2025-2026年江苏省苏教版高三数学第四章导数应用练习题

2025-2026年江苏省苏教版高三数学第四章导数应用练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.已知函数f(x)=x³-3x²+2在区间[-2,4]上的最大值和最小值分别为M和m，则M+m的值为（）A.10B.8C.6D.4解析：首先对函数f(x)求导得到f′(x)=3x²-6x，令f′(x)=0解得x=0或x=2。分别计算f(-2)=-10，f(0)=2，f(2)=-2，f(4)=18，因此最大值M=18，最小值m=-10，M+m=8。故选B。2.若函数g(x)=x³-ax在x=1处取得极值，则实数a的值为（）A.3B.2C.1D.0解析：对g(x)求导得到g′(x)=3x²-a，由题意g′(1)=0，解得a=3。验证g′(x)在x=1两侧的符号变化，可知x=1处为极值点。故选A。3.函数h(x)=ln(x)-x在区间(0,1)上的单调性为（）A.单调递增B.单调递减C.先增后减D.无法确定解析：求导h′(x)=1/x-1，在(0,1)上1/x>1，因此h′(x)<0，函数单调递减。故选B。4.已知函数f(x)=x²e^(-x)，则f(x)在x=2处切线的斜率为（）A.2e^(-2)B.4e^(-2)C.2e^(-1)D.4e^(-1)解析：求导f′(x)=2xe^(-x)-x²e^(-x)=xe^(-x)(2-x)，f′(2)=2e^(-2)。故选A。5.若函数y=f(x)在区间[1,3]上单调递增，且f′(x)≥0，则下列结论正确的是（）A.f(1)≥f(3)B.f(2)是极大值点C.f′(2)=0D.函数在[1,3]上连续解析：单调递增意味着f(3)≥f(1)，排除A；单调递增无极值点，排除B；f′(x)≥0不一定处处为0，排除C；单调函数必连续，故选D。6.函数y=x³-3x²+2在x=2处的曲率为（）A.1B.2C.3D.4解析：曲率公式k=|y''|/[(1+y'^2)^(3/2)]，y'=3x²-6x，y''=6x-6，y''(2)=6，y'(2)=0，k=6/(1+0)^(3/2)=6。故选C。7.若函数g(x)=x³-3x+a在x=1处取得极值，则a的值为（）A.1B.2C.3D.4解析：g′(x)=3x²-3，g′(1)=0，解得x=±1，取x=1时，g(1)-3+a=0，a=2。故选B。8.函数f(x)=x³-6x²+9x+1在区间[-1,4]上的最小值点为（）A.-1B.1C.3D.4解析：f′(x)=3x²-12x+9，令f′(x)=0解得x=1或x=3，计算f(-1)=4，f(1)=5，f(3)=1，f(4)=5，最小值点为x=3。故选C。9.若函数y=f(x)在x=0处取得极小值，且f′(x)=x²-2x+1，则f(x)在x=0附近的单调性为（）A.递增→递减B.递减→递增C.单调递增D.单调递减解析：f′(x)=(x-1)²≥0，函数单调递增，极小值点为拐点，非极值点。故选C。10.已知函数h(x)=x³-3x²+2在x=2处的切线与直线y=3x-1平行，则实数k的值为（）A.3B.6C.9D.12解析：h′(2)=6，切线斜率为6，与y=3x-1平行需斜率相同，故k=6。故选B。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=x³-3x在x=1处的极值为________。参考答案：-2解析：f′(x)=3x²-3，f′(1)=0，f''(1)=6>0，x=1处取得极小值f(1)=-2。2.若函数g(x)=x³+ax²+bx在x=-1处取得极大值，且g(-1)=3，则a+b的值为________。参考答案：-5解析：g′(x)=3x²+2ax+b，g′(-1)=0，3-2a+b=0；g(-1)=-1+a-b=3，解得a=4，b=-5，a+b=-1。3.函数y=ln(x²+1)在x=1处的曲率为________。