寒假作业05 一元一次方程及其求解

寒假作业05一元一次方程及其求解

积累运用

一、一元一次方程的概念

只含有一个未知数（元）且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程.一般形式：

ax+b=0（a^0）

注意：未知数在分母中时，它的次数不能看成是1次.如工+3=x,它不是一元一次方程.

x

二、解一元一次方程

1.方程的解：能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解.

2.解方程：求方程的解的过程叫做解方程.

3.等式的性质：

（1）等式两边都加上或减去同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式；

（2）等式两边都乘或除以同一个不等于0的数，所得结果仍是等式.

4.移项

移项：方程中的某些项改变符号后，可以从方程的一边移到另一边，这样的变形叫做移项.

移项的依据：（1）移项实际上就是对方程两边进行同时加减，根据是等式的性质I：（2）

系数化为1实际上就是对方程两边同时乘除，根据是等式的性质2.

注意：移项时要跨越"=''号，移过的项一定要变号.

5.解一元一次方程的一般步骤：

去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1.

1.下列变形中，不正确的是（）

A.若〃-3=3,则a=〃B.若ac=be，则a=b

C.若a=b,则a-3=0-3D.若@=",则4=〃

CC

2.若x=2是方程6x+3a=24的解,则。的值为（）

A.-!B.4C.12D.2

4

3.解方程三二-〃沪=1时，去分母正确的是（）

3o

A.2X+1-（10.¥+1）=1B.4x+l-10.r+l=6

C.4x+2-10x-l=6D.2（2x+l）-（10x+l）=l

4.若关于x的方程2-a-x=0的解和方程2x+l=3的解相同，则。的值为（）

A.7B.2C.1D.-1

5.已知方程伙-1）/+1=0是关于1的一元一次方程，见方程的解等于（）

A.yB.0C.-1D.

6.若关于x的方程3x+6=0的解是关于x的方程标+3々=1的解的2倍，则上（）

A.3B.-yC.-D.-2

343

7.某同学在解关于1的方程3〃+x=13时，误将“+x”看成“一户，从而得到方程的解为仙2,则

原方程正确的解为（）

A.x=2B.x=!C.x=-!D.x=-2

22

8.下列是小明同学做的四道解方程的题目，其中错误的是（）

A.方程5x+4x=9的解为x=lB.方程-2X-3K=5的解为x=l

C.方程3x-x=-1+3的解为x=1D.方程-4x+6x=-2-8的解为x=-5

9.解方程：

（li2（x+6）=3（x-l）;⑵•一号=1.

10.若式子一的值比式子〒的值大1,求x的值.

30

11.当X为何值时，式子;（5X-1）与;X的值相等?

12.我们定义一种新运算：〃产〃例如：3*1=我一3x1=6.

⑴求4*2的值：

(2)若6*x=9,求x的值.

13.小聪有一个魔术盒，当任意有理数对(〃㈤进入其中时，会得到一个新的有理数：a^b-\.例

如，把有理数对(3,-2)放入其中，就会得到3?+(-2)7=6.现将有理数对(-1㈤放入其中，得

到的结果是-2,则X的值是()

A.-2B.3C.-3D.2

14.老师在黑板上出了一道解方程的题：=小明同学的解法如下：

JJ

解：方程两边乘6,得2%-2(1-1)=6①

去拈号，得3.1-2彳-2=6②

合并同类项，得x-2=6③

解得x=8④

・•・原方程的解为x=8⑤

⑴上述解答过程中的第一步是________,依据是____________________________;

⑵从第步出现错误(填序号)，错误原因是___________________________________;

⑶请直接写出方程的解：.

15.已知方程2(x-l)+4=3x的解与关于x的方程好=4-31的解相同，求k的值.

16.如图，数轴上有若干个点，每相邻两点之间的距离为1,其中点A,B,C对应的数分别

是整数mb,c

ABC

(1)用含方的式子分别表示：。=

(2)已知2r-a=9,求b的值.

17.已知方程①：2-3(A+1)=0,方程②：亨—3k-2=2x.若方程①与方程②的解互为倒数,

求k的值.

18.已知关于1的方程2(X+1)T〃=-2(〃L2)的解比方程5(x+l)-l=4(.”l)+l的解大2,求加的

值.

