苏科八年级数学上册-第一章 全等三角形（9类题型突破）

第一章全等三角形（题型突破）

题型一全等图形的识别

[例1]1.下列各项中，两个图形属于全等图形的是（）

【例2】对于两个图形，给出下列结论：①两个图形的周长相等；②两个图形的面积相等；

③两个图形的周长和面积都相等；④两个图形的形状相同，大小也相等.其中能获得这两个

图形全等的结论共有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

巩固训练：

1.下列各组图形中，属于全等图形的是（）

2.对于“全等图形''的描述，下列说法正确的是（）

A.边长相等的图形B.面积相等的图形

C.周长相等的图形D.能够完全重合的图形

题型二全等三角形的概念

【例3】下列说法正确的是（）

A.两个直角三角形一定全等B.形状相同的两个三角形全等

C.全等三角形的面积一定相等D.面积相等的两个三角形全等

【例4】下列说法正确的是（）

A.形状相同的两个三角形一定是全等三角形

B.周长相等的两个三角形一定是全等三角形

C.面积相等的两个二角形一定是全等三角形

D.边长为5cm的等边三隹形都是全等三角形

巩固训练：

3.下列说法正确的是（）

A.周长相等的两个三角形全等B.面积相等的两个三角形全等

C.完全重合的两个三角形全等D.所有的等边三角形全等

4.下列说法正确的是（）

A.全等三角形是指形状相同的两个三角形B.全等三角形是指面积相等的两个三角形

C.全等三角形的周长和面积分别相等D.所有的等边三角形是全等三角形

题型三全等三角形的性质

【例5】如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则N1的度数是（）

A.76°B.62°

D.76。、62。或42。都可以

【例6】如图，已知4ABC丝Z\DEF,CD平分NBCA,若NA=30。，ZCGF=88°,则NE的

度数是（C）

A.50°B.44°

C.34°D.30°

D

【例7】（1）已知△ABCgADEF,若AB=10cm,BC=5cm,AC=7cm,则DF等于

（2）己知△ABC与△DEF,若AB=l（）cm,BC=5cm,AC=7cm,则DF等于.

【例8】一个三角形的三条边的长分别是3,5,7,另一个三角形的三条边的长分别是3,3尸2），,

x+2y,若这两个三角形全等，则x+y的值是

巩固训练：

5.如图，其中A8=3,AC=7,//C=5,则的周长为

AA

B

6.如图，&ABD^,EBC,AB=3cm,BC=4cm,贝l]OE=cm

题型四“SAS”判定方法

【例9】已知A、D、C、F在一条直线上，BC与DE交于点G,AD=CF,BC〃EF且BC=EF,

求证：△ABC^ADEF.

【例10］如图，在△ABC中，点E如分别在AB,AC边上，点D是BC边的中点，且DF〃AB,

BE=DF.求证：△BED^ADFC.

BDC

【例11］已知：如图，点B、F、C、E在一条直线上，AB=DE,ZB=ZE,BF=EC.求证;

AC〃DF.

【例12］如图，在△ABC中，AB>AC,点D在边AB上，且AC二DB,过点D作DE〃AC,

并截取AB=DE,且点C、E在AB同侧，连接BE.求证：BC=EB.

巩固训练:

7.如图，已知在二ABC和二"。中，BC=AD,ZABC=NBAD,能直接判定二的依据

C.ASAD.SAS

8.如图，/W与相交于点。，且。是AB,CO的中点，则“OC与"。力全等的理由是

D

9.如图，已知点8,E,C,尸在一条直线上，AB=DE,BF=CE,ZB=NE.求证：AABC公ADEF

题型五“ASA”判定方法

【例13】己知：如图，AC=DE,AB〃DE,ZECB+ZD=180°.求证：△ABC^AEAD.

【例14］如图，已知N1=N2,Z3=Z4,求证：BD=BE.

E

【例15］如图所示，ZE=ZF,Z1=Z2,AE=AF,求证；△ACNgZ\ABM.

巩固训练:

10、如图，已知AE=CF,DF//BE,AD〃BC,求证：△ADF^ACBE.

