2026暑假新高三数学专项复习：平面向量

平面向量

1.向量的有关概念

名称定义备注

既有大小，又有方向的量；向量的大小

向量平面向量是自由向量

叫做向量的长度（或称模）

零向量长度为0的向量：其方向是任意的记作0

单位向量长度等于1个单位长度的向量非零向量〃的单位向量为士;

同

平行向量

方向相同或相反的非零向量0与任一向量平行或共线

（共线向量）

相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小

相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为0

2.向量的线性运算

向量运算定义法则（或几何意义）运算得

力，(3)交换律：a-ib=b±

a

£：

加法求两个向量和的运算《1》三皿法则

(4)结合律:

a(a+0)+c=<i+e+c)

（2）♦行四边影法则

求。与。的相反向量

减法a—b=a+(-b)

一0的和的运算

（5）三角-法则

（7）当时，Zi与。的方向

求实数久与向量。的

数乘相回；当为0时，〃与。的(9Y/.+u}a=/M+uaz

积的运算

方向良反；当入=0时，〃=(10)z(a+d)=zj±zA

0

3.共线向量定理

向量。（。工0）与b共线，当且仅当有唯一一个实数九使力=〃.

【知识拓展】

1.一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即44；+

力乂;十月3月;T----An^iA,t=A]A*,,特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量.

2.若P为线段48的中点，。为平面内任一点，则浜=；(5+为).

3.洒=2命+/”历(九4为实数)，若点、A,B,C共线，则2+〃=1.

4.平面向量基本定理

如果的，e?是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量/有且只有一对实数石，处,

使"=九3+2262.

其中，不共线的向量为，及叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.

5.平面向量的坐标运算

(1)向量加法、减法、数乘及向量的模

设a=3,歹1),6=(X2,”)，则

”+b=(xi+x2，yi+，2)，a-b=(x\—X2»yi—V)，

za=(Axi,xyi),|a|=xi+yi.

(2)向量坐标的求法

①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.

②设力(xi,y\),8(x2,也)，则力夕=(X2—巾，及一yi),|4同=(X2-x\)2-^(y2—y\)2.

6.平面向量共线的坐标表示

设”=(xi，y]),Z>=(X2»闻，其中〃HO。力共线0不通一工2y=0.

【知识拓展】

1.若“与力不共线，痴+/疝=0,则2="=0.

2.设”=(xi，yi),力=。2，J2)，如果X2WO,户#0,则“〃力0凶=".

XI”

7.平面向量的数量积

设两个非零向量m8的夹角为仇则数量网yos。叫做。与力的数量

定义

积，记作ab

|a|cos〃叫做向量a在b方向上的投影，

投影

向cos。叫做向量力在〃方向上的投影

几何意义数量积ab等于a的长度同与b在.a的方向上的投影网cos。的乘积

8.平面向量数量积的性质

设“，〃都是非零向量，e是单位向量，。为〃与力(或c)的夹角.则

(l)ea=〃e=|a|cos0.

(2)alb^ab=0.

(3)当。与b同向时，a-b=\a\\b\；

当4与力反向时，a-b=~\a\\b\.

特别地，。”=同2或同=aa.

ab

(4)cose=

同网

(5)|a-b|W|0|向.

9.平面向量数量积有关性质的坐标表示

设问量〃=(不，刈)，b=(X2,g)，则〃•力=不刈+)”及，由此得到

⑴若a=(x,y),则同2==+—或同=

(2)设巾)，8(X2,刈)，则4C两点间的距离〃5|=必网=(刈一沏＞+但一」》.

(3)设两个非零向量“，b,0=8,yi),b=(xz＞”)，则〃，力0打彳2+)，纥2=0.

(4)若a,b都是非零向量，。是G与力的夹角，则cos6=：?x\xi+y\yi

xi+yi

【知识拓展】

1.两个向量〃，力的夹角为锐角力。力＞0且小力不共线:

两个向量4,6的夹角为钝角且”,b不共线.

