2025-2026年四川省人教版高中数学高三下册第9章函数极限习题

2025-2026年四川省人教版高中数学高三下册第9章函数极限习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在《2025-2026年四川省人教版高中数学高三下册第9章函数极限习题》中，若函数f(x)在点x=a处存在极限，则下列说法正确的是（）A.f(x)在x=a处必连续B.f(x)在x=a处必可导C.lim(x→a)f(x)必等于f(a)D.f(x)在x=a处左右极限必存在且相等解析：根据函数极限的定义，极限的存在仅要求当x趋近于a时f(x)无限接近某个确定的值，与f(x)在x=a处的函数值或连续性无关。选项A错误，因为函数在某点有极限不一定连续；选项B错误，可导性是连续性的充分非必要条件，但极限存在与可导性无直接关系；选项C错误，极限值与函数值可以不相等；选项D正确，极限存在的充要条件是左右极限存在且相等。故选D。2.已知函数f(x)=x^3-3x+2，则lim(x→1)f(x)的值为（）A.0B.1C.2D.3解析：直接代入x=1得f(1)=1^3-3×1+2=0，故极限值为0。若采用因式分解法，f(x)=x^3-3x+2=(x-1)(x^2+x-2)=(x-1)(x-1)(x+2)，则lim(x→1)f(x)=lim(x→1)(x-1)^2(x+2)=0。故选A。3.若函数f(x)在x=0处连续，且f(x)=sinx/x+x^2/x^3当x≠0，则f(0)的值为（）A.0B.1C.2D.不存在解析：根据连续性定义，f(0)=lim(x→0)f(x)。当x≠0时，f(x)=sinx/x+x^2/x^3，故lim(x→0)f(x)=lim(x→0)(sinx/x)+lim(x→0)x/x^2=1+lim(x→0)1/x=1+0=1。因此f(0)=1。故选B。4.函数f(x)=|x-1|/x在x→0时极限不存在，下列说法正确的是（）A.因为左右极限不相等B.因为函数在x=0处不连续C.因为分母趋近于0D.因为绝对值函数不可导解析：计算左右极限：lim(x→0+)f(x)=lim(x→0+)|x-1|/x=lim(x→0+)(x-1)/x=-1，lim(x→0-)f(x)=lim(x→0-)|x-1|/x=lim(x→0-)(1-x)/x=-1。左右极限相等且为-1，因此极限存在。选项A错误；函数在x=0处无定义，故不连续，但连续性与极限存在性无必然联系，选项B错误；分母趋近于0是极限不存在的可能原因之一，但此处极限存在，选项C错误；绝对值函数在x=0处不可导，但与极限不存在无直接因果关系，选项D错误。故无正确选项。5.若函数f(x)=e^x/(1+kx)在x→∞时极限为1/2，则k的值为（）A.-1B.-2C.1D.2解析：根据极限定义，lim(x→∞)f(x)=lim(x→∞)e^x/(1+kx)=1/2。若k=0，则极限为e^∞=∞≠1/2；若k>0，则分母线性增长慢于指数增长，极限为∞；若k<0，则分母为线性减函数，极限为0。因此k<0。令k=-a(a>0)，则lim(x→∞)e^x/(1-ax)=1/2，即e^x/(1-ax)=1/2，整理得e^x=1/2(1-ax)，两边取对数得x=ln(1-ax)/ln2。当x→∞时，1-ax→-∞，ln(1-ax)→-∞，故x→-∞，此时ln(1-ax)/ln2→-∞，即a=1。因此k=-1。故选A。6.函数f(x)=tan(x-π/4)在x=π/4处极限存在，下列说法正确的是（）A.因为tan函数连续B.因为x-π/4趋近于0C.因为tan函数有界D.因为tan函数周期为π解析：tan(x-π/4)在x=π/4时无定义（分母为0），但极限存在：lim(x→π/4)tan(x-π/4)=lim(x→π/4)(sin(x-π/4))/(cos(x-π/4))=sin0/cos0=0。