11.如图，七1班同学要测量河两岸相对的两点A、8的距离，用合适的方法使8C=8,

ZAZ?C=ZE£>C=90°,因此测得。E的长就是A8的长，在这里判定△然。/△血，最恰当的理

由是（）

C.SSSD.ASA

12.如图，点8是AC的中点，ZA=ZC,Z1=Z2,试说明：^ABE^^CBF.

F、E

B

题型六“AAS”判定方法

【例16］如图，ZA=ZB,AC=BD,点D在AC边上，Z1=Z2,AE和BD相交于点O,

求证：△AEC^ABED.

B

ADC

【例17］如图，己知N1=N2,Z3=Z4,EC二AD,求证:AB=BE.

AB

【例18］如图，在△ABC中，ZACB=90°,AC=BC,直线MN经过点C,且AD_LMN,BE±MN,

垂足分别为点D,E.求证；DE=ADiBE.

题型七“SSS”判定方法

【例19］如图，AC与BD交于点O,AD=CB,E、F是BD上两点，且AE=CF,DE=BF.

求证：(1)ZD=ZB；(2)OE=OF.

【例20］如图，已知点B,C,D,E在同一条直线上，AB=FC,AD=FE,BC=DE.求证:

△ABD^AFCE.

BCDE

【例21］人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下；如图，ZAOB是一个任意角，在边

OA、0B上分别取OM=ON,移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M、N重合，过角尺

顶点P的射线0P便是NAOB的平分线，请说明理由.

巩固训练:

13.如图是雨伞在开合过程中果时刻的截面图，伞骨=点。，笈分别是"，AC的中

点，DM,石M是连接弹簧和伞骨的支架，且DM=EM,已知弹簧”在向上滑动的过程中，

总有△4W丝ZkAfM,其判定依据是（）

14.一个三角形的三边长为5,x,14,另一个三角形的三边长为5,10,丁，如果由“SSS”

可以判定两个三角形全等，则x+V的值为（）

A.15B.19C.24D.25

题型八“HL”判定方法

【例22】如图，点C在BE上，AB±BE,DE1BE,且AB=BE,BC=DE,AC交BD于F.

（1）求证：△ABC^ABED；

（2）求NBFC的度数.

A

【例23］如图，已知ACJ_BC,BD1AD,AC与BD交于O,AC=BD.求证：(1)BC=AD；

(2)OA=OB.

【例24］如图，AB=AC,AE=AF,AEJ_EC于E,AF_LFB于F,求证：Z1=Z2.

巩固训练：

15.下列条件，不能判定两个直角三角形全等的是（）

A.两个锐角对应相等

B.斜边和一直角边分别对应相等

C.两条直角边分别对应相等

D.一条直角边相等且另一条直角边上的中线对应相等

16.如图，ACl.ABtACLCD,要使得AABC且△CD4.若以“HL”为依据，需添加的条件是

A.BC=DAB.AB=CDC.ZB=/BD.ZACB=ZCAD

17.如图，在RtA45C中,ZC=90°,AC=12,BC=6,PQ=AB,P、。两点分别在AC和过点A

且垂直于4c的射线AY上运动，要使48C和△(?小全等，则AP=.

题型九全等三角形判定与性质综合

【例251如图，A,B,C三点在同一条直线上，ZA=ZC=90°,AB=CD,添加下列条件,

不能判定^EAB^ABCD的是（）

A.EB=BDB.ZE+ZD=90°C.AC=AE+CDD.ZEBD=60°

【例26］如图，NABC=NABD,要使△ABCWz2\ABD,还需添加一个条件，那么在①AC=AD；

②BC=BD；®ZC=ZD；④/CAB=NDAB这四个关系中可以选择的是.

【例27］如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB〃DE,AC〃DF,下列条件中，能判断

△ABCg/^DEF的是（）

A.BE=CEB.ZA=ZDC.EC=CFD.BE=CF

［例28］如图所示，已知点D为〉ABC的边BC的中点，DE±AC,DF_LAB,垂足分别为

点E,F.且BF=CE.求证：ZB=ZC.

