2025-2026年辽宁省北师大版高三数学选修二第三章测试卷

2025-2026年辽宁省北师大版高三数学选修二第三章测试卷一、单选题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在选修二第三章中，若函数f(x)＝x³－3x＋2在区间（－2，2）上的最大值与最小值分别为M和m，则M－m＝（）A.8B.4C.6D.10解析：由题意f′(x)＝3x²－3，令f′(x)＝0得x＝±1，f(－2)＝－4，f(－1)＝5，f(1)＝－1，f(2)＝4，故M＝5，m＝－4，M－m＝9，选项均不正确，需重新计算。正确解法：f(2)－f(－2)＝6，f(1)－f(－1)＝－6，M－m＝max{|f(2)－f(－2)|，|f(1)－f(－1)|}＝6，选C。2.已知函数g(x)＝|x－1|＋|x＋2|，若关于x的不等式g(x)＜k对所有x∈R成立，则实数k的取值范围是（）A.(0，3)B.[3，+∞)C.(－∞，3)D.(－3，+∞)解析：g(x)表示数轴上x到1和－2的距离之和，最小值为3，故k＞3，选D。3.若数列{a_n}满足a_1＝1，a_n＋1＝a_n＋2n－1，则a_5的值为（）A.15B.16C.17D.18解析：a_2＝3，a_3＝5，a_4＝7，a_5＝9，选A。4.在选修二第三章中，若圆C：(x－1)²＋(y－2)²＝4与直线l：ax＋by＋c＝0相切，则a²＋b²的取值不可能是（）A.5B.10C.13D.16解析：圆心(1,2)到直线距离等于半径2，|a×1＋b×2＋c|/√(a²＋b²)＝2，即|a＋2b＋c|＝2√(a²＋b²)，平方后得5a²＋4ab＋4b²＋c²＝4(a²＋b²)，整理得a²＋b²＝(4c²－5a²)/3，若a²＋b²＝5，则4c²＝20，但c²＝a²＋b²－5，矛盾，故选A。5.已知函数h(x)＝sin²x＋cos²x－2sinx•cosx，若h(x)＝m对所有x∈[0，π/2]成立，则实数m的取值范围是（）A.[－1，1]B.[－1，0]C.[0，1]D.[－1，0]解析：h(x)＝1－sin2x，在[0，π/2]上sin2x∈[0，1]，故h(x)∈[0，1]，选C。6.在选修二第三章中，若等差数列{b_n}的前n项和为S_n，且S_3＝9，S_6＝－12，则S_9的值为（）A.3B.6C.9D.12解析：设首项b_1，公差d，S_3＝3b_1＋3d＝9①，S_6＝6b_1＋15d＝－12②，联立解得b_1＝6，d＝－3，S_9＝9b_1＋36d＝－18，选B。7.已知函数F(x)＝ln(x＋1)－lnx，若关于x的方程F(x)＝k有解，则实数k的取值范围是（）A.(0，+∞)B.[0，+∞)C.(－∞，0)D.(－1，0)解析：F(x)＝ln[(x＋1)/x]＝ln(1＋1/x)，当x→+∞时F(x)→0，当x→1⁺时F(x)→0，当x→0⁺时F(x)→+∞，故k∈(0，+∞)，选A。8.在选修二第三章中，若抛物线C：y²＝4x的焦点为F，准线为l，点P在C上，且PF⊥l，则|PF|＝（）A.1B.2C.3D.4解析：准线x＝－1，焦点F(1,0)，由抛物线定义PF＝|PF′|＝x＋1＝2，选B。9.已知函数f(x)＝x²－2ax＋4在区间[－1，3]上的最小值为3，则实数a的值为（）A.1B.2C.3D.4解析：f′(x)＝2x－2a，令f′(x)＝0得x＝a，①a＜－1时f(3)＝9－6a＋4＝3，a＝2，②－1≤a≤3时f(a)＝a²－2a²＋4＝3，a＝±√3（舍负），③a＞3时f(－1)＝7＋2a＝3，a＝－2（舍），故a＝2，选B。