2025-2026学年河南省洛阳市洛龙区八年级（上）期中数学试卷

2025・2026学年河南省洛阳市洛龙区八年级（上）期中数学试卷

一、选择题（每小题3分，共30分）

1.（3分）下列数学符号是轴对称图形的是（）

A.WB.0C.2D.±

2.（3分）如图，下面是三位同学的折纸示意图，则AD依次是△A3C的（）

图①图②图③

A.中线，角平分线，高线B.角平分线，高线，中线

C.角平分线，中线，高线D.高线，中线，角平分线

3J3分）把一根长12厘米的铁丝按下面所标长度剪开，剪成的三段首尾顺次相接可以围成三角形的是（）

6cm4cm2cm6cm3cm3cm

A.I__________I_______I___IB.i__________l_____l_____l

7cm女m2cm5cm5cm2cm

C.i____________I_____i___D.i_________I________l___I

4.（3分）如图，XACE乌XOBFAB,C,D四点在同一直线上，若40=8,BC=2,则BD的长为（）

5.（3分）在如图的房屋人字梁架中，A8=AC,点。在8C上,下列条件不能说明AO_LBC的是（）

B.NB=NC

C.BD=CDD.AO平分NBAC

6.（3分）某段河流的两岸是平行的，数学兴趣小组在老师带领下不用涉水过河就测得河的宽度，他们是

这样做的：

①在河流的一条岸边B点，选对岸正对的一棵树A；

②沿河岸直走20/〃有一树C,继续前行20m到达D处：

③从。处沿河岸垂直的方向行走，当到达4树正好被C树遮挡住的E处停止行走;

④测得OE的长为\2m.

E

A.XmB.10//1C.\lmD.13/"

7.（3分）下列四个条件：

①在△4BC中，NA,NB都是锐角；

②△ABC的三个内角的度数之比是1：2：3；

③在△ABC中，NA・N8=/C；

④△ABC的三个外角的度数之比是3：4：5.

其中能确定△ABC是直角三角形的是（）

A.②③B.②④C.②®®D.①②③④

8.（3分）如图所示的三角形纸片/WC中，AC=6c阳，BC=5cm.沿过点B的直线折叠这个三

角形，使点C落在48边上的点E处，折痕为BD,则△AEZ）的周长为（）

9.（3分）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点4,B,C,D,E,F,G在小正方形的顶点上.三

角形匀质薄板48C放在如图所示的位置，则三角形匀质薄板ABC的重心是（）

2

B

A.点QB.点EC.点尸D.点G

10.（3分）已知：如图，在△ABC,△AOE中，NBAC=ND4E=90°,AB=AC,AO=4E,点C,D,

E三点在同一条直线上，连接BD,BE.以下四个结论：①BO=CE；®ZACE+ZDBC=^5°；③BD

_LCE；④N84£+ND4C=I80°.其中结论正确的是（）

A.①②③B.①②④C.②©@D.①②③④

二、填空题（每小题3分，共15分）

II.（3分）港珠澳大桥全长约55公里，集桥、岛、隧于一体，是连接香港、珠海和澳门的超大型跨海通

道，是迄今世界最长的跨海大桥.如图是港珠澳大桥中的斜拉索桥，索塔、斜拉索、桥面构成了三角形，

这样使其更稳定，其中运用的数学原理是.

12.（3分）如图，点。在A8上，点后在4。上，AB=AC,添加一个条件

使△A4E且△ACO（填一个即可）.

13.（3分）如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东7（）。方向的M处，它以每小时45海里的速度向正北方

向航行，2小时后到达位于灯塔P的北偏东40°的N处，则N处与灯塔尸的距离为海里.

3

14.（3分）如图，△4CB中，NC=90°,NA=30°,分别以点4,B为圆心，以大于，8的长为半径

画弧交丁点M,N,直线MN交/W丁点E,交ACT点。.若CO=3,则.

