三角形面积求最大值问题-铅垂法

铅垂法求三角形面积最值问题

求三角形的面积是几何题中常见问题之一，可用的方法也比较多，比如面积公式、割补、等

积变形、三角函数甚至海伦公式，本文介绍的方法是在二次函数问题中常用的一种求面积的

方法——铅垂法.

【问题描述】在平面直角坐标系中，已知4(1,1)、8(7,3)、C(4,7),求△月8C的面积.

【分析】显然对于这样一个位置的三角形，面积公式并入太好用，割补倒是可以一试，比如

这样：

构造矩形"用矩形面积减去三个三角形面积即可得，少夕。面积.

这是在“补”，同样可以采用“割”：

S.—S.....+S=—CD-AE+—CD•BF=—CD(AE+BF\

A/fRoCcA/lCZ?AOCU222、

此处/七+力/即为力、4两点之间的水平距离.

由题意得：AE+BF=6.

下求。：

12

根据力、4两点坐标求得直线48解析式为：j^=-x+-

由点。坐标(4,7)可得。点横坐标为4,

将4代入直线解析式得。点纵坐标为2,

故。点坐标为(4,2),CD=5,

【方法总结】

作以下定义：

力、8两点之间的水平距离称为“水平宽”；

过点。作x轴的垂线与AB交点为D,线段CD即为"边的“铅垂高”.

水平宽x铅垂高

如图可得：

2

铅\

垂

高8

水平宽;

A

【解题步躲】

(I)求力、〃两点水平距离，即水平宽;

(2)过点C作x轴垂线与力4交于点。，可得点。横坐标同点C;

(3)求直线43解析式并代入点。横坐标，得点。纵坐标；

(4)根据C、。坐标求得铅垂高；

(5)利用公式求得三角形面积.

【思考】如果第3个点的位置不像上图一般在两定点之间，如何求面积？

铅垂法其实就是在割补，重点不在三个点位置，而是取两个点作水平宽之后，能求出其对

应的铝垂高！因此，动点若不在两定点之间，方法类似：

【铅垂法大全】

(1)取48作水平宽，过点。作铅垂高CQ.

(2)取力C作水平宽，过点8作8Q_Lx轴交直线力C于点Q,即对应的铅垂高,

、_c&_水平宽x铅垂高

(3)取4C作水平宽，过点4作铅垂高4。.

。

h、

l、

l

l铅

l

l垂

m高

!

i-

i/

i/

水平宽

高.

铅垂

向作

平方

，在水

水平宽

方向作

在竖直

互换，

以横竖

，还可

甚至

.

高力。

铅垂

4作

，过点

平宽

作水

取6c

(4)

JiV

水

平

宽

H\

A

高

铅垂

0.

垂高4

作铅

点占

，过

平宽

作水

取XC

(5)

y

水

平

第I高

宽J

8

/

。Q.

垂高

作铅

点。

，过

平宽

作水

取48

(6)

y

例一、

如图，已知抛物线y=+6+5经过力(-5,0),〃(-4,-3)两点，与x轴的另一个交点为C.

(1)求该抛物线的表达式；

(2)点尸为该抛物线上一动点(与点8、。不重合)，设点尸的横坐标为当点尸在直

线8c的下方运动时，求AP8C的面积的最大值.

【分析】

(1)y=x2+6x+5,

(2)取4c两点之间的水平距离为水平宽，过点P作PQ_Lx轴交直线AC于点。，则PQ

即为铅垂高.

P

根据8、C两点坐标得8、C水平距离为4,

根据以C两点坐标得直线4。解析式：1+1,

设夕点坐标为（w,〃产+6加+5）,则点。（w,m+1）,

得20=-加-5〃?-4,

考虑到水平宽是定值，故铅垂高最大面积就最大.

527

当一一时ABC尸面积最大，最大值为

28

【小结】选两个定点作水平宽，设另外一个动点坐标来表示铅垂高.

例二、

在平面直角坐标系中，将二次函数卜=〃/（4>0）的图像向右平移1个单位，再向下平移2

个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x轴交于点力、B（点/在点8的左侧），

0A=],经过点/的一次函数y=h+〃仪工0）的图像与），轴正半轴交于点C,且与抛物线的

另一个交点为Q,的面积为5.

（1）求抛物线和一次函数的解析式；

（2）抛物线上的动点七在一次函数的图像下方，求&4CE面积的最大值，并求出此时点E

的坐标.

【分析】

13

（1）抛物线解析式：y=-x2-X--;

’22

一次函数解析式：y=-x+-.