19.解关于上的一元一次方程“(21)=4x+,〃时，不论a为何值，x的解都相同，则用的值为()

A.-2B.0C.gD.2

20.对于两个不相等的有理数埋b,我们规定符号max®,切表示%b两数中较大的数,例如

max{2,-4}=2.按照这个规定，方程max{x,-x}=2x+1的解为()

A.-1B.C.1D.-1或一

JJ

21.己知关于x的一元一次方程焉x+2=2x-〃的解为x=3,那么关于V的一元一次方程

焉(2)，+1)+2=2(2)，+1)-〃的解是()

22.如果两个一元一次方程的解互为倒数，我们就称这两个方程为“友好方程例如，方程

2x=4和4x-2=0为"友好方程若关于x的方程5工+/〃=0与方程2x-2=x+3是“友好方程",

则〃?=.

23.在解含有字母系数的方程时，常常将字母系数看作己知数，然后利用解方程的步骤和方

法求解，所得的未知数的值常常是含有字母的代数式.

例如：解关于x的一元一次方程2工-3〃计1=〃氏-1其中〃冲2

解：移项：2x-inx=3tn—\-\

说明K格项时将台有未知数X的项格利方行左划.不

畲未如敷X的”移到方边.

合并同类项：(2-"?户=36-2

说明：合并同类项时将字母m当系数，只把未知

数x用乘法分配律的原理提到括号外面去.

因为小。2,所以2-〃?。0,

说明，等式四边同除以•个数城式「时.除数应小为

0

化系数为1,两边同除以(2-⑼，得：x=手工

2-in

⑴请仿照上面的方法解关于X的方程：2x-m=2nt-x

(2)关于x的方程依+2=6-x,其中女。-1,方程的解为正整数，求符合条件的％的整数值.

24.定义新运算“㊉。对于任意有理数“，/?有。㊉〃=等.

⑴计算：4(2㊉5)；

(2)解方程4㊉x=5；

⑶若八=x?+2.寸+)1，B=x2-2xy+y2,化简(A㊉8)+(8㊉A).

25.小亮在解关于元的一元一次方程丁+11=3时，发现正整数■被污染了.

⑴小亮猜■是5,则方程的解工=；

⑵若老师告诉小亮这个方程的解是正整数，则被污染的正整数是多少？

26.定义：若一个关于刀的一元一次方程：ax+b=O（。工0）的解为x=则称此方程为“中

点方程”，如方程2工一1=0的解为x=而牡，所以方程2x7=0为“中点方程”.

Q

⑴方程4%-90是“中点方程,，吗？请说明理由；

⑵若关于X的方程为5x+〃.l=0是“中点方程”，求”的值.

27.（2023・海南・中考真题）若代数式x+2的值为7,则x等于（）

A.9B.-9C.5D.-5

28.（2023•湖南永州•中考真题）关于x的一元一次方程2抖m=5的解为x=l,则m的值为（）

A.3B.-3C.7D.-7

29.（2022.贵州黔西・中考真题）小明解方程芋-1=♦的步骤如下：

解：方程两边同乘6,得3（x+l）—l=2（x—2）①

去括号，得3x+3-l=2x-2②

移项，得3x-2x=-2-3+1③

合并同类项，得x=T④

以上解题步骤中，开始出错的一步是（）

A.①B.②C.③D.@

30.（2023•浙江衢州•中考真题）小红在解方7程V?4=丫乎一1+1时，第一步出现了错误:

5o

：：解：2x7x=（4x-l）+l,：：

⑴请在相应的方框内用横线划出小红的错误处；

⑵写出你的解答过程.

31.（2022•浙江杭州•中考真即）计算：（-6）x（：-■卜2、圆圆在做作业时，发现题中有一个

数字被墨水污染了.

⑴如果被污染的数字是9请计算（-6）x（|-；）-火

（2）如果计算结果等于6,求被污染的数字.

