2025-2026年人教版高二数学第9章数列综合测试卷

2025-2026年人教版高二数学第9章数列综合测试卷一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，已知a_1=3，a_5=9，则该数列的通项公式a_n等于（）A.6n-3B.2n+1C.3nD.4n-1解析：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=3，a_5=9可得9=3+4d，解得d=3/2，故a_n=3+(n-1)×3/2=3/2n+3/2。选项A正确。2.已知数列{b_n}满足b_1=1，b_n+1=2b_n+1（n∈N），则该数列的前n项和S_n等于（）A.2^n-1B.n•2^nC.n(n+1)D.2^n+n解析：由递推关系b_n+1=2b_n+1，变形为b_n+1+1=2(b_n+1)，可得数列{b_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列，即b_n+1=2^n，故b_n=2^n-1。前n项和S_n=1+3+5+…+(2n-1)=n^2。选项C正确。3.若数列{c_n}的前n项和T_n=3n^2-2n，则该数列的第5项c_5等于（）A.24B.30C.36D.42解析：由数列前n项和与通项关系c_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），可得c_n=6n-5。当n=5时，c_5=6×5-5=25。选项B正确。4.在等比数列{d_n}中，若d_2•d_4=81，则该数列的公比q等于（）A.3或-3B.2或-2C.9或-9D.1或-1解析：由等比数列性质d_2•d_4=d_3^2=81，可得d_3=±9。若d_3=9，则q=d_3/d_2=9/d_2，又d_2•d_4=81，即d_2^2q^2=81，代入q=9/d_2得d_2^2(9/d_2)^2=81，解得d_2=±3，故q=3或q=-3。选项A正确。5.已知数列{e_n}的前n项和为n(n+1)(n+2)/6，则该数列的第4项e_4等于（）A.20B.24C.28D.32解析：由数列前n项和与通项关系e_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），可得e_n=n(n+1)(n+2)/6-[（n-1)n(n+1）/6]=（n^3+3n^2+2n-n^3+2n^2-n）/6=（5n^2+2n）/6。当n=4时，e_4=（5×16+8）/6=24。选项B正确。6.若数列{f_n}满足f_1=2，f_n+1=√(f_n+f_{n-1})（n≥2），则该数列的极限为（）A.1B.2C.√2D.不存在解析：设数列极限为L，由递推关系f_n+1=√(f_n+f_{n-1})，令n→∞可得L=√(L+L)，解得L=√2。选项C正确。7.在等差数列{g_n}中，若S_10=100，S_20=380，则该数列的通项公式g_n等于（）A.3n-2B.4n-3C.5n-4D.6n-5解析：由等差数列前n项和公式S_n=n/2[2a_1+(n-1)d]，代入S_10=100和S_20=380可得方程组：10a_1+45d=100，20a_1+190d=380。解得a_1=2，d=2，故g_n=2+2(n-1)=2n。选项B正确。8.若数列{h_n}的前n项和T_n=n^2+n+1，则该数列的第3项h_3等于（）A.7B.9C.11D.13解析：由数列前n项和与通项关系h_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），可得h_n=2n+1。当n=3时，h_3=2×3+1=7。选项A正确。9.在等比数列{p_n}中，若p_3=8，p_5=32，则该数列的公比q等于（）A.2或-2B.4或-4C.8或-8D.16或-16解析：由等比数列性质p_3•p_5=p_4^2=8×32=256，可得p_4=16。若p_4=p_3•q=8q=16，则q=2；若p_4=p_3•q=-8q=16，则q=-2。选项A正确。10.已知数列{q_n}的前n项和为n^3，则该数列的第5项q_5等于（）A.100B.125C.150D.175解析：由数列前n项和与通项关系q_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），可得q_n=n^3-(n-1)^3=3n^2-3n+1。当n=5时，q_5=3×25-15+1=61。选项均不正确，需修正题目。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若等差数列{a_n}中，a_1+a_3+a_5=27，则a_3+a_4+a_5=______。解：由等差数列性质a_1+a_3+a_5=3a_3=27，可得a_3=9。故a_3+a_4+a_5=9+(9+d)+(9+2d)=27+3d。参考答案：27+3d。2.已知数列{b_n}满足b_1=2，b_n+1=2b_n+1（n∈N），则该数列的前n项和S_n=______。解：由递推关系b_n+1=2b_n+1，变形为b_n+1+1=2(b_n+1)，可得数列{b_n+1}是首项为3，公比为2的等比数列，即b_n+1=3×2^{n-1}，故b_n=3×2^{n-1}-1。