2025-2026年陕西省人教版高一数学必修第十二册数列综合练习题

2025-2026年陕西省人教版高一数学必修第十二册数列综合练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，已知a_1=3，a_5=9，则该数列的通项公式a_n等于（）A.6n-3B.2n+1C.3nD.4n-1解析：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=3，a_5=9可得9=3+4d，解得d=3/2，故a_n=3+(n-1)×3/2=3/2n+3/2。选项A正确。2.已知数列{b_n}的前n项和S_n=2^n-1，则b_4的值等于（）A.8B.16C.32D.63解析：由数列前n项和与通项关系b_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时b_1=S_1=1，当n≥2时b_n=2^n-1-(2^{n-1}-1)=2^n-2^n-1=2^n-1，故b_4=2^4-1=15。选项D正确。3.若数列{c_n}满足c_1=1，c_{n+1}=2c_n+c_{n-1}（n≥2），则该数列的前6项和S_6等于（）A.36B.64C.100D.128解析：由递推关系可知c_2=2c_1+c_0=3，c_3=2c_2+c_1=7，c_4=2c_3+c_2=17，c_5=2c_4+c_3=41，c_6=2c_5+c_4=99，故S_6=1+3+7+17+41+99=168。选项无正确答案，需修正题目条件。4.在等比数列{d_n}中，若d_2=6，d_4=54，则该数列的公比q等于（）A.3B.2C.-3D.-2解析：由等比数列通项公式d_n=d_1q^{n-1}，代入d_2=d_1q=6，d_4=d_1q^3=54，联立解得q=3。选项A正确。5.已知数列{e_n}的前n项和S_n=n^2+n，则e_3的值等于（）A.9B.12C.15D.18解析：由数列前n项和与通项关系e_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时e_1=S_1=2，当n≥2时e_n=n^2+n-(n-1)^2-(n-1)=2n，故e_3=2×3=6。选项无正确答案，需修正题目条件。6.若数列{f_n}满足f_1=2，f_{n+1}=f_n+log_2(n+1)，则f_10的值等于（）A.20B.36C.56D.72解析：由递推关系f_{n+1}=f_n+log_2(n+1)，累加可得f_n=2+∑_{k=1}^{n-1}log_2(k+1)=2+(n-1)×2=2n，故f_10=20。选项A正确。7.在等差数列{g_n}中，若a_3+a_7=18，则a_5+a_9的值等于（）A.20B.24C.28D.32解析：由等差数列性质a_3+a_7=2a_5，故a_5=9，同理a_5+a_9=2a_7=18+6=24。选项B正确。8.已知数列{h_n}的前n项和S_n=3^n-1，则h_4的值等于（）A.26B.27C.28D.29解析：由数列前n项和与通项关系h_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时h_1=S_1=2，当n≥2时h_n=3^n-1-(3^{n-1}-1)=2×3^{n-1}，故h_4=2×3^3=54。选项无正确答案，需修正题目条件。9.若数列{i_n}满足i_1=1，i_{n+1}=i_n+2n，则i_6的值等于（）A.21B.35C.55D.77解析：由递推关系i_{n+1}=i_n+2n，累加可得i_n=1+∑_{k=1}^{n-1}2k=1+n(n-1)=n^2-n，故i_6=6^2-6=30。选项无正确答案，需修正题目条件。10.在等比数列{j_n}中，若j_2=4，j_5=32，则该数列的前6项和S_6等于（）A.62B.64C.66D.68解析：由等比数列通项公式j_n=j_1q^{n-1}，代入j_2=j_1q=4，j_5=j_1q^4=32，联立解得q=2，j_1=2，故S_6=2(1+2+4+8+16+32)=2×63=126。选项无正确答案，需修正题目条件。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若等差数列{a_n}的前n项和S_n=5n^2+3n，则该数列的通项公式a_n等于_________。解：由等差数列前n项和公式S_n=n/2(2a_1+(n-1)d)，代入S_n=5n^2+3n可得2a_1+(n-1)d=10n+6，令n=1得a_1=8，令n=2得8+d=26，解得d=18，故a_n=8+(n-1)×18=18n-10。2.已知数列{b_n}满足b_1=2，b_{n+1}=b_n+3n，则b_5的值等于_________。解：由递推关系b_{n+1}=b_n+3n，累加可得b_n=2+∑_{k=1}^{n-1}3k=2+3×n(n-1)/2=3n^2-n-1，故b_5=3×5^2-5-1=71。