2026年江苏省湘教版高一数学第十八章数列极限与导数综合练习题

2026年江苏省湘教版高一数学第十八章数列极限与导数综合练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，已知a_1=3，a_5=9，则该数列的通项公式a_n等于（）A.6n-3B.2n+1C.3nD.4n-1解析：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=3，a_5=9可得9=3+4d，解得d=3/2，故a_n=3+(n-1)×3/2=3/2n+3/2。选项A正确。2.若数列{b_n}满足b_1=1，b_n=b_{n-1}+2n（n≥2），则b_6的值为（）A.21B.22C.23D.24解析：递推计算b_2=b_1+2×2=5，b_3=b_2+2×3=11，b_4=b_3+2×4=19，b_5=b_4+2×5=29，b_6=b_5+2×6=41。选项均错误，重新计算发现递推关系应为b_n=b_{n-1}+2n-1，b_6=23。3.数列{c_n}的前n项和S_n=2n^2-3n，则该数列一定是（）A.等差数列B.等比数列C.摩尔数列D.以上均非解析：由a_n=S_n-S_{n-1}（n≥2）可得a_n=4n-5，a_1=S_1=-1，故数列通项a_n=4n-5，是等差数列。4.若数列{d_n}的通项公式为d_n=2^n+3^n，则该数列的前n项和T_n等于（）A.(2^(n+1)-2)/1+(3^(n+1)-3)/2B.2^n+3^nC.2^(n+1)+3^(n+1)D.n(2^n+3^n)解析：T_n=∑(2^k+3^k)=∑2^k+∑3^k，分别计算等比数列和可得T_n=(2^(n+1)-2)/1+(3^(n+1)-3)/2。5.已知数列{e_n}的前n项和为S_n=n^2+n，则e_4的值为（）A.16B.20C.24D.28解析：e_4=S_4-S_3=16+4-(9+3)=8，选项均错误，重新计算发现题干有误，正确应为e_4=S_4-S_3=20。6.若数列{f_n}满足f_1=1，f_n=f_{n-1}+n（n≥2），则f_5等于（）A.15B.31C.55D.120解析：递推计算f_2=1+2=3，f_3=3+3=6，f_4=6+4=10，f_5=10+5=15。7.数列{g_n}的前n项和S_n=2^n-1，则该数列的通项公式a_n等于（）A.2^nB.2^(n-1)C.2^n-1D.2^(n-1)-1解析：当n=1时a_1=S_1=1，当n≥2时a_n=S_n-S_{n-1}=2^n-1-(2^(n-1)-1)=2^(n-1)，故a_n=2^(n-1)。8.若数列{h_n}的通项公式为h_n=n/(n+1)，则该数列的前n项和H_n的极限为（）A.1B.0C.1/2D.不存在解析：H_n=∑n/(n+1)=∑(1-1/(n+1))=n-∑1/(n+1)，当n→∞时H_n→1。9.已知数列{a_n}满足a_1=1，a_n=a_{n-1}+n（n≥2），则a_10等于（）A.55B.56C.65D.66解析：递推计算a_2=1+2=3，a_3=3+3=6，a_4=6+4=10，a_5=10+5=15，a_10=55。10.若数列{b_n}的前n项和S_n=3n^2-2n，则该数列一定是（）A.等差数列B.等比数列C.摩尔数列D.以上均非解析：由a_n=S_n-S_{n-1}（n≥2）可得a_n=6n-5，a_1=S_1=1，故数列通项a_n=6n-5，是等差数列。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等比数列{c_n}中，若c_2=6，c_4=54，则该数列的公比q=________。解：由c_4=c_2q^2可得q^2=54/6=9，故q=±3。2.若数列{a_n}的前n项和S_n=2^n-1，则a_5=________。解：a_5=S_5-S_4=(2^5-1)-(2^4-1)=31。3.在等差数列{b_n}中，若b_1=2，b_3=8，则该数列的通项公式b_n=________。解：由b_3=b_1+2d可得d=3，故b_n=2+(n-1)×3=3n-1。4.若数列{c_n}满足c_1=1，c_n=c_{n-1}+2n（n≥2），则c_6=________。解：递推计算c_2=3，c_3=6，c_4=10，c_5=15，c_6=21。5.数列{d_n}的前n项和S_n=n^2+n，则d_4=________。解：d_4=S_4-S_3=20-12=8。6.在等比数列{a_n}中，若a_1=3，a_5=81，则该数列的公比q=________。解：由a_5=a_1q^4可得q^4=81/3=27，故q=3^(3/4)。7.若数列{b_n}的通项公式为b_n=n/(n+1)，则该数列的前n项和H_n的极限为________。解：H_n=∑n/(n+1)=∑(1-1/(n+1))=n-∑1/(n+1)，当n→∞时H_n→1。8.在等差数列{c_n}中，若c_1=5，c_5=15，则该数列的通项公式c_n=________。解：由c_5=c_1+4d可得d=2.5，故c_n=5+(n-1)×2.5=2.5n+2.5。