高考数学一轮复习（培优版） 第五章　5.4　复　数

§5.4复数考试要求1.理解复数的代数形式及其几何意义，理解两个复数相等的含义.2.掌握复数的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义.1.复数的有关概念(1)复数的定义：形如a+bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a是复数的实部，b是复数的虚部，i为虚数单位.(2)复数的分类：复数z=a+bi(a，b∈R)复数实数(3)复数相等：a+bi=c+di⇔a=c且b=d(a，b，c，d∈R).(4)共轭复数：a+bi与c+di互为共轭复数⇔a=c，b=-d(a，b，c，d∈R).(5)复数的模：向量OZ的模叫做复数z=a+bi的模或绝对值，记作|z|或|a+bi|，即|z|=|a+bi|=a2+b2(a，b2.复数的几何意义(1)复数z=a+bi(a，b∈R)复平面内的点Z(a，b).(2)复数z=a+bi(a，b∈R)平面向量OZ.3.复数的四则运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则：设z1=a+bi，z2=c+di(a，b，c，d∈R)，则①加法：z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i；②减法：z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i；③乘法：z1·z2=(a+bi)·(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i；④除法：z1z2=a+bic+di=(a+bi)((2)几何意义：复数加、减法可按向量的平行四边形法则或三角形法则进行.如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即OZ=OZ1+OZ2，4.复数的三角形式(1)复数的辐角以x轴的非负半轴为始边，向量OZ所在射线(射线OZ)为终边的角，叫做复数z=a+bi的辐角.我们规定在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值.记作：argz，即0≤argz<2π.(2)复数的三角表示式一般地，任何一个复数z=a+bi都可以表示成r(cosθ+isinθ)的形式.其中，r是复数z的模；θ是复数z=a+bi的辐角.r(cosθ+isinθ)叫做复数z=a+bi的三角表示式，简称三角形式.为了与三角形式区分开来，a+bi叫做复数的代数表示式，简称代数形式.注意：复数三角形式的特点模非负，角相同，余弦前，加号连.(3)两个用三角形式表示的复数相等的充要条件：两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等.5.复数三角形式的乘、除运算(1)复数三角形式的乘法及其几何意义设z1，z2的三角形式分别是z1=r1(cosθ1+isinθ1)，z2=r2(cosθ2+isinθ2)，则z1·z2=r1r2cos(θ简记为：模数相乘，辐角相加.几何意义：把复数z1对应的向量OZ1绕点O按逆时针方向旋转z2的一个辐角，长度乘以z2的模，所得向量对应的复数就是积z1z(2)复数三角形式的除法及其几何意义设z1，z2的三角形式分别是z1=r1(cosθ1+isinθ1)，z2=r2(cosθ2+isinθ2)，且z2≠0，则z1÷z2=r1简记为：模数相除，辐角相减.几何意义：把复数z1对应的向量OZ1绕点O按顺时针方向旋转z2的一个辐角，长度除以z2的模，所得向量对应的复数就是1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)复数z=a+bi(a，b∈R)中，虚部为bi.(×)(2)原点是实轴与虚轴的交点.(√)(3)已知z=a+bi(a，b∈R)，当a=0时，复数z为纯虚数.(×)(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模.(√)2.(2024·新课标Ⅱ卷)已知z=-1-i，则|z|等于()A.0 B.1 C.2 D.2答案C解析若z=-1-i，则|z|=(-1)2+(-13.(2025·潍坊模拟)在复平面内，复数z=5i1-2i对应的点的坐标为(A.(-2，1) B.(2，-1)C.(-2，i) D.(2，-i)答案A解析因为z=5i1-2i=5i·(1+2i)(1-2i)(1+2i)=5·(i+2所以复数z在复平面内对应的点的坐标为(-2，1).4.(2025·长春模拟)复数z=2i+1的共轭复数为(A.1-i B.1+iC.2-2i D.2+2i答案B解析由题意得，z=2(1-i)(1+i)(1-i)=1-i∴z=1+i.1.熟记与复数有关的常用结论(1)(1±i)2=±2i；1+i1-i=i；1-i1+i(2)i4n=1，i4n+1=i，i4n+2=-1，i4n+3=-i(n∈N*).(3)z·z=|z|2=|z|2，|z1·z2|=|z1|·|z2|，z1z2=|z1||z2|，|zn|(4)r1≤|z|≤r2表示以原点O为圆心，以r1和r2为半径的两圆所夹的圆环；|z-(a+bi)|=r(r>0)表示以(a，b)为圆心，r为半径的圆.2.谨防两个易误点(1)利用复数相等a+bi=c+di列方程时，注意a，b，c，d∈R的前提条件.(2)两个不全为实数的复数不能比较大小.题型一复数的概念及运算命题点1复数的概念例1(1)(2025·温州模拟)若复数a2-2a+ai是纯虚数，则实数a=.

