2025-2026年江苏省苏教版高二数学第6课数列性质与图像练习题

2025-2026年江苏省苏教版高二数学第6课数列性质与图像练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，已知a_1=3，a_5=9，则该数列的通项公式a_n等于（）A.6n-3B.2n+1C.3nD.4n-1解析：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=3，a_5=9可得9=3+4d，解得d=3/2，故a_n=3+(n-1)×3/2=3/2n+3/2。选项A正确。2.已知数列{b_n}的前n项和S_n=2^n-1，则b_4的值为（）A.8B.16C.32D.63解析：由数列前n项和与通项关系b_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时b_1=S_1=1，当n≥2时b_n=2^n-1-(2^{n-1}-1)=2^n-2^n-1=2^n-1，验证n=1时成立，故b_4=2^4-1=15。选项D正确。3.若数列{c_n}满足c_1=1，c_{n+1}=2c_n+c_{n-1}（n≥2），则c_6的值为（）A.55B.64C.73D.81解析：由递推关系可知该数列为二阶线性递推数列，设特征方程x^2-2x-1=0的根为α、β，则通解为c_n=C_1α^n+C_2β^n，由c_1=1，c_2=2c_1+c_0=3可得α^1+β^1=1，α^2+β^2=3，解得C_1=C_2=1/2，故c_6=1/2(α^6+β^6)，利用二项式定理展开计算可得结果为73。4.函数f(x)=log_2(3-x)的图像与数列{a_n}的图像在第一象限的交点个数为（）A.2B.3C.4D.5解析：由f(x)=log_2(3-x)在x→3时趋于正无穷，且在x=3时取值为0，结合数列{a_n}为单调递减数列，当n=1时a_1>0，随着n增大a_n逐渐减小，必存在唯一n_0使得a_{n_0}=1，此时log_2(3-a_{n_0})=1，故交点个数为3。5.已知数列{d_n}的前n项和S_n=n^2+n，则数列{d_n}的奇数项之和为（）A.n(n+1)/2B.n^2C.(n^2+n)/2D.(n^2+n)/4解析：由d_n=S_n-S_{n-1}=2n（n≥2），d_1=S_1=2，故数列{d_n}的奇数项为2,6,10,...,4k-2（k=1,2,...,n），奇数项之和为2(1+3+5+...+(2n-1))=2n^2。6.若数列{e_n}满足e_1=1，e_{n+1}=e_n+log_2(n+1)，则e_5的值为（）A.8B.9C.10D.11解析：由递推关系可得e_n=1+log_2(2)+log_2(3)+...+log_2(n)=1+log_2(n!)，e_5=1+log_2(120)=1+6.9069≈7.9069，取整为8。7.函数y=x^2与y=2^n在第一象限的交点横坐标构成数列{f_n}，则f_3的值为（）A.2B.3C.4D.5解析：由2^n=x^2可得x=2^(n/2)，故f_n=2^(n/2)，f_3=2^(3/2)=√8≈2.828，取整为2。8.已知数列{g_n}的前n项和S_n=2^n-1，则数列{|g_n|}的前n项和T_n等于（）A.2^n-1B.2^n+1C.2^(2n)-1D.2^(2n-1)-1解析：由g_n=S_n-S_{n-1}=2^n-1-(2^{n-1}-1)=2^n-1-2^{n-1}+1=2^n-2^{n-1}=2^{n-1}，故|g_n|=2^{n-1}，T_n=1+2+4+...+2^{n-1}=2^n-1。9.若数列{h_n}满足h_1=1，h_{n+1}=h_n+2n，则h_5等于（）A.25B.30C.35D.40解析：由递推关系可得h_n=1+2+4+...+2(n-1)=1+2(1+2+...+(n-1))=1+2(n(n-1)/2)=n^2，h_5=5^2=25。10.函数f(x)=|x|在数列{a_n}的图像上截得的面积构成数列{S_n}，若a_n=n，则S_5等于（）A.15B.20C.25D.30解析：由f(x)=|x|在x轴对称，S_1=1，S_2=1+2=3，S_3=3+2=5，S_4=5+4=9，S_5=9+5=14，故S_5=14。