22

（2）显然，当△/!（?£面积最大时，点£并不在4c之间.

已知力（-1,0）,（°，；），

设点E坐标为（m.-m2过点E作EFLx轴交直线40于尸点,

22）

产点横坐标为，〃，代入一次函数解析式得卜，机+；）

I-1

可得EF=一一m2+-m+2

22

考虑到水平宽是定值，故铅垂高最大面积最大.

既然都是固定的算法，那就可以总结一点小小的结论了，

对坐标系中已知三点力(再,必)、8仇,必)、。(*3，73)，

按铅垂法思路，可得：

S..4BC=J』8+8%+M必一X?乂一5乃一王乃|

如果能记住也不要直接用，可以当做是检脸的方法咯.

【总结】铅垂法是求三角形面积的一种常用方法，尤其适用于二次函数大题中的三危形面积

最值问题，弄明白方法原理，熟练方法步骤，加以练习：面积最值问题轻轻松松.

1.已知二次函数y=-彳2+云+c和一次函数y=〃次+〃的图象都经过点力(-3,0),且二次函

数y=-f+6x+c的图象经过点8(0,3),一次函数y=〃△+〃的图象经过点。(0,-1).

(1)分别求〃？、n和b、c的值;

(2)点夕是二次函数歹=-Y+6+c的图象上一动点，且点夕在x轴上方，写出A4CP的

面积S关于点。的横坐标

x的函数表达式，并求S的最大值.

【分析】(1)把直线和曲线经过的点代入得到方程组，求解即可得到答案；

(2)分两种情况：①当点?在y轴左侧时，过点P作P。//)，轴交4c于点。，②当点?

在y轴右侧时，过点户作P。/0轴交/C的延长线于点。，分别根据三角形面积公式得到

关系式，利用函数式表示三角形21c的面积，配方可得答案.

【解答】解：(1),•・二次函数y=-》2+bx+c和一次函数y=〃次+〃的图象都经过点

4(-3,0),一次函数y=〃“+〃的图象经过点C(0,-l),

-3〃?+〃=0

"//=-1，

1

m=——

.-3,

n=-1

•二次函数旷=一工2+bx+c和一次函数y=mx+〃的图象都经过点4(-3,0),二次函数

y=-/+bx+c的图象经过点5(0,3),

-9-3/>+c=0

■,。=3

(2)由(1)知一次函数与二次函数的解析式分别为：y=或y=—-一2》+3,

13

①当点P在y轴左侧时，过点尸作尸。/方轴交力C于点Q,则Sw4c=]xPOx|-3|='P。，

②当点P在y轴右侧时，过点尸作P。/小轴交力。的延长线于点D,

13

则5"胆=5乂尸。*11+3—x|=a尸。，

•.•点P在抛物线上，设。(苍一/一2x+3),则。(x,一；x—l),

/.PD=一厂—2x+3H—x+1=一厂—x+4,

33

S^PAC=T，0=_ga24-1x+4)=—|(x+^)2+,

即当x=-，时，%(:最大=瞥.

o24

【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及一次函数、图形面积的计算等，掌握其性质

及运算是解决此题关键,

2.如图，抛物线经过力(-2,0),5(4,0),C(0,-3)三点.

(1)求抛物线的解析式；

(2)在直线8c下方的抛物线上有一动点P，使得APBC的面积最大，求点夕的坐标；

(3)点"为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N,使以力，C,MyN四点构成

(2)由"BC的面积=S[pH8+，即可求解；

(3)分4。是边、ZC是对角线两种情况，利用平移的性质和中点公式即可求解.

3

a=­

[4a-2b+c=08

3

【解答】解：(1)将点力、B、C的坐标代入抛物线表达式得《16“+4〃+。=0,解得"二-二，

4

故抛物线的表达式为y=三'2-3%-3;

84

3

0=4〃？+nm=—

(2)设直线AC的表达式为y=〃?x+〃，典卜…3，解得4,

n=-3

3

X3

故直线BC的表达式为y4-

过点尸作y轴的平行线交4c于点，,

3

则点，(x,：x-3),

4

I13333

则AP8C的面积=S骋HB+S泗K.=3PH.()B=3又4又(工x-3x2+-x+3)=--x2+3x,

•/--<(),故该抛物线开口向下，AP8C的面积存在最大值，此时x=2,

4

则点P的坐标为(2,-3);

(3)存在，理由：

31

设点N的坐标为(mn),则n=-m2——〃?-3①，

984

①当AC是边时，

点力向下平移3个单位得到点C,则点M(N)向下平移3个单位得到点N(M),

则0-3=〃或0+3=〃②，

联立①②并解得['"=2或|"=一】土J万(不合题意的值已舍去)；

[〃=-3[〃=3

②当力C是对角线时，

则由中点公式得：；(0-3)=；(0+〃)③，

m=2

联立①③并解得、(不合题意的值已舍去)；

n=-3

综上，点N的坐标为(2,-3)或(-1+J万，3)或(一1-而，3).