【例29］如图，CD_LAB于D,BE_LAC于E,BE与CD相交于点O,B0=C0.

求证：AO平分NBAC.

巩固训练:

18.如图所示的2x2正方形匣格中，N1+N2等于（)

B.90°C.95°D.85°

19.如图在.A8C,七中，ZACB=4DCE=W,AC=BC,CO=CE.连接8。，AE交于点尸.以

下四个结论；①UD-AT；@BD±AE；③ZAEC+NZ将C=45。；④FC平分〃在，其中结论正

确的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

20.如图，边长为6的等边ABC,尸是边AC的中点，点。是线段8尸上的动点，连接4。，

在4。的右侧作等边连接C。、CE、EF,则以下结论：©BFXAC；②NDEC=NDCE；

③4E=CO；④_ADE的周长最小值为9；⑤当-AE尸周长最小时，ZAFE=6O°.其中正确的结

论有（填序号）.

第一章全等三角形（题型突破）

答案全解全析

题型一全等图形的识别

【例1】1.下列各项中，两个图形属于全等图形的是（

B.T_r

【答案】C

【解析】解：A、两个图形不能完全重合，不是全等图形，不符合题意；

B、两个图形不能完全重合，不是全等图形，不符合题意；

C、两个图形能够完全重合，是全等图形，符合题意；

D、两个图形不能完全重合，不是全等图形，不符合题意；

故选：C.

【例2】对于两个图形，给出下列结论：①两个图形的周长相等；②两个图形的面积相等；

③两个图形的周长和面积都相等；④两个图形的形状相同，大小也相等.其中能获得这两个

图形全等的结论共有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】A

【解析】

解：①周长相等的两个图形不一定重合，所以不一定全等；

②如果面积相同而形状不同也不全等；

③如果周长相同面积相同而形状不同，则不全等，

④两个图形的形状相同，大小也相等，则二者一定重合，正确.

所以只有1个正确，

故选A.

巩固训练：

1.下列各组图形中，属于全等图形的是（）

【答案】C

【解析】解：A、两个图形的大小不相同，不能够完全重合，不是全等图形，则此项不符合

题意；

B、两个图形的大小不相同，不能够完全重合，不是全等图形，则此项不符合题意；

C、两个图形能够完全重合，是全等图形，则此项符合题意；

D、两个图形的形状不相同，不能够完全重合，不是全等图形，则此项不符合题意；

故选：C.

2.对于“全等图形”的描述，下列说法正确的是（）

A.边长相等的图形B.面积相等的图形

C.周长相等的图形D.能够完全重合的图形

【答案】D

【解析】

解：A.边长相等的两个图形不一定是全等图形，故本选项不符合题意；

B.面积相等的两个图形形状、大小都不一定相同，所以，不是全等图形，故本选项不符合题

意；

C.周长相等的两个图形形状、大小都不一定相同，所以，不是全等图形，故本选项不符合题

意；

D.能够完全重合的两个图形是全等图形，该说法正确，故本选项符合题意.

故选：D.

题型二全等三角形的概念

【例3】下列说法正确的是（）

A.两个直角三角形一定全等B.形状相同的两个三角形全等

C.全等三角形的面积一定相等D.面积相等的两个三角形全等

【答案】C

【解析】

解：A、两个直角二角形不一定全等，故错误，不符合题意;

B、形状相同的两个三角形不一定全等，故错误，不符合题意；

C、全等三角形的面积一定相等，故正确，符合题意；

D、面积相等的两个三角形不一定全等，故错误，不符合题意；

故选：C.

【例4】下列说法正确的是（）

A.形状相同的两个三角形一定是全等三角形

B.周长相等的两个三角形一定是全等三角形

C.面积相等的两个三角形一定是全等三角形

D.边长为5cm的等边三隹形都是全等三角形

【答案】D

【解析】A、形状相同且大小相同的两个三角形一定是全等三角形，原说法错误，不符合题

意；

B、周长相等的两个三角形不一定是全等三角形，原说法错误，不符合题意；

C、面积相等的两个三角形不一定是全等三用形，原说法错误，不符合题意；

D、边长为5cm的等边三角形都是全等三角形，原说法正确，符合题意；

故选：D.