参考答案：1/2解析：y'=2x/(x²+1)，y''=2(1-x²)/(x²+1)²，y''(1)=0，k=|y''|/[(1+y'^2)^(3/2)]=1/2。4.函数f(x)=x³-3x²+2在区间[-2,4]上的最大值与最小值之差为________。参考答案：28解析：f(-2)=-10，f(0)=2，f(2)=-2，f(4)=18，最大值18，最小值-10，差28。5.若函数h(x)=x³-3x+a在x=2处取得极小值，则a的值为________。参考答案：10解析：h′(x)=3x²-3，h′(2)=9，h''(2)=6>0，极小值点x=2，h(2)-12+2+a=0，a=10。6.函数y=xe^(-x)在x=1处的切线方程为________。参考答案：y=(1/2)e^(-1)x+(1/2)e^(-1)解析：y′=e^(-x)-xe^(-x)，y′(1)=-e/2，y(1)=e/2，切线方程y-e/2=(-e/2)(x-1)。7.函数f(x)=x³-6x²+9x在x=3处的曲率为________。参考答案：0解析：f′(x)=3x²-12x+9，f′(3)=0，f''(x)=6x-12，f''(3)=6，k=|f''(3)|/[(1+f′(3)²)^(3/2)]=0。8.若函数g(x)=x³-3x²+2在x=1处取得极值，则g(1)的值为________。参考答案：0解析：g′(x)=3x²-6x，g′(1)=0，g(1)=1-3+2=0。9.函数y=ln(x+1)在x=0处的曲率为________。参考答案：1解析：y'=1/(x+1)，y''=-1/(x+1)²，y''(0)=-1，k=|y''|/[(1+y'^2)^(3/2)]=1。10.函数f(x)=x³-3x在x=0处的极值为________。参考答案：0解析：f′(x)=3x²-3，f′(0)=0，f''(0)=-6<0，x=0处取得极大值f(0)=0。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若函数f(x)在x=c处取得极大值，则f′(c)=0。（）参考答案：×解析：极值点处导数必为0，但导数为0不一定是极值点，需结合二阶导数或符号变化判断。2.函数y=x³在x=0处曲率为0。（）参考答案：√解析：y'=3x²，y''=6x，y''(0)=0，曲率k=0。3.若函数g(x)在区间[a,b]上单调递增，则g(x)在(a,b)上连续。（）参考答案：√解析：单调函数必连续，但连续函数不一定单调。4.函数f(x)=x³-3x在x=1处取得极小值。（）参考答案：×解析：f′(x)=3x²-3，f′(1)=0，f''(1)=6>0，x=1处取得极大值。5.若函数h(x)在x=0处取得极值，则h(x)在x=0处可导。（）参考答案：×解析：极值点处函数可导，但也可导点不一定取得极值，如y=x³在x=0处。6.函数y=ln(x)在x=1处的曲率为1。（）参考答案：√解析：y'=1/x，y''=-1/x²，y''(1)=-1，k=1/2=1。7.若函数f(x)在x=c处取得极值，则f(x)在x=c处取得拐点。（）参考答案：×解析：极值点与拐点无必然联系，极值点处二阶导数必为0，拐点处二阶导数为0且符号变化。8.函数y=x³-3x²+2在x=2处取得极小值。（）参考答案：√解析：f′(x)=3x²-6x，f′(2)=0，f''(2)=6>0，x=2处取得极小值。9.函数f(x)=x³在x=0处取得极值。（）参考答案：×解析：f′(x)=3x²，f′(0)=0，但f''(0)=0，需三阶导数判断，非极值点。10.函数y=xe^(-x)在x=1处的曲率为e^(-1)。（）参考答案：×解析：y′=e^(-x)-xe^(-x)，y''=-e^(-x)+xe^(-x)，y''(1)=-e+e=0，曲率k=0。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.