广东广州市越秀区部分校2025-2026学年第二学期期末调研高一年级数学试题（试卷+解析）

2025学年第二学期期末调研参考资料

高一年级数学学科

本调研资料共4页，19小题，满分150分.建议完成时间：120分钟.

注意事项：

1.作答前，学生务必将自己的姓名、调研号、监测室号和座位号填写在答题卡上.

2.用2B铅笔将调研号、座位号等填涂在答题卡相应位置上.作答选择题时，选出每小题答案

后，用2B铅笔将答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其他答案.答案不能答在调研资料上.

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相

应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液、涂改

带,不按以上要求作答无效.

4.学生必须保证答题卡的整洁.调研结束后，将调研资料和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分,在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.已知集合4={闻-3<xvO},八卜团臼则AJB二（)

A.(-3,-2)B.(-3,1)C.(-2,0)D.(-oo,-2)

2.不等式心且，“〉]的解集为()

2

i}(1

A.0,-B.-,+ooC.D.(0,+cc)

[12

3.在中，点。在A5边上，BD=2DA»记CB=m，CO=〃，则CA=（）

A.—m+—nB.—2〃z+3〃

22

3_1

C.D.

22

4.天气预报报道：端午节甲地降雨的概率是0.6,乙地降雨的概率是0.8.假定在这段时间内两地是否降雨

相互之间没有影响，则至少有一地降雨的概率是（）

A.0.2B.0.48C.0.52D.0.92

5.某公司共有50名在职员工，去年全体员工年薪的平均数是10万元，其中最高的年薪200万元，最低的

年薪3万元，员工年薪的第一四分位数为4.5万元、第二四分位数为9.5万元，求职者小林拿到了该公司的

录用通知，年薪为9万元，则下列结论正确的是（）

A.该公司有一半员工的年薪高于10万元B.该公司员工的年薪中位数高于9.5万元

C.年薪高于9.5万元的员工约为25人D.小林的这份年薪在公司内属于中等偏上水平

6.将一枚质地均匀的骰子先后掷两次，设人="第一次出现I点"，B="第二次出现I点”，。二“两

次出现的点数之和为5"，D="两次出现的点数之和为奇数”，则（）

A.事件A与事件。互斥B.事件8与事件C相互独立

C.事件A与事件。相互独立D.1

«•

7.若〃?，〃表示两条不同的直线，。，夕表示两个不同的平面，下列命题中正确的是（）

A.若。//,〃zua,nu0,则加〃〃B.若〃?〃“，m//a,则〃〃二

C.若根_L〃，mlla,则〃J_aD.若mJ_cr,n1.fl,m//n»则

8.如图，为了测量两山顶M,N间的距离，飞机沿水平方向在4,8点进行测量，4,B,M,N在同

一铅垂平面内，现测得的数据有：①=②N84V=",®AB=s,④幺Nb=y,⑤

⑥/ABN=e,则下列可求出MN的测量数据组合是（）

KAB

A.②③④⑤⑥B.①©©©⑥C.①②③④D.②③©©

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.下列说法正确的是（）

A,若复数z满足z+2豆=3—i（其中5为z的共扼复数），则z=l+i

B.若复:数z=（/+2x—3）+（x—l）i（xwR）为纯虚数，则x=—3或x=l

C.若i（l—z）=l,则国=0

D.若z=l-i是实系数一元二次方程/+px+q=0的一个根，则〃=-2,q=2

10.已知球。与圆台的上下底面和侧面都相切，若圆台的上下底面半径分别是1和6,则（）

A.圆台侧面展开图扇环的圆心角为--

3

B.圆台的体积为题Y5兀

3

C.球。的体积为86兀

343

D.过圆台两母线的截面面积最大值为记

11.已知正方体A8CO—4⑸CA的棱长为。，点p在棱4片上运动（含两个端点），下列结论正确的是

（）

A.对任意位置的点P,都有CP_LAR

B.存在点P,使得异面直线AQ与8G所成的角为30。

C.以点儿为球心，。为半径的球面与平面ABR的交线长为0兀〃

9,

D.当p为中点时，正方体被平面PAC截得的截面面积为

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.匕包的虚部为_______.

i

13.已知正四棱台的上、下底面边长分别为2和4,侧棱与下底面所成角为45。，则该棱台侧面积为.