2.平面向量数量积运算的常用公式

(1)(〃+方)(”——〃)=屏——/>2.

(2)(4+5)2=/+2“力+力=

(3)(。-6)2=。2—2”力+力2.

I.已知△力4c中，41=60°,AB=4,AC=6,且丽=2而，AN=NB.则尼•丽=()

A.12B.14C.16D.18

【答案】B

【解析】

解：ABAC=|71SH4C|-COS4=4X6X1=12,

且丽=~NB+BM=^AB+萍=g而+^(AC-AB)=^AB+浮

所以：~AC-~NM=而・(；而+：前)=•而+白荏5=1X12+^X36=14.

故选：B.

2.已知向量工=(1,2),~b=(m,-1)»若五II石，则苍石=()

A.B.|C.-|D.|

【答案】C

【解析】

因为向量元=(1,2),b=(m,—1)•a//ft»

所以一1-2771=0,m=-^,

所以a-b=-1-2=-1

故选：C.

3.艺术家们常川正多边形来设计漂亮的图案，我国国旗上五颗耀眼的正五角星就是源于正五边形，正五角

星是将正五边形的任意两个不相邻的顶点用线段连接，并去掉正五边形的边后得到的图形，它的中心就是

这个正五边形的中心.如图，设O是正五边形力4COE的中心，则下列关系错误的是()

A.AD+DB=OB-OAB.AO-BE=0

C.AC+AD=3AOD.AO-~AD=~BO-~BD

【答案】C

【解析】

对于A,AD+DB=ABfOB-OA=AB，故A正确，

对于B：因为=OB=OE,所以而1屁，故B正确，

对于C：由题意。是△4CD的外心，不是△力CD的重心

设CD中点为M,则|AM|=\AO\+\OM\=\AO\+\AO\cos360=\AO\•2cos218°,

AC+AD=4COS218°^O，故C错误，

对于D：AOAD=^|4D|2=i\BD\2=BO-BD.故D正确.

故选：c

4.已知不共线的平面向量瓦石1两两所成的角相等，且同=1,曲=4,|苍+石+石=夕，则回=()

A.y/2B.2C.3D.2或3

【答案】D

【解析】

由不共线的平面向量高石，Z两两所成的角相等，可设为仇则.设同=加

因为同=1,|b|=4,|五+b+可=夕，所以|五+石+七广=7,

即雷+2ab+d2+2b-c+2a-c+c2=7,

所以"+2xlx4cosY+42+2X4XTHCOS§+2X1Xmcosy+zn2=7

即n2—5m+6=0,解得：m=2或3.

所以m=2或3

故选：D

5.已知0为坐标原点，第二一2旃，若匕(1,2)、Pz(2,-1)，则与而共线的单位向量为()

A.(3,-4)B.(3,-4)或(-3,4)

□GV)或(-浦D.仔高

【答案】C

【解析】

由第=-2呵得第+2丽=6，即+呵=6，p[p^=p^pf

函-西=而一西，

OP=WP[-西=2(2,-1)-(1,2)=(3,-4)，

\0P\=132+(-4尸=5,

与而同向的单位向量为黑=(2一《)，反向的单位向量为(—[?)・

故选：C.

6.已知△力8c中，AB=AC=1,4BAC=120°,点D,E分别是边48,8c的中点，连接QE并延长到点

F,使得。E=2EF,则而.品的值为()

A.：B.IC.D.一]

2828

【答案】B

【解析】

如图所示，根据向量的线性运算法则，可得标=荏+加，

因为力B=L且E为BC的中点，可得力E_L8C,所以荏.前=0，

又因为点。，£分别是边4?,8c的中点，且DE=2£F,所以。E=2EF=；4C,

4

贝lj而•BC=（AE+EF）~BC=~EF•'BC=^AC.近=，1•代•cos300=

故选：B.

