2025-2026年湖南湘教版高二数学第5章数列知识点巩固习题

2025-2026年湖南湘教版高二数学第5章数列知识点巩固习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，已知a_3=7，a_7=15，则该数列的通项公式a_n等于（）A.2n+1B.3n-2C.4n-5D.5n-10解析：由等差数列性质a_7=a_3+4d，代入a_3=7，a_7=15得4d=8，即d=2。通项公式a_n=a_1+(n-1)d，又a_1=a_3-2d=3，故a_n=3+2(n-1)=2n+1。2.已知数列{b_n}的前n项和S_n=2^n-1，则b_5的值为（）A.16B.32C.48D.64解析：当n≥2时，b_n=S_n-S_{n-1}=(2^n-1)-(2^{n-1}-1)=2^{n-1}，验证n=1时b_1=S_1=1符合该公式，故b_5=2^4=16。3.若数列{c_n}满足c_1=1，c_{n+1}=c_n+2n，则c_10的值为（）A.55B.90C.100D.120解析：由递推关系c_{n+1}=c_n+2n，得c_{n+1}-c_n=2n，累加可得c_n=c_1+2(1+2+…+n-1)=1+n(n-1)=n^2-n+1，故c_10=10^2-10+1=91。4.在等比数列{d_n}中，若d_2=6，d_4=54，则该数列的公比q等于（）A.3B.2或-3C.3或-2D.2或3解析：由等比数列性质d_4=d_2q^2，代入d_2=6，d_4=54得q^2=9，解得q=3或q=-3。5.已知数列{e_n}的前n项和T_n=n^2+n，则e_3的值为（）A.9B.12C.15D.18解析：当n≥2时，e_n=T_n-T_{n-1}=n^2+n-(n-1)^2-(n-1)=2n，验证n=1时e_1=T_1=2符合该公式，故e_3=2×3=6。6.若数列{f_n}的前n项和为S_n=n(n+1)，则f_5的值为（）A.15B.20C.30D.35解析：当n≥2时，f_n=S_n-S_{n-1}=n(n+1)-(n-1)n=2n，验证n=1时f_1=S_1=2符合该公式，故f_5=2×5=10。7.在等差数列{g_n}中，若a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=25，则a_3的值为（）A.5B.6C.7D.8解析：由等差数列性质a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=5a_3=25，解得a_3=5。8.已知数列{h_n}满足h_1=2，h_{n+1}=2h_n+n，则h_4的值为（）A.20B.24C.28D.32解析：由递推关系h_{n+1}=2h_n+n，得h_{n+1}-n=2h_n，令u_n=h_n-n，则u_{n+1}=2u_n，故u_n=u_1×2^{n-1}=1×2^{n-1}=2^{n-1}，h_n=u_n+n=2^{n-1}+n，故h_4=2^3+4=12。9.在等比数列{i_n}中，若i_1=1，i_3=8，则该数列的前5项和S_5等于（）A.31B.63C.127D.255解析：由等比数列性质i_3=i_1q^2，代入i_1=1，i_3=8得q^2=8，q=2，故S_5=1×(1-2^5)/(1-2)=31。10.已知数列{j_n}的前n项和为T_n=3^n-1，则j_4的值为（）A.18B.24C.30D.36解析：当n≥2时，j_n=T_n-T_{n-1}=3^n-1-(3^{n-1}-1)=2×3^{n-1}，验证n=1时j_1=T_1=2符合该公式，故j_4=2×3^3=54。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若等差数列{a_n}中，a_5=10，a_10=25，则该数列的公差d=______。参考答案：3解析：由等差数列性质a_10=a_5+5d，代入a_5=10，a_10=25得5d=15，d=3。2.已知数列{b_n}的前n项和S_n=2n^2+n，则b_3=______。参考答案：11解析：当n≥2时，b_n=S_n-S_{n-1}=2n^2+n-[2(n-1)^2+(n-1)]=4n-1，验证n=1时b_1=S_1=3符合该公式，故b_3=4×3-1=11。3.在等比数列{c_n}中，若c_2=6，c_4=54，则该数列的公比q=______。参考答案：3或-3解析：由等比数列性质c_4=c_2q^2，代入c_2=6，c_4=54得q^2=9，q=3或q=-3。4.若数列{d_n}的前n项和为T_n=n^2+n，则d_5=______。参考答案：10解析：当n≥2时，d_n=T_n-T_{n-1}=n^2+n-(n-1)^2-(n-1)=2n，验证n=1时d_1=T_1=2符合该公式，故d_5=2×5=10。5.