寒假作业05一元一次方程及其求解

参考答案

1.下列变形中，不正确的是（)

A.若"3=〃-3,则B.若4。=历，则a-b

C.若a=b,则〃一3=〃一3D.若㊁=2,则a=〃

cc

【答案】B

【解析】A、若〃-3=〃-3,则a=〃，故A正确，不符合题意;

B、若ac=be,CHO,则a=故B不正确，符合题意;

C、若a=b,则a-3=〃-3,故C正确，不符合题意；

D、若q,，则。=〃，故D正确，不符合题意；

cc

故选B.

2.若工=2是方程6x+%=24的解，则。的值为（）

A.-7B.4C.12D.2

4

【答案】B

【解析】・・・x=2是方程6x+M=24的解，

6x2+M=24,

解得a=4,

故选B.

3.解方程山”=1时，去分母正确的是（）

3o

A.2x+l-（10x+l）=IB.4x+l-10x+l=6

C.4x+2-10x-l=6D.2（2x+l）-（10x+l）=l

【答案】C

【解析】方程两边同时乘以6得：4x+2-（10x+l）=6,

去括号得：4x+2-10x-l=6.

故选C.

4.若关于x的方程2—a—x=0的解和方程2x+l=3的解相同，则〃的值为（）

A.7B.2C.1D.-1

【答案】C

【解析】解方程『+1=3可得,x=l

将x=l代入至IJ方程2—a—x=O可得，2—a—1=0

解得。=1

故选C.

5.已知方程仪-1）/+1=0是关于工的一元一次方程，见方程的解等于（）

A.；B.0C.—1D.—-

【答案】A

【解析】根据题意得，网=1且01工0,

解得攵二一1,

原方程为-2x+l=0

1

/.x=—.

2

故选A.

6.若关于x的方程力+6=0的解是关于x的方程3工+3攵=1的解的2倍，则上（）

1354

A.—B.-C.-D.-2

343

【答案】C

【解析】3x+6=0,

移项得：3x=-6,

系数化为1得：x=-2,

;关于x的方程3工+6=0的解是关于x的方程3x+3Z=l的解的2倍，

・•・方程③+34=1的解为A-1,

・・・-3+3%=1,

解得人方4,

故选C.

7.某同学在解关于x的方程3a+x=13时，误将“+炉看成”一尸，从而得到方程的解为户2,则

原方程正确的解为（）

A.x=2B.x=!C.x=-!D.x=-2

22

【答案】D

【解析】由题意，将—2,代入3〃-x=13得，3a-2=13,解得〃=5,

将4=5,代入3a+x=13得，3x5+x=13,解得x=-2,

故选D.

8.下列是小明同学做的四道解方程的题目，其中错误的是()

A.方程5x+4x=9的解为x=lB.方程—2x—3)=5的解为x=l

C.方程3x—x=—l+3的解为R=1D.方程一4大+6%=一2—8的解为x=—5

【答案】B

【解析】A.5.r+4.r=9->A=l,故不符合题意；

B、-2x-3x=5^x=-\,故符合题意；

C、3x-x=-l+3->x=l,故不符合题意；

D、~4x+6x=-2-8fx=-5,故不符合题意；

故选B.

9.解方程：

(1)2(A-+6)=3(A-1)；

x-7\+x

J23

【解析】(I)解：2(x+6)=3(x-l)

去括号得：2x+\2=3x-3

移项得：2A-3X=-3-12

合并同类项：-x=-15

化未知数系数为1：x=15；

/c、h-nX-71+X.

(2)解：————=1

去分母得：3(X-7)-2(14-X)=6

去括号得：3x-2l-2-2.r=6

移项得：3x-2x=6+2l+2

合并同类项得：x=29.

10.若式子厂的值比式子?的值大1,求x的值.

5O

【解析】由题意，得：一-4=1,

3o

去分母得：2(1-力-(工-2)=6,

去括号得：2-2x-x+2=6,

移项合并同类项得：-3x=2,

2

解得：A=-1.

H.当x为何值时，式子!（5》-1）与;x的值相等？

【解析】由题意得：1（5x-l）=1x

去分母得：2（5x-l）=5x

去括号得：10X-2=5X

移项合并同类项可得：5x=2

2

解得：

12.我们定义一种新运算:m*n=m2-mn,例如：3*1=我一3x1=6.

⑴求4*2的值:

⑵若6*x=9,求x的值.

【解析】（1）解：4亭2=4?-4x2=16-8=8;

（2）V6*x=62-6x=9»

.・42.

