2025-2026年陕西省专升本高等数学备考极限知识点巩固习题

2025-2026年陕西省专升本高等数学备考极限知识点巩固习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在高等数学中，极限的定义通常采用ε-δ语言描述，下列关于ε-δ定义的表述中，正确的是（）A.对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当x>δ时，|f(x)-A|<ε恒成立B.对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，|f(x)-A|<ε恒成立C.对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当x<δ时，|f(x)-A|<ε恒成立D.对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当x=δ时，|f(x)-A|<ε恒成立2.函数f(x)在点x=a处有极限，但未必在该点处连续，以下关于函数极限与连续性关系的表述中，正确的是（）A.若f(x)在x=a处有极限，则f(x)在x=a处必连续B.若f(x)在x=a处连续，则f(x)在x=a处必有极限C.若f(x)在x=a处无极限，则f(x)在x=a处必不连续D.若f(x)在x=a处不连续，则f(x)在x=a处必无极限3.计算极限lim_{x→2}[(x^2-4)/(x-2)]时，以下方法中正确的是（）A.直接代入x=2得到极限值为0B.分子分母同时约去(x-2)得到极限值为4C.使用洛必达法则得到极限值为4D.因为分母为0，该极限不存在4.对于数列{a_n}，若存在正数M，使得对于任意n，都有|a_n|≤M，则称{a_n}有界，以下数列中，有界的是（）A.a_n=2^nB.a_n=(-1)^n/nC.a_n=n^2D.a_n=ln(n+1)5.当x→0时，下列函数中，等价于sin(x)/x的是（）A.x^2/xB.tan(x)/xC.e^x-1/xD.(1-cos(x))/x^26.计算极限lim_{x→∞}(sqrt(x^2+1)/x)时，以下方法中正确的是（）A.直接代入x=∞得到极限值为1B.分子分母同时除以x得到极限值为1C.使用洛必达法则得到极限值为0D.因为x→∞，该极限不存在7.对于函数f(x)=|x|在x=0处，以下关于其极限的表述中，正确的是（）A.lim_{x→0}|x|=0B.lim_{x→0}|x|不存在C.lim_{x→0}|x|=1D.lim_{x→0}|x|无定义8.计算极限lim_{x→0}(e^x-1-x)/x^2时，以下方法中正确的是（）A.直接代入x=0得到极限值为0B.使用洛必达法则两次得到极限值为1/2C.使用等价无穷小替换得到极限值为1D.因为分母为0，该极限不存在9.对于函数f(x)=x^3-3x+2，以下关于其极限的表述中，正确的是（）A.lim_{x→1}f(x)=0B.lim_{x→1}f(x)=2C.lim_{x→1}f(x)不存在D.lim_{x→1}f(x)=410.当x→0时，下列函数中，是x的高阶无穷小的是（）A.x^2B.sin(x)C.ln(1+x)D.e^x-1二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若lim_{x→a}f(x)=A，则对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当_______时，|f(x)-A|<ε恒成立。2.函数f(x)在点x=a处连续的充分必要条件是_______、_______且_______。3.计算极限lim_{x→0}(sin(2x)/x)时，利用等价无穷小替换可得该极限值为_______。4.对于数列{a_n}，若lim_{n→∞}a_n=A，则称{a_n}收敛于A，此时必有_______。5.计算极限lim_{x→∞}(3x^2+2x+1)/(5x^2-3x+2)时，利用无穷小阶数可得该极限值为_______。6.当x→0时，下列函数中，等价于1-cos(x)的是_______。7.对于函数f(x)=x/(x^2-1)，其定义域为_______。8.计算极限lim_{x→1}(x^2-1)/(x-1)时，利用洛必达法则可得该极限值为_______。9.对于函数f(x)=e^x，其在任意点x=a处的导数f'(a)等于_______。10.当x→0时，下列函数中，是x的低阶无穷小的是_______。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若函数f(x)在点x=a处有极限，则f(x)在x=a处必连续。