答案2解析由题意得a2-2a=0,(2)(2025·全国Ⅰ卷)(1+5i)i的虚部为()A.-1 B.0 C.1 D.6答案C解析因为(1+5i)i=i+5i2=-5+i，所以其虚部为1.思维升华解决复数概念问题的常用方法(1)求一个复数的实部与虚部，只需将已知的复数化为代数形式z=a+bi(a，b∈R)，则该复数的实部为a，虚部为b.(2)复数是实数的条件：①z=a+bi∈R⇔b=0(a，b∈R)；②z∈R⇔z=z；③z∈R⇔z2≥0.(3)复数是纯虚数的条件①z=a+bi是纯虚数⇔a=0且b≠0(a，b∈R)；②z是纯虚数⇔z+z=0(z≠0)；③z是纯虚数⇔z2<0.(4)复数z=a+bi(a，b∈R)的共轭复数为z=a-bi，则z·z=|z|2=|z|2，即|z|=|z|=z·跟踪训练1(1)已知复数z满足z+z=-1，z-z=3i，则下列结论正确的是()A.|z|=12 B.zC.z的虚部为32i D.z2=答案D解析由z+z=-1，z-z=3i可得z=-12+32对于A，|z|=-122+对于B，z不是纯虚数，B错误；对于C，z的虚部为32，对于D，z2=-12+32i2=14-32i+34i(2)(2025·西安模拟)已知1z-1=1-i，则复数z的实部与虚部之和为(A.1 B.32-1C.2 D.32+1答案A解析由1z-1=1-i，得z=1+11-i=1+1+i(1-i)(1+i)=1+1+i2=则z=32-12i，所以复数z的实部与虚部之和为32+命题点2复数的运算例2(1)(2024·新课标Ⅰ卷)若zz-1=1+i，则z等于(A.-1-i B.-1+iC.1-i D.1+i答案C解析因为zz-1=1+1z-1所以z=1+1i=1-i(2)(2025·青岛模拟)若(1+2i)z=5，则z·z等于()A.3 B.4 C.5 D.6答案C解析z=51+2i=5(1-2i)(1+2i)(1-2i)所以z=1+2i，所以z·z=(1-2i)(1+2i)=5.思维升华复数四则运算问题的解题策略复数的加减法在进行复数的加减法运算时，可类比合并同类项运用法则(实部与实部相加减，虚部与虚部相加减)计算复数的乘法复数的乘法类似于多项式的乘法，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并复数的除法除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式，这里的分母实数化可类比分母含根式的分母有理化跟踪训练2(1)(2023·新课标Ⅰ卷)已知z=1-i2+2i，则z-z等于(A.-i B.i C.0 D.1答案A解析因为z=1-i2+2i==-2i4=-12i，所以z=12i，即z-(2)(2025·枣庄模拟)已知复数z在复平面内对应的点为(1，2)，则z-1z-i等于A.-1+i B.1-iC.1+i D.-1-i答案C解析由复数z在复平面内对应的点为(1，2)，得z=1+2i，所以z-1z-i=1+2i-11+2i-i=2i1+i=题型二复数的模例3(1)(2025·晋中模拟)已知复数z=1-2i是关于x的方程x2+ax+b=0(a，b∈R)的根，则|a+bi|等于 ()A.5 B.4 C.21 D.29答案D解析方法一由题意得，z=1+2i是方程x2+ax+b=0(a，b∈R)的另一个根由根与系数的关系得1+2i+1-2i=-a，(1+2i)(1-2i)=b，故a=-2，b=5，故|a+bi|=|-2+5i|=4+25=29.方法二由题意知，(1-2i)2+a(1-2i)+b=0，则(a+b-3)+(-4-2a)i=0，则a+b故|a+bi|=|-2+5i|=4+25=29.