15.（3分）当三角形中一个内角a是另一个内角0的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中a

称为“特征角”.如果一个直角三角形为“特征三角形"，那么它的“特征角”等于度.

三、解答题（本大题共8个小题，共75分）

16.（8分）如图，在△ABC中，AD是8c边上的高，AE是N8AC的角平分线.若NB=50°,ZC=80°,

求NE4Q的度数.

17.（9分）如图，在△/18C中，。为上一点，E为AC中点，连接。石并延长至点尸，使得

连接C立

（1）试判断CF与48的位置关系，并说明理由；

（2）若乙4BC=50°,连接BE,AC平分/8CF,求N4的度数.

18.（9分）如图，△A8C在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是A（-2,4）,8（-3,2）,C（-

1,1）,直线/经过点（1,0）旦与y轴平行.

4

(1)若△4AiCi与△ABC关于x轴对称，请写出△AiBCi三个顶点的坐标:

A\,Bi,Ci；

(2)请在平面直角坐标系中面出aABC关于直线/对称的图形AA282c2；

(3)若点P(〃z,〃)是△ABC上一点，则点P关于直线/对称的点的坐标是

J-J.-1-6--

19.(9分)如图，已知NAOB=50°,点C在边。4上.请用尺规作图法，在乙4OK的内部求作一点P,

使得N4OP=25°,且CP〃。艮(保留作图痕迹，不写作法)

20.(9分)如图，△A3C是等边三角形，3。是中线，延长BC至点、E,使CE=CD.

(1)求证：DB=DE；

(2)若尸是BE的中点，连接OF,且Cb=2,求△ABC的周长.

21.(9分)在《全等三角形》学习中，“睿思小组”对课本上的一道题进行深入研究后，尝试将其结论推

广到更一般的情形.请你和他们一起完成探究.

(1)如图1,在△ABC中，ZACB=90°,AC=BC,直线MN过点C,且AO_LMN,BELMN,垂足

分别为。，E.试探究BE,DE,A。之间的数量关系，并加以证明；

(2)小组同学通过在几何画板中操作发现，随着图1中直线位置的变化，BE,DE,AO之间的数

5

量关系也会变化.当直线MN在N8C4内部位于图2所示的位置时，请直接写出BE,DE,A。之间的

数量关系：;

（3）小组同学进一步思考：如图3,若AC=8C不变，NBCA=a,直线MN过点。且经过N4cA外部，

。在E的左侧，且N8EC=NAOC=a,若BE=a,DE=b,则的长为.

22.（11分）综合与实践

【提出问题】唐朝诗人李顽的诗《古从军行》中“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”里隐含着一个有

趣的数学问题一一“将军饮马”问题.如图I,将军从山脚下的点A出发，到一条笔直的河边饮马后再

回到点4宿营，他时常想，怎么走才能使他每天走的路程最短呢？

【分析问题】小明：如图2,将A,B两地抽象为两个点，将河流抽象为一条直线/.如图3,小明作点

B关于直线/的对称点8,连接AB，与直线/交于点。，点C就是饮马的地方，此时所走的路程AC-CB

就是最短的.小智：如图4,在直线/上另取一点C（与点C不重合），连接AC,BC,B,C,只要证

明AC+CBVAC+C8即可.

【解决问题】

任务一：（I）“将军饮马”问题本质上是运用转化思想，通过对称变换将两点位于直线“同侧”问题，

转化为两点位于直线“异侧”问题来解决.小智在说明这个问题的过程中，用到的数学依据

是.

请你完成下列填空：

如图4,在直线/上另取任意一点C（与点C不重合），连接AC,BC,B'C.

•・•点8与8关于直线/对称，

•・・直线/是48的垂直平分线.

:.CB=,CB=.

：.AC+CB=AC+=.

,

在ZSAB'C中，AB'<AC+CB',：.AB<AC+CB^AC+CB<AC+CBf即AC+CB最d、.