7.如图在△力BC中，LABC=900,F为AB中点,CE=3,CB=8,AB=12,则瓦5.丽=()

c

A.-15B.-13C.13D.15

【答案】C

【解析】

解：建立如图所示的平面直角坐标系，

则力(12,0),8(0,0),6(0,8),F(6,0),

又CE=3,C8=8,AB=12,

fflCF=y/CB2+BF2=10，

即CE=5FC,即FE=?C,

则诟=BF+^FC=(6,0)+-^(-6,8)=

贝同=(蓑,-g),而=(-?，-等

贝磔丽美X(T)+(Y)2=13;

故选：C.

8.如图，在△48C中，M,N分别是线段48,力。上的点，且力M=|力B,AN=^AC,D,E是线段BC上的

I2

两个动点，且而+荏=%宿+了前（%〃£即，则;：+：的的最小值是（）

xy

A.4B.\4C.97D.2

34

【答案】B

【解析】

设而=mAB+nAC^m+n=1,AE=XAB+〃正，Z+〃=1,

则4。'+荏=mAB+nAC+AAB+fiAC=(m+A)AB+(n4-IA)AC=+A)AM+3(n+n)AN=xAM+

y丽，1(m+A)=x,3(n+/z)=y=>?n+A=n4-/z=7n+A+n+〃=2=|x+gy=2=2x+

y=6.

所％+：=93+丫)6+今=乂2+2+*§2能+2+2万用=3，

当且仅当％=I，y=3时等号成立.

所叫+；的的最小值是J.