前n项和S_n=3(2^n-1)-n。参考答案：3(2^n-1)-n。3.若数列{c_n}的前n项和T_n=2n^2-3n，则该数列的第4项c_4=______。解：由数列前n项和与通项关系c_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），可得c_n=4n-5。当n=4时，c_4=11。参考答案：11。4.在等比数列{d_n}中，若d_2•d_4=32，则该数列的公比q=______。解：由等比数列性质d_2•d_4=d_3^2=32，可得d_3=±4√2。若d_3=4√2，则q=d_3/d_2=4√2/d_2，又d_2•d_4=32，即d_2^2q^2=32，代入q=4√2/d_2得d_2^2(4√2/d_2)^2=32，解得d_2=±2，故q=√2或q=-√2。参考答案：√2或-√2。5.已知数列{e_n}的前n项和为n(n+1)/2，则该数列的第6项e_6=______。解：由数列前n项和与通项关系e_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），可得e_n=n。当n=6时，e_6=6。参考答案：6。6.若数列{f_n}满足f_1=1，f_n+1=2f_n+1（n∈N），则该数列的前n项和S_n=______。解：由递推关系f_n+1=2f_n+1，变形为f_n+1+1=2(f_n+1)，可得数列{f_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列，即f_n+1=2^n，故f_n=2^n-1。前n项和S_n=2(2^n-1)-n。参考答案：2(2^n-1)-n。7.在等差数列{g_n}中，若S_10=100，S_20=380，则该数列的公差d=______。解：由等差数列前n项和公式S_n=n/2[2a_1+(n-1)d]，代入S_10=100和S_20=380可得方程组：10a_1+45d=100，20a_1+190d=380。解得d=2。参考答案：2。8.若数列{h_n}的前n项和为n^3，则该数列的第5项h_5=______。解：由数列前n项和与通项关系h_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），可得h_n=3n^2-3n+1。当n=5时，h_5=61。参考答案：61。9.在等比数列{p_n}中，若p_3=8，p_5=32，则该数列的首项p_1=______。解：由等比数列性质p_3•p_5=p_4^2=8×32=256，可得p_4=16。若p_4=p_3•q=8q=16，则q=2，故p_1=p_3/q^2=8/4=2。参考答案：2。10.已知数列{q_n}满足q_n=n(n+1)/2，则该数列的前n项和T_n=______。解：由数列前n项和公式T_n=1/2[n(n+1)]=n(n+1)/2。参考答案：n(n+1)/2。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若数列{a_n}的前n项和为S_n=2^n-1，则该数列是等比数列。（）解：由数列前n项和与通项关系a_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），可得a_n=2^{n-1}。该数列是首项为1，公比为2的等比数列。正确。2.在等差数列{b_n}中，若a_1+a_2+a_3=15，则a_2=5。（）解：由等差数列性质a_1+a_2+a_3=3a_2=15，可得a_2=5。正确。3.若数列{c_n}满足c_n+1=c_n+2，则该数列是等差数列。（）解：由递推关系c_n+1=c_n+2，变形为c_n+1-c_n=2，可得该数列是公差为2的等差数列。正确。4.在等比数列{d_n}中，若d_2•d_4=16，则该数列的公比q=±2。（）解：由等比数列性质d_2•d_4=d_3^2=16，可得d_3=±4。若d_3=4，则q=d_3/d_2=4/d_2，又d_2•d_4=16，即d_2^2q^2=16，代入q=4/d_2得d_2^2(4/d_2)^2=16，解得d_2=±2，故q=±2。正确。5.若数列{e_n}的前n项和为S_n=n^2，则该数列是等差数列。（）解：由数列前n项和与通项关系e_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），可得e_n=2n-1。该数列是首项为1，公差为2的等差数列。正确。6.在等差数列{f_n}中，若S_10=100，S_20=380，则该数列的公差d=2。（）解：由等差数列前n项和公式S_n=n/2[2a_1+(n-1)d]，代入S_10=100和S_20=380可得方程组：10a_1+45d=100，20a_1+190d=380。解得d=2。正确。7.若数列{g_n}满足g_n+1=2g_n+1（n∈N），则该数列是等比数列。（）解：由递推关系g_n+1=2g_n+1，变形为g_n+1+1=2(g_n+1)，可得数列{g_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列，即g_n+1=2^n，故g_n=2^n-1。该数列不是等比数列。错误。8.在等比数列{h_n}中，若h_3=8，h_5=32，则该数列的公比q=2。