(2)(2025·邵阳模拟)已知复数z满足z·i4n+1=1+2i(n∈N，i为虚数单位)，则|z|等于()A.5 B.25 C.5 D.10答案C解析∵i4n+1=i4n·i=(i4)n·i=1∴z·i4n+1=z·i=1+2i，∴z=2-i，∴|z|=22+(-1)思维升华解与复数的模有关的计算问题的两个方法(1)根据复数的模的公式|a+bi|=a2+b2(a，b(2)利用模的性质|z|2=|z|2=z·z求解.跟踪训练3(1)(2025·南通模拟)已知复数z满足z2=-3+4i，则|z|等于()A.32 B.5 C.5 D.答案C解析设z=a+bi(a，b∈R)，则z2=a2-b2+2abi，又z2=-3+4i，所以a2-b2则z=1+2i或z=-1-2i，所以|z|=1+4=5.(2)(2025·安康模拟)已知i为虚数单位，若z(2+i)=3-i，则|z+2i|等于()A.10 B.10 C.5 D.5答案B解析依题意，z=3-i2+i=(3-i)(2-i)(2+i)(2-i)=5-5i5=1-i所以|z+2i|=|1+3i|=12+3题型三复数的几何意义例4(1)(2025·菏泽模拟)在复平面内，向量AB对应的复数为-1+3i，向量AC对应的复数为-2+i，则向量BC对应的复数为()A.-3-4i B.-3+4iC.1+2i D.-1-2i答案D解析因为向量AB对应的复数为-1+3i，向量AC对应的复数为-2+i，则AB=(-1，3)，AC=(-2，1)所以BC=AC-AB=(-1，-2)，所以向量BC对应的复数为-1-2i.(2)(2025·上海)已知复数z满足z2=z2，|z|≤1，则|z-2-3i|的最小值是答案22解析设z=a+bi(a，b∈R)，所以z=a-bi，由题意可知z2=a2+2abi-b2=z2=a2-2abi-b2，则ab=0又|z|=a2+b2≤1，由复数的几何意义知z在复平面内对应的点Z(a，b)在单位圆内部(含边界)的坐标轴上运动，如图所示即点Z在线段AB设E(2，3)，则|z-2-3i|=|ZE|，由图象可知|BE|=10>|CE|=22所以|ZE|min=22，即|z-2-3i|的最小值为22思维升华复数的几何意义及应用(1)复数z、复平面上的点Z及平面向量OZ相互联系、一一对应，即z=a+bi(a，b∈R)Z(a，b)OZ.(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观.跟踪训练4(1)(2025·漳州模拟)已知复数z1=1+2i，在复平面内，复数z1，z2对应的点分别为Z1，Z2，且点Z1与点Z2关于直线y=x对称，则|z1-z2|等于()A.2 B.3 C.5 D.5答案A解析因为z1=1+2i，所以点Z1(1，2).因为点Z1与点Z2关于直线y=x对称，所以Z2(2，1).所以|z1-z2|=|Z2Z1|=(1-2(2)已知复数z满足|z-2|=1，则|z-i|的最小值为()A.1 B.5-1 C.5+1 D.3答案B解析设z=x+yi(x，y∈R)，因为|z-2|=|x-2+yi|=(x-2所以(x-2)2+y2=1，即z在复平面内对应点的轨迹为圆C：(x-2)2+y2=1，如图，又|z-i|=|x+(y-1)i|=x所以|z-i|表示圆C上的点到点A(0，1)的距离，所以|z-i|min=|CA|-1=5-1.题型四复数的三角形式例5(1)-1-3i的三角形式是()A.-2cosπB.2cosC.2sin7πD.2cos答案D解析由题意得-1-3i=2-12-(2)设z1=2cosπ3+isinπ3，z2=22sinπ6答案2解析方法一因为z1=2cosπ3+isinπz2=22sinπ6+icosπ6=所以z1·z2=(1+3i)2=24+64i+64i+=-22+6=2=2cos方法二因为z1=2cosz2=2=2所以z1·z2=2×2=2cos思维升华复数三角形式的判断依据和变形步骤(1)判断依据：三角形式的结构特征：模非负，角相同，余弦前，加号连.(2)变形步骤：首先确定复数z对应点所在象限(此处可假定θ为锐角)，其次判断是否要变换三角函数名称，最后确定辐角.此步骤可简称为“定点→定名→定角”.跟踪训练5(1)复数z=-3cosπ5-isinπA.3cosB.3cosC.3cosD.3cos答案C解析z=-3cos=3-cos=3-cos=3cos4π(2)计算2i÷(cos225°+isin225°)=.(化为复数的三角形式)

