高一物理（人教版）教案 必修二 第七章 万有引力与宇宙航行

第七章万有引力与宇宙航行

第1节行星的运动(强基课——逐点理清物理观念)

课标要求层级达标

1.了解人类对行星运动规律的认识历程，知道地心说和日心说。

通过史实.了解万有引学考层级

2.知道开普勒行星运动定律的内容.掌握行星运行的轨道特点和运动规律。

力定律的发现过程。

选考层级理解并能应用开普勒行星运动定律解答有关问题。

逐点清(一)开普勒定律

［多维度理解］

I.两种对立的学说

(1)地心说:地心说认为地球是宇宙的中心，是静止不动的,太阳、月球以及其他星体都绕地球运动。

(2)日心说旧心说认为太阳是静止不动的，地球和其他行星都绕太阳运动。

2.开普勒定律

开普勒所有行星绕太阳运动的轨道都是随

第一定律圆，太阳处在椭圆的一个焦点上

开普勒对任意一个行星来说，它与太阳的连

第二定律线在相等的时间内扫过的面积i瞳

所有行星轨道的半长轴的三次方跟

它的公转周期的二次方的比都相

开普勒等。其表达式为不攵,其中。代表椭

第三定律圆轨道的半长轴1代表公转周期，比

值k是一个对所有行星都蛔的常

量

［全方位练明］

I.判断下列说法是否正确。

⑴行星绕太阳沿椭圆轨道运动，太阳处在椭圆的中心。

（2）围绕太阳运动的行星的速率是不变的。（x）

⑶同一行星绕中心天体沿椭圆轨道运动，靠近中心天体时速度增人，远离中心天体时速度减小。（7）

（4）绕同一恒星运动的行星轨道的半长轴越长，行星的公转周期越长。（Y）

2.地球沿椭圆轨道绕太阳运行，月球沿椭圆轨道绕地球运行。下列说法正确的是（）

A.地球位于月球运行轨道的中心

B.地球在近日点的运行速度大于其在远日点的运行速度

C.地球与月球公转周期平方之比等于它们的运行轨道半长轴立方之比

D.相同时间内，地球与太阳连线扫过的面积等于月球与地球连线扫过的面积

解析:选B根据开普勒第一定律可知，地球位于月球椭圆轨道的一个焦点上,A错误:根据开普勒第二定律可

知.地球和太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等，所以地球在近日点的运行速度大于其在远日点的运行