9.若数列{a_n}满足a_1=2，a_n=a_{n-1}+n（n≥2），则a_7=________。解：递推计算a_2=4，a_3=7，a_4=11，a_5=16，a_6=22，a_7=29。10.数列{d_n}的前n项和S_n=3n^2-2n，则该数列的通项公式d_n=________。解：当n≥2时d_n=S_n-S_{n-1}=6n-5，a_1=S_1=1，故d_n=6n-5（n≥1）。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若数列{a_n}的前n项和S_n=2n^2-3n，则该数列一定是等差数列。（√）解：由a_n=S_n-S_{n-1}（n≥2）可得a_n=4n-5，a_1=S_1=-1，故数列通项a_n=4n-5，是等差数列。2.在等比数列{b_n}中，若b_1=1，b_4=16，则该数列的公比q=±2。（√）解：由b_4=b_1q^3可得q^3=16，故q=2或q=-2。3.若数列{c_n}的通项公式为c_n=n^2，则该数列的前n项和是n(n+1)/2。（×）解：数列{c_n}的前n项和T_n=∑n^2=n(n+1)(2n+1)/6。4.在等差数列{a_n}中，若a_1=3，a_5=9，则该数列的公差d=3。（√）解：由a_5=a_1+4d可得4d=6，故d=3/2，选项错误，正确应为d=3/2。5.若数列{b_n}满足b_1=1，b_n=b_{n-1}+2n（n≥2），则该数列是等比数列。（×）解：数列通项a_n=4n-3，不是等比数列。6.数列{c_n}的前n项和S_n=2^n-1，则该数列的通项公式a_n=2^(n-1)。（×）解：当n=1时a_1=S_1=1，当n≥2时a_n=S_n-S_{n-1}=2^(n-1)，故a_n=2^(n-1)（n≥1）。7.在等比数列{a_n}中，若a_1=2，a_3=8，则该数列的公比q=2。（√）解：由a_3=a_1q^2可得q^2=4，故q=2。8.若数列{b_n}的通项公式为b_n=n/(n+1)，则该数列的前n项和H_n的极限为1。（√）解：H_n=∑n/(n+1)=∑(1-1/(n+1))=n-∑1/(n+1)，当n→∞时H_n→1。9.在等差数列{c_n}中，若c_1=5，c_5=15，则该数列的通项公式c_n=2.5n+2.5。（√）解：由c_5=c_1+4d可得d=2.5，故c_n=5+(n-1)×2.5=2.5n+2.5。10.数列{d_n}的前n项和S_n=3n^2-2n，则该数列的通项公式d_n=6n-5。（√）解：当n≥2时d_n=S_n-S_{n-1}=6n-5，a_1=S_1=1，故d_n=6n-5（n≥1）。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知数列{a_n}的通项公式为a_n=2n-1，求该数列的前n项和S_n。解：S_n=∑(2k-1)=2∑k-∑1=n^2。2.在等差数列{b_n}中，若b_1=3，b_5=15，求该数列的通项公式b_n。解：由b_5=b_1+4d可得d=3，故b_n=3+(n-1)×3=3n。3.若数列{c_n}满足c_1=1，c_n=c_{n-1}+n（n≥2），求c_5的值。解：递推计算c_2=2，c_3=5，c_4=9，c_5=14。4.在等比数列{a_n}中，若a_1=2，a_4=32，求该数列的公比q。解：由a_4=a_1q^3可得q^3=16，故q=2。5.若数列{b_n}的前n项和S_n=2^n-1，求a_3的值。解：a_3=S_3-S_2=(2^3-1)-(2^2-1)=5。6.在等差数列{c_n}中，若c_1=5，c_4=14，求该数列的通项公式c_n。解：由c_4=c_1+3d可得d=3，故c_n=5+(n-1)×3=3n+2。7.若数列{d_n}的通项公式为d_n=n^2，求该数列的前n项和H_n。解：H_n=∑n^2=n(n+1)(2n+1)/6。8.在等比数列{a_n}中，若a_1=3，a_3=24，求该数列的前4项和S_4。解：由a_3=a_1q^2可得q^2=8，故q=2√2，S_4=3(1+2√2+4+8√2)=60+24√2。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.某工厂计划每年比上一年增加生产能力的20%，若初始年生产能力为100万吨，求第5年的生产能力。解：a_n=100×1.2^(n-1)，a_5=100×1.2^4≈207.36万吨。2.某城市人口每年自然增长率为1.5%，若当前人口为100万，求10年后的人口数量。解：a_n=100×1.015^(n-1)，a_10=100×1.015^9≈114.35万。3.某人存款计划每年末存入银行1000元，银行年利率为5%，求第3年末的本息和。解：S_n=1000(1+5%)^0+1000(1+5%)^1+1000(1+5%)^2≈3105.25元。4.某林场计划每年比上一年增加植树面积的10%，若初始年植树面积为100公顷，求第6年的植树面积。解：a_n=100×1.1^(n-1)，a_6=100×1.1^5≈161.05公顷。5.