选项A正确。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等比数列{a_n}中，若a_2=6，a_4=54，则该数列的公比q等于______。解：由等比数列通项公式a_n=a_1q^{n-1}，代入a_2=a_1q=6，a_4=a_1q^3=54，解得q=3。2.若数列{b_n}的前n项和S_n=3^n-1，则b_3等于______。解：由b_n=S_n-S_{n-1}=3^n-1-(3^{n-1}-1)=2×3^{n-1}，b_3=2×3^2=18。3.已知数列{c_n}满足c_1=2，c_{n+1}=c_n+3n，则c_4等于______。解：由递推关系可得c_n=2+3(1+2+...+(n-1))=2+3n(n-1)/2=3n^2-n/2，c_4=3×4^2-4/2=48-2=46。4.函数f(x)=2^x在数列{a_n}的图像上截得的面积构成数列{S_n}，若a_n=n，则S_4等于______。解：S_1=2，S_2=2+2^2=6，S_3=6+2^3=10，S_4=10+2^4=18。5.在等差数列{d_n}中，若a_1=5，d=-2，则S_10等于______。解：S_n=n/2[2a_1+(n-1)d]，S_10=10/2[2×5+(10-1)×(-2)]=10/2[10-18]=-40。6.已知数列{e_n}满足e_1=1，e_{n+1}=e_n+n，则e_5等于______。解：由递推关系可得e_n=1+2+3+...+n=n(n+1)/2，e_5=5×6/2=15。7.若数列{f_n}的前n项和S_n=n^2+n，则f_3等于______。解：f_n=S_n-S_{n-1}=n^2+n-(n-1)^2-(n-1)=2n，f_3=2×3=6。8.在等比数列{g_n}中，若a_1=1，a_5=32，则该数列的前6项和S_6等于______。解：由a_5=a_1q^4=32可得q=2，S_6=a_1(1-q^6)/(1-q)=1×(1-2^6)/(1-2)=63。9.已知数列{h_n}满足h_1=3，h_{n+1}=h_n+n^2，则h_4等于______。解：h_2=3+1^2=4，h_3=4+2^2=8，h_4=8+3^2=17。10.函数f(x)=log_3(x+1)在数列{a_n}的图像上截得的面积构成数列{S_n}，若a_n=n，则S_3等于______。解：S_1=1，S_2=1+log_3(2+1)=1+1=2，S_3=2+log_3(3+1)=2+1=3。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若数列{a_n}满足a_n=a_{n-1}+d（n≥2），则该数列为等差数列。（正确）解：等差数列的定义即为相邻两项之差为常数，题中递推关系满足此条件。2.所有等差数列的前n项和S_n都是关于n的二次函数。（正确）解：S_n=n/2[2a_1+(n-1)d]=1/2dn^2+(a_1-d)n，是n的二次函数。3.若数列{b_n}的前n项和S_n=2^n-1，则该数列是等比数列。（正确）解：b_n=S_n-S_{n-1}=2^n-1-(2^{n-1}-1)=2^n-2^{n-1}=2^{n-1}，是首项为1公比为2的等比数列。4.所有等比数列的通项公式都可以表示为a_n=a_1q^{n-1}的形式。（正确）解：这是等比数列的标准通项公式形式。5.若数列{c_n}满足c_{n+1}=c_n+c_{n-1}（n≥2），则该数列为斐波那契数列。（错误）解：斐波那契数列要求c_1=1,c_2=1，而题中未给出初始值。6.数列{d_n}的前n项和S_n=n^2+n，则数列{d_n}是单调递增的。（正确）解：d_n=S_n-S_{n-1}=2n，随着n增大d_n增大，故单调递增。7.若数列{e_n}满足e_{n+1}=e_n+1（n≥1），则该数列是等差数列。（正确）解：相邻两项之差为常数1，满足等差数列定义。8.所有单调递增的数列都是等差数列。（错误）解：例如对数数列y=ln(x)单调递增但不是等差数列。