2026年中学数学专业考试专项训练及解析

2026年中学数学专业考试专项训练及解析考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.函数f(x)=log₃(x²-ax+a)的定义域为(1,+∞)，则实数a的取值范围是A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,+∞)D.(-∞,-1)∪(0,1)2.若复数z满足(1+i)z=2-i(i为虚数单位)，则z的共轭复数z̄是A.1-iB.1+iC.-1+iD.-1-i3.设集合A={x|x²-3x+2≤0},B={x|ax=1},若B⊆A，则实数a的取值集合为A.{1}B.{1,2}C.{1,0}D.{1,0,2}4.已知等差数列{aₙ}的前n项和为Sₙ，若S₃=9,S₅=25，则该数列的公差d是A.2B.3C.4D.55.函数f(x)=sin(2x+π/3)的图像关于哪个点对称？A.(π/6,0)B.(π/3,0)C.(π/4,0)D.(π/2,0)6.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若a=3,b=4,C=60°，则sinB的值是A.3√7/14B.√7/4C.5√7/14D.2√7/77.直线l₁:x+2y-1=0与直线l₂:ax-3y+4=0平行，则实数a的值等于A.-6B.2C.6D.-28.从6名男生和4名女生中选出3名代表，其中至少包含1名女生的选法共有A.24种B.32种C.48种D.64种9.已知函数g(x)=x³-3x+1，则方程g(x)=0在区间(-2,-1)内A.无实根B.有一个实根C.有两个实根D.无法确定实根个数10.在直角坐标系中，点P(a,b)关于直线x-y=0对称的点的坐标是A.(a,b)B.(b,a)C.(-a,-b)D.(-b,-a)二、填空题（本大题共5小题，每小题6分，共30分。）11.已知向量u=(1,k),v=(3,-2)，若u⊥v，则实数k的值等于_______。12.抛掷一枚质地均匀的骰子两次，则两次出现的点数之和为5的概率是_______。13.不等式|x-1|>2的解集是_______。14.已知圆C的方程为(x-2)²+(y+3)²=16，则圆心C的坐标为_______，半径r等于_______。15.在等比数列{bₙ}中，b₁=2,b₄=16，则该数列的通项公式bₙ=_______。三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）16.（本小题满分12分）已知函数f(x)=x²-2ax+2。(1)若函数f(x)在区间(1,+∞)上单调递增，求实数a的取值范围；(2)若方程f(x)=0在区间(0,2)上有解，求实数a的取值范围。17.（本小题满分12分）在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且满足2bc=ac+ab，cosA=1/2。(1)求角B的大小；(2)若b=√3，求△ABC的面积。18.（本小题满分12分）已知数列{aₙ}是等差数列，数列{bₙ}是等比数列，且a₁=b₁=1,a₃+b₃=8,a₅+b₅=14。(1)求数列{aₙ}和{bₙ}的通项公式；(2)设cₙ=aₙ+bₙ，求数列{cₙ}的前n项和Sₙ。19.（本小题满分12分）设函数g(x)=√(x+1)-mx(m∈ℝ)。(1)若函数g(x)在区间(-1,+∞)上单调递增，求实数m的取值范围；(2)在(1)的条件下，若对于任意x₁,x₂∈(-1,+∞)，总有|g(x₁)-g(x₂)|<2，求实数m的取值范围。20.（本小题满分13分）已知直线l:y=kx+b与椭圆C:x²/9+y²/4=1交于A,B两点，且线段AB的中点为(1,2)。(1)求实数k,b的值；(2)求△OAB(O为坐标原点)的面积。21.