（）2.对于数列{a_n}，若存在正数M，使得对于任意n，都有|a_n|≤M，则{a_n}必有极限。（）3.当x→0时，下列函数中，等价于x^2的是sin^2(x)。（）4.对于函数f(x)=1/x，其在x=0处有极限。（）5.计算极限lim_{x→∞}(sqrt(x^2+1)/x)时，利用无穷小阶数可得该极限值为1。（）6.对于函数f(x)=|x|在x=0处，lim_{x→0}|x|=0。（）7.计算极限lim_{x→0}(e^x-1-x)/x^2时，使用洛必达法则两次可得极限值为1/2。（）8.对于函数f(x)=x^3-3x+2，lim_{x→1}f(x)=0。（）9.当x→0时，下列函数中，是x的低阶无穷小的是ln(1+x)。（）10.对于函数f(x)=e^x，其在任意点x=a处的导数f'(a)等于e^a。（）四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.简述ε-δ语言描述极限的定义。2.解释函数极限与连续性的区别与联系。3.列举三种计算极限的方法，并简述其适用条件。4.说明数列有界与数列收敛的区别。5.解释等价无穷小的概念及其在极限计算中的应用。6.列举三个常见的等价无穷小，并说明其成立的条件。7.说明洛必达法则的适用条件及其局限性。8.解释无穷小阶数的概念及其在极限计算中的作用。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.计算极限lim_{x→0}(sin(3x)/x)。2.计算极限lim_{x→∞}(2x^2+3x)/(4x^2+5x)。3.计算极限lim_{x→1}(x^3-1)/(x-1)。4.计算极限lim_{x→0}(e^2x-1)/x。5.计算极限lim_{x→0}(1-cos(2x))/x^2。6.计算极限lim_{x→∞}(sqrt(x^2+1)-x)。7.计算极限lim_{x→0}(sin(x)/x)^{1/x}。8.计算极限lim_{x→1}(x^2-2x+1)/(x^3-1)。【标准答案及解析】一、单项选择题1.B解析：ε-δ语言描述极限的定义为：对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，|f(x)-A|<ε恒成立。选项A错误，因为x>δ不包含x=a的情况；选项C错误，因为x<δ不包含x=a的情况；选项D错误，因为x=δ不包含x趋近于a的情况。2.B解析：函数极限与连续性的关系是：若函数在某点连续，则在该点必有极限；但反之未必成立。例如，函数f(x)={1,x≠0；0,x=0}在x=0处有极限为1，但该点不连续。因此，选项B正确。3.B解析：计算极限lim_{x→2}[(x^2-4)/(x-2)]时，直接代入x=2会导致分母为0，因此需要约去分子分母的公因式(x-2)，得到lim_{x→2}(x+2)=4。选项A错误，直接代入x=2得到分母为0；选项C错误，因为该极限可以直接约分，无需使用洛必达法则；选项D错误，因为该极限存在。4.B解析：数列a_n=(-1)^n/n是有界的，因为对于任意n，都有|a_n|≤1。选项A错误，a_n=2^n是无界的；选项C错误，a_n=n^2是无界的；选项D错误，a_n=ln(n+1)是无界的。5.B解析：当x→0时，sin(x)/x≡1，因此tan(x)/x≡1。选项A错误，x^2/x=x；选项C错误，e^x-1/x≡1；选项D错误，(1-cos(x))/x^2≡1/2。6.B解析：计算极限lim_{x→∞}(sqrt(x^2+1)/x)时，分子分母同时除以x得到lim_{x→∞}(sqrt(1+1/x^2)/1)=1。选项A错误，直接代入x=∞无意义；选项C错误，该极限无需使用洛必达法则；选项D错误，该极限存在。7.A解析：对于函数f(x)=|x|在x=0处，lim_{x→0}|x|=0。选项B错误，该极限存在；选项C错误，该极限值为0；选项D错误，该极限有定义。8.B解析：计算极限lim_{x→0}(e^x-1-x)/x^2时，使用洛必达法则两次得到lim_{x→0}(e^x-1)/2x=1/2。选项A错误，直接代入x=0得到0/0型未定式；选项C错误，使用等价无穷小替换得到1；选项D错误，该极限存在。9.B解析：计算极限lim_{x→1}(x^3-3x+2)时，直接代入x=1得到1^3-3×1+2=0。选项A错误，该极限值为0；选项C错误，该极限存在；选项D错误，该极限值为0。10.A解析：当x→0时，x^2是x的高阶无穷小，因为lim_{x→0}x^2/x=0。选项B错误，sin(x)与x同阶；选项C错误，ln(1+x)与x同阶；选项D错误，e^x-1与x同阶。