**y«5

故迄B

9.P、Q、R是等腰直角三角形48。（乙4=］）内的点，且满足N4P8=乙BPC=4CP4乙1”=乙CBQ=N8/IQ,

sin,4而+sinB而+sinCSc=0»则下列说法正确的是（）

A.PAPB>QAQB>^ARB

B.QA^QB>PAPB>RARB

C.RARB>PAPB>QAQB

D.RARB>QAQB>PAKB

【答案】C

【解析】

一♦,♦―♦

vsin4/L4+sinBRB+sinCRC=0

^-RA+（而+j-RC=0（正弦定理）

ZnZK£l\

:.aRA+bRB+cRC=0

cRC=-aRA-bRB

cRC=-a（RC+CA）-b（RC+CB}

,、一一一ACBC（~ACBC\

：•（a+b+c）OC=ciAC+bBC—cib——+ab—=abI>+I

ba\\AC\\BC\J

••・/?在乙4cB的角平分线上，同理可证R在NB4&N4BC的角平分线上，

R为内心

如图所示

由2/lPB=乙BPC=乙CP力知,这三个角都是120°

且P在4B4C的平分线4R匕延长4R交BC于点D

取Al?=6,则8〃=AD=3式入乙PBC=30°

得PO=皆=®PB=2瓜、PA=AD-PD=3V2-V6

所以m•~PB=（3V2-V6）-2V6cosl20°=6-673

记448C的周氏为CMBC

由题意知7?是4的内心，内切圆半径RD=7^7=就设=6-372

RA=AD-RD=6V2-6

所以而RA=（RD+DByRA=RDRA+DB-RA

=-（6-3V2）•（6V2-6）+0=72-54V2

由i/ICQ=Z.BAQ.R/.BAQ+乙CAQ=Z.BAC=90°

则44CQ+乙CAQ=90°

所以44QC=90。,即AQ1CQ,则Q在以AC为直径的圆上

由/CBQ=zACQ,且N4CQ+乙BCQ=^ACB=45°

所以乙C8Q+乙BCQ=45°，得匕8QC=l^.Z-AQB=135°

FtuBQC=乙AQB,乙BCQ=/A8Q彳导△BQC~△AQB

所以丝=些=短

必人AQAB

设/Q=x,BQ=&心在△A8Q中由余弦定理得

x2+2x2-62=2x-y/2x-cosl35°,

解得炉=方

所以口5QB=x-V2x•cosl350=-x2=-=-7.2

由标-PB=6-6V3=6-6x1.732=-4.392

RB-RA=72-54V2«-4.356

所以RBRA>PA^PB>QA^QB

故选:C

10.中，AB=y/2f=]o是△ABC外接圆圆心，是瓦.布+石？•方的最大值为（）

4

A.0B.IC.3D.5

【答案】C

【解析】

过点。作0。JL力C,0E_L8C,垂足分别为。，E,如图，因。是△48C外接圆圆心，则。，£分别为力C,BC

的中点,

在△48。中，AB=CB-CA>PW|4B|2=\CA\2+\CB\2-2CA-CB^即人.必=皿婴!匕,

CO-CA=\CO\\CA\cos^OCA=\CD\-\CA|=1|CA\2,同理而.而=称।函之，

因此，OCAB+CA-CB=OC(CB-CA>)+CA-CB=COCA-Cd•CB+CACB

=?西24|函2+121^^=|西2-1，

由正弦定理得：|刀|=粤罂=誓=2$访8W2,当且仅当8=］时取“=”，

Slil^/iCifSlir^乙

所以瓦-AB+CA-而的最大值为3.

故选：C

11.已知△ABC是半径为2的圆。的内接三角形，则下列说法正确的是（）

A.若角C=0则同.而=12

B.若2日（+荏+近=6，则|沅|=4

C.若丽-函=布.丽，则雨，丽的夹角为三

D.若（近+瓦?）.元=|丞则48为圆。的一条直径

【答案】BC

【解析】

对于A,作OO垂直于48.垂足为。，贝必。二^/18,

由正弦定理得=2x2xsinf=4xsin-=2百，

•3

故而•AO=\AB\■\AO\•cos^BAO=\AB\•\AD\=|x(2>/3)2=6,故A错误;

对于B,由265+而+前=6得，OA+AB+OA+AC=0^

即丽+近=6,则点。为8c的中点，即8c为圆的直径，故|瓦^=4，B正确：

对于C,设褊，丽的夹角为。，

由|引一而|=况.而得，|瓦?-而|2=（雨•丽）2,即8-8cosJ=16COS2。，

解得cosB=g或cos0=-1,

由于|。力一。®=。小。*>0，故cose=：,eC（0,n）,故8=g，

则石5，砺的夹角为*C正确；

对于D,由（BC+BA）^AC=\AC\2^（BC+BA）-AC-\AC\2=（BC+BA-AC）-AC=0^

即（近+瓦？+”）•m=0,2瓦？•恁=0，则8C为圆O的一条直径，D错误，

故选:BC

12.已知点P在△4BC所在的平面内，则下列命题正确的是（）

A.若P为的垂心，而.m=2，则而•荏=2

B.若△ABC为边长为2的正三角形，则西•（而+丽）的最小值为・1

C.若△ABC为锐角三角形且外心为P,而=%而+、正且工+2丫=1,则力8=BC

D.若而=（而匕+口而+（潟一；+福则动点P的轨迹经过△ABC的外心

\|A8|cos82/\|/1S|COSC2/

【答案】AC

【解析】

A：如下图，BE1AC,AD1BC,则P为垂心，易知:Rt△AEP~Rt△ADC,

所以笠=芸则4Ex4C=4PxA0,

ADAC

根据向量数量积的几何意义知：AB^AC=AExAC=2,同理丽・丽=APx4D，

所以而•而二2，正确；

B：构建以BC中点。为原点的直角坐标系，则力（0,6），若P（%y）,

所以以=（一居百一力，闪=（_%,_y）,

2222

由而+PC=2PO=(-2xf-2y)，则西(PB+PC)=2x+2y-275y=2x+2(y-y)-1，

当x=0,y=苧时P4•(方+PC)的最小值为一右错误；

C：由题设而二（1-2y）荏+y前，则而一万二丫（前—2而）,

所以而=y（而+瓦J）,若。为4C中点，则诙+瓦5=2而，

故而=2y而'，故8,。,。共线，又POJ•4C,即8。垂直平分AC,

所以A8=BC,正确；

D：由题设，而=尸平一+产餐+:（荏+前），

|/lF|cosfi|/!C|cosC2、）

则巾丽=昌三+需纥+；（诟+硝瓦=：（荏+硝•正，

7

\AB\cosB府|COSC2、'2、

所以2而•近=（而+而）•正，若。为BC中点，则而+而=2而,

故而•近=而•近，则P的轨迹不经过△48C的外心，错误.