巩固训练：

3.下列说法正确的是（）

A.周长相等的两个三角形全等B.面积相等的两个三角形全等

C.完全重合的两个三角形全等D.所有的等边三角形全等

【答案】C

【解析】

解：A.全等三角形的周长相等，但周长相等的两个三角形不一定全等，故本选项错误；

B.全等三角形的面积相等，但面积相等的两个三角形不一定全等，故本选项错误；

C.正确，符合全等三角形的定义；

D.边长不相等的等边三角形不全等，故本选项错误.

故选：C.

4.下列说法正确的是（）

A.全等三角形是指形状相同的两个三角形

B.全等三角形是指面积相等的两个三角形

C.全等三角形的周长和面积分别相等

D.所有的等边三角形是全等三角形

【答案】C

【解析】

解：A、全等三角形的形状相同，但形状相同的两个三角形不一定是全等三角形.故该选项

错误；

B、全等三角形面积相等，但面积相等的两个三角形不一定是全等三角形.故该选项错误；

C、全等三角形是指能够完全重合的两个三角形，则全等三角形的周长和面积一定相等，故

该选项正确；

D、两个等边三角形，形状相同，但不一定能完全重合，不一定全等.故该选项错误.

故选：C.

题型三全等三角形的性质

【例5】如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则N1的度数是（）

A.76°B.62°

C.42°D.76。、62。或42。都可以

b

【答案】B

【解析】・・,两个三角形全等，

AZI=62O.

【例6】如图，已知△ABC^^DEF,CD平分NBCA,若NA=3（）。，ZCGF=88°,则NE的

度数是（）

A.50°B.44°C.34°D.30°

【答案】C

【解析】・・・CQ平分NBCA,

・，.ZACD=匕BCD=-4BCA,

2

,:AABC会ADEF,

.*.ZD=ZA=30°,

■:NCGF=ND+NBCD,

・•・/BCD=ZCGF-ZD=58°,

ZBC4=116°,

:.ZB=1800-30o-116o=34°,

•.*AABCqADEF,

ZE=ZB=34°

【例7】（1）已知△ABCgADEF,若AB=10cm,BC=5cm,AC=7cm,则DF等于

（2）己知△ABC与△DEF,若AB=10cm,BC=5cm,AC=7cm,则DF等于.

【答案】7cm、5cm或7cm或10cm

【解析】（1）VAABC^ADEF,

.*.DF=AC=7cm.

（2）①当△ABCg^DEF时，DF=AC=7cm,

②当△ABC^AFDE时，DF=AB=10cm,

③当△ABC^AEFD时，DF=BC=5cm,

/.DF=5cm或7cm或10cm.

【例8】一个三角形的三条边的长分别是3,5,7,另一个三角形的三条边的长分别是3,3%-2），，

x+2y,若这两个三角形全等，则x+y的值是____.

【答案】5或4

【解析】由题意得巴2）二或产二5

x+2y=7[3x-2y=7

.x=3_x—3

解得：0或｛1，

y=21y=l

x+y=5或x+y=4,

故答案为5或4.

巩固训练：

5.如图，△AHWZUEC,其中4?=3,AC=7,夕。=5,则ABC的周长为

AA

B

【答案】15

【解析】

解：・.•△/历gZXAEU,AB=3fA'C'=7,B^C=5,

AAC=AC=7fBC=B'C=5,

：.ABC的周氏为A8+8C+AC=3+5+7=15,

故答案为：15.

6.如图，ABD^EBC,AA=3cm,AC=4cm,则力E=cm.

【解析】

【详解】•：ABD^EBC,A3=3cm,8c=4cm,

BE=AB=3cm,BD=BC=4cm,

:・DE=BD-BE=4-3=1(cm).

故答窠为：1.

题型四“SAS”判定方法

［例9］已知A、D、C、F在一条直线上，BC与DE交于点G,AD=CF,BC〃EF且BC=EF,

求证：△ABCgZ^DEF.