速度,B正确:根据开普勒第三定律可知、所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比都相

等.但地球与月球不是绕同一个中心天体运动，不满足这一结论C错误:根据开普勒第二定律可知，对任意一个

行星而言,太阳与行星的连线在相等时间内扫过的面积相等,但地球与月球不是绕同一个中心天体运动，不满

足这一结论.D错误。

3.（2024•石家庄高一检测）关于天体运动，下列说法中不正确的是（）

A.同一行星沿椭圆轨道绕太阳运动，靠近太阳时速度增大,远离太阳时速度减小

B.太阳每天东升西落，这一现象说明太阳绕着地球运动

C.与日地距离相比,其他恒星离地球都十分遥远

D.绕同一天体运动的行星的轨道的半长袖越长，该行星的周期越长

解析:选B由开普勒第二定律可知，行星在靠近太阳时速度增大、远离太阳时速度减小.故A正确;太阳每天东

升西落，产生这种现象的原因是地球每天自西向东自转一周、故B错误;与日地距离相比,其他恒星离地球都十

分遥远，比日地间的距离大得多，故C正确;根据开普勒第三定律可知,绕同一中心天体运动的行星的轨道

的半长轴越长.该行星的周期越长.故D正确。

逐点清（二）开普勒第三定律的应用

［多维度理解］

1.模型构建

天体虽做椭圆运动，但它们的轨道一般接近圆。中学阶段我们在处理天体运动问题时，为简化运算，一般把天

体的迄动当作匀速圆周运动来研允椭圆的半长轴即为圆半径。

2.轨道半径与周期的关系

（1）在处理天体运动时，开普勒第三定律表述为:天体轨道半径，•的三次方跟它的公转周期7的二次方的比值

为常数，即叁=鼠据此可知,绕同一天体运动的多个天体，运动半径，•越大的天体,其周期越长。

（2）表达式左乂中的常数攵只与中心天体的质量有关。如研究行星绕太阳运动时，常数々只与太阳的质量有关,

研究卫星绕地球运动时，常数攵只与地球的质量有关。

3.适用规律

天体的运动遵循牛顿运动定律及匀速圆周运动规律,天体的运动与一般物体的运动在应用这两个规律上没有

区别。

［典例］（2024.陕西咸阳高一调研）哈宙彗星每76.1年环绕太阳一周,是人一生中唯一以裸眼可能看见两

次的彗星。哈雷彗星的轨道是一个很扁的椭圆，因英国天文学家哈雷首先测定其轨道数据并成功预言回归时

间而得名。用「表示哈雷彗星轨道半长轴，用欠表示地球轨道半径，则以下关系成立的是（）

A.^76.17?3B.r=76.1R

C.r=76.13/?2D.rD3=76.12/?3

【解析］哈雷彗星周期7>76.1年，地球绕太阳运动的周期7*2=1年.根据开普勒第三定律得m=导，解得

尸二76/28故选D。

I答案］D

［全方位练明］

1.（多选）下列关于行星运动的叙述中正确的是（）

A」l|开普勒第三定律,乂可知次值与/成正比

B.由开普勒第三定律去乂可知，/与升成正比

C.开普勒第三定律中的々值是由。与丁共同决定的

D.开普勒第三定律中的k值与"和T均无关

解析:选BD由开普勒第三定律可知|=攵中/与下成正比人值与。和7均无关.只与中心天体质量有关.B、

D正确。

2.太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳近似做圆周运动，其中火星轨道半长轴为1.524天文单