求函数f(x)=x³-3x²+2的单调区间。参考答案：减区间(-∞,1)∪(3,+∞)，增区间(1,3)解析：f′(x)=3x²-6x，令f′(x)=0解得x=0或x=2，符号表法判断单调性。2.函数g(x)=x³-ax在x=1处取得极值，求a的值。参考答案：a=3解析：g′(x)=3x²-a，g′(1)=0，解得a=3。3.求函数y=ln(x+1)在x=0处的曲率。参考答案：1解析：y′=1/(x+1)，y''=-1/(x+1)²，y''(0)=-1，k=1/2=1。4.函数h(x)=x³-3x+a在x=2处取得极小值，求a的值。参考答案：a=10解析：h′(x)=3x²-3，h′(2)=9，h''(2)=6>0，极小值点x=2，h(2)-12+2+a=0，a=10。5.函数f(x)=x³-6x²+9x在x=3处的曲率。参考答案：0解析：f′(x)=3x²-12x+9，f′(3)=0，f''(x)=6x-12，f''(3)=6，k=0。6.函数y=xe^(-x)在x=1处的切线方程。参考答案：y=(1/2)e^(-1)x+(1/2)e^(-1)解析：y′=e^(-x)-xe^(-x)，y′(1)=-e/2，y(1)=e/2，切线方程y-e/2=(-e/2)(x-1)。7.函数g(x)=x³-3x²+2在x=1处取得极值，求g(1)的值。参考答案：0解析：g′(x)=3x²-6x，g′(1)=0，g(1)=1-3+2=0。8.函数f(x)=x³-3x在x=0处的极值。参考答案：极小值0解析：f′(x)=3x²-3，f′(0)=0，f''(0)=-6<0，x=0处取得极小值f(0)=0。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.求函数f(x)=x³-3x²+2在区间[-2,4]上的最大值与最小值。参考答案：最大值18，最小值-10解析：f′(x)=3x²-6x，令f′(x)=0解得x=0或x=2，计算f(-2)=-10，f(0)=2，f(2)=-2，f(4)=18，最大值18，最小值-10。2.函数g(x)=x³-ax在x=1处取得极大值，求a的值。参考答案：a=3解析：g′(x)=3x²-a，g′(1)=0，解得a=3，g''(1)=6>0，x=1处取得极大值。3.求函数y=ln(x+1)在x=0处的曲率。参考答案：1解析：y′=1/(x+1)，y''=-1/(x+1)²，y''(0)=-1，k=1/2=1。4.函数h(x)=x³-3x+a在x=2处取得极小值，求a的值。参考答案：a=10解析：h′(x)=3x²-3，h′(2)=9，h''(2)=6>0，极小值点x=2，h(2)-12+2+a=0，a=10。5.函数f(x)=x³-6x²+9x在x=3处的曲率。参考答案：0解析：f′(x)=3x²-12x+9，f′(3)=0，f''(x)=6x-12，f''(3)=6，k=0。6.函数y=xe^(-x)在x=1处的切线方程。参考答案：y=(1/2)e^(-1)x+(1/2)e^(-1)解析：y′=e^(-x)-xe^(-x)，y′(1)=-e/2，y(1)=e/2，切线方程y-e/2=(-e/2)(x-1)。7.函数g(x)=x³-3x²+2在x=1处取得极值，求g(1)的值。参考答案：0解析：g′(x)=3x²-6x，g′(1)=0，g(1)=1-3+2=0。8.函数f(x)=x³-3x在x=0处的极值。参考答案：极小值0解析：f′(x)=3x²-3，f′(0)=0，f''(0)=-6<0，x=0处取得极小值f(0)=0。【标准答案及解析】一、单项选择题1.B2.A3.B4.A5.D6.C7.B8.C9.C10.B二、填空题1.-22.-53.1/24.285.106.y=(1/2)e^(-1)x+(1/2)e^(-1)7.08.09.110.0三、判断题1.×2.√3.√4.×5.×6.√7.×8.√9.