苏科版九年级数学上册 用反比例函数解决问题（能力提升）

1.3用反比例函数解决问题

能力提升题

题型——次函数与反比例函数的应用

1.某气象研究中心观测到一场沙尘暴从发生到减弱的全过程（如图）.开始一段时间风速平均每小时增加2

千米，4小时后，沙尘暴经过开阔荒漠地，风速变为平均每小时增加4千米，然后风速不变，当沙尘暴遇到

绿色植被区时，风速y（千米/时）与时间x（时）成反比例函数关系.

（1）这场沙尘暴的最高风速是千米/时，最高风速维持了小时.

（2）当4WXW10时，求出风速y（千米/时）与时间x（时）的函数关系式.

（3）在这次沙尘暴形成的过程中，当风速不超过10千米/时称为“安全时刻”，其余时刻为“危险时刻”，那么该

沙尘暴在整个过程中的“危险时刻”共有多长时间？

【答案】（1）32,10

小640

⑶59.5

【详解】（1）解：由函数图象可知：。〜4时，风速平均每小时增加2千米；所以4时风速为8千米/时:

4〜10时，风速变为平均每小时增加4千米，10时达到最高风速，为8+6x4=32千米/时；

10〜20时，风速不变；最高风速维持时间为20-10=10小时；

故答案为：32,10；

（2）解：设当4峰％W10时函数解析式为y=ax+b,将（4,8）,（10,32）代入,

L筑解得：｛h=\

tlOa+b=323=-8

当44%工10时，出风速y（千米/时）与时间x（时）的函数关系式为y=4%-8：

（3）解：•••当4W%W10,y=10时，10=4%—8,解得％,

号时风速为10千米/时，

当义工20时，设风速)，(千米/小时)与时间X(小时)的函数解析式为

将(20,32)代入，得32=4

解得k=640

所以当时，风速)，(千米/小时)与时间k(小时)之间的函数关系为y=

当x>20,y=10时，—X=10,解得x=64

“危险时亥ij”的时间为：64-4.5=59.5(小时).

•••在沙尘暴整个过程中，“危险时刻”共有59.5小时.

2.如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=/(m>0)的图象交于点4(1,6),B(3,n)两点,与X轴交于

(1)求一次函数和反比例函数的表达式；

(2)若点M在x轴上，且AAMC的面积为6,求点M的坐标.

(3)结合图形，直接写出kt+b-->0时x的取值范围.

【答案】(l)y=-2%+8：y=：

(2)(6,0)或(2,0)

(3)1<%<3

【详解】(1)解：(1)把4(1,6)代入y=/得：m=6,

即反比例函数的表达式为y=^(x>0),

把8(3,九)代入y=:得：n=2,

即B的坐标为(3,2),

把4、B的坐标代入y=k%+b得:

解得片",

(3A+b=2kb=8

即一次函数的表达式为y=-2x+8；

(2)••,一次函数y=-2%+8与％轴交于点C,

••"(4,0),

•••4(1,6),点M在X轴上，且△4MC的面积为6,

CM=2,

：,M(6,0)或(2,0)；

(3)观察函数图象知，/^+6-”>0时工的取值范围为1<%<3.

X

3.某校根据《学校卫生工作条例》，为预防“蚊虫叮咬”，对教室进行“熏药消毒”.己知药物在燃烧释放过程

中，室内空气中每立方米含药量)'(mg)与燃烧时间x(min)之间的关系如图所示.根据图象所示信息，

⑴求正比例函数和反比例函数表达式，并写出自变后”的取值范围：

(2)据测定，当室内空气中每立方米的含药量低于4mg,劝人体无毒害作用.从消毒开始，至少需要经过多

少分钟后，学生才能回到教室？

(3)当空气中每立方米含药量不低于6mg且持续时间不低于20分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌.你认为

此次消毒是否有效？并说明理由.

【答案】(l)y=?x(0WxV16),y=^(x>16)

(2)至少需要经过48分钟后，学生才能gI到教室

(3)有效，理由见解析

【详解】(1)解：设正比例函数表达式为丫=心:，反比例函数表达式为y=:,

将点(24,8)代入y=?中得:8=(

解得：m=192

•••反比例函数的表达式为、=芍

把)，=12代入丫=詈中得：12=爱，

解得：％=16

•••4(16,12)

反比例函数的表达式为y=N16),

将点4(16,12)代入y=打得:12=16匕

解得：k=；

4

•••正比例函数的表达式为y=；x(0<x<16)

(2)解：将y=4代入y=3中得：4=*,

解得：x=48,

至少需要经过48分钟后，学生才能回到教室.