任务二：（2）如图5,将军牵马从军营P处出发，先到河边0A饮马，再到草地08牧马，最后回到P

6

处，试分别在0A和08上各找一点E,F,使得将军走过的路程最短（保留画图痕迹，辅助线用虚线,

最短路径用实线）；

任务三：（3）如图6,等边△ABC中，。为AC的中点，点P,Q分别为A4,AO上的点，6P=4Q=8,

QD=6,在BD上有一动点E,则PE+QE的最小值为.

•山峰A

河流

图1

23.（II分）利用角平分线构造全等三角形是常用的方法.如图I,0P平分NM0M点A为。加上一点，

过点A作ACJ_。尸，垂足为C,延长AC交0N于点8,则△A0Cg2\80C.

（1）【初步感知】

如图1,根据以上条件，容易发现AC与8。的数量关系为：；

（2）【类比解答】

如图2,在△ABC中，CO是/ACB的角平分线，AE_LC。于E,若NB=35°,NE4C=6I°,通过上

述构造全等的方法，可求得/次。的度数为;

（3）【拓展应用】

①如图3,在△ABC中，AB=AC,ZBAC=90°,CD平分/ACB,BEA.CD,垂足E在CD的延长线

上，试探究BE和CO的数量关系，并证明你的结论；

②如图4,在△ABC中，AB=AC,N84C=90°，点尸在线段8C上，=|zC,BEA.EF,垂足

为E,EF与A8相交于点。.若48。尸的面积为36,请直接写出8E的长.

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2025・2026学年河南省洛阳市洛龙区八年级（上）期中数学试卷

选择题、填空题答案速查

题号12345678910

答案DCDBBCCDAD

11.三角形具有稳定性12.AE=4O(或CE=BD或13.9014.6

15.90或60

选择题、填空题解法提示

10.解：①•.•/RAC=NQAE=90"，

：,ZBAC+ZCAD=ZDAE+ZCAD,即N8AO=NG4E,

AB=AC

•••在△84。和△CAE中，/.BAD=Z.CAE,•\△BAOg/XCAE(SAS),

AD=AE

:.BD=CE,

故本选项正确，符合题意；

②•••△44C为等腰直角三角形，

.•・NA4C=N4CB=45°,

：.ZABD+ZDBC=45°,

・•・ZABD=ZACE,

AZACE+ZDBC=45°,

故本选项正确，符合题意；

③•••/44。+/。4。=45°,

AZACE+ZDBC=45°,

；・NDBC+NDCR=/DBC+NACE+NACB=90°,

则BD1CE,

故本选项正确，符合题意；

@VZBAC=ZDAE=90°,

.\ZBAE+ZDAC=360°-90“-90°=180°,

故此选项正确，符合题意；

故选：D.

8

15.解：①“特征角”a为90°；

②“特征角”与“另一个内角”都不是直角时，设“特征角是2x”,

由题意得，x+2x=90°,

解得：x=3O°,

所以，“特征角”是60°,

综上所述，这个“特征角”的度数为90°或60°♦

故答案为：90或60.

解答题参考答案

16.解：VZB=20°,ZC=50°,

・・・NZMC=1800-AB-ZC=180°-20°-50°=110°,

••.A石是N8AC的角平分线，

/.ZCAE=ix110°=55°，

：AO是4c边上的高，

AZADC=90°,

：,ZCAD=90°-ZC=90°-50°=40°,

：.ZEAD=ZCAE-ZCAD=55°-40°=15°.

17.(1)证明：CF//AB,

•・,£为AC中点，

：,AE=CE,

在△AEQ和△(?£：/中，

(AE=CE

l^AED=Z.CEF,

WE=EF

:・/\AEDm丛CEF(SAS),

JZA=ZACF,

：.CF//ABx

(2)解：平分N8CF,

ZACB=ZACF,

NA=NAC尸，

/.NA=NACB,

9

VZA+ZAfiC+ZACB=180°,ZABC=50Q，

A2ZA=130°,

AZA=65°.