（）解：由等比数列性质h_3•h_5=h_4^2=8×32=256，可得h_4=16。若h_4=h_3•q=8q=16，则q=2；若h_4=h_3•q=-8q=16，则q=-2。错误。9.若数列{p_n}的前n项和为P_n=n^3，则该数列的第5项p_5=61。（）解：由数列前n项和与通项关系p_n=P_n-P_{n-1}（n≥2），可得p_n=3n^2-3n+1。当n=5时，p_5=61。正确。10.在等差数列{q_n}中，若a_1+a_2+a_3=15，则a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=40。（）解：由等差数列性质a_1+a_2+a_3=3a_2=15，可得a_2=5。故a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=5a_3=40。正确。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知等差数列{a_n}中，a_1=2，a_5=14，求该数列的通项公式a_n。解：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=2，a_5=14可得14=2+4d，解得d=3，故a_n=2+3(n-1)=3n-1。2.若数列{b_n}满足b_1=1，b_n+1=3b_n+2（n∈N），求该数列的前n项和S_n。解：由递推关系b_n+1=3b_n+2，变形为b_n+1+1=3(b_n+1)，可得数列{b_n+1}是首项为4，公比为3的等比数列，即b_n+1=4×3^{n-1}，故b_n=4×3^{n-1}-1。前n项和S_n=4(3^n-1)-n。3.在等比数列{c_n}中，若c_2=6，c_4=54，求该数列的公比q。解：由等比数列性质c_2•c_4=c_3^2=6×54=324，可得c_3=18。若c_3=c_2•q=6q=18，则q=3；若c_3=c_2•q=-6q=18，则q=-3。4.若数列{d_n}的前n项和为T_n=n^2+n，求该数列的第3项d_3。解：由数列前n项和与通项关系d_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），可得d_n=2n。当n=3时，d_3=6。5.在等差数列{e_n}中，若S_10=100，求该数列的公差d。解：由等差数列前n项和公式S_n=n/2[2a_1+(n-1)d]，代入S_10=100可得100=5(2a_1+9d)，解得2a_1+9d=20。由于未给出a_1，无法确定d的具体值。6.若数列{f_n}满足f_1=2，f_n+1=2f_n-1（n∈N），求该数列的通项公式f_n。解：由递推关系f_n+1=2f_n-1，变形为f_n+1+1=2(f_n+1)，可得数列{f_n+1}是首项为3，公比为2的等比数列，即f_n+1=3×2^{n-1}，故f_n=3×2^{n-1}-1。7.在等比数列{g_n}中，若g_3=8，g_5=32，求该数列的前5项和S_5。解：由等比数列性质g_3•g_5=g_4^2=8×32=256，可得g_4=16。若g_4=g_3•q=8q=16，则q=2，故g_1=8/2^2=2。前5项和S_5=2(2^5-1)/2-1=31。8.若数列{h_n}的前n项和为U_n=n(n+1)/2，求该数列的第4项h_4。解：由数列前n项和与通项关系h_n=U_n-U_{n-1}（n≥2），可得h_n=n。当n=4时，h_4=4。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.某工厂计划每年比上一年增加10%的产量，若第一年产量为100万吨，求该工厂第5年的产量。解：由等比数列公式a_n=a_1•q^{n-1}，代入a_1=100，q=1.1，n=5可得a_5=100×1.1^4≈146.41万吨。2.某城市人口每年增长2%，若当前人口为100万，求5年后该城市的人口。解：由等比数列公式a_n=a_1•q^{n-1}，代入a_1=100，q=1.02，n=6可得a_6=100×1.02^5≈110.41万。3.某人存款计划每年存入银行1000元，若银行年利率为5%，求5年后该账户的总额（按复利计算）。解：由等比数列求和公式S_n=a_1(1-q^n)/(1-q)，代入a_1=1000，q=1.05，n=6可得S_6=1000(1.05^6-1)/0.05≈6,104.58元。4.某工厂生产的产品数量第一年增长20%，第二年增长10%，第三年增长5%，若第一年产量为100件，求第三年的产量。解：由等比数列公式a_n=a_1•q^{n-1}，代入a_1=100，q_1=1.2，q_2=1.1，q_3=1.05，n=4可得a_4=100×1.2×1.1×1.05≈132.6件。5.某城市绿化面积每年增加10%，若当前绿化面积为100公顷，求5年后该城市的绿化面积。解：由等比数列公式a_n=a_1•q^{n-1}，代入a_1=100，q=1.1，n=6可得a_6=100×1.1^5≈161.05公顷。6.某公司员工工资每年上涨8%，若当前工资为8000元，求3年后的工资。解：由等比数列公式a_n=a_1•q^{n-1}，代入a_1=8000，q=1.08，n=4可得a