3.在等比数列{c_n}中，若c_3=8，c_5=32，则该数列的公比q等于_________。解：由等比数列通项公式c_n=c_1q^{n-1}，代入c_3=c_1q^2=8，c_5=c_1q^4=32，联立解得q=2。4.若数列{d_n}的前n项和S_n=2^n-1，则d_4的值等于_________。解：由数列前n项和与通项关系d_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时d_1=S_1=1，当n≥2时d_n=2^n-1-(2^{n-1}-1)=2^n-1，故d_4=2^4-1=15。5.在等差数列{e_n}中，若e_1=5，e_6=17，则该数列的公差d等于_________。解：由等差数列通项公式e_n=e_1+(n-1)d，代入e_6=e_1+5d=17，解得d=2。6.已知数列{f_n}满足f_1=3，f_{n+1}=f_n+n，则f_6的值等于_________。解：由递推关系f_{n+1}=f_n+n，累加可得f_n=3+∑_{k=1}^{n-1}k=3+n(n-1)/2=n^2-n+3，故f_6=6^2-6+3=33。7.若数列{g_n}的前n项和S_n=n^2+n，则g_3的值等于_________。解：由数列前n项和与通项关系g_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时g_1=S_1=2，当n≥2时g_n=n^2+n-(n-1)^2-(n-1)=2n，故g_3=2×3=6。8.在等比数列{h_n}中，若h_2=6，h_4=54，则该数列的公比q等于_________。解：由等比数列通项公式h_n=h_1q^{n-1}，代入h_2=h_1q=6，h_4=h_1q^3=54，联立解得q=3。9.若数列{i_n}满足i_1=1，i_{n+1}=i_n+2n+1，则i_4的值等于_________。解：由递推关系i_{n+1}=i_n+2n+1，累加可得i_n=1+∑_{k=1}^{n-1}(2k+1)=1+n^2，故i_4=1+4^2=17。10.在等差数列{j_n}中，若j_3=7，j_7=15，则该数列的通项公式j_n等于_________。解：由等差数列通项公式j_n=j_1+(n-1)d，代入j_3=j_1+2d=7，j_7=j_1+6d=15，联立解得j_1=1，d=2，故j_n=1+2(n-1)=2n-1。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若数列{a_n}的前n项和S_n=3n^2-2n，则该数列是等差数列。（）解：由数列前n项和公式S_n=n/2(2a_1+(n-1)d)，代入S_n=3n^2-2n可得2a_1+(n-1)d=6n-4，令n=1得a_1=2，令n=2得2+d=8，解得d=6，故该数列是等差数列。正确。2.在等比数列{b_n}中，若b_1=1，b_3=8，则该数列的公比q等于2或-2。（）解：由等比数列通项公式b_n=b_1q^{n-1}，代入b_3=b_1q^2=8，解得q=±2。正确。3.若数列{c_n}满足c_n=c_{n-1}+c_{n-2}（n≥3），则该数列是等比数列。（）解：斐波那契数列满足此递推关系，但公比q=(√5-1)/2≠常数，故该数列不是等比数列。错误。4.在等差数列{d_n}中，若d_1=5，d_4=11，则d_7=17。（）解：由等差数列通项公式d_n=d_1+(n-1)d，代入d_4=d_1+3d=11，解得d=2，故d_7=5+6×2=17。正确。5.若数列{e_n}的前n项和S_n=n^3，则该数列是等差数列。（）解：由数列前n项和与通项关系e_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时e_1=S_1=1，当n≥2时e_n=n^3-(n-1)^3=3n^2-3n+1，故该数列不是等差数列。错误。6.在等比数列{f_n}中，若f_2=4，f_4=16，则f_6=64。（）解：由等比数列通项公式f_n=f_1q^{n-1}，代入f_2=f_1q=4，f_4=f_1q^3=16，联立解得q=2，f_1=2，故f_6=2×2^5=64。正确。7.若数列{g_n}满足g_n=n^2，则该数列的前n项和S_n=n(n+1)。（）解：由数列前n项和公式S_n=∑_{k=1}^nk^2=n(n+1)(2n+1)/6，故该数列的前n项和S_n=n(n+1)(2n+1)/6≠n(n+1)。错误。8.在等差数列{h_n}中，若h_1=2，h_3=8，则h_5=14。（）解：由等差数列通项公式h_n=h_1+(n-1)d，代入h_3=h_1+2d=8，解得d=3，故h_5=2+4×3=14。正确。9.若数列{i_n}的前n项和S_n=2^n-1，则i_n=2^{n-1}。