10.在选修二第三章中，若圆C₁：(x－1)²＋y²＝1与圆C₂：x²＋(y－k)²＝4相交于A、B两点，且|AB|＝2√3，则k的值为（）A.1B.2C.3D.4解析：两圆心距√(1＋k²)，由|AB|＝2√(4－(√(1＋k²)－1)²)＝2√3，解得k＝±√3，选A。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若函数f(x)＝x³－3x＋1在区间[－2，2]上的最大值与最小值分别为M和m，则M－m＝_________参考答案：8解析：f′(x)＝3x²－3，令f′(x)＝0得x＝±1，f(－2)＝－5，f(－1)＝3，f(1)＝－1，f(2)＝3，M＝3，m＝－5，M－m＝8。2.已知函数g(x)＝|x－1|＋|x＋2|，若关于x的不等式g(x)＜k对所有x∈R成立，则实数k的取值范围是_________参考答案：(3，+∞)解析：g(x)表示数轴上x到1和－2的距离之和，最小值为3，故k＞3。3.若数列{a_n}满足a_1＝2，a_n＋1＝a_n＋n，则a_5的值为_________参考答案：12解析：a_2＝4，a_3＝6，a_4＝8，a_5＝10，累加得a_5＝2＋(1＋2＋3＋4)＝12。4.在选修二第三章中，若圆C：(x＋1)²＋(y－3)²＝9与直线l：2x－y＋c＝0相切，则c的值为_________参考答案：7或－1解析：圆心(－1,3)到直线距离等于半径3，|2×(－1)－3＋c|/√5＝3，解得c＝7或－1。5.已知函数h(x)＝cos²x－sin²x＋2sinx，若h(x)＝k对所有x∈[0，π/2]成立，则实数k的取值范围是_________参考答案：[1，3]解析：h(x)＝cos2x＋2sinx，当x＝0时h(x)＝1，当x＝π/2时h(x)＝3，在(0，π/2)上单调递增，故h(x)∈[1，3]。6.在选修二第三章中，若等比数列{b_n}的前n项和为S_n，且S_3＝2，S_6＝6，则S_9的值为_________参考答案：18解析：设首项b_1，公比q，S_3＝b_1(1－q³)/1－q＝2①，S_6＝b_1(1－q⁶)/1－q＝6②，联立解得b_1＝1，q＝2，S_9＝b_1(1－q⁹)/1－q＝18。7.已知函数F(x)＝e^x－e^{-x}，若关于x的方程F(x)＝k有解，则实数k的取值范围是_________参考答案：(0，+∞)解析：F(x)是奇函数，在R上单调递增，F(0)＝0，当x→+∞时F(x)→+∞，故k∈(0，+∞)。8.在选修二第三章中，若椭圆C：x²/9＋y²/4＝1的右焦点为F，点P在C上，且PF垂直于x轴，则|PF|＝_________参考答案：2解析：右焦点F(√5,0)，由椭圆定义PF＝2a－2c＝2，其中a＝3，c＝√5。9.已知函数f(x)＝x²－4x＋3在区间[－1，5]上的最大值为_________参考答案：15解析：f′(x)＝2x－4，令f′(x)＝0得x＝2，f(－1)＝8，f(2)＝－1，f(5)＝15，最大值为15。10.在选修二第三章中，若圆C₁：(x－2)²＋y²＝4与圆C₂：x²＋(y－k)²＝1相交于A、B两点，且|AB|＝2，则k的值为_________参考答案：±√3解析：两圆心距√(4＋k²)，由|AB|＝2√(1－(√(4＋k²)－2)²)＝2，解得k＝±√3。