位（地球到太阳的平均距离为1个天文单位）。则火星公转一周约为（）

A.0.8年B.2年

C.3年D.4年

解析:选B由开普勒第三定律可得工=石,解得7火=2年.故A、C、D错误.B正确。

丁•火丁地

［课时跟踪检测］

（选择题1~8小题.每小题4分;10~11小题.每小题6分。本检测卷满分70分）

A级——学考达标

1.下列关于丹麦天文学家第谷对行星运动进行观测所记录的数据的说法正确的是（）

A.这些数据在测量记录时误差相当大

B.这些数据说明太阳绕地球运动

C.这些数据与以行星绕太阳做匀速圆周运动为模型得到的结果相吻合

D.这些数据与以行星绕太阳做椭圆运动为模型得到的结果相吻合

解析:选D开普勒根据第谷的观测数据整理得出行星运动定律.说明数据误差很小，这些数据说明地球绕太

阳运动.且与以行星绕太阳做椭圆运动为模型得到的结果相吻合.故选D。

2.下列说法符合开普勒对行星绕太阳运动的描述的是（）

A.行星绕太阳运动的轨道是椭圆，太阳在椭圆的一个焦点上

B.所有的行星都在同一椭圆轨道上绕太阳运动

C.行星从近日点向远日点运动时，速率逐渐增大

D.离太阳越远的行星，公转周期越短

解析:选A由开普勒定律可知.所有行星都在各自的椭圆轨道上运行.太阳位于这些椭圆的一个焦点上，且满

足去"，离太阳越远的行星,公转周期越长,故A正确,B、D错误;由开普勒第二定律可知，行星由近日点向远日

点运动时,速率逐渐减小,C错误。

3.（2024・潍坊学考检测）如图是我国首颗太阳探测科学技术试验卫星“羲和号”绕太阳运动的椭圆轨道示意图，

其中Fi、B是椭圆的两个焦点，。是椭圆的中心。若"羲和号''卫星经过P点的速率大于经过。点的速率，则

可判断太阳位于（）

A.Fi点BE点

C.O点D.QD点

解析:选A根据开普勒第一定律可知「羲和号”卫星绕太阳运动的轨道为椭圆.太阳位于椭圆的一个焦点上，

根据开普勒第二定律可知J羲和号”卫星在近日点的速度大于在远日点的速度，即P点为近日点，。点为远日

点,可知太阳位于R点。故选A。

4.（2024•江苏南通高一阶段练习）如图所示，八大行星沿椭圆轨道绕太阳公转，下列说法正确的是（）

A.土星比地球的公转周期小

B.火星绕太阳运行过程中，速率不变

C.太阳处在八大行星的椭圆轨道的•个公共焦点上

D.地球和土星分别与太阳的连线在相同时间内扫过的面积相等

解析:选C根据开普勒第三定律堤斗可知，由于土星的轨道半长轴大于地球的轨道半长轴.则土星比地球的

公转周期大，故A错误油于火星绕太阳的运行轨道为椭圆，根据开普勒第二定律可知，火星绕太阳运行过程中,

速率发生变化，故B错误:根据开普勒第一定律可知、太阳处在八大行星的椭圆轨道的一个公共焦点上.故C正

确:根据开普勒第二定律可知.同一行星与太阳的连线在相同时间内扫过的面积相等.但地球和土星分别与太

阳的连线在相同时间内扫过的面积不相等.故D错误。

5.（2024.郑州高一检测）土星有一个显著的行星环系统，主要成分是冰的微粒和较少数的岩石块以及尘土。若

环内有到土星表面距离分别为/『31232km和/22=50447km的两块石块，围绕土星做匀速圆周运动的周期

之比为。：T2=\：1.33UVL33l=l.lo则土星的半径约为（）

A.54268kmB.60268km

C.74268kmD.80268km

解析:选B设土星半径为R,对距离土星表面高度分别为A,和色的两块石块,根据开普勒第三定律有

四婴二四婴、代入数据得R=6（）268km,故选B。

丁172

6.两颗卫星绕着同一行星做圆周运动。已知卫星$的轨道半径是1.2x107m,周期是8.0xl（）6s。卫星S2的轨

道半径是3.0x106m,则S2的周期是（）

A.1.0x106sB.2.0XI06S

C.3.2X|07SD.6.4X107S

解析:选A两颗卫星绕着同一行星做圆周运动，由开普勒第三定律可得/二鸟，解得A=L0xl（）6s,故选Ao

UT2

7.（2024•重庆北陪高一阶段练习）（多选）如图所示，海王星绕太阳沿椭圆轨道运动,P为近日点,Q为远日点,M、

N为轨道短轴的两个端点,运行的底期为7；）,若只考虑海王星和太阳之间的相互作用，则海王星从尸经过M、

。到N的运动过程中（）

A.海王星运行轨道半长轴的三次方与其运行周期的平方之比等于月球运行轨道半长轴的三次方与其运行周

期的平方之比

B.Q点的速率小于P点的速率

C.从P到M所用时间小于;式）

D.从M到。所用时间等于;7。

4

解析:选BC海王星运行围绕的中心天体是太阳，而月球运行围绕的中心天体是地球.中心天体不同,运行轨

道半长轴的三次方与其运行周期的平方之比就不同,故A错误;由开普勒第二定律（面积定律）知.海王星在Q

点的速率小于P点的速率，故B正确；海王星从P到Q的时间为幼o.海王星在段的速度大小大于在MQ

段的速度大小，则海王星在PM段的时间小于在MQ段的时间，所以海王星从〜到M所用的时间小于［几从M

到Q所用的时间大于（公,故C正确D错误。

8.著名科学家钱学森同志是我国发展“两弹一星”的元勋功臣。1980年10月14日，中国科学院紫金山天文台

发现了一颗绕太阳运行的小行星,2001年12月21日,经国际小行星中心和国际小行星命名委员会批准，这颗

小行星被命名为“钱学森星”,以表彰这位“两弹一星”的功臣对我国科技事业做出的卓越贡献。若将地球和

“钱学森星”绕太阳的运动都看成匀速圆周运动，它们的运行轨道如图所示。已知“钱学森星''绕太阳运行一周

的时间约为3.4年，设地球绕太阳运行的轨道半径为尺则“钱学森星”绕太阳运行的轨道半径约为（）

钱学森星

厂I'

；摩机地球；

；'、、；

\'、…//

A.RV34B.RA/3?4

C.RV1L56D.RD.A/1L567?

解析:选C根据开普勒第三定律，有节解得R钱二昼R=VH京R故C正确。

9.（12分）（选自粤教版教材“讨论与交流”）某行星在近日点到太阳的距离为外在远FI点到太阳的距离为〃，过近

日点时行星的速率为以过远乜点时的速率叫约为多少?（提示:计算足够短的时间内行星与太阳连线扫过的

面积）

解析:取极短时间△/,由开普勒第二定律可知,太阳与行星的连线在A/时间内扫过的面积相等，有

|d-va-Ar=1/?-v/>-A/o

解得卅二华O

b

答案:警

b

B级——选考进阶

10.（2024•昆明高一检测）假如某天地球加速后在新的椭圆轨道上绕太阳运动，地球到太阳的最近距离仍为R（7?

为加速前地球绕太阳做圆周运动时与太阳间的距离）,地球的公转周期变为8年,则在该轨道上地球距太阳的

最远距离为（）

A.2RBAR

C.7RD.8A

解析:选C假设在新的椭圆轨道上地球距太阳的最远距离为八则其半长轴为所然.根据开普勒第三定律可

得胃=果，其中地球做圆周运动时的周期为T0=l年.在椭圆轨道运动时的周期为7=8年，解得尸7尺故选Co

II.如图所示，某人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，其轨道半径为月球绕地球运转半径的今设月球绕地球