(3)解：有效，

理由：把将y=6代入y=4中得：6=；4x,

解得：x=8,

把『6代入y=?得：6=?，

解得：x=32,

.-.32-8=24>20,

••・此次消毒有效.

4.我省某化工厂2023年1月的利润为200万元，若设2023年1月为第一个月，第x个月的利润为y万元：

由于污染问题，该厂决定从2023年1月底适当限产，同时投入资金进行新技术改造.从1月底到5月，y

与工成反比例关系.到5月底，新技术改造任务顺利完成，从这时起，之后该厂每月利润比前月增加20万

元(如图).

(1)分别求出在新技术改造阶段(1<X<5)及新技术改造后(％>5),y与x之间的函数表达式；

(2)若设第3个月时该厂的利润为力,第4个月时该厂的利润为％，第7个月时利润为为，则为、力和乃的

大小关系为：(用连接)；

(3)当月利润少于100万元时，为该厂资金紧张期，请求出该厂资金紧张期共有几个月？

【答案】(1)当1工工工5时，当x>5时，y=20%-60

⑵%>71>72

(3)5

【详解】(1)解：当14不工5时・，将(1,200)代入y=：得：/c=200,

二在新技术改造阶段的函数关系式为：y=—,

当力>5时，将欠=5代入y=?得：y=40,则y=40+20(%-5)=20x—60,

即新技术改造后y与x之间的函数关系式为：y=20%-60.

(2)解.：当％=3时，该厂的利涧在反比例函数y=卓上，

当x=4时，该厂的利润在反比例函数y二签上,

当x=7时，该厂的利润在一次函数y=2Ox-60±,

•••y3=2Ox-60=80,

••-73>y】>丫2,

故答案为：y3>y\>丫2・

(3)解：对于y=g,当y=100时，x=2,

对于y=20x—60,当y=100时，x=8,

二资金紧张期有第3、4、5、6、7这5个月,

该厂资金紧张期共有5个月.

题型二反比例函数在几何中的应用

1.如图，点C在反比例函数y=?的图象上，过点。作CDly轴交反比例函数丫=%的图象于点4垂足为点

。，过点C作C81CO交反比例函数y=g的图象于点儿连接40,B0.若四边形408C的面积为36,。。=3AD,

则2/q-3k2=.

【详解】解:由题意可设4(Q,令,

•••CD_Ly轴，

•'•AD=a,OD=—,

a

•••CD=3/D,

•••CD=3a,

・•・C(3啕，

.•.OD="=竺,

3aa

;—3k2>

••,CB1CD,

点3的横坐标与点。横坐标相同，

小簿，

：.CB="一丝=也士,

3a3a3a

•..S桃形me。=1(^37i+.3a=[自+七=]3&+%=

•••四边形/10BC的面积为36,

,S四边形408C=S梯形0BCD-S&AOD=\k2-\k2=2k2=36,

二七=18>

••.221—3k2=2,3k2—3k2=3七=3x18=54.

2.如图，一次函数y=%+l的图象与反比例函数y=其％>0)的图象交于点A(m,3),与工轴交于点比

⑴求反比例函数的解析式；

(2)经过点A的直线CO与反比例函数图象交于点C,与y轴交于点。，连接BC,若力求△4BC的面

积.

【答案】(I)y=：

⑵另

【详解】(1)解：将A(?n,3)代入y=%+1,得m+l=3,

解得m=2,

••.4(2,3),

•.•点A在反比例函数y=^(x>0)的图象.匕

.,./c=2x3=6,

・••反比例函数的解析式为y=(

(2)解：-AD=AC,

二点A是CD的中点，

•••42,3),点。在y轴上，

•••点C的横坐标为2x2-0=4,

...当％=4时，y=：=抵

'C(得,

如图，过点C作CEIIx轴交4B于点E,过点A作工尸1CE于点八过点B作BG1CE交CE延长线于点G,

一次函数y=x+l,当y时，x+1=

17/'3\17321

-x-x(3--)+t-x-x-=一

••・S匕ARC=SMCE+S^BCE='八?+^CE,BG22\2/2224

3.如图，A/OB是等腰直角三角形，AABO=90°,双曲线y=：(x>0)经过点8,过点4(8,0)作x轴的垂

线交双曲线于点P,连接BP,设直线BP的一次函数解析式为y=mx+n.