答案2(cos225°+isin225°)解析2i÷(cos225°+isin225°)=2(cos90°+isin90°)=2[cos(-135°)+isin(-135°)]=2(cos225°+isin225°).课时精练[分值：100分]一、单项选择题(每小题5分，共30分)1.(2025·厦门模拟)已知(1-2i)a+(3+4i)b=2+6i，其中a，b为实数，则()A.a=1，b=-1 B.a=-1，b=1C.a=-1，b=-1 D.a=1，b=1答案B解析因为(1-2i)a+(3+4i)b=2+6i，所以(a+3b)+(-2a+4b)i=2+6i，所以a+3b2.(2025·蚌埠模拟)已知复数z满足z(1+2i)=7+4i，则z在复平面内对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案A解析因为复数z满足z(1+2i)=7+4i，所以z=7+4i1+2i=(7+4i)(1-2i)(1+2i)(1-2i)所以z=3+2i，z在复平面内对应的点为(3，2)，位于第一象限3.(2026·抚顺模拟)已知复数z满足z+1z-1=1-2i，则A.z为纯虚数B.z的虚部为-1C.zz=3D.z和z是方程x2+2x+2=0的两个根答案B解析因为z+1z-1=1-2i，所以z+1=(1-2i)(z-1)=z-1-2i所以2iz=2i-2，z=2i-22i=2i2-2i所以z=1-i，所以A错误，B正确；zz=(1+i)(1-i)=1-i2=2，所以C错误；方法一因为x2+2x+2=0，(x+1)2=-1，所以x+1=±i，x=-1±i，所以D错误.方法二因为z+z=1+i+1-i=2≠-2，则由根与系数的关系可知z和z不是方程x2+2x+2=0的两个根，所以D错误.4.(2025·泰安模拟)已知i为虚数单位，若(1-i)(2+ai)是纯虚数，则实数a等于()A.-4 B.-2 C.1 D.2答案B解析因为(1-i)(2+ai)=2-2i+ai-ai2=2+a+(a-2)i，所以a+2=0,a-2≠5.(2025·珠海模拟)复数z=2-2i的三角形式是()A.2cosπ4+isinπC.2cos7π4+isin7π答案C解析2-2i=(2)=222-26.(2025·安阳模拟)若复数z满足|z-1|=2，则在复平面内，复数z所对应的点组成的图形的周长为()A.π B.2π C.3π D.4π答案D解析设z=x+yi(x，y∈R)，由|z-1|=2，则(x-1)2+y2=4，则在复平面内，复数z所对应的点组成的图形为以点(1，0)为圆心，2为半径的圆，故复数z所对应的点组成的图形的周长为2π×2=4π.二、多项选择题(每小题6分，共12分)7.已知i为虚数单位，则下列结论正确的是()A.若复数z1，z2满足|z1|=|z2|，则z12B.若z1=1+i，z2=-1+i，则z1>z2C.若复数z1，z2满足z1z2=0，则z1=0或z2=0D.已知复数z与(z+1)2+2i都是纯虚数，则z+1答案CD解析对于A项，显然若z1=1+i，z2=-1+i，则|z1|=|z2|=(±1)2但z12=2i，z22对于B项，复数不能直接比较大小，故B错误；对于C，不妨设z1=a+bi，z2=c+di(a，b，c，d∈R)，所以z1z2=ac-bd+(ad+bc)i=0，则有ac-bd=0,ad+bc=0,两式平方相加得(a2+b2)(c故a2+b2=0或c2+d2=0，即z1=0或z2=0，故C正确；对于D，设z=bi(b∈R，且b≠0)，则(z+1)2+2i=(1+bi)2+2i=1-b2+(2b+2)i，因为(z+1)2+2i是纯虚数，所以b=1，所以z=i，z+1z=1+i-i=(1+i)i-i8.