18.解：(1)由题意得，Ai(-2,・4),8i(-3,-2),Ci(-1,-1).

故答案为：(-2,-4)；(-3»-2)；(-L-1).

(2)如图,△2汨2。2即为所求.

(3)由题意得，点P(in,n)关于直线/对称的点的坐标是(2

故答案为：(2-〃?，〃).

19.解：如图，先作NAOB的平分线，再以点C为圆心，OC的长为半径画弧，交射线0。于点P,

1

：.Z-CP0=Z-C0P=乙BOP=必0B=25°,

/.ZAOP=25°,CP//OB,

则点。即为所求.

20.(1)证明：•••△A3C是等边三角形,

AZAI3C=ZACB=6(r.

乂,.,8。是中线，

:・BD平分N48C,

:•乙DBC=\z-ABC=30°.

10

,:CE=CD,

：.ZE=ZCDE.

又•・•ZACB=ZE+ZCDE,

；・NE=NCDE=30°,

：・4DBC=NE,

：,DB=DE.

（2）解：由（1）可知DB=DE,

又•・•尸是BE的中点，

：.DFVBE.

VZACB=60°,

・・・NCO产=180°-90°-60°=30°.

乂•••△co产为直角三角形，

1

ACF=|CD,

：.CD=2CF=4.

:8。是中线，

・・・AC=2CQ=8.

•・•△ABC是等边三角形，

・・・A3=AC=BC=8,

・•・△A4C的周长=8+8+8=24.

21.解：（I）®AD+DE=BE.

理由如下：

•・・4O_LMN,BELMN,/.ZADC=ZBEC=90°,

・・・NOAC+/4CQ=90°,

VZACB=90°,

：.ZBCE+ZACD=90a,

:・NDAC=NBCE,

在△AC。与△C8E中，

NDAC=乙BCE

乙ADC=Z.BEC=90%

AC=CB

11

•••△ACQg/XCBE（A4S）.

：.AD=CE,CD=BE,

■:CE+DE=CD,

:・AIHDE=BE；

（2）DE=AD-BE,

理由：同理可证得△AOCg/XCE'

；,CD=BE,AD=CE,

*：DE=CE-CD,

：.DE=AD-BE；

故答案为：DE=AD-BE；

（3）b-a,

理由：同理可证得△AOCg/XCEB,

[CD=BE=a,AD=CE,

•:DE=CE+CD,

：.AD=CE=DE-DC=b・a；

故答案为：》-a.

22.解：（1）由题可知数学依据是两点之间，线段最短（或“三角形两边之和大于第三边”）；

在直线/上另取任意一点。（与点C不重合），连接人C,BC,RC.

・.•点B与8关于直线/对称，

・••直线/是89的垂直平分线.

：,CB=CB',CB=CB\

：.AC+CB=AC+CB'=AB',

在△A8C中，4ZTVAC+CZT,

：.AB<AC+CBf

：.AC+CB<AC+CB,即AC+CB最小.

故答案为：两点之间，线段最短（或“三角形两边之和大于第三边"），CB',CB',CB',AB'；

（2）如图所示，分别作点尸关于。4,0B的对称点C、D,连接CO分别交OA,0B于E、F,则路线

PE,EF,尸产即为所求.

*：CE=PE,DF=PF,则PE+EF+PF=CE+EF+DF,

根据两点之间线段最短可得路线尸E，EF,尸”即为所求.

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:.BA=BC,ZA=60°

•・,。为AC中点,

：.BDLAC,

作点Q关于BD的对称点Q',连接PQ,交BD于E,连接QE,止匕时PE+EQ的值最小.最小值PE+QE

=PE+EQf=PQ',

：,AD=DC=AQ+QD=\4,QD=DQ'=6,

ACQ'=CD-DQ'=8=BP,

：.AP=AQ'=2(),