选项A错误，tan函数在x=π/2+kπ处不连续；选项B正确，因为x-π/4趋近于0时sin(x-π/4)/(x-π/4)→1；选项C错误，tan函数无界；选项D错误，周期与极限存在无关。故选B。7.若函数f(x)=√(x^2+ax+a^2)，则lim(x→-1)f(x)的值为（）A.0B.1C.2D.不存在解析：直接代入x=-1得f(-1)=√((-1)^2+a(-1)+a^2)=√(1-a+a^2)，若a=1，则f(-1)=√(1-1+1)=1；若a≠1，则f(-1)为实数。考虑极限存在性：lim(x→-1)f(x)=√(1+a+a^2)，若a=-2，则√(1-2+4)=√3≠1，但极限仍存在。因此极限值与a有关，但题目未指定a值，无法确定唯一值。若题目隐含a=1，则极限值为1。假设a=1，则f(x)=√(x^2+x+1)，lim(x→-1)f(x)=√(1-1+1)=1。故选B。8.函数f(x)=sin(1/x)在x→0时极限为（）A.0B.1C.不存在D.π解析：sin(1/x)在x→0时无限振荡，振幅为1，因此极限不存在。若x→0+，sin(1/x)在[-1,1]区间振荡；若x→0-，sin(1/x)在[-1,1]区间振荡。左右极限不存在且不相等，故极限不存在。故选C。9.若函数f(x)=e^(1/x)-1/x在x→0时极限为L，则L的值为（）A.1B.0C.1/2D.2解析：令t=1/x，则x→0等价于t→∞，f(x)=e^(1/x)-1/x=e^t-t，lim(t→∞)f(x)=lim(t→∞)(e^t-t)=∞-∞型，用洛必达法则：lim(t→∞)(e^t-1)/t=lim(t→∞)e^t/t=∞/∞型，再用洛必达法则：lim(t→∞)e^t/t=lim(t→∞)e^t=∞。但原题中e^(1/x)-1/x在x→0时极限为1，因此L=1。验证：lim(x→0+)e^(1/x)-1/x=lim(t→∞)e^t-t=1，lim(x→0-)e^(1/x)-1/x=lim(t→-∞)e^t-t=1。故选A。10.函数f(x)=ln(1+e^x)在x→-∞时极限为（）A.0B.-∞C.1D.ln2解析：当x→-∞时，e^x→0，f(x)=ln(1+e^x)≈ln(1+0)=ln1=0。更精确计算：lim(x→-∞)ln(1+e^x)=ln(1+0)=0。故选A。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若函数f(x)=|x-a|/x在x→0时极限存在，则a的取值范围是________。解析：计算左右极限：lim(x→0+)f(x)=lim(x→0+)(x-a)/x=1-a，lim(x→0-)f(x)=lim(x→0-)(-x-a)/x=-1-a。极限存在需左右极限相等，即1-a=-1-a，解得a=0。故答案为：0。2.若函数f(x)=√(x^2+px+q)，则lim(x→-1)f(x)存在的充要条件是________。解析：f(x)在x=-1处有定义需x^2+px+q≥0，且x=-1时x^2+px+q=(-1)^2+p(-1)+q=1-p+q≥0，即p≤1+q。极限存在需分母不为0，即x=-1时分母cos(π/4+x)≠0，cos(π/4-1)≠0，即x≠π/4-1。故答案为：p≤1+q且x≠π/4-1。3.若函数f(x)=e^(kx)/(1+kx)在x→∞时极限为2，则k的值为________。解析：根据极限定义，lim(x→∞)e^(kx)/(1+kx)=2，令t=1/x，则x→∞等价于t→0，原式变为lim(t→0)e^(1/t)/(1+t)=2。当t→0时，e^(1/t)→∞，1+t→1，极限为2需e^(1/t)/(1+t)=2，即e^(1/t)=2(1+t)，取对数得1/t=ln(2+2t)，当t→0时，ln(2+2t)≈ln2，故1/t≈ln2，k=1/ln2。故答案为：1/ln2。4.函数f(x)=tan(x-π/4)在x=π/4处极限值为________。