【点评】本题是二次函数淙合题，主要考查了一次函数的性质、平行四边形的性质、面积的

计算等，其中(3),要注意分类求解，避免遗漏.

3.综合与探究：

如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于4(7,0),8(3,0),C(0,-4)三点,

点P(也〃)是直线8c下方抛物线上的一个动点.

(1)求这个二次函数的解析式；

(2)动点?运动到什么位置时，AP8C的面积最大，求出此时2点坐标及AP8C面积的最

大值；

(3)在y轴上是否存在点0,使以O,B,。为顶点的三角形与AJOC相似？若存在，请

直接写出点。的坐标；若不存在，请说明理由.

【分析】(1)将/、B、。生标代入即可求解析式；

(2)设尸坐标，表示出AP4C的面积，再求出最大面积和面积最大时尸的坐标；

(3)两个直角顶点是对应点，而&4。。两直角边的比为L,只需A8O。两直角边比也为

4

-,两个三角形就相似，分两种情况列出比例式即可.

4

【解答】解：(1)设二次函数的解析式为y=〃(x-xJ(x-X2),

•.•二次函数的图象交坐标轴于4-1,0),8(3,0),C(0,-4),

/.X]=-1,x2=3,-4=a[x-x{)(x-Jr,),

4

a

解得x=-1,x2=3,~~y

—

二次函数的解析式为y=§(x+D(x—3)=—x—4?

44Q

故答案为:y=-(x+i)(x-3)=-x2--x-4;

0=3k+b

(2)设直线8C解析式为^=匕+6,将8(3,0),C(0,-4)代入得V,工

-4=b

4

解得〃=§,。=一4,

4

8C解析式是y=§x-4,

如答图1,过夕作尸。//)，轴，交4C于。

•・•点P(mji)是直线BC下方抛物线上的一个动点,

4,84

0<〃？<3,〃=§nr--m-4,D(m,—m-4),

44,84

PD=(—m-4)—-4)=--m2+4”？

I439

Spsc=_PD•(x—x)——(—ni"+4w)•(3—0)=-Ini"+66=—2(w---)"H—,

1a25c2322

•,-0<-<3,

2

=；时，S，W8C最大为:，此时〃_g〃?_4=gx(；)2—gx|■—4=-5,

3

P(5,-5),

39

故答案为：尸(彳，-5),S“8c最大为不；

(3vJ(-l,0),C(0,-4),8(3,0),

OA_1

OC=4OB=3,

•.・点。在y轴上,

N4。。=4OC=90°,

若以。，B,。为顶点的三角形与&4OC相似，则N"。。与40C对应，

分两种情况:

6a答图2,\AOC^\QOB,

OOOA1OQ1八八3

则==—即=—,解得OQ=—,

OBOC434V4

08OA1^31-

则---=---=-Fp---=—,解7f寸OQ=12,

OQOC4OQ4'上

.•.。(0，12)或0(0,-12),

综上所述，存在y轴上的点。，使以。，B,0为顶点的三角形与&40C相似，这样的点

33

一共4个：2(0%)或。式°，一R，

2(0,12)或Q(0,-12),

33

故答案为：存在这样的点Q,坐标分别是：0(0,二)或。,(0,一二)，。式0,12)或Q(0,-12),

【点评】本题是二次函数、相似三角形、面积等问题的综合题，主要考查坐标、线段的转化，

面积的表示，涉及方程思想，分类思想等，难度适中.

4.如图1,抛物线》=-丁+6+c与不轴交于4、4两点，与y轴交于点C,已知点4坐

标为(3,0),点C坐标为(0,3).

(1)求抛物线的表达式；

(2)点尸为直线8c上方抛物线上的一个动点，当AP8C的面积最大时，求点尸的坐标；

(3)如图2,点"为该抛物线的顶点，直线轴于点。，在直线MO上是否存在点

N、使点N到直线A/C的距离等于点N到点力的距离？若存在，求出点N的坐标；若不存

在，请说明理由.