9.若数列{f_n}的前n项和S_n=2^n-1，则数列{f_n}是等比数列。（正确）解：同填空题第2题解析。10.数列{g_n}的图像与函数y=2^x的图像在第一象限的交点横坐标构成等比数列。（正确）解：由2^n=x^2可得x=2^(n/2)，相邻两项之比为2^(1/2)，为等比数列。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.证明等差数列的前n项和S_n是关于n的二次函数。证明：S_n=n/2[2a_1+(n-1)d]=1/2dn^2+(a_1-d)n，是n的二次函数。2.求数列{a_n}的通项公式，其中a_1=2，a_{n+1}=3a_n-2。解：设b_n=a_n-1，则b_{n+1}=3b_n，b_n是首项为1公比为3的等比数列，b_n=3^{n-1}，故a_n=3^{n-1}+1。3.已知数列{b_n}的前n项和S_n=3^n-1，求b_4。解：b_n=S_n-S_{n-1}=2×3^{n-1}，b_4=2×3^3=54。4.证明等比数列{c_n}的前n项和S_n的公式S_n=a_1(1-q^n)/(1-q)（q≠1）。证明：S_n=a_1+a_1q+...+a_1q^{n-1}，两边乘以q得qS_n=a_1q+...+a_1q^n，作差得(1-q)S_n=a_1(1-q^n)，故S_n=a_1(1-q^n)/(1-q)。5.求数列{d_n}的通项公式，其中d_1=1，d_{n+1}=2d_n+n。解：设e_n=d_n-n，则e_{n+1}=2e_n，e_n是首项为1公比为2的等比数列，e_n=2^{n-1}，故d_n=2^{n-1}+n。6.已知数列{e_n}的前n项和S_n=n^2+n，求e_3。解：e_n=S_n-S_{n-1}=2n，e_3=2×3=6。7.证明等差数列{f_n}中，若a_1=a，d=b，则S_n=n/2(ab+bn)。证明：S_n=n/2[2a+(n-1)b]=n/2[ab+b(n-1)]=n/2(ab+bn)。8.求数列{g_n}的通项公式，其中g_1=3，g_{n+1}=g_n+2n。解：设h_n=g_n-1，则h_{n+1}=h_n+2n，h_n是首项为2公差为2的等差数列，h_n=2n，故g_n=2n+1。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）1.某工厂第一年产量为1000件，计划每年比上一年增产200件，求第10年的产量。解：由等差数列a_n=a_1+(n-1)d，a_{10}=1000+(10-1)×200=1800件。2.某城市人口第一年为50万，每年增长10%，求第5年的人口。解：由等比数列a_n=a_1q^{n-1}，a_5=50×1.1^4≈81.46万。3.已知数列{a_n}的前n项和S_n=2^n-1，求该数列的前5项和。解：S_5=2^5-1=31。4.某投资账户初始金额为10000元，年利率为5%，求第3年末的账户金额（按复利计算）。解：a_3=10000×1.05^3≈11576.25元。5.已知数列{b_n}的前n项和S_n=n^2+n，求该数列的前4项和。解：S_4=4^2+4=20。6.某产品成本第一年为100元，每年降低5%，求第4年的成本。解：a_4=100×0.95^3≈85.74元。7.已知数列{c_n}的前n项和S_n=3^n-1，求该数列的前3项和。解：S_3=3^3-1=26。8.某林场树木数量第一年为1000棵，每年增长20%，求第6年的树木数量。解：a_6=1000×1.2^5≈2488.32棵。【标准答案及解析】一、单项选择题1.A2.D3.C4.B5.A6.A7.A8.A9.A10.A二、填空题1.32.183.464.185.-406.157.68.639.1710.3三、判断题1.√2.√3.√4.√5.×6.√7.√8.×9.√10.√四、简答题1.证明：S_n=n/2[2a_1+(n-1)d]=1/2dn^2+(a_1-d)n，是n的二次函数。2.解：设b_n=a_n-1，则b_{n+1}=3b_n，b_n是首项为1公比为3的等比数列，b_n=3^{n-1}，故a_n=3^{n