2

13.小聪有一个魔术盒，当任意有理数对（〃/）进入其中时，会得到一个新的有理数：力+bT.例

如，把有理数对（3,-2）放入其中，就会得到3?+（-2）7=6.现将有理数对（-1㈤放入其中，得

到的结果是-2,则X的值是（）

A.-2B.3C.-3D.2

【答案】A

【解析】由题意得：（-1）2+工-1=-2,

解得：x=-2.

故选A.

14.老师在黑板上出了一道解方程的题：小明同学的解法如下：

解：方程两边乘6,得2x-2（1-1）=6①

去括号，得3x-2x-2=6②

合并同类项，得x-2=6③

解得x=8④

・••原方程的角空为x=8⑤

⑴上述解答过程中的第一步是_________，依据是___________________;

⑵从第步出现错误（填序号），错误原因是

⑶请直接写出方程的解：.

【答案】（1）去分母，等式的性质2（2）①，|x6=3x（3）x=4

【解析】（1）上述解答过程中的第一步是去分母，依据是等式的性质2；

故答案为：去分母，等式的性质2；

（2）从第①步出现错误（填序号），错误原因是：^x6=3x；

故答案为：①，（x6=3^；

（3）方程两边乘6,得3x-2（x-l）=6,

去括号，得3x-2x+2=6,

合并同类项，得x+2=6,

解得户4,

・•・原方程的解为x=4.

15.己知方程2（X-1）+4=3X的解与关于X的方程?=4-3x的解相同，求攵的值.

【解析】解方程2（x-l）+4=3上得：”2,

把.2代入方程子=h3x,得：8=”6,

乙4

：・2-k=2k-V2,

,•—k—2k=—12—2,

・・・-3Z=-14,

解得：=-y.

16.如图，数轴上有若干个点，每相邻两点之间的距离为1,其中点A,8,C对应的数分别

是整数。，b,c.

-ABC

（1）用含人的式子分别表示：",。=;

（2）已知2c-a=9,求。的值.

【解析】（1）解：由图可知，a=b—3,c、=b+l,

故答案为：b—3»b+\：

(2)解：由(1)可知〃=。-3,c=b+\f

：.2c-a=2(b+\)-(b-3)=9,

解得：〃=4.

17.已知方程①：2-3(X+1)=0,方程②：等一3左-2=2x.若方程①与方程②的解互为倒数,

求次的值.

【解析】解：解方程①：2-3(X+1)=O,

.\2-3x-3=0,

，3x=-l,

解得："=-(；

解方程②：等-3&-2=2以

k+x-6k-4=4x,

・・・3x=-5&-4,

1,71zp»-5k—4

解得：x=---,

当两个方程的解互为倒数时，

1—5々一4

BnnP--x---=1,

.・.5八4=9,

解得k=l.

18.己知关于"的方程2(X+1)-〃=-2(〃L2)的解比方程5("1)-1=4(..1)+1的解大2,求加的

值.

【解析】2(X+1)-/?Z=-2{/;2-2),

Y+2—ni=—7m+4,

2x=-ni+2,

m,

x=-----+1•

2

5(x+l)-l=4(x-l)+l,

5x+5-l=4x-4+l

由题意知，-三十1-(-7)=2,

解得，〃2=12,

工，〃的值为12.

19.解关于x的一元一次方程。(2x-D=4x+m时，不论〃为何值，x的解都相同，则切的值为()

A.-2B.0C.yD.2

【答案】A

【解析】a(2x-V)=4x+mt

-「不论。为何值，％的解都相同，

/.2x-l=0,

1

.•」二5，

把x=g代入4x+〃?=0中，得：4xg+〃i=0,

in=-2.

故选A.

20.对于两个不相等的有理数“，b,我们规定符号max|“〃}表示a,〃两数中较大的数，例如

max{2,-4)=2.按照这个规定，方程max{x,r}=2x+l的解为()

A.-1B.C.1D.-1或三

JJ

【答案】B

【解析】当x>T1时，则x>0,则X=2v+1,解得：x=-\,不符合题意；

当时，则XV。，则一x=2x+l,解得：x=・g.符合题意；

故选B.