故选:AC

13.定义平面向量的一种运算“。”如下:对任意的两个向量五=（勺,%）,1=（必/2），令5丽=（%/2-

+y/2），下面说法一定正确的是（）

A.对任意的入GR,有（府）06=

B.存在唯一确定的向量Z使得对于任意向量五，都有WG痘=N的=2成立

C.若五与了垂直，则（4哂所与加年㈣共线

D.若五与石共线，则（次汾灾与就国E）的模相等

【答案】AD

【解析】

设向量W=Qi，yi）石二（%2，、2），对于A,对任意的'（R,有（闻或=（凡,31）。（必,力）=（&i、2-

Ax2yi，Ax1x2+4力及）

=/（%1丫2-xzy\>x\x2+力丫2）=,0。5），故A正确；

对于B,假设存在唯一确定的向量Z=（与,yo）使得对于任意向量五，都有力加=卫的=五成立，即31yo-

劭月，％1a+7170）=（&月一+%）乃）=（勺,力）恒成立，即方程组

｛黑；歌；二;：力一”1%="1，对任意修,力恒成立，而此方程组无解，故B不正确；

对于C,若2与石垂直，则％1工2+7172=0,设7=（X3，丫3），则@。石）碇=（X172一32月，°）。（工3，乃）=（%1V2y3一

%2月乃，无1九％3一%2月工3），

a0（SOC）=（右,月）。但为一%3y2*2%3+丫2y3）

=（xix2x3+x/2y3-yix2y3+y/3y2，％62力-/乃叼+yix2x3+%y2y3）

=（%iy2y3-力、2y3,-/力会+yi%2%3）*2y3-y^2y3,xiy2x3-y1x2x3）,其中〃wR,故c不正确；

对于D,若N与石共线，则％1尸2一有月=°，设Z=（%3，乃），

（aQb）&C=（0,孙％2+力、2）。（％3，为）=（--乃丫2%3，%1%2y3+%丫2y3），

a0（S0C）=（/32%3+/y2y3-yM2y3+丫42%3，%M2%-%1及％3+为孙必+力丫2为）

=（无1%2%3+为、2无3/逐2、3+为九力），所以石）或与五。0猊）的模相等，故D正确.

故选：AD.

14.已知向量益，了的夹角为45。，|五|=四，且本了=2，若（布+E）1石，则入=.

【答案】-2

【解析】

因为工•b=|a||b|cos450=2得|b|=2,

又因为（疝+石）

所以（疝+E）•方=而方+京=22+4=0,所以入=一2.

故答案为：・2.

15.已知乙b是平面内两个相互垂直的单位向量，若向量下满足=0，则同的最大值为.

【答案】3

2

【解析】

以Z为X轴，b为J，轴，建立直角坐标系，

则d-(1,0),b=(0,1)，设w-(x,y),

依题意有W-七=(1一%,-y),b-2c=(―2x,1—2y)，

(a-c)•(5—2c)=-2x(1—x)—y(l—2y)=0，

即1一/+6一/=卷，向言的终点在圆心为,半径为弓的圆上，

小的最大值」()+()+**

故答案为：5.

