2025-2026年陕西省北师大版初中数学九年级上册第8单元综合测试卷

2025-2026年陕西省北师大版初中数学九年级上册第8单元综合测试卷一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在北师大版初中数学九年级上册第8单元中，关于二次函数y=ax²+bx+c的图像性质，下列说法正确的是（）A.当a>0时，抛物线开口向上，对称轴左侧y随x增大而增大B.当b=0时，抛物线必过原点，且顶点为坐标原点C.若抛物线与x轴有两个交点，则判别式Δ=b²-4ac>0D.抛物线y=-2x²+4x-1的顶点坐标在第一象限2.根据第8单元二次函数与几何图形结合的例题，已知点A(1,0)、B(3,0)，抛物线y=x²-4x+m经过点A，则该抛物线与x轴的另一个交点坐标为（）A.(5,0)B.(-1,0)C.(1,0)D.(2,0)3.在8.2节二次函数的顶点式y=a(x-h)²+k中，若函数y=3(x-2)²+1的图像经过点P(0,m)，则m的值为（）A.-11B.-5C.1D.134.第8单元习题中涉及抛物线对称性问题时，已知抛物线y=-x²+2x-3的对称轴为直线x=1，则当x=3时，函数值y的值为（）A.-3B.0C.1D.25.根据第8单元二次函数与一元二次方程的关系，若关于x的方程x²-2x+k=0的一个根为1，则该方程的另一个根为（）A.-1B.2C.0D.-26.在8.3节二次函数的实际应用中，某商场销售某种商品，日销售量y（件）与价格x（元）满足关系y=-10x²+500x，当销售单价x=25元时，日销售量达到最大值，则该函数的最大值为（）A.6250件B.3125件C.2500件D.1250件7.根据第8单元抛物线与坐标轴交点的性质，若抛物线y=mx²-4x+3与x轴只有一个交点，且开口向上，则实数m的取值范围是（）A.m=0B.m=0或m>4C.0<m≤4D.m=18.在8.4节二次函数与几何图形的综合应用中，已知矩形ABCD中，AB=4，BC=3，点E为BC边上的动点，设BE=x，则△ADE的面积S关于x的函数关系式为（）A.S=-2x²+6xB.S=2x²-6xC.S=-x²+4xD.S=x²-4x9.根据第8单元二次函数图像平移的规律，将抛物线y=2x²的图像先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得抛物线的解析式为（）A.y=2(x+2)²+3B.y=2(x-2)²+3C.y=2x²-4x+7D.y=2x²+4x+710.在8.5节二次函数与一元二次不等式的关系中，若不等式a(x-1)²-2<0的解集为x<1或x>3，则实数a的值为（）A.-1B.1C.-2D.2二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若抛物线y=x²-6x+c的顶点在直线y=x上，则实数c的值为_________。2.已知函数y=ax²+bx+c的图像经过点(1,0)、(2,3)，且对称轴为x=1.5，则b的值为_________。3.若关于x的方程x²-2x+m=0有两个相等的实数根，则抛物线y=x²-2x+m的顶点坐标为_________。4.在△ABC中，顶点A的坐标为(0,0)，B(3,0)，C(0,4)，则BC边上的高所在的直线解析式为_________。5.将抛物线y=-x²的图像绕原点顺时针旋转90°，所得抛物线的解析式为_________。6.若函数y=2x²-4x+1的图像与x轴交于A、B两点，则线段AB的长度为_________。7.已知二次函数y=ax²+bx+c的图像开口向下，且顶点坐标为(2,-3)，若该函数在x=1时的值为0，则a的值为_________。8.在8.3节的实际应用中，某工厂生产某种产品，固定成本为10万元，每件产品的可变成本为20元，售价为x元，则该工厂的利润y（万元）关于售价x的函数关系式为_________。9.若抛物线y=mx²-3x+2与y轴交于点(0,2)，且对称轴为x=1，则m的值为_________。10.根据第8单元二次函数与几何图形的综合应用，已知抛物线y=x²-2x+1与直线y=kx过点(2,3)，则k的值为_________。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若抛物线y=ax²+bx+c的对称轴为x=1，则该抛物线必经过点(1,0)。（）2.当二次函数y=ax²+bx+c的判别式Δ<0时，该函数在x轴上无交点。（）3.若抛物线y=x²-4x+3的顶点在x轴上，则该抛物线必与x轴有两个交点。（）4.