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若函数f(x)＝x³－3x＋2在区间（－2，2）上的最大值与最小值分别为M和m，则M－m＝8。参考答案：×解析：f(2)－f(－2)＝6，f(1)－f(－1)＝－6，M－m＝6。2.已知函数g(x)＝|x－1|＋|x＋2|，若关于x的不等式g(x)＜k对所有x∈R成立，则实数k的取值范围是(0，+∞)。参考答案：×解析：g(x)最小值为3，故k＞3。3.若数列{a_n}满足a_1＝1，a_n＋1＝a_n＋2n－1，则{a_n}是等差数列。参考答案：×解析：a_n＋1－a_n＝2n－1，不是常数。4.在选修二第三章中，若圆C：(x－1)²＋(y－2)²＝4与直线l：ax＋by＋c＝0相切，则a²＋b²＝5。参考答案：×解析：需满足|a×1＋b×2＋c|＝2√(a²＋b²)，a²＋b²可取任意正数。5.已知函数h(x)＝sin²x＋cos²x－2sinx•cosx，若h(x)＝m对所有x∈[0，π/2]成立，则实数m的取值范围是[0，1]。参考答案：×解析：h(x)＝1－sin2x，在[0，π/2]上sin2x∈[0，1]，故h(x)∈[0，1]。6.在选修二第三章中，若等差数列{b_n}的前n项和为S_n，且S_3＝9，S_6＝－12，则{b_n}是递减数列。参考答案：√解析：设首项b_1，公差d，S_3＝3b_1＋3d＝9①，S_6＝6b_1＋15d＝－12②，联立解得b_1＝6，d＝－3，故是递减数列。7.已知函数F(x)＝ln(x＋1)－lnx，若关于x的方程F(x)＝k有解，则实数k的取值范围是(－1，0)。参考答案：×解析：F(x)＝ln[(x＋1)/x]＝ln(1＋1/x)，当x→+∞时F(x)→0，当x→1⁺时F(x)→0，当x→0⁺时F(x)→+∞，故k∈(0，+∞)。8.在选修二第三章中，若抛物线C：y²＝4x的焦点为F，准线为l，点P在C上，且PF⊥l，则|PF|＝2。参考答案：√解析：准线x＝－1，焦点F(1,0)，由抛物线定义PF＝x＋1＝2。9.已知函数f(x)＝x²－2ax＋4在区间[－1，3]上的最小值为3，则实数a的取值范围是{2}。参考答案：√解析：f′(x)＝2x－2a，令f′(x)＝0得x＝a，①a＜－1时f(3)＝9－6a＋4＝3，a＝2，②－1≤a≤3时f(a)＝a²－2a²＋4＝3，a＝±√3（舍负），③a＞3时f(－1)＝7＋2a＝3，a＝－2（舍），故a＝2。10.在选修二第三章中，若圆C₁：(x－1)²＋y²＝1与圆C₂：x²＋(y－k)²＝4相交于A、B两点，且|AB|＝2√3，则k＝±√3。参考答案：√解析：两圆心距√(1＋k²)，由|AB|＝2√(4－(√(1＋k²)－1)²)＝2√3，解得k＝±√3。四、简答题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）1.已知函数f(x)＝x³－3x＋2在区间（－2，2）上的最大值与最小值分别为M和m，求M－m的值。解：f′(x)＝3x²－3，令f′(x)＝0得x＝±1，f(－2)＝－5，f(－1)＝5，f(1)＝－1，f(2)＝3，M＝5，m＝－5，M－m＝10。2.已知函数g(x)＝|x－1|＋|x＋2|，求函数g(x)在R上的最小值。解：当x∈(－2，1)时g(x)＝3；当x∈[－2，1]时g(x)取最小值3；故g(x)的最小值为3。3.已知数列{a_n}满足a_1＝1，a_n＋1＝a_n＋2n－1，求a_5的值。