人教版高中数学必修一第三章《 3.1.2 用二分法求方程的近似解》教学设计

课题人教版高中数学必修一第三章《3.1.2用二分法求方程的近似解》教学设计课时安排课前准备设计意图本节课以“人教版高中数学必修一第三章《3.1.2用二分法求方程的近似解》”为主题，旨在帮助学生理解二分法的原理和步骤，掌握运用二分法求解方程近似解的方法，并能运用到实际问题中，提高学生数学思维能力和解决实际问题的能力。核心素养目标分析学情分析本节课面向的是高中一年级的学生，他们对数学的基本概念和运算规则已有一定的了解，但面对较为抽象的数学方法，如二分法，可能存在理解上的困难。学生在知识层面，对于函数的基本性质、导数的初步概念有一定的掌握，但在运用这些知识解决具体问题时，往往缺乏灵活性和创新性。在能力方面，学生的逻辑思维能力和抽象思维能力正在形成中，对于新方法的接受和应用能力有待提高。

在素质方面，学生的自主学习能力、合作学习能力和探究能力参差不齐，部分学生在面对复杂问题时容易产生畏难情绪。行为习惯上，部分学生存在依赖老师的习惯，缺乏独立思考和解决问题的意识。这些因素将对本节课的教学产生一定影响，因此在教学设计中需要考虑如何激发学生的学习兴趣，培养他们的自主学习能力和解决问题的能力。

在课程学习方面，学生对二分法这一新方法可能感到陌生，需要通过具体实例和逐步引导来帮助他们理解和掌握。因此，教学设计应注重从学生的实际出发，通过实例分析和实际操作，让学生在实践中感受二分法的应用，从而提高他们的数学应用能力和创新思维。教学方法与手段教学方法：

1.讲授法：通过清晰的讲解，帮助学生理解二分法的理论基础和基本步骤。

2.讨论法：组织学生进行小组讨论，鼓励他们提出问题，共同探讨解决方法，提高学生的合作学习能力。

3.实验法：设计实际操作环节，让学生通过计算机软件或手工计算，亲自体验二分法求解方程的过程，加深理解。

教学手段：

1.多媒体演示：利用PPT展示二分法的原理和步骤，直观形象地展示计算过程。

2.互动软件：运用数学教学软件，让学生通过软件操作，直观地看到二分法的迭代过程和结果。

3.实例分析：结合实际生活中的问题，通过实例分析，让学生理解二分法在解决实际问题中的应用价值。教学过程一、导入新课

（教师）同学们，今天我们来学习第三章《3.1.2用二分法求方程的近似解》。在上一节课中，我们学习了利用导数研究函数的单调性和极值，今天我们将学习一种新的方法——二分法，来求解方程的近似解。

（学生）好的，老师。

二、新课讲授

1.二分法的原理

（教师）首先，我们来回顾一下二分法的原理。二分法是一种在区间内寻找函数零点的方法。其基本思想是：首先取区间的中点，然后判断中点处的函数值与零的关系，进而确定新的搜索区间，重复这个过程，直到找到满足精度要求的近似解。

（学生）明白了，老师。

2.二分法的步骤

（教师）接下来，我们具体来看一下二分法的步骤。首先，取一个初始区间[a,b]，使得f(a)和f(b)异号，即f(a)f(b)<0。然后，计算中点c=(a+b)/2，判断f(c)的符号。如果f(c)=0，则c即为方程的解；如果f(c)≠0，则根据f(c)的符号，将区间缩小到[a,c]或[c,b]，重复这个过程，直到找到满足精度要求的近似解。

（学生）好的，老师。

3.二分法的应用

（教师）现在，我们来看一个例子，运用二分法求解方程的近似解。假设我们要求解方程f(x)=x^2-2x-3=0的近似解。

（学生）好的，老师。

（教师）首先，我们需要取一个初始区间[a,b]，使得f(a)和f(b)异号。观察函数f(x)的图像，我们可以发现当x=-1时，f(x)<0；当x=4时，f(x)>0。因此，我们可以取初始区间[-1,4]。

（学生）明白了，老师。

（教师）接下来，我们按照二分法的步骤进行计算。首先，计算中点c=(a+b)/2=(-1+4)/2=1.5。然后，计算f(c)=1.5^2-2*1.5-3=-1.75。由于f(c)<0，我们将区间缩小到[-1,1.5]。

（学生）好的，老师。

（教师）重复这个过程，我们可以得到以下计算结果：

|迭代次数|区间|中点c|f(c)|

|||||

|1|[-1,4]|1.5|-1.75|

|2|[-1,1.5]|0.75|0.6875|

|3|[-1,0.75]|0.375|-0.40625|

|4|[0.375,0.75]|0.5625|0.0390625|

|5|[0.375,0.5625]|0.4375|-0.08203125|

|6|[0.4375,0.5625]|0.5|0.00390625|

|7|[0.4375,0.5]|0.46875|-0.0390625|

|8|[0.46875,0.5]|0.484375|-0.001953125|

（学生）老师，我们怎么确定近似解的精度呢？

（教师）我们可以通过设定一个精度阈值ε来控制近似解的精度。在本例中，我们设定ε=0.0001。当相邻两次迭代的结果之差的绝对值小于ε时，我们可以认为找到了满足精度要求的近似解。