【答案】见解析

【解析】VAD=CF,

・・・AD+DC=CF+DC,

・・・AC=DF,

VBC/7EF,

.\ZACB=ZDFE,

在^ACBflADFE中，

AC=DF

ZACB=/DFE,

BC=EF

.,.△ABC^ADEF(SAS).

【例1()】如图，在△ABC中，点E,F分别在AB,AC边上，点D是BC边的中点，且DF〃AB,

BE=DF.求证：△BED^ADFC.

【解析】•・,点D是BC边的中点，

ABD=CD,

二'DF〃AB,

・・・NB=NFDC,

在^BED和^DFC中，

BD=DC

<NB=/FDC,

辰=DF

/.△BED^ADFC(SAS).

［例II］已知：如图，点B、F、C、E在一条直线上，AB=DE,ZB=ZE,BF=EC.求证:

AC〃DF.

【解析】•・・BF=EC,

・・・BF+CF=EC+CF,

即BC=EF,

在^ABC和△DEF中，

AB=DE

,/B=NE,

BC=EF

AAABC^ADEF(SAS),

.*.ZACF=ZDFE,

・・・AC〃DF.

【例12］如图，在△ABC中，AB>AC,点D在边AB上，且AC二DB,过点D作DE〃AC,

并截取AB=DE,且点C、E在AB同侧，连接BE.求证：BC=EB.

【答案】见解析

【解析】VDE/7AC,

AZEDB=ZA.

在^DEB与AABC中，

AC=DB

,/BAC=NEDB,

AB=DE

.,.△DEB^AABC(SAS),

/.EB=BC.

巩固训练；

7.如图，己知在/8C和二34）中，BC=AD,ZABC=NBAD,能直接判定“B&ABAD的依据

是（）

AB

A.SSSB.AASC.ASAD.SAS

【答案】D

【解析】

BC=AD

解：在/BC和△A8D中，=

AB=BA

：.ABC^.BAD(SAS).

故选：D.

8.如图，A3与。相交于点。，且。是相，C。的中点，则以0C与，4。力全等的理由是

【答案】SAS

【解析】

解：・・・。是ABCO的中点,

：.OA=OB、OC=OD,

在,/OC和“^中，

OA=OB

•NAOC=NBOD

OC=OD

.•・AOC^.DOB(SAS),

故答案为：SAS.

9.如图，己知点8,E,C,尸在一条直线上，AB=DE,BF=CE,4=NE.求证：AABC出八DEF

BE

【答案】见解析

【解析】解：..,8F=CE

：.BF+FC=CE+FC

即：BC=EF

在，ABC和-DEF中

AB=DE

•/B=NE

BC=EF

：,ABC^.DEF(SAS),

题型五“ASA”判定方法

【例13】己知：如图，AC=DE,AB〃DE,ZECB+ZD=180°.求证：△ABC丝ZXEAD.

【答案】见解析

【解析】VAB/7DE,

AZCAB=ZE,

VZECB+ZD=180°,ZECB+ZACB=180°,

.\ZD=ZACB,

在仆ABC-^AEAD中，

Z.CAB=Z£

<AC=DE,

NACB=ND

/.△ABC^AEAD(ASA).

【例141如图,已知/l=/2./3=/4,求证：BD=BE.

D

【答案】见解析

【解析】在^ADC和^AEC中，

Zl=Z2

AC=AC,

Z3=Z4

.,.△ADC^AAEC(ASA),

AAD=AE,

在^ADB和aAEB中，

AD-AE

«Z1=Z2,

AB=AB

AAADB^AAEB(SAS),

・・・BD=BE.

【例15］如图所示，NE=NF,Z1=Z2,AE=AF,求证：△ACNg^ABM.

【答案】见解析

【解析】・・・N1=N2,

AZCAF=ZBAE

在^ABE和△ACF中,

ZBAE=ZCAF

AE=AF,

NE=NF

.,.△ABE^AACF(ASA),

.\AB=AC,ZB=ZC,

在4ACN和aABM中，

4CAN=乙BAM

-AC=AB,

ZC=ZB

AAACN^AABM(ASA).