在等差数列{e_n}中，若e_1=2，e_4=10，则该数列的通项公式a_n=______。参考答案：3n-1解析：由等差数列性质e_4=e_1+3d，代入e_1=2，e_4=10得3d=8，d=8/3，通项公式a_n=2+(n-1)×8/3=3n-1。6.已知数列{f_n}满足f_1=1，f_{n+1}=f_n+3n，则f_6=______。参考答案：55解析：由递推关系f_{n+1}=f_n+3n，得f_{n+1}-f_n=3n，累加可得f_n=f_1+3(1+2+…+n-1)=1+3n(n-1)/2=3n^2/2-3n/2+1，故f_6=3×36/2-3×6/2+1=55。7.在等比数列{g_n}中，若g_1=2，g_3=8，则该数列的前4项和S_4=______。参考答案：30解析：由等比数列性质g_3=g_1q^2，代入g_1=2，g_3=8得q^2=4，q=2，故S_4=2×(1-2^4)/(1-2)=30。8.若数列{h_n}的前n项和为T_n=2^n-1，则h_4=______。参考答案：8解析：当n≥2时，h_n=T_n-T_{n-1}=(2^n-1)-(2^{n-1}-1)=2^n-2^{n-1}=2^{n-1}，验证n=1时h_1=T_1=1符合该公式，故h_4=2^3=8。9.在等差数列{i_n}中，若i_1=5，i_5=15，则该数列的公差d=______。参考答案：2解析：由等差数列性质i_5=i_1+4d，代入i_1=5，i_5=15得4d=10，d=2.5。10.已知数列{j_n}满足j_1=3，j_{n+1}=j_n+2n，则j_5=______。参考答案：35解析：由递推关系j_{n+1}=j_n+2n，得j_{n+1}-j_n=2n，累加可得j_n=j_1+2(1+2+…+n-1)=3+2n(n-1)/2=3+n^2-n，故j_5=3+5^2-5=35。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若数列{a_n}的前n项和S_n=3n^2+n，则该数列是等差数列。（）参考答案：正确解析：当n≥2时，a_n=S_n-S_{n-1}=3n^2+n-[3(n-1)^2+(n-1)]=6n-2，验证n=1时a_1=S_1=4符合该公式，故{a_n}是等差数列。2.在等比数列{b_n}中，若b_1=1，b_3=8，则该数列的公比q=2。（）参考答案：错误解析：由等比数列性质b_3=b_1q^2，代入b_1=1，b_3=8得q^2=8，q=2√2。3.若数列{c_n}的前n项和T_n=n(n+1)，则c_n=2n。（）参考答案：错误解析：当n≥2时，c_n=T_n-T_{n-1}=n(n+1)-(n-1)n=2n，验证n=1时c_1=T_1=2符合该公式，但c_n=2n是等差数列，不是等比数列。4.在等差数列{d_n}中，若d_1=2，d_5=10，则该数列的公差为3。（）参考答案：正确解析：由等差数列性质d_5=d_1+4d，代入d_1=2，d_5=10得4d=8，d=2。5.已知数列{e_n}满足e_1=1，e_{n+1}=e_n+n，则e_4=10。（）参考答案：错误解析：由递推关系e_{n+1}=e_n+n，得e_{n+1}-e_n=n，累加可得e_n=e_1+1+2+…+n-1=1+n(n-1)/2=n^2/2-n/2+1，故e_4=4^2/2-4/2+1=7。6.在等比数列{f_n}中，若f_2=6，f_4=54，则该数列的公比q=3。（）参考答案：正确解析：由等比数列性质f_4=f_2q^2，代入f_2=6，f_4=54得q^2=9，q=3。7.若数列{g_n}的前n项和为S_n=2^n-1，则g_n=2^{n-1}。（）参考答案：错误解析：当n≥2时，g_n=S_n-S_{n-1}=(2^n-1)-(2^{n-1}-1)=2^n-2^{n-1}=2^{n-1}，验证n=1时g_1=S_1=1符合该公式，但g_n=2^{n-1}是等比数列，不是等差数列。8.在等差数列{h_n}中，若h_1+h_2+h_3+h_4+h_5=25，则h_3=5。（）参考答案：正确解析：由等差数列性质h_1+h_2+h_3+h_4+h_5=5h_3=25，解得h_3=5。9.已知数列{i_n}满足i_1=2，i_{n+1}=2i_n+n，则i_5=48。（）参考答案：错误解析：由递推关系i_{n+1}=2i_n+n，得i_{n+1}-n=2i_n，令u_n=i_n-n，则u_{n+1}=2u_n，故u_n=u_1×2^{n-1}=1×2^{n-1}=2^{n-1}，i_n=u_n+n=2^{n-1}+n，故i_5=2^4+5=21。10.在等比数列{j_n}中，若j_1=1，j_4=16，则该数列的前5项和S_5=31。（）参考答案：正确解析：由等比数列性质j_4=j_1q^3，代入j_1=1，j_4=16得q^3=16，q=2，故S_5=1×(1-2^5)/(1-2)=31。