（学生）明白了，老师。

（教师）根据上述计算结果，我们可以发现，在第7次迭代时，相邻两次迭代的结果之差的绝对值已经小于0.0001，因此，我们可以认为找到了满足精度要求的近似解x≈0.484375。

（学生）好的，老师。

三、课堂练习

1.请同学们尝试运用二分法求解方程x^3-6x^2+9x-1=0的近似解。

（学生）好的，老师。

2.请同学们讨论以下问题：

（1）二分法适用于哪些类型的方程？

（2）如何选择初始区间？

（3）如何确定精度阈值？

（学生）好的，老师。

四、课堂总结

（教师）今天我们学习了二分法求方程的近似解。二分法是一种简单而有效的求解方法，适用于在区间内寻找函数零点的问题。在运用二分法时，我们需要注意选择合适的初始区间和精度阈值，以提高求解的效率和精度。

（学生）好的，老师。

五、布置作业

1.完成课本第XX页的练习题。

2.尝试用二分法求解以下方程的近似解：

（1）x^3-3x^2+2x-1=0

（2）x^4-4x^3+6x^2-4x+1=0

（学生）好的，老师。学生学习效果学生学习效果

1.知识掌握程度

2.能力提升

学生在本节课的学习中，不仅提高了数学思维能力，还增强了问题解决能力。通过实际操作和讨论，学生学会了如何选择合适的初始区间和精度阈值，这对于他们在未来遇到类似问题时能够迅速作出决策具有重要意义。

3.学习兴趣

4.合作能力

在小组讨论环节，学生能够互相交流学习心得，共同探讨解决问题的方法。这种合作学习的方式有助于培养学生的团队协作精神和沟通能力。

5.创新思维

学生在学习二分法的过程中，不仅学会了如何运用这种方法，还尝试着将二分法与其他数学方法相结合，如与牛顿法、割线法等，探索更高效的求解方法。这种创新思维能力的培养对于学生未来的学习和研究具有重要意义。

6.实践能力

7.自主学习能力

在本节课的学习中，学生学会了如何自主学习，通过查阅资料、讨论问题等方式，提高了自主学习的能力。这种能力对于学生未来的学习和职业发展具有长远的影响。

8.逻辑思维能力

9.应对挑战的能力

在求解方程的近似解过程中，学生可能会遇到各种困难，如计算错误、精度不够等。通过不断尝试和调整，学生学会了如何应对挑战，提高了解决问题的能力。

10.综合素质课堂1.课堂提问

为了了解学生对二分法原理和步骤的掌握程度，我将在课堂中进行提问。我会提出一系列与二分法相关的问题，如二分法的适用条件、如何确定初始区间、如何判断迭代过程是否收敛等。通过学生的回答，我可以评估他们对知识点的理解程度，并及时纠正可能存在的错误理解。

2.观察学生参与度

我会注意观察学生在课堂上的参与度，包括他们对问题的积极回应、在小组讨论中的表现以及对新知识的接受程度。通过这些观察，我可以了解学生的学习兴趣和参与课堂活动的积极性。

3.小组讨论

我将安排小组讨论环节，让学生在小组内应用二分法解决实际问题。通过观察他们的讨论过程和解决方案，我可以评估他们的合作能力和问题解决能力。

4.课堂测试

为了更全面地评价学生的学习效果，我将设计一份小测验，涵盖二分法的原理、步骤以及应用。测试将包括选择题、填空题和简答题，以检验学生对知识的掌握程度和运用能力。

5.及时反馈

在课堂结束时，我会对学生的表现进行简要总结，并对他们在课堂上的表现给予正面的反馈。对于存在的问题，我会提出改进建议，并鼓励学生在课后继续复习和练习。

6.作业评价

对于学生的课后作业，我将进行认真批改和点评。我会关注学生的解题思路、计算过程和结果，并给予具体的反馈。对于作业中出现的错误，我会分析错误原因，并提供相应的纠正方法。通过作业评价，我可以及时了解学生的学习进度和需要进一步辅导的地方。

7.评价记录

我会记录每位学生的课堂表现和作业完成情况，以便在课程结束时进行综合评价。这些记录将作为评价学生学习效果的重要依据。板书设计①二分法的基本原理

-区间选择：f(a)和f(b)异号

-迭代步骤：计算中点c，判断f(c)的符号，调整区间

-收敛条件：满足精度要求ε

②二分法的步骤

-确定初始区间[a,b]，满足f(a)f(b)<0

-计算中点c=(a+b)/2

-判断f(c)的符号

-如果f(c)=