(1)求点B的坐标以及反比例函数解析式;

(2)直接写出不等式mx+n>§的解集;

⑶求△48户的面积.

【答案】(1)8(4,4),y=^(x>0)

(2)4<x<8

(3)4

【详解】⑴解：必(8,0),

••・04=8

x轴于点D,

是等腰直角三角形，Z.ABO=90%LAOB=LOAB=45°

:AABDA均是等腰直角三角形,

：.BD=-OA=0D=AD=4,

2

二点见4,4)；

・••将8(4,4)代入y=：(x>0),则A=4x4=16,

・••反比例函数表达式为y=y(x>0)；

(2)解：由题意得，点P的横坐标为8,

将《=8代入y=y(x>0),

.-.P(8,2),

二不等式77ix+n>2的解集为4<r<8；

X

(3)解：由(2)知P(8,2),

“P=2,

A8P的面积=^x2x(8-4)=4.

4.如图，反比例函数y=#0)经过A,C两点，过点A作AB1y轴于点B,过点C作CD1”轴于点D,

连接04,OC,AC.己知C点的坐标为(一3,1).

(1)求反比例函数解析式；

(2)若CD:OB=1:3,求△力OC的面积.

【答案】(l)y=—：

(2)A/1OC的面积为4

【详解】(1)解：反比例函数y=§(kH0)经过A,C(—3,1)两点,

•-k=xy=—3x1=—3,

・••反比例函数解析式为y=T；

(2)解：反比例函数解析式为y=-：，过点A作力8_Ly轴于点从过点。作CO_Lx轴于点

,ScOD=^hAOB=21^1=2,

•・♦C(-3,1),

••.OD=3,CD=1,

•••CD:OB=1:3,即1:08=1:3,

••.05=3,贝ijB(0,3),

.*8X3=不

••AB=1»

.X的横坐标为-1,则4(-1,3),

如图所示，过点C作J.y轴于点E,则四边形ODCE是矩形,

：.CE=0D=3,CD=OF=1,则BE=3-1=2,

_Q48+CE)BE_(l+3)x2

矩形=4

,.,SODCE=OD-CD=3,5梯1形ABEC-22；

：'S匕AOC=S矩形0℃E+§梯形A8EC—0^COD~^£^AOB

33

=34-4—---

22

=4,

・•・△40C的面积为4.

拓展培优题.

1.某款三明治机制作三明治的工作原理如下：

①预热阶段：开机1分钟空烧预热至6(rc,机器温度)，与时间/成一次函数关系;

②噪作阶段：操作3分钟后机器温度均衡升至最高温度180汽后保持恒温状态；

③断电阶段：操作完成后进行断电降温，机器温度)，与时间X成反比例关系.

如图所示为某次制作三明治时机器温度y(oq与时间X(min)的函数图象，请结合图象回答下列问题:

(I)预热阶段机器温度上升的平均速度是℃/min,开机3分钟时，温度为℃；

(2)当0WXW4时，求机器温度y与时间x的函数关系式；

(3)求三明治机工作温度持续在1002以上的时间是多少分钟？

【答案】⑴60,140

60x(0<x<1)

(2)y=

40%+20(1<x<4)

(3)8.8分钟

【详解】(1)解：根据速度等于温度除以时间计算即早=60oC/min；

设1WxW4温度y(。。与时间x(min)之间的关系式为y=H+b,

根据题意,得喘::：2

解得《：S

故产40%+20,

当x=3时，y=40X3+20=140,

故答案为：60,140.

(2)解：由图象可知：当OWxWl时，y=60x；

当1VXW4时，y=40x+20,

y=6Ox,0<x<1

综上：y=

y=40x+20,1<x<4

(3)解：当x26时,，设'=个(自工0),

将C(6,180)代入得：k3=1080

1080

•••y=~

当),=100时,

依次代入y=40x+20及y=w中，

分别解得x=2,x=10.8,

故持续时间长为：10.8-2=8.8（分钟）；

答：三明治机工作温度在100。（：以上持续8.8分钟.