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知等差数列{a_n}中，a_1=3，d=2，求该数列的前10项和S_10。解：由等差数列前n项和公式S_n=n/2[2a_1+(n-1)d]，代入n=10，a_1=3，d=2得S_10=10/2[2×3+(10-1)×2]=10/2[6+18]=120。2.若数列{b_n}的前n项和T_n=n^2+n，求b_3的值。解：当n≥2时，b_n=T_n-T_{n-1}=n^2+n-(n-1)^2-(n-1)=2n，验证n=1时b_1=T_1=2符合该公式，故b_3=2×3=6。3.在等比数列{c_n}中，若c_1=2，c_3=8，求该数列的通项公式a_n。解：由等比数列性质c_3=c_1q^2，代入c_1=2，c_3=8得q^2=4，q=2，通项公式a_n=2×2^{n-1}=2^n。4.已知数列{d_n}的前n项和为S_n=3^n-1，求d_4的值。解：当n≥2时，d_n=S_n-S_{n-1}=3^n-1-(3^{n-1}-1)=2×3^{n-1}，验证n=1时d_1=S_1=2符合该公式，故d_4=2×3^3=54。5.在等差数列{e_n}中，若e_1=5，e_4=15，求该数列的公差d。解：由等差数列性质e_4=e_1+3d，代入e_1=5，e_4=15得3d=10，d=10/3。6.已知数列{f_n}满足f_1=1，f_{n+1}=f_n+2n，求f_5的值。解：由递推关系f_{n+1}=f_n+2n，得f_{n+1}-f_n=2n，累加可得f_n=f_1+2(1+2+…+n-1)=1+2n(n-1)/2=1+n^2-n，故f_5=1+5^2-5=21。7.在等比数列{g_n}中，若g_2=6，g_4=54，求该数列的前5项和S_5。解：由等比数列性质g_4=g_2q^2，代入g_2=6，g_4=54得q^2=9，q=3，故S_5=6×(1-3^5)/(1-3)=63。8.若数列{h_n}的前n项和为T_n=2n^2+n，求h_3的值。解：当n≥2时，h_n=T_n-T_{n-1}=2n^2+n-[2(n-1)^2+(n-1)]=4n-1，验证n=1时h_1=T_1=3符合该公式，故h_3=4×3-1=11。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）1.某工厂计划每年比上一年增加相同的产量，已知第一年产量为10万吨，第三年产量为14万吨，求该工厂第五年的产量。解：由等差数列性质a_3=a_1+2d，代入a_1=10，a_3=14得2d=4，d=2，通项公式a_n=10+2(n-1)=2n+8，故第五年产量a_5=2×5+8=18万吨。2.某城市人口增长按等比数列模式发展，已知第一年人口为100万，第三年人口为125万，求该城市第五年的人口。解：由等比数列性质a_3=a_1q^2，代入a_1=100，a_3=125得q^2=1.25，q=√1.25，通项公式a_n=100×(√1.25)^{n-1}，故第五年人口a_5=100×(√1.25)^4≈129.89万。3.某投资者每年投资相同的金额，已知第一年投资为1万元，第五年投资为5万元，求该投资者第十年的投资金额。解：由等差数列性质a_5=a_1+4d，代入a_1=1，a_5=5得4d=4，d=1，通项公式a_n=1+1×(n-1)=n，故第十年投资金额a_10=10万元。4.某细菌培养按等比数列模式繁殖，已知初始时刻细菌数量为1000个，2小时后细菌数量为4000个，求4小时后细菌数量。解：由等比数列性质a_2=a_1q，代入a_1=1000，a_2=4000得q=4，通项公式a_n=1000×4^{n-1}，故4小时后细菌数量a_4=1000×4^3=64000个。5.某工厂计划每年比上一年增加相同的产量，已知第一年产量为10万吨，第三年产量为14万吨，求该工厂前五年的总产量。解：由等差数列性质a_3=a_1+2d，代入a_1=10，a_3=14得2d=4，d=2，通项公式a_n=10+2(n-1)=2n+8，前五年总产量S_5=5/2[2×10+(5-1)×2]=5/2[20+8]=70万吨。6.某城市人口增长按等比数列模式发展，已知第一年人口为100万，第三年人口为125万，求该城市前五年的总人口。解：由等比数列性质a_3=a_1q^2，代入a_1=100，a_3=125得q^2=1.25，q=√1.25，通项公式a_n=100×(√1.25)^{n-1}，前五年总产量S_5=100×[(√1.25)^5-1]/(√1.25-1)≈524.89万。7.某投资者每年投资相同的金额，已知第一年投资为1万元，第五年投资为5万元，求该投资者前十年的总投资金额。解：由等差数列性质a_5=a_1+4d，代入a_1=1，a_5=5得4d=4，d=1，通项公式a_n=1+1×(n-1)=n，前十年总投资金额S_10=10/