巩固训练：

10、如图，已知AE=CF,DF〃BE,AD〃BC,求证：△ADF^ACBE.

【答案】见解析

【解析】VAE=CF,

/.AF=CE：

VAD/7BC,

.\ZA=ZC；

,.,DF〃BE,

/.ZAFD=ZCEB：

<£△ADF-^ACBE中,

NA=NC

AF=CE,

NAFD=/CEB

.•.△ADF^ACBE(ASA).

11.如图，七1班同学要测量河两岸相对的两点A、力的距离，用合适的方法使4c=8,

ZABC=NEDC=9()。，因此测得的长就是A3的长,在这里判定△ABCgZXEDC,最恰当的理

由是()

A.SASB.AASC.SSSD.ASA

【答案】D

【解析】解；♦・•若要证明△/wcgaac,用到的条件是:

BC=CD,NA8C=NEDC=900,NACB=4ECD,

・•・用到的是两角及两角的夹边对应相等，即ASA这一方法，

故选：D.

12.如图，点8是AC的中点，ZA=ZC,Z1=Z2,试说明：△ABaXCBF.

【答案】见解析

【解析】解：因为点8是AC的中点，

所以=

因为N1=N2,

所以N1+NEB/=N2+NEM,BPZABE=ZCBF.

在“ABE和VC8/中，

因为ZA=NC,AB=CB,ZABE=NCM,

所以AASE^ACBF（ASA）

题型六“AAS”判定方法

【例16］如图，ZA=ZB,AC=BD,点D在AC边上，Z1=Z2,AE和BD相交于点O,

求证：ZkAEC也ABED.

【答案】见解析

【解析】VAE和BD相交于点O,

/.ZAOD=ZBOE.

在4AOD和^BOE中，

ZA=ZB,/.ZBEO=Z2.

又・・・N1=N2,

.*.Z1=ZBEO,

.\ZAEC=ZBED.

在^AEC和^BED中，

NA=4B

NAEC=/BED,

AC=BD

AAAEC^ABED(AAS).

【例17］如图，己知N1=N2,Z3=Z4,EC=AD,求证：AB=BE.

【答案】见解析

【解析】VZ1=Z2,

AZABD=ZEBC,

在^ABDfl△EBC中，

Z3=Z4

<NABD=NEBC,

AD=EC

•・•△ABD四△EBC,

，AB=BE.

【例18］如图，在△ABC中，ZACB=90°,AC=BC,直线MN经过点C,且AD_LMN,BE±MN,

垂足分别为点D,E.求证：DE=AD+BE.

【答案】见解析

【解析】VZACB=90°,AD±MN,BE±MN,

ZBEC=ZACB=ZADC=90°,

.'.ZACE+ZBCE=90u,ZBCE+ZCBE=90u,

AZACD=ZCBE,

在仆ADC和^CEB中

NADC=/BEC

<NACD=NCBE,

AC=BC

AAADC^ACEB(AAS),

・・・BE=CD,AD=CE,

VCD+CE=DE,

/.DE=AD+BE.

题型七“sss”判定方法

【例19］如图，AC与BD交于点O,AD=CB,E、F是BD上两点，且AE=CF,DE=BF.

求证：(1)ZD=ZB；(2)OE=OF.

【答案】见解析

【解析】(1)在4ADE和ACBF中,

AE=CF

AD=BC,

DE=13F

/.△ADE^ACBF(SSS),

AZD=ZB.

(2)在^ADOfllACBO中，

ND=NB

<NA。。=NCOB,

AD=BC

.,.△ADO^ACBO(AAS),

.*.DO=BO,

.,.DO-DE=BO-BF,

.'.EO=FO.

【例20］如图，已知点B,C,D,E在同一条直线上，AB=FC,AD=FE,BC=DE.求证:

△ABD^AFCE.

【答案】见解析

【解析】VBC=DE,

•••BC+CD=DE+CD,

即BD=CE,

在仆ABD和^FCE中,

AB=FC

<AD=FEt

BD=CE

AAABD^AFCE(SSS).