2.某工厂2025年3月份至6月份进行为期4个月的环保治污改造，改造过程中月产销额受到一定影响，改

造完成后月产销额直线上升.在此改造过程中月产销额y（万元）与月份x之间满足反比例函数关系，改造

完戊后从7月份起满足一次函数关系，如图，点〃，C,/）在同一直线上.

八六万元）

200-----n

\「D/

130--------'、,、、、

B，

-0|678—^月）

（1）求今年5月份的产销额；

（2）求环保治污改造完成后，10月份的产销额比3月份增长了多少万元？

【答案】（1）120万元

（2）20万元

【详解】（1）解：设反比例函数的解析式为％=；（4工0）,

由点（3,200）代入得，200=

解得k=600,

则反比例函数的解析式为为=?，

当％=5时，=120,

即今年5月份的产销额为120万元；

（2）解：设一次函数的解析式为V2=QX+匕（。=0），

当X=6时，%=100,

兑=乃=10°，

得100=6a+b,

由图可知，当％=7时，y2=130,得130=7。+b：

解得a=30»b=-80>

则一次函数的解析式为欠=30x-80,

当％=10时，y2=220,

220-200=20,

则10月份的产销额比3月份增长了20万元.

3.打铁是中国传统手工锻造工艺，以铁砧、火炉、风箱等工具洛铁料经煨烧、锻造、淬火等工序制成农具

或生活器具，该工艺始于汉代，作为一项老祖先的传承，小明某次旅游中，观看了一次打铁的非遗表演.并

发现了以下现象，请帮他解决问题：

打铁要进行城烧和锻造两个工序，即将材料由20口烧至IJ1000□后立即开始锻造操作，当材料温度低于500久

时，须停止锻造并立即进行再次燃烧.每次爆烧温度上升的速度相同，燃烧过程温度)，(久)与时间x(min)

成一次函数关系，第一次锻造时温度)，(℃)与时间x(min)成反比例函数关系.

(1)求第一次城烧和锻造的函数解析式；

(2)求第一次锻造操作的时长；

(3)求第二次开始锻造的时间(精确到O.lmin).

【答案】(l)y=98x+20(0<x<10)；y=<10<x<20)

(2)10min

(3)25.1min

【详解】(1)解：第一次煨烧时温度y(久)与时间x(min)成一次函数关系，

设此时函数解析式为y=kx+b,由图象可知，该函数经过(0,20)和(10,1000)两点,

叫晶片。。，解嘱备

即｛&y=98x+20(0<x<10),

第一次锻造时温度)，(久)与时间x(min)成反比例函数关系，

设此时函数解析式为y=

由图象可知，该函数经过(10,100。)点，即1000=弟解得m=10000,

即8C:y=^(10<x<20)；

(2)解：当y=500时，％解得：x=20,

OUU

当y=1000时，x=10,

20-10=10(min),

所以第一次锻造操作的时长是lOmin：

(3)解：每次城烧温度上升的速度相同，

设第二次煨烧时温度)，(。0与时间x(min)的函数解析式为>=ax+〃，

由题意得Q=98,即函数解析式为y=98%+几，此函数经过(20,500)点，

代人可得，500=98x20+〃，

n=-1460,BPy=98x-1460,

当y=1000时，x«25.1min,

所以笫二次开始锻造的时间约为第25.lmin.

4.【知识背景】杠杆原理：动力x动力臂二阻力x阻力臂，如图1,即片=尸2乂42.小明利用杠杆原理制

作了一个称量物体质量的简易'‘秤、'(如图2).

【方案设计】第一步：在一根长度为50cm的匀质细木杆上标上均匀的刻度(单位长度1cm),在左侧末端/处

固定一个金属吊钩，作为秤钩，在离左侧末端10cm处确定支点0,并用细麻绳固定；

第二步：取一个质量为1kg的金属物体作为秤而它备注：秤钩与秤枪绳长的质晟忽略不计)

任务一：在图2中，把重物挂在秤钩上，秤此挂在支点0右侧的B处，秤杆平衡，就能称得重物的质量.当

重物的质量变化时，OB的长度随之变化.设重物的质量为xkg,。8的长为ycm.

［力生*产父L1彳%IB~£/I1iB

(l)y关于x的函数关系式是；

(2)若0<yV40