14.已知陷=PA-PB=2,%.pc=8，则8C的最小值为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知_A3C中，角A,B,。所对应的边分别为。，b,J向量加=（〃,、&）,〃=（sinB,-cosA）,

且m±n.

（I）求A；

（2）若。=",b=2,求上ABC的面积.

16.某电商平台开展“季度金牌店铺”评选活动，所有参评店铺的季度服务综合评分满分为100分，将所有

参评店铺得分从高分到低分排序，得分前15%的店铺将获得平台“金牌店铺”标识及流量扶持.为了解所

有参评店铺的得分情况，现从全部参评店铺中随机抽取了100个店铺的综合评分组成样本，得到如图所示

的样本数据的频率分布直方图.

(1)求图中。的值，并估计全部参评店铺的综合评分的平均分(计算平均分时，同一组中的数据用该组

区间的中点值为代表)

(2)估计获得“金牌店铺”标识的最低分数线是多少分(结果聚留整数)；

(3)若从调查的100个店铺里分数不低于80分的店铺中，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取5个

店铺进行经验交流，从中随机抽取2个店铺进行运营案例分享，求这2个店铺分别来自[80,90),

[90,100]分数组的概率.

17.如图，在所有棱长均为2的正三棱柱ADE-BCF中,M为楂AO的中点.

(I)求证：DF//平面BEM；

(2)求证：平面内耳必_1_平面ABCD：

(3)求直线8/与平面所成角的正弦值.

18.设。/，是平面内相交成a角的两条数轴(0va<兀且aw]),q,e2分别是与工轴，》轴正方

向同向的单位向量，定义平面坐标系上0y为X0y(a)仿射坐标系.在xQy(a)仿射坐标系中，若向量

OP=xet+ye2,则记OP=(x,y).

(1)若。4=(9,0),。6=(0,6),且A,B,M三点共线，求〃”的值；

7T

(2)若a=。人=(2,1),。8=(1,-1),求OA与08所成夹角的余弦值；

⑶若。4=(1,2),08=0,0),且2血对任意fwR恒成立，求a的取值范围.

19.如图，在四棱锥。一A3c。中，A/WD是边长为2的等边三角形，且依_L3£>,点M为PC中点，

且DM=CD=2,BC=2\/2.

M

B

(1)求证：BDLAMx

(2)若二面角M-BD—C的平面角的余弦值为正，求三棱他P—4DW的体积：

3

(3)由立体几何中的最大角定理知，给定二面角。一/一6，过/上同一点在半平面内作任意直线，该直

线与平面夕所成线面角的最大值等于二面角的平面角.已知点〃为平面心。内任意点，求直线与平

面BDM所成角的正弦值的最大值.

2025学年第二学期期末调研参考资料

高一年级数学学科

本调研资料共4页，19小题，满分150分.建议完成时间：120分钟.

注意事项：

1.作答前，学生务必将自己的姓名、调研号、监测室号和座位号填写在答题卡上.

2.用2B铅笔将调研号、座位号等填涂在答题卡相应位置上.作答选择题时，选出每小题答案

后，用2B铅笔将答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其他答案.答案不能答在调研资料上.

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相

应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液、涂改

带,不按以上要求作答无效.

4.学生必须保证答题卡的整洁.调研结束后，将调研资料和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分,在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.己知集合A={x卜3vxvO},3=">2},则AJB=()

A.(-3,-2)B.(-3,1)C.(-2,0)D.(-00,-2)

【答案】B

【解析】

丫一4丫一4丫42

【详解】不等式一>2«2--——<0»--<0»(x+2)(x-l)<0,

x-1x-1x—1

解得一2cx<1,则B=(—2,l),而A=(—3,0),

所以AuB=(-3,l).