（）解：由数列前n项和与通项关系i_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时i_1=S_1=1，当n≥2时i_n=2^n-1-(2^{n-1}-1)=2^n-1，故i_n≠2^{n-1}。错误。10.在等比数列{j_n}中，若j_3=8，j_6=32，则j_9=128。（）解：由等比数列通项公式j_n=j_1q^{n-1}，代入j_3=j_1q^2=8，j_6=j_1q^5=32，联立解得q=2，j_1=2，故j_9=2×2^8=256。错误。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知等差数列{a_n}的前n项和S_n=4n^2+2n，求该数列的通项公式a_n。解：由等差数列前n项和公式S_n=n/2(2a_1+(n-1)d)，代入S_n=4n^2+2n可得2a_1+(n-1)d=8n+4，令n=1得a_1=6，令n=2得12+d=20，解得d=8，故a_n=6+(n-1)×8=8n-2。2.若数列{b_n}满足b_1=3，b_{n+1}=b_n+2n，求b_5的值。解：由递推关系b_{n+1}=b_n+2n，累加可得b_n=3+∑_{k=1}^{n-1}2k=3+n(n-1)，故b_5=3+5×4=23。3.在等比数列{c_n}中，若c_2=6，c_4=54，求该数列的公比q。解：由等比数列通项公式c_n=c_1q^{n-1}，代入c_2=c_1q=6，c_4=c_1q^3=54，联立解得q=3。4.若数列{d_n}的前n项和S_n=2^n-1，求d_4的值。解：由数列前n项和与通项关系d_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时d_1=S_1=1，当n≥2时d_n=2^n-1-(2^{n-1}-1)=2^n-1，故d_4=2^4-1=15。5.在等差数列{e_n}中，若e_1=5，e_6=17，求该数列的公差d。解：由等差数列通项公式e_n=e_1+(n-1)d，代入e_6=e_1+5d=17，解得d=2。6.若数列{f_n}满足f_1=2，f_{n+1}=f_n+n，求f_6的值。解：由递推关系f_{n+1}=f_n+n，累加可得f_n=2+∑_{k=1}^{n-1}k=2+n(n-1)/2=n^2-n+2，故f_6=6^2-6+2=32。7.在等比数列{g_n}中，若g_3=8，g_5=32，求该数列的通项公式g_n。解：由等比数列通项公式g_n=g_1q^{n-1}，代入g_3=g_1q^2=8，g_5=g_1q^4=32，联立解得q=2，g_1=2，故g_n=2×2^{n-1}=2^n。8.若数列{h_n}的前n项和S_n=n^2+n，求h_3的值。解：由数列前n项和与通项关系h_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时h_1=S_1=2，当n≥2时h_n=n^2+n-(n-1)^2-(n-1)=2n，故h_3=2×3=6。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）1.某工厂计划每年比上一年增加生产能力的20%，若该工厂2023年的生产能力为100万件，求2025年的生产能力。解：由等比数列递推关系a_{n+1}=a_n(1+20%)，代入a_1=100万，a_2=100万×1.2=120万，故a_3=120万×1.2=144万。2.某城市人口每年自然增长率为1.5%，若该城市2023年人口为50万，求2025年的人口数量。解：由等比数列递推关系b_{n+1}=b_n(1+1.5%)，代入b_1=50万，b_2=50万×1.015=50.75万，故b_3=50.75万×1.015≈51.51万。3.某投资账户每年收益率为10%，若初始投资为10万元，求5年后的账户总额。解：由等比数列递推关系c_{n+1}=c_n(1+10%)，代入c_1=10万，c_2=10万×1.1=11万，c_3=11万×1.1=12.1万，c_4=12.1万×1.1≈13.31万，c_5=13.31万×1.1≈14.66万。4.某物体做自由落体运动，第1秒下落距离为4.9米，第2秒下落距离为14.7米，求第3秒下落的距离。解：由等差数列递推关系d_n=4.9+9.8(n-1)，故d_3=4.9+9.8×2=24.5米。5.某林场计划每年比上一年增加植树面积的15%，若该林场2023年植树面积为200公顷，求2025年的植树面积。解：由等比数列递推关系e_{n+1}=e_n(1+15%)，代入e_1=200公顷，e_2=200×1.15=230公顷，故e_3=230×1.15≈264.5公顷。6.某公司员工工资每年上涨5%，若2023年员工工资为8000元，求2025年的工资水平。解：由等比数列递推关系f_{n+1}=f_n(1+5%)，代入f_1=8000元，f_2=8000×1.05=8400元，故f_3=8400×1.05≈8820元。7.某城市地铁线路每年延长2公里，若2023年地铁线路