运动的周期为27天，则此卫星的运转周期大约是（）

A.沃B.沃

C.1天D.9天

解析:选C由题意有「卫二3月1月=27天.由开普勒第三定律工二?4可得丁卫二1天,故选项C正确。

947月

12.（14分）（2024.重庆万州高一阶段练习）如图所示为火星探测器“天问一号”从地球公转轨道进入火星公转轨

道示意图。第一步，用火箭对探测器进行加速，使探测器脱离地球引力作用;第二步，在P点短时间内对探测器

进行加速,使探测器进入霍曼转移轨道，然后探测器在太阳引力作用下沿霍曼转移轨道运动到。点与火星相

遇。探测器从P点运动到。点的轨迹为半个椭圆，椭圆的长轴两端分别与地球公转轨道、火星公转轨道相

切于P、。两点。已知地球绕太阳的公转周期是1年,地球、火星绕太阳公转的轨道可视为圆轨道，火星的轨

道半径是地球的1.5倍,、/正=12/m=1.1。求：

（1）火星公转周期；

（2）探测器从P点运动到。点所用的时间。（结果以年为单位,保留两位有效数字）

R3R3

解析:口）根据开普勒第三定律可知骂二*，又由题意知R火=1.5R地，

丁他丁火

解得r火亭年=1.8年。

（2）根据开普勒第三定律可知

/L5R地+R地\3

夫地］——）

7£一TPQ2

解得探测器从2点运动到Q点所用的时间

六，也q等年=0.69年。

答案:⑴1.8年(2)0.69年

第2节万有引力定律（赋能课——精细培优科学思维）

课标要求层级达标

1.知道万有引力定律的内容、表达式和适用范围。

学考层级

2.知道万有引力定律公式中’的物理意义.了解引力常量Go

知道万有引力定律。

1.理解万有引力定律的推导过程。

选考层级

2.会用万有引力定律解决简单的引力计算问题。

一、行星与太阳间的引力

引力规律

太BF对行星

太阳对不同行星的引力,与行星的质量成正比，与行星和太阳间距离的二次方成反比，即尸8/

的引力

行星对太阳

行星对太阳的引力与太阳的质量成正比，与行星和太阳间距离的二次方成反比，即P'8等

的引力

太阳与行星太阳与行星间引力的大小与太阳的质量、行星的质量成正比,与两者距离的二次方成反比，即

间的引力片（早右为比例系数，其大小与太阳和行星无关，引力的方向沿二者的连线

［情境思考।

为什么在得出太阳对行星的引力与行星的质量成正比，与行星和太阳间距离的二次方成反比后就能得到行星

对太阳的引力与太阳的质量成正比，与太阳和行星的距离的二次方成反比呢？

提示:太阳对行星的引力和行星对太阳的引力是一对作用力与反作用力，在引力的存在与性质上，行星和太阳

的地位是完全相当的。

二、月一地检验

1.检验目的:地球绕太阳运动、月球绕地球运动的力与地球对树上苹果的吸引力是否为同一种性质的力。

2.检验方法

(I)假没地球与月球间的作用力和太阳与行星间的作用力是同一种力，它们的表达式也应该满足片屋詈。

⑵根据牛顿第二定律，月球绕地球做圆周运动的向心加速度。产乙=G?(式中加地是地球质量/是地球中心

吗］一产

与月球中心的距离)。

(3)假设地球对苹果的吸引力也是同一种力，同理可知,苹果的自由落体加速度a式中m地是地球

的质量,R是地球中心与苹果间的距离)。

(4。•4，由于k60凡所以跑二七。

a苹产a苹60々

3.检验结论:已知自由落体加速度g为9.801屎即a乎=9.8选;月、地中心距离尸3.8x1m,月球公转周期为

27.3d,约2.36x106s,即aJJ=2.69X10?m/s?厕」可知，计算结果与预期符合得很好。

a平3643

这表明:地面物体所受地球的引力、月球所受地球的引力，与太阳、行星间的引力遵从相同的规律。

三、万有引力定律

1.内容:自然界中任何两个物体都相互吸出，引力的方向在它们的装上，引力的大小与物体的质量科和"72的

乘积成正比、与它们之间距离，•的二次方成反比。

2.公式/二绊詈。

3.引力常量:式中G叫作引力常量.大小约为6.67xlO"N・m2/k时它是由英国物理学家卡文迪什在实验室里首

先测出的,该实验同时也验证了万有引力定律。

［情境思考I

如图所示,图甲为两个靠近的人，图乙为行星围着太阳运行，图丙为我国的第一颗人造卫星“东方红一号”

围绕地球运行。请思考下列问题：

(I)任意两个物体之间都存在万有引力吗？

(2)为叶么通常两个人之间感受不到万有引力?而太阳对行星(地球对人造卫星)的引力可以使行星(人造卫星)

围绕太阳(地球)运转？

(3)地球对人的万有引力与人对地球的万有引力大小相等吗？

提示:口)任意两个物体之间都存在万有引力。

(2)由于人的质量很小,两个人之间的万有引力很小，一般感受不到;但天体质量很大，天体间的引力很大，对天

体的运动起决定作用。

(3)相等。它们是一对相互作用力。

强化点(一)对行星与太阳间引力的理解

任务驱动

如图所示，太阳系内，八大行星围绕太阳沿着各自的轨道运动。

(1)是什么原因使行星绕太阳运动？

(2)在推导太阳与行星间的引；t时.我们对行星的运动是怎么简化处理的?用了哪些知识？

提示:(1)太阳对行星的引力使行星绕太阳运动。

(2)将行星绕太阳的椭圆运动看成匀速圆周运动。在推导过程中，用到了向心力公式、匀速圆周运动中

线速度和周期的关系、开普勒第三定律及牛顿运动定律。

［要点释解明］

I.模型简化

(1)将行星绕太阳的椭圆运动看成匀速圆周运动，太阳对行星的引力提供了行星做匀速圆周运引的向心力。

(2)

将天体看成质点,且质量集中在球心上。如图所示，设行星的质量为小,速度为匕行星运行轨道半径为二公转

周期为T。

2.推导过程

［题点全练清］

1.下列关于行星对太阳的引力的说法正确的是()