×10.×四、简答题1.减区间(-∞,1)∪(3,+∞)，增区间(1,3)2.a=33.14.a=105.06.y=(1/2)e^(-1)x+(1/2)e^(-1)7.08.极小值0五、应用题1.最大值18，最小值-102.a=33.14.a=105.06.y=(1/2)e^(-1)x+(1/2)e^(-1)7.08.极小值0【解析】一、单项选择题1.解析：f′(x)=3x²-6x，f′(-2)=18，f′(0)=0，f′(2)=-6，f′(4)=18，极值点x=0或x=2，计算f(-2)=-10，f(0)=2，f(2)=-2，f(4)=18，最大值18，最小值-10。2.解析：g′(x)=3x²-a，g′(1)=3-a=0，a=3。3.解析：y′=1/(x+1)，y''=-1/(x+1)²，y''(0)=-1，k=1/2=1。4.解析：h′(x)=3x²-3，h′(2)=9，h''(x)=6x-6，h''(2)=6>0，极小值点x=2，h(2)-12+2+a=0，a=10。5.解析：f′(x)=3x²-12x+9，f′(3)=0，f''(x)=6x-12，f''(3)=6，k=0。6.解析：y′=e^(-x)-xe^(-x)，y′(1)=-e/2，y(1)=e/2，切线方程y-e/2=(-e/2)(x-1)。7.解析：g′(x)=3x²-6x，g′(1)=0，g(1)=1-3+2=0。8.解析：f′(x)=3x²-3，f′(0)=0，f''(0)=-6<0，x=0处取得极小值f(0)=0。二、填空题1.解析：f′(x)=3x²-6x，f′(1)=0，f''(1)=6>0，x=1处取得极小值f(1)=-2。2.解析：g′(x)=3x²-6x，g′(1)=0，g''(1)=6>0，极小值点x=1，g(1)-3+a=0，a=-5。3.解析：y′=1/(x+1)，y''=-1/(x+1)²，y''(0)=-1，k=1/2=1。4.解析：f′(x)=3x²-6x，f′(1)=0，f′(3)=0，计算f(-2)=-10，f(0)=2，f(2)=-2，f(4)=18，最大值18，最小值-10，差28。5.解析：h′(x)=3x²-3，h′(2)=9，h''(2)=6>0，极小值点x=2，h(2)-12+2+a=0，a=10。6.解析：y′=e^(-x)-xe^(-x)，y′(1)=-e/2，y(1)=e/2，切线方程y-e/2=(-e/2)(x-1)。7.解析：f′(x)=3x²-12x+9，f′(3)=0，f''(x)=6x-12，f''(3)=6，k=0。8.解析：g′(x)=3x²-6x，g′(1)=0，g(1)=1-3+2=0。三、判断题1.解析：极值点处导数必为0，但导数为0不一定是极值点，需结合二阶导数或符号变化判断。2.解析：y′=3x²，y''=6x，y''(0)=0，曲率k=0。3.解析：单调函数必连续，但连续函数不一定单调。4.解析：f′(x)=3x²-3，f′(1)=0，f''(1)=6>0，x=1处取得极大值。5.解析：极值点处函数可导，但也可导点不一定取得极值，如y=x³在x=0处。6.解析：y′=1/(x+1)，y''=-1/(x+1)²，y''(0)=-1，k=1/2=1。7.解析：极值点处二阶导数必为0，拐点处二阶导数为0且符号变化。8.解析：f′(x)=3x²-6x，f′(2)=0，f''(x)=6x-12，f''(2)=6>0，x=2处取得极小值。9.解析：f′(x)=3x²，f′(0)=0，但f''(0)=0，需三阶导数判断，非极值点。10.解析：y′=e^(-x)-xe^(-x)，y''=-e^(-x)+xe^(-x)，y''(1)=-e+e=0，曲率k=0。四、简答题1.解析：f′(x)=3x²-6x，令f′(x)=0解得x=0或x=2，符号表法判断单调性。2.解析：g′(x)=3x²-a，g′(1)=0，解得a=3。3.解析：y′=1/(x+1)，y''=-1/(x+1)²，y''