初升高数学衔接 专题09 基本不等式（优练）

预备预备新高一数学专题09基本不等式一．选择题（共10小题）1．（2025秋•银川期末）已知，则的最小值为（）A．0 B．2 C．6 D．82．（2026•河西区模拟）已知，，且，则的最大值为（）A．1 B． C． D．3．（2026•杭锦后旗模拟）设计用的材料制造某种长方体车厢（无盖），按交通规定车厢宽为，则车厢的最大容积是（）A． B． C． D．4．（2026春•香坊区月考）已知，，且，则的最小值为（）A． B．5 C．4 D．35．（2026春•信阳期中）的最小值为（）A．1 B．2 C．4 D．56．（2026•济南模拟）已知，，且，则的最小值为（）A． B．2 C． D．37．（2026•河南模拟）若，则的最小值为（）A．3 B．6 C．9 D．128．（2026•宣威市模拟）设，，且，则的最小值为（）A．8 B． C．10 D．9．（2026•武邑县模拟）已知正实数，满足，则的最小值为（）A．1 B． C． D．210．（2026•天津）设，则的最小值为（）A．10 B．9 C．8 D．6二．多选题（共4小题）（多选）11．（2026•模拟）下列说法正确的有（）A．的最小值是2 B．的最小值是2 C．的最小值是2 D．的最小值是4（多选）12．（2026春•方城县期末）下列命题中正确的是A．的最小值是2 B．当时，的最小值是4 C．当时，的最大值是5 D．若正数，满足，则的最小值为3（多选）13．（2026春•让胡路区期中）设正实数，满足，则（）A．有最大值4 B．有最大值 C．有最大值 D．有最大值（多选）14．（2026春•朝阳区月考）设，，下列说法正确的是（）A．若，则的最小值为1 B．恒成立 C．，恒成立 D．若，，且，则三．填空题（共4小题）15．（2025秋•天津期末）已知，，若，则的最大值为．16．（2026•涪城区模拟）若，，且，则的最小值为；17．（2026春•南京期末）若正实数，满足，则的最大值是．18．（2026春•深圳期中）已知，是正实数，且满足，则的最小值是．四．解答题（共6小题）19．（2025秋•广东期末）已知，，．（1）求的最大值；（2）求的最小值．20．（2026春•望都县期中）已知，均为正数，．（1）求的最小值；（2）求的最小值；（3）求的最小值．21．（2025秋•晋城期末）（1）已知，求的最小值；（2）求的最大值．22．（2025秋•白银期末）已知．（1）求的最大值；（2）求的最小值．23．（2025秋•共和县期末）已知，，且．（1）求的最大值；（2）求的最小值．24．（2025秋•黔南州期末）（1）已知，求的最小值；（2）已知，且，求的最小值．

一．选择题（共10小题）题号12345678910答案DCBCCDCDCB二．多选题（共4小题）题号11121314答案BDBCDBCBCD一．选择题（共10小题）1．【答案】【分析】结合基本不等式即可求解．【解答】解：因为，则，当且仅当，即时取等号．故选：．2．【答案】【分析】直接利用基本不等式求解即可．【解答】解：，，且，由基本不等式得到，即，当且仅当，即时，等号成立．的最大值为．故选：．3．【答案】【分析】设长方体长为，高为，依题意，可求得，利用基本不等式可求得，从而可得车厢的最大容积．【解答】解：设长方体长为，高为，则有，即，，即，解得，，．车厢的最大容积是．故选：．4．【答案】【分析】结合基本不等式即可求解．【解答】解：，，且，则，当且仅当时取等号．故选：．5．【答案】【分析】根据基本不等式求解即可．【解答】解：因为，所以，当且仅当，即时，等号成立，此时所求最小值为4．故选：．6．【答案】【分析】由已知结合基本不等式即可求解．【解答】解：因为，，且，由均值不等式可得，，当且仅当取等．故选：．7．【答案】【分析】先代数变形得，再利用基本不等式即可求解．【解答】解：因为，所以，，当，即时，等号成立，则的最小值为9．故选：．8．【答案】【分析】先通过已知条件用表示，再将目标函数转化为关于的表达式，换元后利用基本不等式求最小值．【解答】解：由，及，得，且．目标函数可化为：令，则，代入得：由基本不等式，，当且仅当即时取等号．