A.行星对太阳的引力与太阳对行星的引力是同一性质的力

B.行星对太阳的引力与太阳的质量成正比，与行星的质量无关

C.太阳对行星的引力大于行星对太阳的引力

D.行星对太阳的引力大小与太阳的质量成正比,与行星和太阳的距离成反比

解析:选A行星对太阳的引力与太阳对行星的引力是作用力和反作用力，是同一性质的力.遵循牛顿第三定

律.大小相等、大小与太阳和行星质量的乘积成正比.与行星和太阳的距离的二次方成反比.故A正确.B、C、

D错误。

A.太阳、行星彼此受到的引力是一对作用力与反作用力

B.太阳、行星彼此受到的引力是一对平衡力，合力等于0,太阳和行星都处于平衡状态

C.太阳、行星彼此受到的引力总是大小相等

D.公式中的G为比例系数，与太阳、行星均无关

解析:选B太阳对行星的引力与行星对太阳的引力是一对作用力与反作用力，不是平衡力，二者大小相等,故

A、C正确.B错误:公式中的G为比例系数.与太阳、行星均无关，故D正确。

强化点(二)对万有引力定律的理解

［要点释解明］

1/=度詈的适用条件

(1)严珞地说，万有引力定律只适用于真空中质点间的相互作用。

(2)两个质量分布均匀的球体或球壳间的相互作用，也可用万有引力定律计算，其中「是两个球体或球壳的球

心间的距离。

(3)如果两个物体间的距离远远人于物体本身的人小时，物体可看成质点，公式可近似适用，此时「为两物体质

心间的距离。

2.万有引力的四个特性

特性内容

万有引力不仅存在于太阳与行星、地球与月球之间，宇宙间任何两个有质量的物体之间都存在着

普遍性

这种相互吸引的力

两个有质量的物体之间的万有引力是一对作用力和反作用力,总是满足大小相等、方向相反，作用

相互性

在两个物体上

地面上的物体之间的万有引力一般比较小，与其他力比较可忽略不计，但在质量巨大的天体之间或

宏观性

天体与其附近的物体之间，万有引力起着决定性作用

两个物体之间的万有引力只与它们本身的质量和它们间的距离有关,而与它们所在空间的性质无

特殊性

关，也与周围是否存在其他物体无关

3.引力常量

(1)1798年，英国物理学家卡文迪什用“扭秤实验”(如图所示)比较准确地测出了G的数值。

⑵①通常取G=6.67xlOuN-m2/kg2o

②测定G值的意义：

a.证明了万有引力的存在；

b.使万有引力定律有了真正的实用为值。

［典例］如图所示,有一个质量为M、半径为R、密度均匀的大球体。从中挖去一个半径为g的小球体,

并在空腔中心放置一质量为，”的质点。求:大球体的剩余部分对该质点的万有引力大小。（已知质量分布均

匀的球壳对壳内物体的引力为零）

I解析I若将挖去的部分补上，则可知剩余部分球体对质点的万有引力大小等于完整的球体对质点的万有引

力大小与挖去部分的小球体对质点的万有引力大小之差，而挖去部分对质点的万有引力为零JU剩余部分球

体对质点的万有引力大小等于完整的球体对质点的万有引力大小。由题意知.质量分布均匀的球壳对壳内物

体的引力为零.故整个球体对质点的万有引力等于中间部分半径为5的球对质点的万有引力，设该部分球的质

量为则M三至震

3

根据万有引力定律可得七卷二嘿,

故大球体的剩余部分对该质点的万有引力大小为尸=嘤，方向由挖去部分的球心指向大球球心。

I答案I嗤

f思维建模I

“割补法’’在万有引力计算中的应用

一个质量均匀分布的球体与球外一个质点间的万有引力可以用公式尸X嘤直接进行计算.但当球体被

挖去一部分后，由于剩余部分形状不规则，公式G（整不再适用.此时可以用“割补法”求解万有引力。

（1）找到原来物体所受的万有引力、割去部分所受的万有引力、剩余部分所受的万有引力之间的关系。

（2）所割去的部分为规则球体，剩余部分不再为球体时适合应用“割补法”。若所割去部分不是规则球体，则不

适合应用“割补法”。

［题点全练清］

1.（多选）对于质量分别为孙和〃?2的两个物体间的万有引力的表达式4（尹詈，下列说法正确的是（)

A.公式中G是引力常量，它是由实验测得的，而不是人为规定的

B.当两物体间的距离「趋于零时，万有引力表达式不再适用

C.当有第三个物体放在恤、〃”之间时,，协和〃?2间的万有引力将增大

D.必和〃”所受的引力性质可能相同，也可能不同

解析:选AB公式中G是引力常量，它是由实验测得的.而不是人为规定的.故A正确;当物体间距离趋于零时,

物体就不能看成质点，因此万有引力表达式不再适用,故B正确:物体间万有引力的大小只与两物体的质量如、

3和两物体间的距离，•有关,与是否存在其他物体无关.故C错误:物体间的万有引力是一对作用力与反作用

力.是同种性质的力,且始终等大、反向、共线，故D错误。

2.2024年4月25口，“神舟十八号哦人飞船成功发射进入预定轨道，之后在地球引力作用下绕地球做匀速圆

周运动，已知地球的质量为M地球的半径为R,载人飞船的质量为纵离地面的高度为队引力常量为G,则地球

对载人飞船的万有引力大小为()

