实数竞赛历年试题及详尽答案

实数竞赛历年试题及详尽答案考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（每题只有一个正确选项，请将正确选项的字母填在题后的括号内。每题5分，共20分）1.已知实数a满足a+1/a=2，则a^4-2a^3+3a^2-2a+1的值为（）。A.1B.3C.5D.72.若实数x满足x^2+|x-1|=3，则x的取值范围是（）。A.[-2,2]B.[-1,2]C.[-2,1]D.[-1,1]3.设a,b为正实数，且a+b=1，则ab+(1/a)+(1/b)的最小值是（）。A.3B.5C.7D.94.函数f(x)=x^3-3x在区间[-2,2]上的最大值和最小值分别是（）。A.2,-2B.8,-8C.4,-4D.8,-4二、填空题（请将答案直接填在题后的横线上。每题6分，共24分）5.已知实数x满足0<x<1，则x-x^2-x^3+x^4的值一定介于（）和（）之间。6.设a,b为正实数，且a^2+b^2=1，则a+b的最大值是（）。7.在数列{a_n}中，a_1=1，a_(n+1)=sqrt(a_n+2)，则lim_(n->无穷)a_n的值为（）。8.已知实数x,y满足x^2+y^2-2x+4y=0，则x^2+y^2的最小值是（）。三、解答题（请写出详细的解答过程。每题10分，共30分）9.已知实数a,b满足a^2+b^2=1，求(a^2+2ab+b^2)/(a^2-ab+b^2)的最小值。10.解不等式|x-1|+|x+2|>4。11.设正数x,y满足x^2+y^2=1，证明：对于任意实数t，都有(x+ty)^2+(x-ty)^2>=1。四、附加题（请写出详细的解答过程。共16分）12.设a,b,c为正实数，且abc=1。证明：(a+1)(b+1)(c+1)>=(a+b+c+1)^2。试卷答案1.B2.C3.B4.D5.0,1/26.sqrt(2)7.28.29.解：(a^2+2ab+b^2)/(a^2-ab+b^2)=(a+b)^2/[(a-b/2)^2+3b^2/4]令u=a-b/2,v=b/sqrt(3)，则a=u+sqrt(3)v,b=sqrt(3)v。代入得：原式=[(u+sqrt(3)v+sqrt(3)v)^2]/[u^2+3v^2]=[(u+2sqrt(3)v)^2]/[u^2+3v^2]=[u^2+4*sqrt(3)uv+12v^2]/[u^2+3v^2]=1+(4*sqrt(3)uv+9v^2)/(u^2+3v^2)由u^2+3v^2>=2*sqrt(3)uv，得3v^2>=-2*sqrt(3)uv，即4*sqrt(3)uv+9v^2>=0。故原式>=1。等号成立当且仅当u=sqrt(3)v，即a=2b时。最小值为1。10.解：考虑x的不同取值范围：(1)若x<-2，则原不等式变为-(x-1)-(x+2)>4，即-2x-1>4，得-2x>5，x<-5/2。此范围有效。(2)若-2<=x<1，则原不等式变为-(x-1)+(x+2)>4，即3>4。此范围无解。(3)若x>=1，则原不等式变为(x-1)+(x+2)>4，即2x+1>4，得2x>3，x>3/2。此范围有效。综上，不等式的解集为{x|x<-5/2或x>3/2}。11.证明：令u=x+ty,v=x-ty。则原不等式等价于u^2+v^2>=1。由x^2+y^2=1，得(x+ty)^2+(x-ty)^2=2(x^2+t^2y^2)=2(x^2+t^2(1-x^2))=2(t^2-(x^2-t^2x^2))=2(t^2(1+x^2)-x^2)。但更直接的方法是，令x=cosθ,y=sinθ(θ为实数)。则原不等式左边变为：(cosθ+tsinθ)^2+(cosθ-tsinθ)^2=cos^2θ+2tcosθsinθ+t^2sin^2θ+cos^2θ-2tcosθsinθ+t^2sin^2θ=2cos^2θ+2t^2sin^2θ=2(1-sin^2θ)+2t^2sin^2θ=2+2(t^2-1)sin^2θ。因为sin^2θ<=1，所以2+2(t^2-1)sin^2θ>=2。当sin^2θ=1(即x=0,y=1或x=0,y=-1)且t^2>=1时等号成立。另一种证法：由柯西不等式，(x^2+(ty)^2)(1+t^2)>=(x+ty)^2，即(x^2+t^2y^2)(1+t^2)>=(x+ty)^2。由x^2+y^2=1，得x^2+t^2y^2=x^2+t^2(1-x^2)=t^2-(x^2-t^2x^2)=t^2(1+x^2)-x^2。即[(t^2-(x^2-t^2x^2))(1+t^2)]>=(x+ty)^2。整理得(t^2-x^2+t^4x^2)(1+t^2)>=(x+ty)^2。等价于(t^2-x^2)(1+t^2)+t^4x^2(1+t^2)>=(x+ty)^2。由于x^2+y^2=1，所以x^2=1-y^2。代入得(t^2-(1-y^2))(1+t^2)+t^4(1-y^2)(1+t^2)>=(x+ty)^2。这比较复杂。最简方法是令x=cosθ,y=sinθ。则原不等式化为(cosθ+tsinθ)^2+(cosθ-tsinθ)^2>=1。化简为2(1+t^2sin^2θ)>=1。即1+t^2sin^2θ>=1/2。即t^2sin^2θ>=-1/2。显然成立。故原不等式成立。等号成立当且仅当sinθ=0(x=±1,y=0)且t^2=1/2时，即t=±1/√2。此时(x+ty)^2+(x-ty)^2=1。12.证明：由均值不等式，a+1>=2sqrt(a)，b+1>=2sqrt(b)，c+1>=2sqrt(c)。因为abc=1，所以sqrt(a)=1/sqrt(b)=1/sqrt(c)。将b+1和c+1用a表示：b+1=sqrt(a)/sqrt(c)+1=sqrt(a)/sqrt(abc)+1=sqrt(a)/sqrt(a)+1=1+1=2。同理c+1=sqrt(a)/sqrt(b)+1=sqrt(a)/sqrt(abc)+1=sqrt(a)/sqrt(a)+1=1+1=2。因此(a+1)(b+1)(c+1)=(a+1)(2)(2)=4(a+1)。同样，由均值不等式，a+b+c+1>=2sqrt(ab)+2sqrt(c)>=2sqrt(ab)+2/sqrt(a)>=2sqrt(ab)+2*sqrt(b)/sqrt(c)>=2sqrt(ab)+2sqrt(b)/sqrt(abc)=2sqrt(ab)+2sqrt(b)*sqrt(a)=4sqrt(ab)。因为a,b,c为正实数，ab<=(a+b)^2/4，所以sqrt(ab)<=(a+b)/2。所以4sqrt(ab)<=2(a+b)。因此a+b+c+1