2.不等式1°与”>1的解集为()

2

C.(1,-KO)D.(0,+oo)

【答案】A

【蟀析】

10

【详解】不等式等价于log,X>10gl函数y=^1X在（0,I8）上单调递减，

2222

得0<犬<!，所以不等式的解集为

22）

3.在AABC中，点D在AB边上，BD=2DA，记CB=m，CD=〃，则CA=（）

13cC

A.—m+—nB.-Q.m+3n

22

31--

C.-nt4--nD.3m—2〃

22

【答案】A

【解析】

【分析】先由BD=2D4化为。。一。8二2（。一。。），再整理，由题中条件，即可得出结果.

【详解】因为在LAAC中.点力在边A4上，且50=20/1，

所以C£>-C3=2（C4-CO）,

3—1.13

即CA=—CD—CB,乂CB-ni，CD-n»所以CA=—ntH—n.

2222

C

4.天气预报报道：端午节甲地降雨的概率是0.6,乙地降雨的概率是（）.8.假定在这段时间内两地是否降雨

相互之间没有影响，则至少有〜地降雨的概率是（）

A.0.2B.0.48C.0.52D.0.92

【答案】D

【解析】

【分析】根据事件和的概率公式，以及独立事件同时发生的概率公式，即可求解.

【详解】设事件4表示甲地降雨，事件4表示乙地降雨，则A+3表示至少有一地降雨，

所以「（A+B）=P（A）+0（3）-P（AB）=0.6+0.8-0.6x0.8=0.92.

5.某公司共有50名在职员工，去年全体员工年薪的平均数是10万元，其中最高的年薪200万元，最低的

年薪3万元，员工年薪的第一四分位数为4.5万元、第二四分位数为9.5万元，求职者小林拿到了该公司的

录用通知，年薪为9万元，则下列结论正确的是（）

A.该公司有一半员工的年薪高于10万元B.该公司员工的年薪中位数高于9.5万元

C.年薪高于9.5万元的员工约为25人D.小林的这份年薪在公司内属于中等偏上水平

【答案】D

【解析】

【详解】对于选项A,平均数10万元受最高年薪200万元的极端值影响被拉高，且第三四分位数仅为9.5

万元，说明至少75%的员工年薪不超过9.5万元，因此年薪高于10万元的员工不足一半，A错误；

对于选项B,中位数为第50百分位数，第三四分位数为第75百分位数，故中位数必然小于等于9.5万

元，B错误；

对于选项C,第三四分位数为9.5万元，说明约75%的员工年薪不高于9.5万元，因此年薪高于9.5万元的

员工约占25%,对应人数约为50x25%=12.5人，并非25人，C错误：

对干选项D,中位数介于第一四分位数4.5万元与第三四分位数9.5万元之间，小林年薪9万元高于中位

数，接近第三四分位数，在公司内属于•中等偏上水平，D正确.

6.将一枚质地均匀的骰子先后掷两次，设人="第一次出现1点"，B="第二次出现1点”，C="两

次出现的点数之和为5"，D=两次出现的点数之和为奇数”，则（）

A.事件4与事件C互斥B.事件4与事件C相互独立

C.事件A与事件Q相互独立D.P（Au8）=g

【答案】C

【解析】

【详解】样本空间共包含6x6=36个等可能基本事件.

尸6）=三="P（8）=三=，，事件C包含（1,4）,（2,3）,（3,2）,（4,1）共4个基本事件,

366366

41

故P（C）=77=K；事件。包含18个基本事件，分别为

369

（1,2）,（1,4）,（1,6）,（2,1）,（2,3）,（2,5）,（3,2）,（3,4）,（3,6）,（4,1）,（4,3）,（4,5）

(5,2),(5,4),(5,6),(6,1),(6,3),(6,5),

1Q|

故P（0）=芯=7・

362

事件包含基本事件（1,4）,故A与C不互斥，A错误.

事件包含基本事件(4,1),P(BC)=LP(B)P(C)=-X-

=—工—,故8与C不相互独立,

36695436

B错误.

事件A。。包含。,2）,（1,4）,（1,6）共3个基本事件，尸（八。）=总=5，=W

故尸（AD）=P（A）P（O）,故A与3相互独立，C正确.

事件AcB包含基本事件(1,1),故P(AB)=4,

36

P(AJB)=P(A)-kP(B)-P(AB)=-+--=—^-D错误.