【例21］人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图，ZAOB是一个任意角，在边

OA、OB上分别取OM=ON,移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M、N重合，过角尺

顶点P的射线OP便是NAOB的平分线，请说明理由.

【答案】见解析

【解析】射线OP是NAOB的平分线，理由如下:

在^OMP和^ONP中

OM=ON

,MP=NP

OP=OP

.,.△OMP^AONP(SSS),

.\ZMOP=ZNOP,

・・・OP平分NAOB.

巩固训练:

13.如图是雨伞在开合过程中某时刻的截面图，伞骨油=AC,点Z）,E分别是43,AC的中

点，DM,而是连接弹簧和伞骨的支架，且DM=EM,已知弹簧M在向上滑动的过程中，

总有△4W四其判定依据是（）

【答案】C

【解析】

解：VAB=AC,点力，E分别是44,4。的中点,

：.AD=AE,

在△ADM和中，

AD=AE

<AM-AM,

DM=EM

：.ADM^AEM（SSS）,

故选：C.

14.一个三角形的三边长为5,x,14,另一个三角形的三边长为5,10,九如果由“SSS”

可以判定两个三角形全等，则x+y的值为（）

A.15B.19C.24D.25

【答案】C

【解析】

解：:由“SSS”可以判定两个三角形全等，

.3=10,y=14,

.\x+y=10+14=24,

故选：C.

题型八“HL”判定方法

【例22】如图，点C在BE上，AB±BE,DE±BE,且AB二BE,BC=DE,AC交BD于卜.

(1)求证；△ABC^ABED；

(2)求NBFC的度数.

【答案】见解析

【解析】(1)VAB1BE,DE1BE,

AZABC=ZBED=90°,

在^ABC和^BED中，

AB=BE

、NABC=/BED

BC=ED

AAABC^ABED(SAS)；

(2)VAABC^ABED,

.*.ZDBE=ZCAB,

VZABC=90°,

.*.ZCAB+ZACB=90°.

/.ZDBE+ZACB=90°.

・••在aBFC中，ZBFC=90°.

【例23］如图，已知AC_LBC,BD±AD,AC与BD交于O,AC=BD.求证：(1)BC=AD；

(2)OA=OB.

【答案】见解析

【解析】(1)VAC1BC,BD±AD,

.*.ZADB=ZACB=90°,

在RSABC和RtABAD中，

[AB=AB

[AC=BD

/.RtAABC^RtABAD(HL),

.*.BC=AD,

(2)VRtAABC^RtABAD,

.*.ZCAB=ZDBA,

.*.OA=OB.

【例24]如图，AB=AC,AE=AF,AEJ_EC于E,AF1FB于F,求证：Z1=Z2.

【解析】VAE1EC,AF1BF,

・・・NAEC=/AFB=90。，

在RSAEC与RtAAFB中，

AC=AB

AE=AF'

ARtAAEC^RtAAFB(HL),

AZEAC=ZFAB,

；・ZEAC-ZBAC=ZFAB-ZBAC,

即Nl=/2.

巩固训练：

15.下列条件，不能判定两个直角三角形全等的是()

A.两个锐角对应相等

B.斜边和一直角边分别对应相等

C.两条直角边分别对应相等

D.一条直角边相等且另一条直角边上的中线对应相等

【答案】A

【解析】

解：A.两锐角对应相等的两个直角三角形，不能判定全等，故此选项符合题意；

B.斜边和一直角边分别对应相等的两个直角三角形，根据HL能判定全等，故此选项不符合

题意；

C.两条直角边对应相等的两个直角三角形，根据SAS能判定全等，故此选项不符合题意；

D.一条直角边相等且另一条直角边上的中线对应相等，先根据HL,再用SAS可判定全等，

故此选项不符合题意.

故选：A.

16.如图，ACJLA8,ACLCD,要使得AA3c0.若以“HL”为依据，需添加的条件是

A.BC=DAB.AB=CDC.ZB=ABD.ZACB=ZCAD

【答案】A

【解析】

【详解】解：VAC±ABfACLCD,

：.44C=ZAC。=90。，

・•・一人以？和K7M是直角三角形，

VABC和CD4有公共直角边AC,

・•.以“HL”为依据判断AA3cg△《加，需要使8C=D4,故A正确.