将抛物线y=2x²的图像向下平移3个单位，所得抛物线的解析式为y=2x²-3。（）5.若函数y=ax²+bx+c的图像开口向上，且顶点在x轴上，则该函数在定义域内单调递增。（）6.在△ABC中，若顶点A的坐标为(0,0)，B(3,0)，C(0,4)，则BC边上的中线所在的直线解析式为y=x。（）7.若二次函数y=ax²+bx+c的图像经过点(1,0)、(2,3)，则该函数必开口向上。（）8.根据第8单元二次函数与一元二次不等式的关系，若不等式a(x-1)²-2<0的解集为x<1或x>3，则a<0。（）9.将抛物线y=-x²+2x-1的图像绕顶点逆时针旋转90°，所得抛物线的解析式仍为y=-x²+2x-1。（）10.在8.3节的实际应用中，若某产品的售价x元与销售量y件满足关系y=-10x²+500x，则当售价为25元时，销售量达到最大值，此时利润也一定最大。（）四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知抛物线y=x²-2x+m的顶点在直线y=x+1上，求实数m的值。2.求函数y=-2x²+4x-1的最大值，并说明此时x的取值。3.若抛物线y=ax²+bx+c的对称轴为x=2，且经过点(1,0)、(3,0)，求该抛物线的解析式。4.在△ABC中，顶点A的坐标为(0,0)，B(3,0)，C(0,4)，求BC边上的中线所在的直线解析式。5.将抛物线y=2x²的图像先向右平移2个单位，再向下平移3个个单位，求所得抛物线的解析式。6.若函数y=ax²+bx+c的图像经过点(1,0)、(2,3)，且对称轴为x=1.5，求该函数的解析式。7.根据第8单元二次函数与一元二次不等式的关系，若不等式a(x-1)²-2<0的解集为x<1或x>3，求实数a的值。8.在8.3节的实际应用中，若某产品的售价x元与销售量y件满足关系y=-10x²+500x，求该产品的最大销售量及对应售价。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.在△ABC中，顶点A的坐标为(0,0)，B(3,0)，C(0,4)，求BC边上的高所在的直线解析式。2.已知抛物线y=x²-4x+c的顶点在直线y=x上，求实数c的值，并求该抛物线与x轴的交点坐标。3.某工厂生产某种产品，固定成本为10万元，每件产品的可变成本为20元，售价为x元，求该工厂的利润y（万元）关于售价x的函数关系式，并求售价为30元时的利润。4.将抛物线y=-x²的图像绕原点顺时针旋转90°，所得抛物线的解析式为_________。5.若函数y=2x²-4x+1的图像与x轴交于A、B两点，求线段AB的长度。6.已知二次函数y=ax²+bx+c的图像开口向下，且顶点坐标为(2,-3)，若该函数在x=1时的值为0，求该函数的解析式。7.根据第8单元二次函数与几何图形的综合应用，已知抛物线y=x²-2x+1与直线y=kx过点(2,3)，求k的值。8.在8.3节的实际应用中，若某产品的售价x元与销售量y件满足关系y=-10x²+500x，求该产品的最大销售量及对应售价。【标准答案及解析】一、单项选择题1.D解析：抛物线y=-2x²+4x-1的顶点坐标为(-b/2a,c-b²/4a)=(-2/(-4),-1-4/(-4))=(1/2,-1+1)=(-1,0)，不在第一象限。2.A解析：抛物线y=x²-4x+m经过点A(1,0)，则1²-4×1+m=0，解得m=3，所以抛物线为y=x²-4x+3，令y=0，得x²-4x+3=0，解得x=1或x=3，另一个交点为(5,0)。3.B解析：函数y=3(x-2)²+1的图像经过点P(0,m)，则m=3(0-2)²+1=3×4+1=13。4.A解析：抛物线y=-x²+2x-3的对称轴为x=1，当x=3时，y=-3²+2×3-3=-9+6-3=-3。5.B解析：方程x²-2x+k=0的一个根为1，则1²-2×1+k=0，解得k=1，所以方程为x²-2x+1=0，即(x-1)²=0，另一个根也为1。6.A解析：函数y=-10x²+500x的对称轴为x=-b/2a=-500/(-20)=25，当x=25时，y=-10×25²+500×25=6250。7.C解析：抛物线y=mx²-4x+3与x轴只有一个交点，且开口向上，则Δ=16-12m=0且m>0，解得m=4/3。8.A解析：点E为BC边上的动点，BE=x，则EC=3-x，△ADE的面积S=1/2×AB×DE=1/2×4×(3-x)=6-2x。9.B解析：将抛物线y=2x²的图像先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得抛物线的解析式为y=2(x+2)²+3。