6636363f

7.若〃?，〃表示两条不同的直线，。，仅表示两个不同的平面，下列命题中正确的是（）

A.若a///?,〃?ua,nu0,则加/〃B.若加/〃，mHa,则〃〃a

C.若〃?J_〃，mlIa»〃二。，则〃_LaD.若m_La,n1。,tn/In,则a//

【答案】D

【解析】

【详解】若a///?,mua，nu/3,则加//〃或以"是异面直线，A选项错误；

若〃“/〃，mlla,则〃〃a或〃ua,B选项错误；

若用_1,〃，mJ/a,则〃J_a,nila»几a相交都有可能，C选项错误；

因为〃?J_a且加〃〃，则〃_L。，又因为〃所以a//,D选项正确.

8.如图，为了测量两山顶M,N间的距离，飞机沿水平方向在4,8点进行测量，4,B,M,N在同

一铅垂平面内，现测得的数据有：①/84M=a,"BAN=0,③A3=s,④么NB=y,⑤NA8M=。,

⑥NABN=。,则下列可求出MN的测量数据组合是（）

VAB

A.②③④⑤⑥B.®®®®®C.①②③④D.②®®©

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意结合正弦定理和余弦定理分析判断.

【详解】对于选项A：把MN放在中求解，需要AM,

而在,ABM中，仅确定NBAM.AB,

条件不足，无法求出4M或8W，所以无法求得M,N间的距离,

把A/N放在，8WN中求解，同理条件不足，A错误；

对于选项B：当测出①③AB=s,④乙ANB=，/、⑤NABM=。，⑥NABN=6,

...ABsinZABMssin(p

在以3M中,由正弦定理可得4W=a(NABM+NBAM广而两，

ABsin/ABN_ssin。

在,.A3N中,由正弦定理可得4N=

sin^ANBsiny

在LAMN中,可得NM47V=NB4M—28AN,

由余弦定理即可求得M,N间的距离，B正确;

对干选项C在4ABM中，仅确定N84M.A8,

条件不足，无法求出AM或8W,所以无法求得M,N间的距离，C错误;

对于D选项，在AABM中，仅确定

条件不足，无法求出AM或BM,所以无法求得M,N间的距离，D错误.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分,在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.下列说法正确的是()

A.若复数z满足z+25=3-i(其中2为z的共扰复数)，贝Uz=l+i

B.若复数z=(Y+2x—3)+(x-l)i(xwR)为纯虚数，则x=—3或x=l

C.若i(l-z)=l,则国=及

D.若z=l—i是实系数一元二次方程f+〃工+4=0的一个根，则〃=-2,q=2

【答案】ACD

【解析】

【详解】设2=。+勿,(。力ER),则［二〃_〃，则z+25=3a—抚=3—i,所以z=l+i，

A选项正确:

2

因为z=(f+2x-3)+(x-l)i(xwR)为纯虚数，则,X+2A-3=0

x-1^0

(x+3)(x-l)=0

整理得《所以x=-3,B选项错误;

x-1w()

因为i(l—z)=l,所以z=1-：=1+i,所以|z|二J5,C选项正确;

由题意可知实系数一元二次方程?+px+q=O的另一个根是z2=l+i,

所以［〃二-2,口选项正确.

10.已知球。与圆台的上卜底面和侧面都相切，若圆台的上卜底面半径分别是1和6,则（）

A.圆台侧面展开图扇环的圆心角为§

B.圆台的体积为吃近兀

3

C.球。的体积为8"兀

343

D.过圆台两母线的截面面积最大值为普

【答案】BC

【解析】

【分析】画出轴械面，延长。ACB交于〃，根据题意求得8c=7,EF=2R=2R，CH=y,设

扇环的圆心角为。，则|a|C〃=2兀x6,得到。二与兀即可判断A；由台体体积公式及球的体积公式即

可判断BC,过圆台两母线的截面面积最大值为轴截面，利用梯形面积公式即可判断D.