【分析】(1)利用待定系数法可求解析式；

(2)过点?作J.x轴于〃，交8C于点G,先求出8C的解析式,设点尸+2m+3),

则点G(w,-w+3),由三角形面积公式可得

113327

S；=-xPGxOT=-x3x(一〃/+3m)=--(--)2—,由二次函数的性质可求解；

2222w8+

(3)设直线MC与x轴交于点E,过点火作"。1.股。于0,先求出点彳，点M坐标，可

求MC解析式，可得DE=4=MD,由等腰直角三角形的性质可得MQ=N0=?MN,由

两点距离公式可列([14=4+1,即可求解.

【解答】解：(1)•.•点8(3,0)，点。(0,3)在抛物线歹二--+云+。图象上，

-9+3h+c=0

c=3

6=2

解得：

c=3

.•・抛物线解析式为：J^=-X2+2X+3;

(2)•.•点4(3,0),点C(0,3),

直线8c解析式为：歹=-x+3,

如图，过点夕作轴于〃，交8c于点G,

设点P(m,-m2+2m+3),则点+3),

PG=(-m2+2m+3)—(-ni+3)=-nr+3〃？,

11,33,27

vS居BC=—xPGxOB=—x3x(-而+3)=--(--)2+—,

222W2w8

.,.当〃1='!时，Sy8c有最大值，

.,.点?43；

24

(3)存在N满足条件,

理由如下：•.•抛物线箕=-/+2》+3与x轴交于力、B两息,

.••点力(-1,0),

,/y=-x2+2x+3=-(x-I)2+4,

顶点"为(1,4),

•.•点M为(1,4)，点。(0,3),

二直线MC的解析式为：y=x+3,

如图，设直线MC与x轴交于点E,过点N作NQ_LMC于。，

.•.点4-3,0),

；.DE=4=MD,

NNMQ=45。，

•••NQ1MC,

NNMQ=NMNQ=45。，

：.MQ=NQ,

:.MQ=NQ=与MN,

设点ML"),

•••点N到直线A/C的距离等于点N到点/的距离，

NQ=AN,

=AN2,

MN)2=AN-,

14-〃1)2=4+“2,

〃2+8〃-8=0,

〃=-4士2\/6,

存在点N满足要求，点N坐标为(1,-4+2")或(1,-4-2").

【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，一次函数

的性质，两点距离公式，等腰直角三角形的性质等知识，利用参数列方程是本题的关键.

5.如图，抛物线过点40,1)和C,顶点为。，直线4C与抛物线的对称轴B力的交点为

B由,0),平行于J，轴的直线上厂与抛物线交于点E,与直线力。交于点尸，点尸的横坐

标为手，四边形8。"'为平行四边形.

(1)求点尸的坐标及抛物线的解析式；

(2)若点尸为抛物线上的动点，且在直线/C上方，去"力8面积最大时，求点尸的坐标

及APAB面积的最大值；

(3)在抛物线的对称轴上取一点Q,同时在抛物线上取一点R,使以4C为一边且以4,

C,Q,〃为顶点的四边形为平行四边形，求点Q和点H的坐标.

备用图

【分析】(1)由待定系数法求出直线的解析式为)，=-左x+1,求出/点的坐标，由平

行四边形的性质得出-34+1=44-84+1-(-；)，求出。的值，则可得出答案；

(2)设P(n-n2+26"+1),作PP'J_x轴交力C于点P',则P(%-等〃+1),得出

f2

PP=-n+l^n,由二次函数的性质可得出答案；

(3)联立直线4C和抛物线解析式求出C6G,-y),设。(6,〃?)，分两种情况：①当

力。为对角线时，②当4A为对角线时，分别求出点。和我的坐标即可.

【解答】解：(1)设抛物线的解析式为夕=。/+8+。(。工0),

B由,0),

设直线48的解析式为y=+,

+tn=0

m=1'

[…由

解得3,

m=1

.•.直线4?的解析式为j，=—3x+l,

3

•.■点户的横坐标为空，

厂点纵坐标为一亭x孚+i=-：，

・•.E点的坐标为-1),

JJ

又•.•点月在抛物线上，

/.C=1,

对称轴为：x=-"—=V5,

2a

/.h=-2百a,

解析式化为：y=ax2-ZySiax+1,

,/四边形DBFE为平行四边形.

BD=EF,

.­.-36/4-1=—86/+1-(--),

33

解得。=-1,

二.抛物线的解析式为y=-/+26/+1;

(2)设〃(〃,—/+