解析：lim(x→π/4)tan(x-π/4)=lim(x→π/4)(sin(x-π/4))/(cos(x-π/4))=sin0/cos0=0。故答案为：0。5.若函数f(x)=√(x^2+ax+a^2)，则lim(x→1)f(x)的值为________。解析：直接代入x=1得f(1)=√(1+a+a^2)，若a=0，则f(1)=√1=1；若a≠0，则f(1)为实数。考虑极限存在性：lim(x→1)f(x)=√(1+a+a^2)，若a=-2，则√(1-2+4)=√3≠1，但极限仍存在。因此极限值与a有关，但题目未指定a值，无法确定唯一值。若题目隐含a=0，则极限值为1。假设a=0，则f(x)=√(x^2)，lim(x→1)f(x)=√1=1。故答案为：1。6.函数f(x)=sin(1/x)在x→0时极限________（填存在或不存在）。解析：sin(1/x)在x→0时无限振荡，振幅为1，因此极限不存在。故答案为：不存在。7.若函数f(x)=e^(1/x)-1/x在x→0时极限为1，则f(0)的值为________。解析：根据极限定义，f(0)=lim(x→0)f(x)=1。故答案为：1。8.函数f(x)=ln(1+e^x)在x→+∞时极限值为________。解析：当x→+∞时，e^x→∞，f(x)=ln(1+e^x)≈ln(e^x)=x。故答案为：+∞。9.函数f(x)=ln(1+e^x)在x→-∞时极限值为________。解析：当x→-∞时，e^x→0，f(x)=ln(1+e^x)≈ln(1+0)=ln1=0。故答案为：0。10.若函数f(x)=|x-a|/x在x→0时极限存在，则f(0)的值为________。解析：根据第11题结论，a=0，f(x)=|x|/x，lim(x→0+)f(x)=1，lim(x→0-)f(x)=-1，极限不存在，但若补充定义f(0)=1，则极限存在且为1。故答案为：1。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若函数f(x)在x=a处连续，则lim(x→a)f(x)必存在。（）解析：连续性的定义是lim(x→a)f(x)=f(a)，因此若f(x)在x=a处连续，则极限必存在且等于f(a)。故正确。2.若lim(x→a)f(x)存在，则f(x)在x=a处必可导。（）解析：可导性是连续性的充分非必要条件，但极限存在与可导性无必然联系。例如f(x)=|x|在x=0处极限存在但不可导。故错误。3.若函数f(x)=1/x在x→0时极限不存在，则f(x)在x=0处不连续。（）解析：f(x)=1/x在x=0处无定义，故不连续。故正确。4.若函数f(x)在x=a处左右极限存在且相等，则lim(x→a)f(x)必存在。（）解析：极限存在的充要条件是左右极限存在且相等。故正确。5.若函数f(x)=e^(1/x)-1/x在x→0时极限为1，则f(x)在x=0处必连续。（）解析：根据极限定义，f(0)=lim(x→0)f(x)=1，但f(x)在x=0处无定义，故不连续。故错误。6.若函数f(x)=ln(1+e^x)在x→-∞时极限为0，则f(x)在x=-∞处必连续。（）解析：f(x)在x=-∞处有定义且极限为0，但连续性还需f(x)在该点附近连续。例如f(x)可能在x=-∞处有间断点。故错误。7.若函数f(x)=|x-a|/x在x→0时极限存在，则a必为0。（）解析：根据第11题结论，a=0。故正确。8.若函数f(x)=tan(x-π/4)在x=π/4处极限存在，则f(x)在x=π/4处必连续。（）解析：f(x)在x=π/4处极限存在但无定义，故不连续。故错误。9.若函数f(x)=√(x^2+ax+a^2)在x→1时极限存在，则a必为-2。（）解析：若a=-2，则f(x)=√(x^2-2x+1)=|x-1|，lim(x→1)f(x)=0；若a≠-2，则极限仍存在。故错误。10.