（本小题满分13分）在平面直角坐标系xOy中，F为抛物线C:y²=4x的焦点，P为C上一动点，过点P作抛物线C的准线的垂线，垂足为M。直线l垂直于线段MP，且交抛物线C于A,B两点。(1)求证：|PA|=|PB|；(2)设△APB的面积为S，求S的最小值。试卷答案1.B2.C3.D4.B5.B6.A7.C8.B9.B10.B11.-612.1/913.(-∞,-1)∪(3,+∞)14.(-2,-3);415.2*(1/2)^(n-1)或2^(3-n)16.解析：(1)函数f(x)的对称轴为x=a。要在区间(1,+∞)上单调递增，需a≤1。故a∈(-∞,1]。(2)方程f(x)=0在(0,2)上有解，即Δ=4a²-8≥0且f(0)=2≥0且f(2)=4-4a+2≥0且0<-a/2<2。解得a∈(-1/2,1]。17.解析：(1)由2bc=ac+ab得c=a+b。由余弦定理c²=a²+b²-2ab*cosA，代入c=a+b和cosA=1/2，得(a+b)²=a²+b²-ab。化简得ab=b²。在△ABC中，b≠0，故a=b。又cosA=1/2，且A∈(0,π)，所以A=π/3。由a=b及A=π/3，得B=π/3。(2)由(1)知a=b=√3。又A=π/3，所以sinA=√3/2。△ABC的面积S=1/2*ab*sinA=1/2*√3*√3*√3/2=3√3/4。18.解析：(1)设{aₙ}的公差为d，{bₙ}的公比为q。由a₁=1,a₃=1+2d,b₁=1,b₃=q²，且a₃+b₃=8，得1+2d+q²=8。由a₅=1+4d,b₅=q⁴，且a₅+b₅=14，得1+4d+q⁴=14。联立方程组{1+2d+q²=8,1+4d+q⁴=14}。由第一式得q²=7-2d。代入第二式得1+4d+(7-2d)²=14。化简得1+4d+49-28d+4d²=14。即4d²-24d+35=0。解得d=5/2或d=7/2。当d=5/2时，q²=7-5=2，q=±√2。当d=7/2时，q²=7-7=0，q=0（舍去，因为b₄=q³=0，与b₄=16矛盾）。故d=5/2,q=√2。则aₙ=1+(n-1)*5/2=5/2*n-3/2。bₙ=1*(√2)^(n-1)=(√2)^(n-1)。(2)cₙ=aₙ+bₙ=5/2*n-3/2+(√2)^(n-1)。求和Sₙ=Σ(5/2*n-3/2)+Σ(√2)^(n-1)。前者是等差数列求和，后者是等比数列求和。Sₙ=5/2*Σn-3/2*n+[1-(√2)ⁿ]/(1-√2)=5/2*[n(n+1)/2]-3/2*n+[(√2)ⁿ-1]/(√2-1)=5/4*n(n+1)-3/2*n+(√2+1)*[(√2)ⁿ-1]。19.解析：(1)g(x)的定义域为x≥-1。g'(x)=1/(2√(x+1))-m。函数g(x)在(-1,+∞)上单调递增，需g'(x)≥0在(-1,+∞)上恒成立。即1/(2√(x+1))-m≥0在(-1,+∞)上恒成立。m≤1/(2√(x+1))在(-1,+∞)上恒成立。因为y=√(x+1)在(-1,+∞)上单调递增，所以y=1/(2√(x+1))在(-1,+∞)上单调递减。当x→-1时，y→+∞。故m≤0。(2)由(1)知m=0。此时g(x)=√(x+1)。g(x)在(-1,+∞)上单调递增。对于任意x₁,x₂∈(-1,+∞)，若x₁<x₂，则g(x₁)<g(x₂)。|g(x₁)-g(x₂)|=g(x₂)-g(x₁)=√(x₂+1)-√(x₁+1)=[(x₂+1)-(x₁+1)]/[√(x₂+1)+√(x₁+1)]=(x₂-x₁)/[√(x₂+1)+√(x₁+1)]。要使|g(x₁)-g(x₂)|<2，需(x₂-x₁)/[√(x₂+1)+√(x₁+1)]<2。即x₂-x₁<2[√(x₂+1)+√(x₁+1)]。因为x₁,x₂∈(-1,+∞)，所以x₁+1>0,x₂+1>0。两边平方得(x₂-x₁)²<4[2(x₂+1)+2(x₁+1)+2√((x₂+1)(x₁+1))]。即(x₂-x₁)²<8(x₁+x₂+2+2√((x₂+1)(x₁+1))).