公式.（2）和式代换法:将层的计算先降维到层，再进行下一步计算题型①.3.前项和的常用性质①.例如:;证明:,而,于是.特别地,.②，，，构成公比为的等比数列（）.若,则成公比为的等比数列.4.与的性质等比数列中,所有奇数项之和与所有偶数项之和具有的性质,设公比为.（1）若共有项，则（2）若共有项，例7（2025·新课标II卷）设为等比数列的前项和，为的公比，，1,则下列说法正确的是（）A.B.C.D.例8（2025新课标1卷）若一个各项均为正项的等比数列的前4项和为4，前8项和为68，则该等比数列的公比为_____.例9（2020·新课标II文）记为等比数列的前项和.若,则（）A.B.C.D.例10（2020·新课标II）数列中,.若,则（）A.2B.3C.4D.5例11（2019·全国）记为等比数列的前项和.若，则_____.例12在等比数列中,已知前项和,则的值为（）A.1B.-1C.2D.-2例13（2021·甲卷文）记为等比数列的前项和.若,则（）A.7B.8C.9D.10例14设等比数列的前项和为,若,则（）A.2 B.C.D.3考向4等比数列的判定方法1.定义法:若（为非零常数）或（为非零常数且）,则是等比数列.2.等比中项法:若数列中且,则数列是等比数列.3.通项公式法:若数列通项公式可写成均为不为0的常数,,则是等比数列.4.前项和法:若数列的前项和,则是等比数列.需要说明的是:对于方法（1）、（2）适用于任何题型，强调推理过程，而方法（3）、（4）适合于选择、填空题,强调结论的应用,若要判定一个数列不是等比数列,则只需判定存在连续三项不成等比即可.5.常见的等比数列（1）若，当时，是等比数列；当时，是从第二项开始的等比数列.证明:当时,,由知,当时,，两式相减得,即.而当时，，所以当时，即时，是等比数列.（2），则是等比数列.当时，，即，所以.由知,当时,,两式相减得,即,即,所以是以为首项,以为公比的等比数列.（3）若，则是从第二项为首项的等比数列.当时，，即，所以.由知,当时,,两式相减得,即,即.①当,即,即,即时，是以为首项，以为公比的等比数列；②当,即时,是从第二项开始的等比数列.注:当时,出现时,必须验证时的情况,即要检验是否等于.若,则可合写;否则要分段写,注意第二段有项,此时.例15（2019・全国卷II）数列和满足（1）证明:是等比数列，是等差数列；（2）求和的通项公式.例16记数列的前项和为,已知.（1）证明:数列是等比数列；（2）求的通项公式.例17记为数列的前项和,为数列的前项和,已知.（1）求证:数列是等比数列；（2）求数列的通项公式.例18已知数列的首项.（1）求证:数列是等比数列；（2）求数列的通项公式.考向5等比数列前项和的实际应用1.解应用问题的核心是建立数学模型.2.解决应用题的一般步骤:（1）审题:弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；（2）建模:将已知条件翻译成数字（数列）语言，将实际问题转化成数学（数列）问题，弄清该数列的结构和特征;（3）解模:求解数学模型,得出数学结论;（4）还原:将用数学知识和方法得出的结论,还原为实际问题的意义.3.注意问题是求什么.注意:（1）解答数列应用题要注意步骤的规范性:设数列，判断数列，解题完毕要作答.（2）在归纳或求通项公式时，一定要将项数计算准确.（3）在数列类型不易分辨时，要注意归纳递推关系.（4）在近似计算时，要注意应用对数方法，且要看清题中对近似程度的要求.4.实际应用题常见的数列模型（1）储蓄的复利公式:本金为元，每期利率为，存期为期，则本利和.（2）总产值模型:基数为，平均增长率为，期数为，则总产值.（3）传染病模型:第一天确诊患者数人，每个人的传染力为，则经过轮传染后，则患者总人数为.例19某银行在2024年初给出的大额存款的年利率为3%，某人存入大额存款元，按照复利计算，10年后得到的本利和为,下列各数中与最接近的是（）A.1.31B.1.32 C.1.33D.1.34例20（多选）在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数.初始感染者传染个人为第一轮传染，第一轮被传染的个人每人再传染个人为