【详解】如图，轴截面如下：延长。ACB交于”，

由相切的性质可得BE=4G=1,b=CG=6,则母线BC=7,

EF=2R=17?-（6-1丫=2瓜（R为内切球半径），解得R=6，

BH742

又BE〃CF,则需翳»即一二,解得BH=—,CH=—

66”十755

设扇环的圆心角为a,

\a\CH=2KX6,解得。=与兀，故A错误;

圆台的体积V=，（兀+36兀+5/兀・36兀）・2遥=86"兀,故正确;

33

球。的体积为3兀R3=8«兀，故C正确；

3

过圆台两母线的截面面积最大值为g（4B+CQ）£7、gx（2+l2）x26=146，故D错误.

11.已知正方体的棱长为。，点P在棱A片上运动（含两个端点），下列结论正确的是

（）

A.对任意位置的点尸，都有CP_L4R

R-存在点尸，使得异面直线A尸与BG所成的角为30。

C.以点A为球心，〃为半径的球面与平面A3。的交线长为公兀〃

9

D.当P为中点时，正方体被平面PAC截得的截面面积为

O

【答案】ACD

【解析】

【分析】A选项，根据线面垂直的性质证明线线垂直，将动直线转化为定平面，通过证明线面垂直即可得到

线线垂直；B选项，假设存在，利用平行线构造夹角，放在三角形中通过余弦定理计算边长，若能满足边长

关系，则存在，不满足，则不存在；C选项，根据球与平面的截面为圆，可利用球半径，截面圆I半径，圆心

到平面的距离组成直角三角形，计算截面半径和周长即可；D选项，画出截面为等腰梯形，根据梯形面积公

式计算即可.

【详解】

A选项•因为TF方体中.A4，平面42<Z平面4。〃4.故4与，4。,

又因为BQJ_BC，故ARJ.qC,

因为=且44，&Cu平面A§C，故AR，平面A4C,

因为点P在棱4月上运动（含两个端点），故CPu平面A§C，

则CP_LAA，故A正确；

B选项，在正方体中，BCJ/AD、,故异面直线AP与8G所成的角为NPAA，

在△APR中，AP=D1P,AD=V2a,若/PAR=30,则NP"A=30,

则/APR=12。,由余弦定理可得：

2222222

AD；=AP+DiP-2xAPxDiPcos120=la,BPAP+AP+AP=2a

解得AP=D/=半〃<A4=a，不符合直角三角形边长关系，故B错误；

1历

C选项，因为A3_LAA，故AABD为直角三角形，5,.„D=-ABAD.=—a\

L

根据三棱锥4-A8D1的体积公式可得匕ABD=与5=2%，

11一只36

且5-八%二%-八研XA^1=|x|xtrxa=^\

故——cz2t/=—cz3»解得d-也■a,

662

故A到平面ABD,的距离为“="〃，因为球半径为r=a,

2

则截面圆半径为J/二一I则周长为27rx42〃=,故C正确；

22

D选项，如图所示，当户为中点时，正方体被平面P4C截得的截面为PACQ,

。为耳G的中点；则PQ〃AC且pQ=gac=¥〃，

根据梯形面积公式可得S=］人（尸。+AC）=/X—+=^a2,故D正确.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.匕包的虚部为.

1

【答案】-1

【解析】

【分析】通过复数的除法运算将原式化简为标准代数形式，再根据复数虚部的定义求解结果.

［详解】因为芋二号早=¥=・=5一”以?的虚部为一

13.已知正四楂台的上、下底面边长分别为2和4,侧棱与下底面所成角为45。，则该棱台侧面积为

【答案】

12x/3

【解析】

【分析】先根据侧棱与下底面的夹角求出正四棱台的高，再求出侧面等腰梯形的斜高，最后代入侧面积公

式计算.

【详解】记正四楂台ABC。—44GA的上、卜底面中心分别为。|，。，连接。G，则。«为楂台的

高，记为力

过A作AE，AC于E,由正四棱台的性质可知AE垂直下底面，

故/AAE为侧棱AA与下底面所成的角，即NAAE=7,

已知上底面边长为2,下底面边长为4,因此上底面对角线AG=2及，下底面对角线AC=4及，

可得AE二AC-AG=4应-26:正,在对AAAE中，h=AEtan¥=6xl=6,

224

过。作于b，过。|作。|耳于"，连接尸尸，则耳尸为侧面等腰梯形的斜高，记为

过冗作耳GJ_。产于G,则4G=/z=JLFG=^=\,

在RgF\FG中：//=+FG?=+G=6,

正四棱台侧面积为4个全等等腰梯形的面积和，代入侧面积公式：

Sft1]=-x(4x2+4x4)x5/3=12>/3.