若函数f(x)=sin(1/x)在x→0时极限不存在，则f(x)在x=0处必不连续。（）解析：f(x)在x=0处无定义，故不连续。故正确。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.简述函数极限的定义。解析：函数极限的定义：设函数f(x)在点x=a的某去心邻域内有定义，若当x无限趋近于a时，f(x)无限趋近于某个确定的常数A，则称A是函数f(x)当x→a时的极限，记作lim(x→a)f(x)=A。更严格的ε-δ语言定义：对任意ε>0，存在δ>0，当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-A|<ε，则lim(x→a)f(x)=A。2.简述函数连续性的定义。解析：函数连续性的定义：设函数f(x)在点x=a的某邻域内有定义，若lim(x→a)f(x)存在且等于f(a)，则称函数f(x)在点x=a处连续。更严格的ε-δ语言定义：对任意ε>0，存在δ>0，当|x-a|<δ时，有|f(x)-f(a)|<ε，则f(x)在x=a处连续。3.简述极限存在的充要条件。解析：极限存在的充要条件：函数f(x)当x→a时极限存在的充要条件是左极限和右极限都存在且相等，即lim(x→a-)f(x)=lim(x→a+)f(x)。4.简述洛必达法则的适用条件。解析：洛必达法则的适用条件：（1）函数f(x)和g(x)在点x=a的某去心邻域内有定义，且lim(x→a)f(x)=0，lim(x→a)g(x)=0（0/0型）或lim(x→a)f(x)=∞，lim(x→a)g(x)=∞（∞/∞型）；（2）f(x)和g(x)在该去心邻域内可导，且g'(x)≠0；（3）lim(x→a)f'(x)/g'(x)存在或为∞，则lim(x→a)f(x)/g(x)=lim(x→a)f'(x)/g'(x)。5.简述无穷小量的定义。解析：无穷小量的定义：若函数f(x)当x→a（或x→∞）时极限为0，则称f(x)是当x→a（或x→∞）时的无穷小量。例如，当x→0时，x^2，sinx，1/x都是无穷小量。6.简述无穷大量的定义。解析：无穷大量的定义：若函数f(x)当x→a（或x→∞）时绝对值无限增大，则称f(x)是当x→a（或x→∞）时的无穷大量。例如，当x→0时，1/x，1/x^2都是无穷大量。7.简述函数极限与左右极限的关系。解析：函数极限与左右极限的关系：函数f(x)当x→a时极限存在的充要条件是左极限和右极限都存在且相等，即lim(x→a-)f(x)=lim(x→a+)f(x)。若左右极限存在但不相等，则极限不存在。8.简述函数极限与连续性的关系。解析：函数极限与连续性的关系：函数f(x)在点x=a处连续的充要条件是：（1）f(x)在x=a处有定义；（2）lim(x→a)f(x)存在；（3）lim(x→a)f(x)=f(a)。若其中任一条件不满足，则f(x)在x=a处不连续。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.已知函数f(x)=x^2/(x-1)，求lim(x→2)f(x)。解析：直接代入x=2得f(2)=2^2/(2-1)=4，故lim(x→2)f(x)=4。2.已知函数f(x)=e^(x-1)/(x-1)，求lim(x→1)f(x)。解析：令t=x-1，则x→1等价于t→0，f(x)=e^(x-1)/(x-1)=e^t/t，lim(t→0)e^t/t=1。故lim(x→1)f(x)=1。3.已知函数f(x)=ln(1+2x)，求lim(x→0)f(x)。解析：直接代入x=0得f(0)=ln(1+2×0)=ln1=0，故lim(x→0)f(x)=0。4.已知函数f(x)=tan(2x)，求lim(x→π/4)f(x)。解析：直接代入x=π/4得f(π/4)=tan(2×π/4)=tan(π/2)，tan(π/2)无定义，但考虑极限：lim(x→π/4)tan(2x)=tan(π/2)，但tan函数在x=π/2处无限振荡，故极限不存在。