「MmB.喈

C衅D•嘿

解析:选A根据万有引力定律可知地球对载人飞船的万有引力大小为金啥宗.故选Ao

强化点(三)万有引力和重力的关系

［要点释解明］

1.万有引力和重力的关系

设地球的质量为M半径为RA处物体的质量为也则物体受到地球的引力为公喈,方向指向地心。，如图

所示。万有引力尸可分解为两个分力：

⑴物体随地球自转做圆周运动的向心力凡:方向垂直于自转轴。

(2)物体的重力mg:方向竖直向下，但不,定指向地心。

①在赤道上、两极点的重力方向指向地心；

②在其他位置的重力方向均不指向地心。

2.重力与纬度的关系

地面上物体的重力随纬度的升高而变大,故从赤道到两极重力加速度g逐渐增大。

重力和向心力在一条直线上,产二吊+"名

赤道上即^^="次6?+/咐所以

mg=Cr^-niRcD2

地球两

向心力为零，所以fng=F=G^-

极处

其他重力是万有引力的一个分力，重力的大

位置小拳重力的方向偏离地心

3.重力与高度的关系

由于地球的自转角速度很小，故地球自转带来的影响很小。

(I)在地面附近:〃归喈。

(2)距离地面"高度处"咫行为地球半径日为离地面〃高度处的重力加速度)。所以距地面越高，物

体的重力加速度越小，则物体所受的重力也越小。

［典例］假设地球可视为质量均匀分布的球体,已知地球表面重力加速度在两极的大小为go,在赤道的

大小为g,地球的半径为凡则地球的自转周期为()

A.2九B.2兀

79-9oyj9o-9

C.2\^至D.2兀

［解析］设地球的质量为M.质量为〃，的物体在两极所受地球的引力等于其所受的重力，有〃炒二喑，在

赤道.物体所受地球的引力等于其所受重力和向心力的合力，有〃?g+〃?答代啜，联立解得T=2H故B正

确。

［答案］B

［题点全练清］

I.假如地球的自转速度增大，下列说法正确的是

A.放在赤道地面上的物体所受的万有引力不变

B.放在两极地面上的物体重力变小

C.放在赤道地面上的物体的重力不变

D.“一昼夜”的时间不变

解析:选A地球的质量和半径都没有变化.由代曙可知.放在赤道地面上的物体所受的万有引力不变,A正

确;在两极地面上，物体转动所需的向心力为零，此时物体的重力与所受万有引力相等，故放在两极地面上的物

体的重力不变,B错误:地球的自转速度增大.由人二〃依乘可知，赤道地面上的物体随地球自转所需的向心力增

大.根据赤道上万有引力等于物体的重力和所需向心力的合力可知，万有引力不变时，放在赤道地面上的物体

的重力将减小,C错误;根据自转周期胃可知,自转角速度增大，则周期变小，即一昼夜的时间变小.故D错误。

2.（2024.成都高一检测了设地球自转周期为7；质量为例，引力常量为G,假设地球可视为质量均匀分布的球体,

半径为R。同一物体在南极和赤道水平面上静止时所受到的支持力之比为（）

A产B侬产

'GMT2-4TI2R3'GMT2+4H2R3

CGMT2-4TT2R3口GMT2+4n2R3

•GMT2'GMT2

解析:选A设物体质量为"7,在赤道上有嘿夕N=，靖凡可得入二喈椁枭，在南极有年二"N‘.联立可得

FN，_GMf2

-223、故选项A正确。

FNGMT-4n/?

［课时跟踪检测］

（选择题1〜8小题,每小题4分;10〜11小题.每小题6分。本检测卷满分70分）

A级——学考达标

1.关于行星运动定律和万有引力定律的建立过程，下列说法正确的是（）

A.开普勒通过天文仪器观察到行星绕太阳运动的轨道是椭圆

B.卡又迪什通过对几个球体之间万有引力的测量，得出了引力常量的数值

C.第谷通过严密的数学运算，得出了行星的运动规律

D.牛顿通过比较月球和近地卫星的向心加速度，对万有引力定律进行了“月一地检验”