整理得[(x₁+x₂)-2]²<8[2√((x₂+1)(x₁+1))+2]。这需要更强的条件。考虑原式x₂-x₁<2[√(x₂+1)+√(x₁+1)]。注意到√(x₂+1)+√(x₁+1)≥√2√((x₂+x₁)+2)=√2√(x₁+x₂+2)。当且仅当x₁=x₂时取等号。所以x₂-x₁<2√2√(x₁+x₂+2)。要使此式对任意x₁,x₂∈(-1,+∞)恒成立，需要x₁+x₂+2>0恒成立，且x₁+x₂>0恒成立，即x₁+x₂>-2恒成立。设t=x₁+x₂，t∈(-2,+∞)。则原式变为t<2√2√(t+2)。令h(t)=t-2√2√(t+2)(t>-2)。h'(t)=1-2√2/[2√(t+2)]*1/2√t=1-√2/√(t(t+2))。令h'(t)=0得t=2(t=-1舍去)。当-2<t<2时，t<2，√t<√2，√(t+2)<√4=2，所以t<2√2√(t+2)，即h(t)<0。当t>2时，t>2，√t>√2，√(t+2)>2，所以t>2√2√(t+2)，即h(t)>0。故h(t)<0在(-2,2)上成立。即t<2√2√(t+2)在(-2,2)上恒成立。因此，对于任意x₁,x₂∈(-1,+∞)，总有|g(x₁)-g(x₂)|<2的充要条件是x₁+x₂>-2恒成立。由于x₁,x₂∈(-1,+∞)，x₁+x₂一定大于-2。所以当m=0时，对于任意x₁,x₂∈(-1,+∞)，总有|g(x₁)-g(x₂)|<2。20.解析：(1)将y=kx+b代入x²/9+y²/4=1，得x²/9+(kx+b)²/4=1。整理得(9k²+4)x²+18kbx+9b²-36=0。设A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)。由韦达定理得x₁+x₂=-18kb/(9k²+4)。由中点坐标公式得x₁+x₂=2。所以-18kb/(9k²+4)=2。即-9kb=9k²+4。又直线l过点(1,2)，所以2=k*1+b，即k+b=2。联立方程组{-9kb=9k²+4,k+b=2}。由第二式得b=2-k。代入第一式得-9k(2-k)=9k²+4。化简得-18k+9k²=9k²+4。所以-18k=4。解得k=-2/9。代入k+b=2得-2/9+b=2。解得b=20/9。(2)△OAB的面积S=1/2*|x₁y₂-x₂y₁|。因为A,B在直线l:y=kx+b(k=-2/9,b=20/9)上，所以y₁=(-2/9)x₁+20/9,y₂=(-2/9)x₂+20/9。代入面积公式得S=1/2*|x₁[(-2/9)x₂+20/9]-x₂[(-2/9)x₁+20/9]|=1/2*|-2/9(x₁x₂)+20/9(x₁-x₂)|=10/9*|-2/9(x₁x₂)+(x₁-x₂)|。由(1)知x₁+x₂=2，x₁x₂=(9b²-36)/(9k²+4)=(9(20/9)²-36)/(9(-2/9)²+4)=(400-324)/(4+4)=76/8=19/2。代入S得S=10/9*|-2/9*(19/2)+(x₁-x₂)|=10/9*|-19/9+(x₁-x₂)|=10/9*|(x₁-x₂)-19/9|。由弦长公式|AB|=√(1+k²)*|x₁-x₂|=√[1+(-2/9)²]*|x₁-x₂|=√(85/81)*|x₁-x₂|=√85/9*|x₁-x₂|。原点O到直线l:-2x/9+y-20/9=0的距离d=|(-2*0)/9+0-20/9|/√((-2/9)²+1²)=20/9/√(4/81+1)=20/9/√(85/81)=20/9*9/√85=20/√85=20√85/85=4√85/17。所以S=1/2*|AB|*d=1/2*(√85/9*|x₁-x₂|)*(4√85/17)=1/2*(4/9*85/17)*|x₁-x₂|=10/9*|x₁-x₂|。比较S=10/9*|(x₁-x₂)-19/9|和S=10/9*|x₁-x₂|，可知S最小值在(x₁-x₂)-19/9=-(x₁-x₂)时取到，即2(x₁-x₂)=-19/9，x₁-x₂=-19/18。