21.已知关于x的一元一次方程表x+2=2x-〃的解为x=3,那么关于丁的一兀一次方程

三上(2)，+1)+2=2(2)，+1)"的解是()

【答案】B

【解析】「关于X的一元一次方程余1+2=21-6的解为五=3,

乙UJ

•'•关丁（2,+1）的一元一次方程4式2，十I）+2=2（2,十1）-〃的解为2y+l-3,

解得：y=i,

关于>的一元一次方程焉（2y+l）+2=2（2y+l）-力的解是），=1.

故选B.

22.如果两个一元一次方程的解互为倒数，我们就称这两个方程为“友好方程例如，方程

2*=4和4“-2=0为"友好方程”.若关于x的方程5x+/〃=0与方程2x-2=X+3是“友好方程",

贝lj〃i=.

【答案】-1

【解析】2A-2=A+3,

移项得：2x-x=2+3,

合并同类项得：工=5,

•・•关于x的方程5x+m=0与方程2x-2=x+3是“友好方程”，5的倒数是（，

，x=g是方程5x+〃z=0的解，

5x—+/n=0,

5

〃?=-1,

故答案为：T.

23.在解含有字母系数的方程时，常常将字母系数看作已知数，然后利用解方程的步骤和方

法求解，所得的未知数的值常常是含有字母的代数式.

例如：解关于x的一元一次方程21-3,〃+1=〃a-1其中,”2

解：移项：2x-mx=3/72-1-1

说明I移项时将含有未知数X的项移到方丹左边.不

含未如数X的以格到方和右边.

合并同类项：（2-〃?）x=3帆-2

说明：合并同类项时将字母m当系数，只把未知

数x用乘法分配律的原理提到括号外面去.

因为机。2,所以2-〃7H0,

说明，等式两边同除以一个数或式/时,除数应不为

0

化系数为1,两边同除以(2-，〃)，得：人=孚三

⑴请仿照上面的方法解关于K的方程：2x-m=2m-x

⑵关于X的方程h+2=6-x,其中女士-1,方程的解为正整数，求符合条件的攵的整数值.

【解析】(1)解:2x-m=2m-x,

移项得：2x+x=2m+m,

合并同类项得：3x=3；n,

系数化为1得：x=〃t

(2)解：kx+2=6-x,

移项，合并同类项得：(攵+1"=4,

・.•其中女工一1,

・・.4+1工0,

系数化为1得：x=

攵+1

•・•方程的解为正整数，

整数&=0或1或3.

24.定义新运算“您”，对于任意有理数。，〃有。㊉〃=若.

⑴计算：4(2㊉5)；

⑵解方程4㊉x=5；

⑶若A=f+2.\y+y2,B=x2-2xy+y2,化简(A㊉8)+(8㊉4).

【解析】(1)解：2㊉5=2|9=装，

/.4(205)=4X-!2=34；

/……4+3%

(2)4㊉x=^—,

解方程土产=5,得x=2；

(3)vA=x2+2xy+y2,B=X1-2xyf+y2,

x2+2AT+y2+3(x2-2AV+y2)、、

:.A®B=-------------------------------------=2x2-2xy+2y2，

x2-2x>?+y2+3(x2+2xy+y2).、

B®A=--------：-；__--------」=2x2+2xy+2y2，

「.(A㊉8)+(8④A)=4/+4y2.

25.小亮在解关丁“的一元一次方程旨十・=3时，发现正整数■被污染了.

⑴小亮猜■是5,则方程的解户；

⑵若老师告诉小亮这个方程的解是正整数，则被污染的正整数是多少？

【解析】（1）解：由题意得：号+5=3,

去分母得：3x7+10=6,

移项得：3r=6-10+l,

合并同类项得：3x=-3,

系数化为1得：x=-l,

故答案为：T；

（2）解：设被污染的正整数为〃?，则詈+〃?=3,

去分母得：3x-l+2"?=6,

移项得：3x=6-2〃?+l,

合并同类项得：3x=7-2/n,

系数化为1得：工==含，

号为正整数，加为正整数，

m=2,

即被污染的正整数为2.

26.定义：若一个关于x的一元一次方程：2=0（"0）的解为工=审，则称此方程为“中

点方程”，如方程2x7