解析:选B第谷经过多年的天文观测留下了大量的观测数据，开普勒通过分析这些数据.最终得出了行星的

运动规律,故A、C错误;牛顿发现了万有引力定律之后.第一次通过实验比较准确地测出引力常量的科学家

是卡文迪什，卡文迪什通过对几个球体之间万有引力的测量.得出了引力常量的数值，故B正确:牛顿通过比较

月球公转的向心加速度和地球表面的重力加速度，对万有引力定律进行了“月一地检验故D错误。

2.（2024•江苏南通高一检测）如图所示，两球间的距离为小两球的质量分布均匀，质量分别为柏、"⑵半径分别

为，」、4引力常量为G,则两球间的万有引力大小为（）

pGmxm2

'(H+rz+ro)2

解析:选D质量分布均匀的两个球体间的万有引力房学,「是两球心间的距离.即f赊，选项D

正确。

3.2024年4月25口,我国神舟十八号载人飞船成功发射，在飞船发射过程中，用〃表示飞船与地球表面的距

离方表示它受到的地球引力，下图能够正确描述F随h变化关系的图像是（）

解析:选D设地球半径为R根据万有引力定律可得地球对飞船的引力为金华夫.可知/随力的增大而减

小，但不是线性关系.故选Do

4.火星的质量约为地球质量的总半径约为地球半径的1则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力大

小的比值约为（）

A.0.4B.0.8

C.2.0D.2.5

解析:选A设火星的质量为V、半径为艮根据万有引力定律.依题意同一物体放在火星表面与地球表面所

受引力大小分别为丹二喈£=吗第则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力大小的比值约为F.:

F2=04故B、C、D错误,A正确。

5.（多选）对于万有引力的表达式尸二咤之下列说法正确的是（）

A.两个物体间的引力总是大小相等、方向相反

B.当两物体间的距离「趋于零时,万有引力趋于无穷大

C.如吴〃gm2,则物体1对物体2的引力大于物体2对物体1的引力

D.公式中的G是引力常量，其单位是N-m2/1<g2,它的数值是卡文迪什用扭秤在实验室首先测得的

解析:选AD根据牛顿第三定律可知.两个物体之间的引力是一对作用力与反作用力，总是大小相等、方向

相反，作用在两个不同的物体上，故A正确C错误:万有引力公式只适用于两个质点间引力的计算,物体间距离

趋于零时.物体不能再看成质点.此公式不再适用，所以得不到当两物体间的距离，•趋于零时.万有引力趋于无

穷大的结论.故B错误;万有引力公式产詈中的G为引力常量，其单位为Nm2/kg，它的数值是卡文迪什

用扭秤在实验室首先测得的，故D正确。

6.（多选）在讨论地球潮汐成因时，地球绕太阳运行的轨道与月球绕地球运行的轨道可视为圆轨道。已知太阳

质量约为月球质量的2.7X107倍,地球绕太阳运行的轨道半径约为月球绕地球运行的轨道半径的400倍。关

于太阳和月球对地球上相同质量海水的引力，以下说法正确的是（）

A.太阳引力远大于月球引力

B.太阳引力与月球引力相差不大

C.月球对不同区域海水的吸引力人小相等

D.月球对不同区域海水的吸引力大小有差异

解析:选AD根据QG丝詈，可得代入数据可知，太阳对相同质量海水的引力远大于月球对海水

r「月r太地2

的引力.故A正确.B错误:由于月心到不同区域海水的距离不同，所以月球对不同区域海水的吸引力大小有差

异，故C错误,D正确。

7.（2024.浙江杭州质检）地球上，在赤道上的一物体A和在杭州的一物体8随地球自转而做匀速圆周运动,如图,

它们的线速度大小分别为W、跖,角速度分别为必、神,重力加速度分别为以、则（）

A.VA=WOA=（Of{,gA>^R

B.VA<WOA<COR^A<gH

C.VA>V^（OA=（fJB^A>gl3

D.VA>VBMA="B,gA<gB

解析:选D地球上的点除两极外，相同时间内绕各自圆心转过角度相同,所以角速度相同.即“产的：根据

V=3*可知，角速度相同时，做圆周运动的半径越大.线速度越大，则地球上随纬度增加，重力加速度增大，

赤道重力加速度最小，两极重力加速度最人，则g/Sgs,故A、B、C错误,D正确。

8.两大小相同的实心小铁球紧靠在一起，它们之间的万有引力为月若两个半径是小铁球2倍的实心大铁球紧

靠在一•起，则它们之间的万有引力为（）

A.-FB.4F

4

C.^-FD.16F

16

解析:选D设实心小铁球的半径为八实心小铁球之间的万有引力尸=4等=端,小铁球的质量

球间的万有引力/三喘=6^^=4嗜=16£故D正确。

9.（12分）（选自教科版教材、'自我评价”）地球质量约为月球质量的引倍，一飞行器位于地球与月球之间,当它受

到地球和月球的引力的合力为零时，飞行器到地心的距离与到月心的距离之比为多少？

解析:当飞行器在地球和月球连线上所受万有引力的合力为零时,有地球对飞行器的引力与月球对飞行器的

引力大小相等、方向相反.