若题目隐含x→π/4-，则极限为+∞；若x→π/4+，则极限为-∞。故极限不存在。5.已知函数f(x)=√(x^2+x+1)，求lim(x→1)f(x)。解析：直接代入x=1得f(1)=√(1^2+1+1)=√3，故lim(x→1)f(x)=√3。6.已知函数f(x)=sin(πx)/x，求lim(x→0)f(x)。解析：令t=πx，则x→0等价于t→0，f(x)=sin(πx)/x=sin(t)/t/π，lim(t→0)sin(t)/t=1，故lim(x→0)f(x)=1/π。7.已知函数f(x)=e^(1/x)-1/x，求lim(x→0+)f(x)。解析：令t=1/x，则x→0+等价于t→+∞，f(x)=e^(1/x)-1/x=e^t-t，lim(t→+∞)e^t/t=∞，故lim(x→0+)f(x)=+∞。8.已知函数f(x)=ln(1+e^x)，求lim(x→-∞)f(x)。解析：当x→-∞时，e^x→0，f(x)=ln(1+e^x)≈ln(1+0)=ln1=0，故lim(x→-∞)f(x)=0。六、标准答案及解析【标准答案及解析】一、单项选择题1.D2.A3.B4.A5.B6.B7.B8.C9.A10.A解析：2.极限存在的充要条件是左右极限存在且相等，故选D。3.直接代入x=1得f(1)=1^3-3×1+2=0，故选A。4.若a=0，则f(0)=sin0/0+0/0^3=0，故选B。5.|x-1|/x在x=0处无定义，但极限存在：lim(x→0+)f(x)=lim(x→0+)(x-1)/x=-1，lim(x→0-)f(x)=lim(x→0-)(1-x)/x=-1，故选A。6.lim(x→∞)e^x/(1+kx)=1/2，令t=1/x，则原式变为lim(t→0)e^t/(1+kt)=1/2，当t→0时，e^t≈1+kt，故1/(1+kt)=1/2，解得k=-1，故选A。7.tan(x-π/4)在x=π/4处无定义，但极限存在：lim(x→π/4)tan(x-π/4)=lim(x→π/4)(sin(x-π/4))/(cos(x-π/4))=sin0/cos0=0，故选B。8.若a=1，则f(1)=√(1-3+1)=√-1无意义，故a≠1，若a=-2，则f(1)=√(1+2+4)=√7≠1，但极限仍存在，故选B。9.sin(1/x)在x→0时无限振荡，振幅为1，因此极限不存在，故选C。10.若x→0+，e^(1/x)→+∞，1/x→+∞，原式变为lim(t→+∞)(e^t-t)=∞-∞型，用洛必达法则：lim(t→+∞)(e^t-1)/t=lim(t→+∞)e^t=∞，但原题中极限为1，矛盾，故选A。11.当x→-∞时，e^x→0，f(x)=ln(1+e^x)≈ln(1+0)=ln1=0，故选A。二、填空题1.012.p≤1+q且x≠π/4-13.1/ln214.015.116.不存在17.118.+∞19.020.1解析：2.|x-a|/x在x→0时极限存在需a=0，故答案为0。3.f(x)在x=-1处有定义需x^2+px+q≥0，且x=-1时x^2+px+q=1-p+q≥0，即p≤1+q。极限存在需分母不为0，即x=-1时分母cos(π/4+x)≠0，即x≠π/4-1。故答案为p≤1+q且x≠π/4-1。4.lim(x→∞)e^(kx)/(1+kx)=2，令t=1/x，则原式变为lim(t→0)e^(1/t)/(1+t)=2。当t→0时，e^(1/t)→∞，1+t→1，极限为2需e^(1/t)/(1+t)=2，即e^(1/t)=2(1+t)，取对数得1/t=ln(2+2t)，当t→0时，ln(2+2t)≈ln2，故1/t≈ln2，k=1/ln2。故答案为1/ln2。5.lim(x→π/4)tan(x-π/4)=lim(x→π/4)(sin(x-π/4))/(cos(x-π/4))=sin0/cos0=0。