二、填空题1.0<|x-a|<δ解析：ε-δ语言描述极限的定义中，条件为0<|x-a|<δ，表示x趋近于a但不等于a。2.lim_{x→a}f(x)=f(a)，f(x)在x=a处有定义，f(x)在x=a处连续解析：函数f(x)在点x=a处连续的充分必要条件是：极限存在且等于函数值，函数在该点有定义。3.2解析：当x→0时，sin(2x)/x≡2sin(2x)/2x≡2。4.{a_n}有界解析：数列收敛的必要条件是数列有界。5.3/5解析：计算极限lim_{x→∞}(3x^2+2x+1)/(5x^2-3x+2)时，分子分母同时除以x^2得到lim_{x→∞}(3+2/x+1/x^2)/(5-3/x+2/x^2)=3/5。6.sin^2(x/2)解析：当x→0时，1-cos(x)≡2sin^2(x/2)。7.x≠±1解析：函数f(x)=x/(x^2-1)的定义域为x^2-1≠0，即x≠±1。8.2解析：计算极限lim_{x→1}(x^3-1)/(x-1)时，使用洛必达法则得到lim_{x→1}(3x^2)=3×1^2=3。9.e^a解析：对于函数f(x)=e^x，其在任意点x=a处的导数f'(a)=e^a。10.e^x-1解析：当x→0时，e^x-1是x的低阶无穷小，因为lim_{x→0}(e^x-1)/x=1。三、判断题1.×解析：函数在某点有极限不一定在该点连续。例如，函数f(x)={1,x≠0；0,x=0}在x=0处有极限为1，但该点不连续。2.×解析：数列有界不一定有极限。例如，数列{(-1)^n}有界，但无极限。3.×解析：当x→0时，sin^2(x)≡x^2，因此sin^2(x)/x^2≡1。4.×解析：对于函数f(x)=1/x，其在x=0处无定义，因此无极限。5.√解析：计算极限lim_{x→∞}(sqrt(x^2+1)/x)时，分子分母同时除以x得到lim_{x→∞}(sqrt(1+1/x^2)/1)=1。6.√解析：对于函数f(x)=|x|在x=0处，lim_{x→0}|x|=0。7.√解析：计算极限lim_{x→0}(e^x-1-x)/x^2时，使用洛必达法则两次得到lim_{x→0}(e^x-1)/2x=1/2。8.×解析：计算极限lim_{x→1}(x^3-3x+2)时，直接代入x=1得到1^3-3×1+2=0。9.×解析：当x→0时，ln(1+x)与x同阶，因此不是x的低阶无穷小。10.√解析：对于函数f(x)=e^x，其在任意点x=a处的导数f'(a)=e^a。四、简答题1.简述ε-δ语言描述极限的定义。解析：ε-δ语言描述极限的定义为：对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，|f(x)-A|<ε恒成立。该定义表达了函数f(x)在x趋近于a时，f(x)的值趋近于A的思想。2.解释函数极限与连续性的区别与联系。解析：函数极限与连续性的区别在于：函数在某点有极限不一定在该点连续，但反之未必成立。联系在于：函数在某点连续的充分必要条件是该点有极限且极限等于函数值。3.列举三种计算极限的方法，并简述其适用条件。解析：三种计算极限的方法为：（1）直接代入法：适用于函数在极限点有定义且连续的情况；（2）约分法：适用于分式极限且分子分母有公因式的情况；（3）洛必达法则：适用于0/0型或∞/∞型未定式极限。4.说明数列有界与数列收敛的区别。解析：数列有界是指数列的项都在某个正数范围内，而数列收敛是指数列的项趋近于某个确定的值。有界数列不一定收敛，但收敛数列必有界。5.解释等价无穷小的概念及其在极限计算中的应用。解析：等价无穷小是指当x→0时，两个无穷小量之比的极限为1。在极限计算中，可以利用等价无穷小替换简化计算。例如，sin(x)≡x，e^x-1≡x。6.列举三个常见的等价无穷小，并说明其成立的条件。解析：三个常见的等价无穷小为：（1）sin(x)≡x，当x→0时；（2）e^x-1≡x，当x→0时；（3）1-cos(x)≡x^2/2，当x→0时。7.说明洛必达法则的适用条件及其局限性。解析：洛必达法则的适用条件是：当x→a时，f(x)和g(x)均趋于0或均趋于∞，且f'(x)和g'(x)存在且g'(x)≠0。局限性在于：若不满足条件，则不能使用；若使用后仍为未定式，可继续使用洛必达法则。8.解释无穷小阶数的概念及其在极限计算中的作用。解析：无穷小阶数是指当x→0时，两个无穷小量之比的极限。在极限计算中，可以利用无穷小阶数判断极限的值。例如，x^2是x的高阶无穷小，因此x^2/x→0。五、应用题1.计算极限lim_{x→0}(sin(3x)/x)。解析：当x→0时，sin(3x)/x≡3sin(3x)/(3x)≡3。参考答案：32.计算极限lim_{x→∞}(2x^2+3x)/(4x^2+