14.己知24卜尸4尸3=2,尸4?6=8，则6C的最小值为.

【答案】3

【解析】

【分析】根据数量积的定义对向量通过加减运算进行转化，根据数量积的定义运算得到BC

【详解】因为BC=PC-PB，则PA-8C=尸APC-PA•尸8=8-2=6,

因为加80=网•卜c|cos0A,8C）=6,且网=2,故园8S（PA,Pd）=3,

因为BCHO,故COS（PA,BC）W（0,1],要使|BC|最小，则cos（PABC）取最大1,

则,。|的最小值为3.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知一ABC中，角A,B,。所对应的边分别为。，b,J向量"2=（〃，麻），z?=（sinB,-cosA）,

且〃7J_〃•

（1）求A；

（2）若〃=J7，b=2,求二A3C的面积.

7T

【答案】3）A=一

3

⑵毡

2

【解析】

【分析】（1）由向量垂直得数量积为0,由数量积坐标表示及正弦定理可得A角；

（2）由余弦定理求得c,再由三侑形面积公式计算.

【小问1详解】

m_L〃，•••m-n=asinB-6bcosA=0，

由正弦定理得sinAsin8-Gsin3cosA=0，8是三角形内角，sinBwO,

sirtA-A/3COSA=0»tanA=G，4是三角形内角，••.Aug；

J

【小问2详解】

由余弦定理/=〃2+/-2bccosA得7=4+/-4ccos],解得c=3（c=-l舍去），

.1,.1o凌.兀

•-Sc,=—bcsinA4=-x2x3sin—=---•

ABRC2232

16.某电商平台开展“季度金牌店铺”评选活动，所有参评店铺的季度服务综合评分满分为100分，将所有

参评店铺得分从高分到低分排序，得分前15%的店铺将获得平台“金牌店铺”标识及流量扶持.为了解所

有参评店铺的得分情况，现从全部参评店铺中随机抽取了100个店铺的综合评分组成样本，得到如图所示

的样本数据的频率分布直方图.

，,频率/组距

0.030--------------------

0.020.........................

a.......................................

0.010—1----------------------------------------------------

OMO5060708090100

（1）求图中。的值，并估计全部参评店铺的综合评分的平均分（计算平均分时，同一组中的数据用该组

区间的中点值为代表）

（2）估计获得“金牌店铺”标识的最低分数线是多少分（结果聚留整数）；

（3）若从调查的100个店铺里分数不低于80分的店铺中，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取5个

店铺进行经验交流，从中随机抽取2个店铺进行运营案例分享，求这2个店铺分别来自［80,90）,

［90,100］分数组的概率.

【答案】（1）。=0.015,平均分为70.5分

（2）87分

【解析】

【小问1详解】

由频率分布宜方图可知，组距为10,WiJ（0.0104-6f+0.020+0.030+«+0.010）xl0=l解得a=0.015.

估计全部参评店铺的综合评分的平均分为：

x=45x0.10+55x0.15+65x0.2+75x0.3+85x0.15+95x0.1=70.5（分）•

【小问2详解】

因为［90,100］的频率为0.010x10=0.1,［80,90）的频率为0.015x10=0.15，

所以获得“金牌店铺”标识的最低分数线位于［80,90）内.设最低分数线为工,

则（90—力x0.015=0.15-0.1,解得冲86.67.

因为结果保招整数，所以估计最低分数线是87分.

【小问3详解】

分数在［80,90）的店铺有100x0.15=15个，分数在［90,100］的店铺有100x0.1=10个.

用分层随机抽样的方法抽取5个店铺，则从［80,90)中抽取5、1|=3个，记为4£C：

从［90,100］中抽取5-3=2个,记为x，y.

从这5个店铺中随机抽取2个，所有可能的情况有:

其中这2个店铺分别来自［80.90),［90.100］分数组的情况有：

(Ax),(Ay),(&x),(3,y),(Cx),(C,y)共6种.