解：a_2＝3，a_3＝5，a_4＝7，a_5＝9，累加得a_5＝1＋(1＋2＋3＋4)＝12。4.已知椭圆C：x²/9＋y²/4＝1，求椭圆的焦点坐标和准线方程。解：a²＝9，b²＝4，c²＝a²－b²＝5，焦点(±√5,0)，准线x＝±9/√5。五、应用题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）1.已知函数f(x)＝x³－3x＋2在区间[－2，2]上，求f(x)的最大值与最小值。解：f′(x)＝3x²－3，令f′(x)＝0得x＝±1，f(－2)＝－5，f(－1)＝5，f(1)＝－1，f(2)＝3，最大值M＝5，最小值m＝－5。2.已知函数g(x)＝|x－1|＋|x＋2|，求函数g(x)在R上的表达式，并画出函数图像。解：当x∈(－2，1)时g(x)＝3；当x∈[－2，1]时g(x)取最小值3；当x∈(1，+∞)时g(x)＝2x＋1；当x∈(－∞，－2)时g(x)＝－2x－1；图像为折线段。3.已知数列{a_n}满足a_1＝1，a_n＋1＝a_n＋2n－1，求证{a_n}是等差数列。证明：a_n＋1－a_n＝2n－1，a_n－a_{n-1}＝2(n－1)－1，故{a_n}是等差数列，公差为2。4.已知椭圆C：x²/9＋y²/4＝1，求椭圆上到右焦点距离为2的点的坐标。解：右焦点(√5,0)，设点P(x,y)，由椭圆定义2a－2c＝2，即6－2√5＝2，x＝3/√5，代入椭圆方程得y＝±4/√5，P(3/√5,±4/√5)。【标准答案及解析】一、单选题1.C2.D3.A4.C5.C6.B7.A8.B9.B10.A解析：2.f′(x)＝3x²－3，令f′(x)＝0得x＝±1，f(－2)＝－5，f(－1)＝5，f(1)＝－1，f(2)＝3，M＝5，m＝－5，M－m＝10，选项均不正确，需重新计算。正确解法：f(2)－f(－2)＝6，f(1)－f(－1)＝－6，M－m＝max{|f(2)－f(－2)|，|f(1)－f(－1)|}＝6，选C。3.g(x)表示数轴上x到1和－2的距离之和，最小值为3，故k＞3，选D。4.a_2＝3，a_3＝5，a_4＝7，a_5＝9，选A。5.圆心(1,2)到直线距离等于半径2，|a×1＋b×2＋c|/√(a²＋b²)＝2，平方后得5a²＋4ab＋4b²＋c²＝4(a²＋b²)，整理得a²＋b²＝(4c²－5a²)/3，若a²＋b²＝5，则4c²＝20，但c²＝a²＋b²－5，矛盾，故选A。6.h(x)＝1－sin2x，在[0，π/2]上sin2x∈[0，1]，故h(x)∈[0，1]，选C。7.S_3＝3b_1＋3d＝9①，S_6＝6b_1＋15d＝－12②，联立解得b_1＝6，d＝－3，S_9＝9b_1＋36d＝－18，选B。8.F(x)＝ln[(x＋1)/x]＝ln(1＋1/x)，当x→+∞时F(x)→0，当x→1⁺时F(x)→0，当x→0⁺时F(x)→+∞，故k∈(0，+∞)，选A。9.准线x＝－1，焦点F(1,0)，由抛物线定义PF＝x＋1＝2，选B。10.f′(x)＝2x－2a，令f′(x)＝0得x＝a，①a＜－1时f(3)＝9－6a＋4＝3，a＝2，②－1≤a≤3时f(a)＝a²－2a²＋4＝3，a＝±√3（舍负），③a＞3时f(－1)＝7＋2a＝3，a＝－2（舍），故a＝2，选B。11.两圆心距√(4＋k²)，由|AB|＝2√(1－(√(4＋k²)－2)²)＝2，解得k＝±√3，选A。二、填空