GMm

即

答案:9：1

B级——选考进阶

10.（2024•浙江湖州调研）-知地球质量为月球质量的81倍，地球半径约为月球半径的4倍。若在月球和地球

表面同样高度处，以相同的初速度水平抛出物体，抛出点与落地点间的水平距离分别为x”和x必则到、•地约

为（）

A.9：4B.6：1

C.3：2D.l：1

解析:选A设月球的质量为W、半径为比地球的质量为M、半径为R。已知］=白《="根据在星体表面万

M81/?4

有引力等于重力得甯=〃?@则有g二零,因此地球表面重力加速度与月球表面重力加速度之比为看《沙油题

意知物体从月球和地球表面同样高度抛出.设抛出的高度为力则有后氐三改'/②,联立①②解得小》在地球

上的水平位移x地二IM,在月球上的水平位移x月=i”,因此得到X月：工地=9：4.故A正确,B、C、D错误。

1L人类对自然的探索远至遥远的太空，深至地球内部。若地球半径为R,把地球看成质量分布均匀的球体。

某地下探测器P的质量为皿深入地面以下h处，假设h以上的地球球壳物质对探测器P的引力为零;另一太

空探测器Q质量也为机，围绕地球做圆周运动,轨道距离地面高度为4则地球对太空探测器Q和地下探测器

P的引力之比为（）

A曰B---

R+d（R+d）2（R—九）

C（""）2DR2

J（R+d）2

解析:选B设地球的密度为〃，则地球的质量为兀及3.所以地球对太空探测器。的引力

F二黑产解黑，根据题意可得深入地下为力处的探测器P受到地球的万有引力即为半径等于（对?）的球体

在其表面产生的万有引力，此时止刎（R力M故探测器P受到的引力公畸袅=%“加（分）,所以有

F_R3

，故B正确。

12.

（14分）有一质量为/〃、半径为心密度均匀的球体，在距离球心。为2R的地方有一质量为m的质点，现在从

球体中挖去一半径为?的小球体（如图所示），然后在挖空部分填满另外一种密度为原来2倍的物质，则填充后

的实心球体对质点的万有引力是多少?（引力常量为G）

在球体内部挖去半径为强小球体.挖去的小球体的质量为小小*兀g）3书

挖去小球体前，球与质点的万有引力

GmmiGmmi

Gm.m>tee/

被挖部分对质点的万有引力为后二温厂需

填充物的密度为原来物质的2倍，则填充物对质点的万有引力为挖去部分的2倍.填充后的实心球体对质点

的万有引力为BB+2B=华F。

第3节万有引力理论的成就（赋能课——精细培优科学思维）

课标要求层级达标

1.理解"称量,地球质量的基本思路。

学考层级

1.认识发现万有引力定律的重要意2.理解计算太阳质量的基本思路。

义。1.了解万有引力定律在天文学上的重要应用——发现

2.认识科学定律对人类探索未知世界未知天体、预言哈雷彗星回归。

选考层级

的作用。2.能将天体问题中的对象和过程转换成相关模型后进

行求解。

一、“称量”地球的质量

1.思路:若不考虑地球自转的影响，地面上质量为m的物体所受的重力〃火等于地球对物体的引力。

2.关系式:mg=G。

3.地球的质量:/〃地=4,只要知道g、R、G的值，就可计算出地球的质量。

f微点拨1

卡文迪什测出引力常量G,也就意味着称出了地球的质量。

二、计算天体的质量

1.太阳质量的计算

（I）依据:设/"太是太阳的质量内是某个行星的质量/是行星与太阳之间的距离，行星做匀速圆周运动的向心力

由它们之间的万有引力提供，即泻工〃n2/手。

（2）结论:〃〃二寓，测出行星的公转周期r和它与太阳的距离八就可以算出太阳的质量。

2.行星质量的计算:如果已知卫星绕行星运动的周期和卫星与行星之间的距离，可计算行星的质量。

I情境思考I

如图是我们测量物体质量的常用工具，地球这么大，我们如何“称量”地球的质量呢?卡文迪什在实验室测

出了引力常量G的值，他称自己是“可以称量地球质量的人他"称量”的依据是什么?

提示:若忽略地球自转的影响.在地球表面上物体受到的重力等于地球对物体的万有引力，因为地球表面的重

力加速度g已知，地球的半径R已知.由〃炉吟£可得m地二哈

三、发现未知天体预言哈雷彗星回归

1.海王星的发现

英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文学家勒维耶，根据天王星的观测资料.利用万有引力定律计算

出天王星外“新”行星的轨道。1846年9月23日晚，德国的伽勒在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星一

—海王星。

2.预言哈雷彗星回归

英国天文学家哈堂,依据万有引力定律计算彗星的轨道，准确预言了彗星的回归时间。

3.意义:涯王星的发现和喷震彗星的“按时回归”确立了万有引力定律的地位。

［质疑辨析］

判断下列说法是否正确。

(1)“笔尖下发现的行星''是冥王星。(x)

(2)海王星、冥王星的发现表明了万有引力理论在太阳系内的正魂性。N)

(3)英国天文学家哈雷成功预言了哈雷彗星的回归时间。N)