此时S_min=10/9*|-19/18|=10/9*19/18=190/162=95/81。另一种情况(x₁-x₂)-19/9=x₁-x₂，即19/9=0，不可能。所以S的最小值为95/81。（另一种解法：设O到AB的距离为d，AB的中点为M，则S=1/2*AB*d。OM垂直于AB，|OM|=2。|AB|=2√[4-(x₁+x₂)²/4]=2√[4-1]=2√3。所以S=1/2*2√3*d=√3*d。d为原点到直线y=-2/9x+20/9的距离，d=20√85/85。所以S=√3*(20√85/85)=20√255/85=4√85/17。上面计算S_min=95/81<4√85/17≈4.86/17≈0.28。所以S_min在OM垂直AB时取到。此时|AB|=2√(4-d²)，d为原点到直线y=-2/9x+20/9的距离。OM为原点到直线y=-2/9x+20/9的距离。OM=2。所以|AB|=2√(4-4/85)=2√(84/85)=4√(21/85)。此时S=1/2*4√(21/85)*(20√85/85)=40√(21/85)*(√85/85)=4√21/17。S_min=4√21/17。）21.解析：(1)抛物线C:y²=4x的焦点F为(1,0)，准线方程为x=-1。设P(x₀,y₀)，则y₀²=4x₀。M为P到准线的垂足，所以M(-1,y₀)。向量MP=(x₀-(-1),y₀-y₀)=(x₀+1,0)。直线l垂直于线段MP，所以直线l的方向向量为MP垂直的方向向量，即(0,-(x₀+1))或(0,x₀+1)。设直线l交C于A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)。直线l的斜率k_l=-(x₀+1)。直线l的方程为y-y₀=-(x₀+1)(x-x₀)。令y=y₁，得y₁-y₀=-(x₀+1)(x₁-x₀)，即y₁=-(x₀+1)x₁+x₀²+x₀+y₀。因为y₁²=4x₁，y₀²=4x₀。令y=y₂，得y₂-y₀=-(x₀+1)(x₂-x₀)，即y₂=-(x₀+1)x₂+x₀²+x₀+y₀。因为y₂²=4x₂。所以y₁=-(x₀+1)x₁+y₀²/4+y₀，y₂=-(x₀+1)x₂+y₀²/4+y₀。因为y₀²=4x₀，所以y₁=-(x₀+1)x₁+x₀+y₀，y₂=-(x₀+1)x₂+x₀+y₀。所以y₁-y₂=-(x₀+1)(x₁-x₂)。因为x₁≠x₂，所以-(x₀+1)≠0。两边同乘-1/(x₀+1)得(y₁-y₂)/(x₁-x₂)=1。即斜率k_AB=1。所以|PA|=|PB|。（另一种证法：向量PA=(x₁-x₀,y₁-y₀)，向量PB=(x₂-x₀,y₂-y₀)。因为A,B在C上，所以y₁²=4x₁,y₂²=4x₂。向量AP=(-x₀,-y₀)，向量BP=(-x₀,-y₀)。向量AP⋅向量PB=(-x₀)(-x₀)+(-y₀)(-y₀)=x₀²+y₀²=4x₀+x₀²=(x₀+2)²-4。向量AP⊥向量PB的充要条件是AP⋅PB=0。即(x₀+2)²-4=0。解得x₀=0或x₀=-4。由P(x₀,y₀)在C:y²=4x上，若x₀=0，则y₀=0，P(0,0)，此时A,B分别为(4,±4)，AB中点为(4,0)，MP垂直于AB，且|PA|=|PB|=4。若x₀=-4，则y₀²=-16，无解。所以x₀=0。此时P(0,0)，A,B为(4,±4)，AB中点为(4,0)，MP垂直于AB，且|PA|=|PB|=4。所以恒有|PA|=|PB|。(2)设AB中点为H，则H(1+x₀,y₀)。因为P(0,0)，所以PH垂直于AB。|PH|=√[(1+x₀-0)²+(y₀-0)²]=√[(1+x₀)²+y₀²]=√[1+2x₀+x₀²+y₀²]=√[1+2x₀+4x₀]=√[1+6x₀]。因为|PA|=|PB|，所以△APB为等腰三角形。底边AB所在直线