10.A解析：不等式a(x-1)²-2<0的解集为x<1或x>3，则a<0且对称轴x=1为解集的分界点，所以a=-1。二、填空题1.3解析：抛物线y=x²-6x+c的顶点为(3,c-9)，若顶点在直线y=x上，则3=c-9，解得c=12。2.-2解析：函数y=ax²+bx+c的图像经过点(1,0)、(2,3)，则a+b+c=0，4a+2b+c=3，联立解得b=-2。3.(1,-1)解析：方程x²-2x+m=0有两个相等的实数根，则Δ=4-4m=0，解得m=1，所以抛物线为y=x²-2x+1，顶点为(1,-1)。4.y=x解析：BC边上的高过点A(0,0)且垂直于BC，BC所在直线的斜率为-4/3，所以高所在直线的斜率为3/4，解析式为y=3/4x。5.y=-x解析：将抛物线y=-x²的图像绕原点顺时针旋转90°，所得抛物线的解析式为y=-x。6.2√3解析：函数y=2x²-4x+1的图像与x轴交于A、B两点，则Δ=16-8=8，x₁+x₂=2，x₁x₂=1/2，|AB|=|x₁-x₂|=√((x₁+x₂)²-4x₁x₂)=√(4-2)=√2。7.-2解析：二次函数y=ax²+bx+c的图像开口向下，且顶点坐标为(2,-3)，若该函数在x=1时的值为0，则a(1-2)²+b(1)+c=0，即a-b+c=0，又顶点坐标为(2,-3)，则4a+2b+c=-3，联立解得a=-2。8.y=-20x+10解析：固定成本为10万元，每件产品的可变成本为20元，售价为x元，则利润y（万元）=销售量×(x-20)-10=-10x²+500x-10。9.2解析：抛物线y=mx²-3x+2与y轴交于点(0,2)，则c=2，又对称轴为x=1，则-3/m=1，解得m=2。10.3解析：抛物线y=x²-2x+1与直线y=kx过点(2,3)，则3=2²-2×2+1+k×2，解得k=3。三、判断题1.×解析：抛物线y=ax²+bx+c的对称轴为x=1，则顶点为(1,c-b²/4a)，不一定经过点(1,0)。2.√解析：当二次函数y=ax²+bx+c的判别式Δ<0时，方程ax²+bx+c=0无解，所以该函数在x轴上无交点。3.√解析：抛物线y=x²-4x+3的顶点为(2,-1)，不在x轴上，所以该抛物线必与x轴有两个交点。4.×解析：将抛物线y=2x²的图像向下平移3个单位，所得抛物线的解析式为y=2x²-3。5.×解析：若函数y=ax²+bx+c的图像开口向上，且顶点在x轴上，则该函数在x轴左侧单调递减，在x轴右侧单调递增。6.√解析：BC边上的中线过点A(0,0)且为BC的中点，B(3,0)，C(0,4)，中点为(3/2,2)，所以中线所在的直线解析式为y=2x。7.×解析：函数y=ax²+bx+c的图像经过点(1,0)、(2,3)，无法确定a的正负，所以无法确定该函数是否开口向上。8.√解析：若不等式a(x-1)²-2<0的解集为x<1或x>3，则a<0且对称轴x=1为解集的分界点。9.×解析：将抛物线y=-x²的图像绕顶点逆时针旋转90°，所得抛物线的解析式为y=x²。10.×解析：当售价为25元时，销售量达到最大值，但利润是否最大取决于固定成本等因素。四、简答题1.解：抛物线y=x²-2x+m的顶点为(1,m-1)，若顶点在直线y=x+1上，则m-1=1+1，解得m=3。2.解：函数y=-2x²+4x-1的图像开口向下，顶点为(1,1)，所以最大值为1，此时x=1。3.解：抛物线y=ax²+bx+c的对称轴为x=2，且经过点(1,0)、(3,0)，则a(1)²+b(1)+c=0，a(3)²+b(3)+c=0，联立解得a=1/2，b=-2，c=3/2，所以解析式为y=1/2x²-2x+3/2。4.解：BC边上的中线过点A(0,0)且为BC的中点，B(3,0)，C(0,4)，中点为(3/2,2)，所以中线所在的直线解析式为y=2x。5.解：将抛物线y=2x²的图像先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得抛物线的解析式为y=2(x-2)²-3。6.解：函数y=ax²+bx+c的图像经过点(1,0)、(2,3)，且对称轴为x=1.5，则a(1)²+b(1)+c=0，a(2)²+b(2)+c=3，-b/2a=1.5，联立解得a=2，b=-6，c=4，所以解析式为y=2x²-6x+4。7.解：若不等式a(x-1)²-2<0的解集为x<1或x>3，则a<0且对称轴x=1为解集的分界点，所以a=-1。8.解：若某产品的售价x元与销售量y件满足关系y=-10x²+500x，则利润y（万元）=销售量×(x-20)-10=-10x²+500x-10，当x=25时，y=6250-10=6240万元。