故，即最小值为．故选：．9．【答案】【分析】先根据条件，变形为，然后用常数代换思想，利用均值不等式求解最小值．【解答】解：已知，则，，当且仅当时，即时取等号，所以最小值为．故选：．10．【答案】【分析】展开算式，然后根据基本不等式求解最值即可．【解答】解：，当且仅当时，等号成立，，符合题意．故选：．二．多选题（共4小题）11．【答案】【分析】根据基本不等式逐项判断．【解答】解：对，当时，错误；对，，，则，，当且仅当，即时取等号，正确；对，，当且仅当，即时等号成立，但无实数解，因此错误；对，，，，当且仅当时取等号，正确．故选：．12．【答案】【分析】利用基本不等式，并结合其取等条件依次判断各个选项即可．【解答】解：对于，，当且仅当取等号，显然取等条件不成立，错误；对于，当时，，，当且仅当，即时取等号，正确；对于，当时，，当且仅当，即时取等号，正确；对于，，，，，当且仅当，即时取等号，正确．故选：．13．【答案】【分析】结合的条件，利用基本不等式并明确等号成立条件，分析各代数式的最值，逐一验证选项的正确性．【解答】解：由正实数，满足，分析各选项：分析选项，由基本不等式得，等号成立当且仅当即，故，无最大值，错误．分析选项：由基本不等式得，等号成立当且仅当，故有最大值，正确．分析选项，由（等号成立当且仅当，得，故，等号成立当且仅当，正确．分析选项，由（等号成立当且仅当，得，无最大值，错误．故选：．14．【答案】【分析】根据不等式的性质逐项判断即可．【解答】解：，则，当且仅当时取等号，故错误；，故正确；当时，，故正确；，，且，可得，即，解得，正确．故选：．三．填空题（共4小题）15．【答案】．【分析】根据基本不等式求解即可．【解答】解：因为，，所以，当且仅当，即时，等号成立．所以，故的最大值为．故答案为：．16．【分析】根据题意，分析可得，结合基本不等式的性质分析可得答案．【解答】解：根据题意，，，且，则，当且仅当时等号成立，则的最小值为8；故答案为：8．17．【答案】．【分析】利用基本不等式即可求最大值．【解答】解：因为正实数，满足，则由基本不等式可得，当且仅当取等号，所以的最大值是．故答案为：．18．【答案】2．【分析】根据条件，由，结合基本不等式求解即可．【解答】解：因为，是正实数，且满足，则，当且仅当且，即，时取等号，所以的最小值为2．故答案为：2．四．解答题（共6小题）19．【答案】（1）4；（2）．【分析】（1）根据基本不等式，即可求得答案．（2）根据基本不等式“1”的代换，即可求得答案．【解答】解：（1）因为，，所以，解得，当且仅当时取等号，所以的最大值为4．（2）因为，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为．20．【答案】（1）；（2）；（3）．【分析】（1）由条件等式通分结合基本不等式即可求解；（2）由基本不等式常数“1”的等价代换法即可计算求解；（3）由重要不等式结合（1）即可计算求解．【解答】解：（1）因为，均为正数，，所以，即，当且仅当时等号成立，所以，即的最小值为；（2）由题可得，当且仅当时等号成立，的最小值为；（3）由（1）得，当且仅当时等号成立，所以的最小值．21．【答案】（1）7；（2）．【分析】（1）根据基本不等式求解即可．（2）求出的范围，结合基本不等式求解即可．【解答】解：（1）因为，，当且仅当时，即时取等号，所以的最小值是7．（2）由题意知，解得，所以，当且仅当，即时取得等号，所以的最大值是．22．【答案】（1）；（2）12．【分析】（1）直接利用基本不等式求解即可；（2）利用“1”的代换，化简得到，展开后再利用基本不等式求解即可．【解答】解：（1）已知，根据基本不等式可得，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值为；（2）因为，所以，当且仅当且，即时，等号成立，所以的最小值为12．23．【答案】（1）．（2）5．【分析】（1）利用基本不等式直接求解的最大值；（2）通过“1的代换”结合基本不等式求解分式和的最小值．【解答】解：（1）因为，，所以，．由基本不等式，且，得：．当且仅当时等号成立，结合，解得，（满足，．故