(2025·石家庄模拟)已知i为虚数单位，下列选项正确的是()A.若m，n∈R，则m+ni=2+i的充要条件是m=2，n=1B.若复数z1，z2，z3满足z1z2=z2z3，则z1=z3C.i+i2+i3+…+i2025=iD.若复数z满足|z|=1，则|z-3+4i|的最大值为6答案ACD解析对于A，因m，n∈R，则m+ni=2+i等价于m-2+(n-1)i=0，等价于m-2=0,n-1=0,即m对于B，由z1z2=z2z3可得z2(z1-z3)=0，当z2=0时，等式成立，但z1与z3不一定相等，故B错误；对于C，对于n∈N，i4n+1=i，i4n+2=-1，i4n+3=-i，i4(n+1)=1，则i4n+1+i4n+2+i4n+3+i4(n+1)=i-1-i+1=0，于是i+i2+i3+…+i2025=(i+i2+i3+i4)×506+i=i，故C正确；对于D，由|z|=1可理解为复平面内以原点为圆心的单位圆，而|z-3+4i|可看成该圆上的点到点(3，-4)的距离，易得|z-3+4i|的最大值即32+(-4)2+1=6，三、填空题(每小题5分，共10分)9.(2026·辽阳模拟)若复数z=10-5i2+i+|3-4i|，则|z|=.答案45解析z=10-5i2+i+|3-4i|=5(2-i)(2-i)=5(3-4i)5+5=8-4i|z|=82+(-4)10.如图，向量OZ对应的复数为-1+i，把OZ绕点O按逆时针方向旋转150°，得到OZ1，则OZ1对应的复数为答案3-12-解析根据复数乘法的性质，将OZ逆时针旋转150°得到的OZ1对应的复数，等于将OZ对应的复数乘以cos150°+isin150°，所以向量OZ1对应的复数为(-1+i)(cos150°+isin150°)=(-1+i)-32四、解答题(共27分)11.(13分)已知m∈R，复数z=2m+3+(m-1)i.(1)若z在复平面内对应的点位于第四象限，求实数m的取值范围；(5分)(2)若z满足z+3z=n+4i，n∈R，求n+mi3+4i的值.解(1)复数z在复平面内对应的点为(2m+3，m-1)，由z在复平面内对应的点位于第四象限，得2m+3>0,m-1<0,解得-3所以实数m的取值范围是m-(2)依题意，z+3z=2m+3+(m-1)i+3[2m+3-(m-1)i]=4(2m+3)-2(m-1)i=n+4i，又m，n∈R，则4(2m+3)=n+mi3+4i=4-i3+4i=(4-i)(3-4i)(3+4i)(3-4i)=8-19i所以n+mi3+4i=12.(14分)已知复数z满足(2+i)z-7i=|23-2i|.(1)求复数z和|z|；(7分)(2)若复数z是关于x的方程2x2+ax+b=0(a，b∈R)的一个根，求实数a，b的值.(7分)解(1)因为复数z满足(2+i)z-7i=|23-2i|，所以(2+i)z-7i=(23)所以z=4+7i2+i=(4+7i)(2-i)(2+i)(2-i)所以|z|=32+2(2)方法一因为复数z是关于x的方程2x2+ax+b=0的一个根，由(1)知z=3+2i，则z=3-2i是方程的另一个根，所以z+z=-a2=6z·z=(3+2i)(3-2i)=13=b解得a=-12，b=26.方法二因为复数z是关于x的方程2x2+ax+b=0(a，b∈R)的一个根，由(1)知z=3+2i，所以2(3+2i)2+a(3+2i)+b=2(9+12i-4)+3a+2ai+b=10+3a+b+(2a+24)i=0，所以10+3解得a[13题6分，14，15，16题每小题5分，共21分]13.(多选)(2025·湛江模拟)复数z1，z2满足z1+z2=4，z1·z2=8，则()A.|z1|·|z2|=8 B.|z1-z2|=4C.|z1|+|z2|=4 D.z1答案ABD解析依