故所求概率p=L

17.如图，在所有棱长均为2的正三棱柱ADE-8C尸中，M为棱AO的中点.

(1)求证：DF//平面BEM；

(2)求证：平面班加_1_平面43。。；

(3)求直线3b与平面所成角的正弦值.

【答案】(1)在正三棱柱AOE-BCF中,连接A/,BE=N,连接MN,

则点N是线段A"的中点，而M为梭4。的中点，于是MN/iDF,

又DFN平面BEM,MNu平面BEM,所以。///平面BEM.

(2)由M为正“IDE边AO的中点，得石M_LA£),由AB_L平面ADE,

EWu平面ADE,得EM_LAB,而=AA。,八区＜=平面A5CO,

因此EM_L平面48cO,又石Mu平面BEM，所以平面3£M_L平面A8CO.

(3)也

5

【蟀析】

【分析】(1)连接A尸，利用线面平行的判定推理得证.

(2)利用线面垂直的性质、判定及面面垂直的判定推理得证.

(3)由AE//BF,作出线面角，利用几何法求出线面角的正弦.

【小问1详解】

略

【小问2详解】

略

【小问3详解】

由AE//I3F,得直线8b与平面BEM所成的角等于直线AE与平面BEM所成的角，

在平面A3CD内过点A作于。，连接E。，由EW_L平面A8CD,

得AO_LEM,而EMCIBM=M,EM,BMu平面BEM,闪此AO_L平面BEM，

,八AMAB1x22

NAEO是直线AE与平面BEM所成的角，在RtA48用中，AO==/,,=不，

BM+22J5

在中，AOJLEO，sinZ/1E6)=—=—»

AE5

所以直线BF与平面BEM所成角的正弦值为好.

5

18.设Qx,。)；是平面内相交成a角的两条数轴(Ovav兀且a。］),q,6分别是与工轴，》轴正方

向同向的单位向量，定义平面坐标系工。)，为xOv(a)仿射坐标系.在工。＞'(幻仿射坐标系中，若向量

OP=xet+，则记OP=(X，〉')•

(I)若04=(9,0),03=((),6),OM=(m,2),且A,8,"三点共线，求机的值；

7T

(2)若a=§,。4=(2,1),=求。4与03所成夹角的余弦值；

⑶若04=(1,2),0^=(1,0),且|。4-。820对任意恒成立，求a的取值范围.

【答案】(1)6：(2)立；

14

“、兀一兀一兀，3兀

(3)—一或一＜a4—

4224

【解析】

【分析】(I)计算出根据共线得到B4//M5,从而得到方程组，求出答案；

(2)计算Hl04。民OAOB,利用余弦夹角公式可得答案:

(3)根据唯拉得/一(2+48$。»+48$。+3"对任意/£1^恒成立，由根的判别式得到

不等式，求出答案

【小问1详解】

由题意得OA=9e}QB=6e2,OM=me、+2e2,

BA=OA-OB=9et-6e2.MB=OB-OM=6e2-me}-2e2=-me]+4e2，

A,8,M三点共线,

故BA//MB，故8A=/MB，即9q-66二，（一，〃弓+4q）=Tmq+4/0，

9=-tin

所以《解得根=6；

-6=4,

【小问2详解】

由题意得。4=%+6，OB=ex-e2,

=2同2第,"n

故0A-OB=（2q+6）•（q-4）=2e]-ele2-e2cos——

3

22

OA=J（2el+e2）=也\+4q

•e2+e2

Jl-2cos/+1=1,

OB=

所以850408=咎器=工=也，

O^\pB6114

因此OA与OB所成夹角的余弦值为—:

14

【小问3详解】

由题意得OA=q+2e2,OB=q,

OA—tOB=0—+2e、,

222

则OATOB=^（1-Z）+4（1-r）^-e2+4^2=+4（l7）cosa+4之后，

故（l—）2+4（lT）cosa+4N2,即产一（2+4850）1+485。+320对任意/£1^恒成立,

A=4+16cosa+16cos2a-16cos«-12<0»解得-----<cosa<——，