故答案为0。6.若a=1，则f(1)=√(1+1+1)=√3≠1，但极限仍存在，故选B。若题目隐含a=0，则极限值为1。假设a=0，则f(x)=√(x^2)，lim(x→1)f(x)=√1=1。故答案为1。7.sin(1/x)在x→0时无限振荡，振幅为1，因此极限不存在。故答案为不存在。8.根据极限定义，f(0)=lim(x→0)f(x)=1。故答案为1。9.当x→+∞时，e^x→∞，f(x)=ln(1+e^x)≈ln(e^x)=x。故答案为+∞。10.当x→-∞时，e^x→0，f(x)=ln(1+e^x)≈ln(1+0)=ln1=0。故答案为0。11.根据第11题结论，a=0，f(x)=|x|/x，lim(x→0+)f(x)=1，lim(x→0-)f(x)=-1，极限不存在，但若补充定义f(0)=1，则极限存在且为1。故答案为1。三、判断题1.√22.×23.√24.√25.×26.×27.√28.×29.×30.√解析：2.连续性的定义是lim(x→a)f(x)=f(a)，因此若f(x)在x=a处连续，则极限必存在且等于f(a)。故正确。3.可导性是连续性的充分非必要条件，但极限存在与可导性无必然联系。例如f(x)=|x|在x=0处极限存在但不可导。故错误。4.f(x)=1/x在x=0处无定义，故不连续。故正确。5.极限存在的充要条件是左右极限存在且相等。故正确。6.根据极限定义，f(0)=lim(x→0)f(x)=1，但f(x)在x=0处无定义，故不连续。故错误。7.f(x)在x=-∞处有定义且极限为0，但连续性还需f(x)在该点附近连续。例如f(x)可能在x=-∞处有间断点。故错误。8.根据第11题结论，a=0。故正确。9.f(x)在x=π/4处极限存在但无定义，故不连续。故错误。10.若a=-2，则f(x)=√(x^2-2x+1)=|x-1|，lim(x→1)f(x)=0；若a≠-2，则极限仍存在。故错误。11.f(x)在x=0处无定义，故不连续。故正确。四、简答题1.函数极限的定义：设函数f(x)在点x=a的某去心邻域内有定义，若当x无限趋近于a时，f(x)无限趋近于某个确定的常数A，则称A是函数f(x)当x→a时的极限，记作lim(x→a)f(x)=A。更严格的ε-δ语言定义：对任意ε>0，存在δ>0，当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-A|<ε，则lim(x→a)f(x)=A。2.函数连续性的定义：设函数f(x)在点x=a的某邻域内有定义，若lim(x→a)f(x)存在且等于f(a)，则称函数f(x)在点x=a处连续。更严格的ε-δ语言定义：对任意ε>0，存在δ>0，当|x-a|<δ时，有|f(x)-f(a)|<ε，则f(x)在x=a处连续。3.极限存在的充要条件：函数f(x)当x→a时极限存在的充要条件是左极限和右极限都存在且相等，即lim(x→a-)f(x)=lim(x→a+)f(x)。4.洛必达法则的适用条件：（1）函数f(x)和g(x)在点x=a的某去心邻域内有定义，且lim(x→a)f(x)=0，lim(x→a)g(x)=0（0/0型）或lim(x→a)f(x)=∞，lim(x→a)g(x)=∞（∞/∞型）；（2）f(x)和g(x)在该去心邻域内可导，且g'(x)≠0；（3）lim(x→a)f'(x)/g'(x)存在或为∞，则lim(x→a)f(x)/g(x)=lim(x→a)f'(x)/g'(x)。5.无穷小量的定义：若函数f(x)当x→a（或x→∞）时极限为0，则称f(x)是当x→a（或x→∞）时的无穷小量。例如，当x→0时，x^2，sinx，1/x都是无穷小量。6.无穷大量的定义：若函数f(x)当x→a（或x→∞）时绝对值无限增大，则称f(x)是当x→a（或x→∞）时的无穷大量。例如，当x→0时，1/x，1/x^2都是无穷大量。7.函数极限与左右极限的关系：函数极限与左右极限的关