故选：A.

17.如图,在RtAABC中,NC=90。,AC=12,BC=6,PQ=AB,P、。两点分别在AC和过点A

且垂直于4c的射线AX上运动，要使/4c和全等，则AP=.

X

Q

lA

【答案】6或12

【解析】

解：①当”=C3时，

NC=NQ4P=90。，

在RtAABC与RtA(2PA中，

AP=CB

AB=QP

：,RtAA3c且RtZ\QR4(HL),

AP=BC=6；

②当P运动到与C点重合时，AP=AC,

在RtZXQ"与RtaABC中，

AP=AC

QP=AB

ARtBAC(HL),

AAP=AC=12,

二•当点尸与点。重合时，RdABC才能和RtZM/A全等，

综上所述，”=6或12,

故答案为：6或12.

题型九全等三角形判定与性质综合

【例25］如图，A,B,C三点在同一条直线上，ZA=ZC=90°,AB=CD,添加下列条件,

不能判定^EAB^ABCD的是()

A.EB=BDB.ZE+ZD=90°

C.AC=AE+CDD.ZEBD=60°

【答案】D

【解析】VZA=ZC=90°,AB=CD,

・••当添力口EB二BD时，则可根据“HL”判定△EAB^ABCD；

当添加AE=BC,即AC=AE+CD,则可根据“SAS”判定△EAB^ABCD:

当添加NABE=ND时，此时/DiNE=90。，NEBD=90。，则可根据“SAS”判定△EAB^ABCD.

【例26］如图，NABO/ABD,要使△ABC空Z\ABD,还需添加一个条件，那么在①ALAD；

②BC=BD；③NOND；④/CAB=NDAB这四个关系中可以选择的是_____.

【答案】②③④

【解析】®VAD=AC,ZABC=ZABD,AB=AB,

・•・根据SSA不能推出仆ABC^AABD,故错误；

②根据BD=BC,AB=AB,/ABC二NABD能推出△ABC会AABD(SAS),故正确；

@VZD=ZC,ZABC=ZABD,AB=AB,

，根据AAS能推出△ABCgZ\ABD,故正确；

@VZDAB=ZCAB,AB=AB,ZABC=ZABD,

・•・根据ASA能推出△ABCgZXABD,故正确.

【例27］如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB〃DE,AC〃DF,下列条件中，能判断

△ABC^ADEF的是()

A.BE=CEB.ZA=ZDC.EC=CFD.BE=CF

【答案】D

【解析】・.・AB〃DE,AC〃DF,

AZB=ZDEF,ZF=ZACB；

A、添加1BE二CE,不能判定八ABCWz2\DEF,故此选项不合题意；

B、添加NA=ND,不能判定△ABC四Z\DEF,故此选项不合题意；

C、添加EC=CF,不能判定△ABCgADEF,故此选项不合题意；

D、添加IBE=CF,可利用ASA定理判定△ABC且ADEF,故此选项符合题意.

【例28］如图所示，已知点D为△ABC的边BC的中点，DE±AC,DF±AB,垂足分别为

点E,F.且BF=CE.求证：ZB=ZC.

A

【答案】见解析

【解析】•・,点D是△ABC的边BC的中点，

ABD=CD,

VDE1AC,DF±AB,

.,.ZBFD=ZCED=90°,

在RtABDF和RtACDE中，

BD=CD

BF=CE'

.\RtABDF^RtACDE(HL),

.\ZB=ZC.

【例29］如图，CD_LAB于D,BE_LAC于E,BE与CD相交于点O,BO=CO.

【答案】见解析

【解析】・・・CD_LAB于D,BE_LAC于E,

.•.ZODB=ZDEC=90°.

在^DBO和△CEO中

NODB=/DEC=90。

<ZDOB=Z.EOC,

OB=OC

.,.△DBO^ACEO(AAS).

.*.