2

16.已知平面向量总y,z,p|=||y|=|z|=x-y=l,则陟+司+躯一己的取值范围是

【答案】，问

【解析】

设K?的夹角为仇|引=：阴=团=三1,二cos。=等产；，

4I**I'Ml/

•••0e[0,n],0=«5

如图，由题可设受=亍？=(1,0),y=OB=(1,V3)，z=OC=(x,y)»

其中。为原点，C在单位圆上，记E(-/0)，假设存在一点“右,丫0)，使得CE=gcT

22

则有(％+《)2+y2=3[(%-x0)+(7-7o)]

•••4(/+%+b+y2=%2―2%•%+勺2+y2_2y•yo+7o2»

22

:.3x+3y2+(4+2x0)x4-2yoy+1—x0-婚=0

ro|xo_0

又“+”1,,等=0解得傥/2

^xo2+yo2-i_i

所以存在点F(-2,0),使得CE=gCE

二陟+司+纲L砺+画丽—■=

"I=+3|^|+1|^|=e!±!££lf

且直线的方程为y=?(x+2),即％-百y+2=0,圆心。到直线的距离为1.

所以8F与圆相切，所以当BCF三点共线时，空斗型取得最小值为萼二百，

如图，C在G位置时，因为田产I=2次，I。网+|C/|=2近，且2近＞2后，

由椭圆定义可知，此时G在以8,尸为焦点的椭圆上，

当C在其他位置时，C在椭圆内部，

所以(|CB|+|"|)的最大值为+|C/|=2V7,即叵1普的最大值为a.

•••|{x+z|+||y-z|e[V3,V7],

故答案为：

17.平面内给定两个向量五=(3,1),b=(-1,2).

(1)求|3益+2司：

(2)若(五+无)〃(2万一E)，求实数k的值.

【答案】(1)7企

(2求7

【解析】

(1)解:由己知我+21=3(3,1)+2(-1,2)=(7,7)，因此,\3a4-2b\=V2x72=772.

(2)解：由已知+kb=(3,1)+fc(-l,2)=(3-k,1+2k),Za-~b=2(3,1)-(-1,2)=(7,0)，

因为0+kb)//(2a一外，则1+2k=0,解得k=-1.

18.如图，在等腰梯形/5C。中，AB//CD,\AB\=2\DC\=2,/-BAD=pE是AC边的中点.

(1)试用而，而表示前，EC:

(2)求丽・丽的值.

【答案】(1)前=而+9而，~EC=^AD-^AB

⑵品

【解析】

(\)AC=AD+DC=AD+^ABt

芯=尼一屁=前后(而+硝=7-逆=^AD-浑.

1

-

2

---

1

2-

DB=AB-AD^

1113

碉

------

~DB-EC=(AB-AD)-4424

1'一.1“一f3'I,一.IT

=—TM^I2-y\^D\2+—\AB\'\AD\'cos—

1131

=__x4--xl+r2xlx-

_3

^3——4,

19.两个非零向量瓦石不共线.

(I)若丽二五+石,近=2方+85,而=3(5-5)，求证：力、B、0三点共线;

(2)求实数k使4+了与2a+无共线.

【答案】(1)证明见解析；

(2)%=±V2.

【解析】

⑴证明：因为通=五十5证=2五+8瓦而=30—石)，

所以丽=BC+CD=2a+8b+3(a-b)=Sa+5b^则丽=5近，

所以前，丽共线，两个向量有公共点8,

所以4、B、。三点共线.

(2)若依+石与2方+无共线，则存在实数〃，使得kH+b=〃(2五+kb)=2〃五4-也石，

所以仁案=1=2,=〃=土，，

所以k=2〃=±\/2.

20.在△4BC中，角48,。所对的边分别是Q,hc,40为4BAC的角平分线，已知c=2且(^+c?-川=(|一

2cos/l)bc,AD=1V5.

(1)求△ABC的面积；

⑵设点分别为边川MCI二的动点，线段“交4。于G,且aAEF的面枳为面积的•半，求布•丽的

最小值.

【答案】(1咛

磴

【解析】

(1)由余弦定理可得：a2+c2-b2=2accosB,则2QCCOSB=2cos4)be,

acosB=rb-bcosA,由正弦定理得：sinAcosB=y-sinfi-cosAsinB,

«5J

•••sinAcosB+cosAsinB=sin(A+B)=sin(?r-C)=sinf=；sinB,贝ijc=