某产品成本每年下降2%，若初始成本为100元，求第4年的成本。解：a_n=100×0.98^(n-1)，a_4=100×0.98^3≈92.12元。6.某企业计划每年比上一年增加销售额的15%，若初始年销售额为1000万元，求第5年的销售额。解：a_n=1000×1.15^(n-1)，a_5=1000×1.15^4≈1749.55万元。7.某城市道路每年新建长度比上一年增加10%，若初始年新建道路长度为100公里，求第7年的新建道路长度。解：a_n=100×1.1^(n-1)，a_7=100×1.1^6≈177.16公里。8.某产品价格每年上涨3%，若初始价格为100元，求第8年的价格。解：a_n=100×1.03^(n-1)，a_8=100×1.03^7≈119.40元。【标准答案及解析】一、单项选择题1.A2.C3.A4.A5.B6.A7.B8.A9.A10.A二、填空题1.±32.313.3n-14.215.86.3^(3/4)7.18.2.5n+2.59.2910.6n-5三、判断题1.√2.√3.×4.×5.×6.×7.√8.√9.√10.√四、简答题1.S_n=n^22.b_n=3n3.c_5=144.q=25.a_3=56.c_n=3n+27.H_n=n(n+1)(2n+1)/68.S_4=60+24√2五、应用题1.207.36万吨2.114.35万3.3105.25元4.161.05公顷5.92.12元6.1749.55万元7.177.16公里8.119.40元【解析】一、单项选择题1.等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，由a_1=3，a_5=9可得9=3+4d，解得d=3/2，故a_n=3+(n-1)×3/2=3/2n+3/2。2.递推计算b_2=b_1+2×2=5，b_3=b_2+2×3=11，b_4=b_3+2×4=19，b_5=b_4+2×5=29，b_6=b_5+2×6=41。3.由a_n=S_n-S_{n-1}（n≥2）可得a_n=4n-5，a_1=S_1=-1，故数列通项a_n=4n-5，是等差数列。4.等比数列通项公式a_n=a_1q^(n-1)，由a_1=2，a_4=32可得32=2q^3，解得q=2。5.由a_n=S_n-S_{n-1}（n≥2）可得a_n=2^(n-1)，a_1=S_1=1，故a_n=2^(n-1)。6.由c_5=c_1+4d可得4d=11，解得d=11/4，故c_n=5+(n-1)×11/4=11/4n+9/4。7.由a_5=a_1q^4可得q^4=27，故q=3^(3/4)。8.等比数列通项公式a_n=a_1q^(n-1)，由a_1=3，a_3=24可得24=3q^2，解得q=2。9.由a_n=S_n-S_{n-1}（n≥2）可得a_n=6n-5，a_1=S_1=1，故a_n=6n-5。10.由a_n=S_n-S_{n-1}（n≥2）可得a_n=6n-5，a_1=S_1=1，故a_n=6n-5。二、填空题1.等比数列通项公式a_n=a_1q^(n-1)，由a_2=a_1q可得6=3q，解得q=2，故q^2=4。2.由a_n=S_n-S_{n-1}（n≥2）可得a_n=4n-5，a_1=S_1=-1，故a_n=4n-5。3.等比数列通项公式a_n=a_1q^(n-1)，由a_1=1，a_4=16可得16=1q^3，解得q=2。4.由a_n=S_n-S_{n-1}（n≥2）可得a_n=6n-5，a_1=S_1=1，故a_n=6n-5。5.由a_n=S_n-S_{n-1}（n≥2）可得a_n=4n-5，a_1=S_1=-1，故a_n=4n-5。6.由a_n=S_n-S_{n-1}（n≥2）可得a_n=6n-5，a_1=S_1=1，故a_n=6n-5。7.等比数列通项公式a_n=a_1q^(n-1)，由a_1=3，a_3=24可得24=3q^2，解得q=2。8.由a_n=S_n-S_{n-1}（n≥2）可得a_n=6n-5，a_1=S_1=1，故a_n=6n-5。9.由a_n=S_n-S_{n-1}（n≥2）可得a_n=6n-5，a_1=S_1=1，故a_n=6n-5。10.由a_n=S_n-S_{n-1}（n≥2）可得a_n=6n-5，a_1=S_1=1，故a_n=6n-5。三、判断题1.√：由a_n=S_n-S_{n-1}（n≥2）可得a_n=4n-5，a_1=S_1=-1，故数列通项a_n=4n-5，是等差数列。2.√：由a_4=a_1q^3可得q^3=16，故q=2或q=-2。3.×：数列{c_n}的前n项和T_n=∑n^2=n(n+1)(2n+1)/6。4.×：由a_5=a_1+4d可得4d=6，故d=3/2，选项错误，正确应为d=3/2。5.×：数列通项a_n=4n-3，不是等比数列。6.×：当n=1时a_1=S_1=1，当n≥2时a_n=S_n-S_{n-1}=2^(n-1)，故a_n=2^(n-1)（n≥1）。7.√：由a_3=a_1q^2可得q^2=4，故q=2。8.√：H_n=∑n/(n+1)=∑(1-1/(n+1))=n-∑1/(n+1)，当n→∞时H_n→1。9.√：由c_5=c_1+4d可得d=2.5，故c_n=5+(n-1)×2